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1. Calculo I
Tema: Cálculo Diferencial Docente: Demetrio Ccesa Rayme

2. Definición de Derivada
La derivada de una función f con
respecto a la variable x es la función
cuyo valor en x es:
siempre que el límite exista
h
f(x)h)f(x
lim´(x)f
0h




3. x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf 
hx 0
h

4. x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf 
hx 0
h

5. x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf 
hx 0
h

6. x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf 
hx 0
h

7. x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf 
hx 0
h

8. x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf 
hx 0
h

9. x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf 
hx 0
h

10. x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf 
hx 0
h

11. x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf 
hx 0
h

12. x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf 
hx 0
h

13. x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf 
hx 0
h

14. x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf 
hx 0
h

15. x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf 
hx 0
h

16. x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf 
hx 0
h

17. x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf 
hx 0
h

18. x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf 
hx 0
h

19. x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf 
hx 0
h

20. x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf 
hx 0
h

21. x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf 
hx 0
h

22. x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf 
hx 0
h

23. x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf 
hx 0
h

24. x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf 
hx 0
h

25. x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf 
hx 0
h

26. x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf 
hx 0
h

27. x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf 
hx 0
Tangente!!!

28. Definición de derivada
La derivada de una función es la razón de cambio de dicha
función cuando cambia x, es decir, cuánto cambian los valores
de y, cuando x cambia una cierta cantidad.

29. 29
REGLAS DE DERIVACIÓN
4. Si f es derivable y c constante, se
tiene:
    xfcxcf 

3. Sea f(x) = xn, entonces:
  1
 n
nxxf
n
1. Sea f(x) = k, entonces:
  0 xf
k
D (c) = 0x
2. Sea f(x) = x, entonces:
  1 xf

30. 30
5. Si f y g son funciones derivables y a y b
son constantes se tiene que:
        xgxfxgxf 

 
6. Si f y g son funciones derivables,
entonces la derivada del producto es:
            xgxfxgxfxgxf 

*
Reglas de Derivación

31. 31
Reglas de Derivación
7. Si f y g son funciones derivables y
no es cero, entonces la derivada del
cociente es:
)(xg
)(
)()()()(
)(
)(
2
xg
xgxfxgxf
xg
xf 








8. Si y , entonces la regla
de la cadena se define por:
 n
xgxf )()( 
  )()()(
1
xgxgnxf
n
 
n

32. La función exponencial y=ex y la función
logaritmo natural y= ln x
1 e
e
1
y = ex
y = ln x
x
y

33. Definición:
Si x es cualquier número real, entonces
ln y = x si y sólo si ex = y
Teorema
Si p y q son números reales, entonces
i) ii) iii)qp
q
p
e
e
e 
qpqp
eee 
   pqqp
ee 

34. Derivada de funciones exponenciales
i)
ii)
Derivada de funciones logarítmicas
i)
ii) x
xfxxf
1
)(;ln)( 
   
 xgexfexf xgxg
 )(;)(
   )(
)(
1
)(;ln)( xg
xg
xfxgxf 
xx
exfexf  )(;)(

35. Primeros ejemplos
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos de derivadas,
con la intención de que ustedes vayan deduciendo un
procedimiento (regla) para resolverlas.
xxf 3)( 
3
dx
df
3
)(
3
x
xf 
5
12
)(


x
xf
2
6)( xxf 
2
x
dx
df

x
dx
df
2
5
2

dx
df

36. Regla para encontrar derivadas

dx
df
)x(f
Sea la función:
La derivada de esta función es:
c x n
1n
 

dx
df 1n
cnx

37. Derivadas especiales

dx
df
)x(f
Sea la función:
La derivada de esta función es:
c x 1
11
 

dx
df 0
cx
c
dx
df


38. Derivadas especiales
0
dx
df
cxf )(
Sea la función:
La derivada de esta función es:

39. Ejemplos de derivadas

dx
df
)x(f
Sea la función:
La derivada de esta función es:
5x 3
13
 

dx
df 2
15x

40. Ejemplos de derivadas
)x(f
Sea la función:
La derivada de esta función es:
3 x 4
14 
 

dx
df 3
12x

dx
df

41. Ejemplos de derivadas
)x(f
Sea la función:
La derivada de esta función es:
3
2
 x
5
1
1
5
1

 

dx
df 5
4
15
2 
 x

dx
df

42. Derivada de una suma y diferencia
de funciones
dx
dh
dx
dg
dx
df

)()()( xhxgxf 
Sea la función:
La derivada de la suma o diferencia es:

43. Ejemplos
710  x
dx
df
675)( 2
 xxxf
Sean las funciones:
1651034)( 256
 xxxxxf
5201524 45
 xxx
dx
df

44. Ejercicios propuestos
52
1
)4(
4
3
2
1
)8( 













 xx
dx
df
42
1
4
3
8)( 
 xxxf
Deriva las siguientes funciones:
xxxf 103)( 4
 
xxdx
df 512
5

5
34
xxdx
df


45. Derivada de un producto de
funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el producto de las funciones g(x)
y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.
)x(h)x(g)x(f 
dx
dh
xgxh
dx
dg
dx
df
)()( 

46. Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones
dx
dh
g)x(h
dx
dg
dx
df

)413)(58()( 22
 xxxxf
Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando la regla para derivar productos de funciones
tenemos que
)26)(58()413)(516( 22
xxxxx
dx
df

2323
130208206564208 xxxxx 
2064195416 23
 xxx

47. Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:
)3)(4()( 2
xxxf 
)2)(4()3)(1( 2
xxx
dx
df

22
283 xxx 
383 2
 xx

48. Deriva este otro producto de funciones:
)2)(3()( 2132
xxxxxf  
)4)(3()2)(36( 232214
xxxxxxxx
dx
df
 
253253
412363126 
 xxxxxx
34224 523
 
xxx
Ejercicios propuestos

49. Derivada de un producto de
varios factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se presenta cuando
debemos derivar más de dos factores o términos. Para este caso
debemos seguir la siguiente regla. Consideremos tres factores, es decir
)()()()( xhxgxexf 
dx
dh
xgxexh
dx
dg
xexhxg
dx
de
dx
df
)()()()()()( 
su derivada será:

50. Ejemplo
Derivemos la siguiente expresión:
)5)(2)(3()( xxxxf 
)1)(2)(3()5)(1)(3()5)(2)(1(  xxxxxx
dx
df
)2)(3()5)(3()5)(2( xxxxxx 
)236()32)(5( 2
xxxxxx 
)56()25)(5( 2
xxxx 
22
56251025 xxxxx 
31203 2
 xx

51. Derivadas
Si la función que voy a derivar f(x) es un cociente de funciones g(x) y
h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.
)x(h
)x(g
)x(f 
 2
)(
)(
xh
dx
dh
gxh
dx
dg
dx
df



52. Ejemplo
Consideremos el siguiente cociente de funciones
23
54
)(



x
x
xf
Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y h(x)=3x+2y recordando
la regla para derivar productos de funciones
tenemos que
 2
23
)3)(54()23)(4(



x
xx
dx
df
 2
)(
)(
xh
dx
dh
gxh
dx
dg
dx
df



53. Ejemplo
 2
23
)1512(812



x
xx
dx
df
 2
23
23


x
Es importante recordar que siempre tenemos que llegar a
la mínima expresión, como fue en este caso.

54. Ejercicio propuesto
Sea
1
1168
)(
2



x
xx
xf
2
2
)1(
)1)(1168()1)(616(



x
xxxx
dx
df
2
22
)1(
1168661616



x
xxxxx
2
2
)1(
5168



x
xx

55. Ejercicio propuesto
Sea
1
1
)( 3
3



x
x
xf
23
2332
)1(
)3)(1()1(3



x
xxxx
dx
df
23
2525
)1(
3333



x
xxxx
23
2
)1(
6


x
x

56. Derivadas
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que está elevada a una
potencia n, existe una regla para encontrar la derivada de esta
función.
 n
xhxf )()( 
  







dx
dh
xhn
dx
df n 1
)(

57. Ejemplo
Consideremos el siguiente cociente de funciones
2
)45()(  xxf
Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando la regla de la
cadena
tenemos que
)5)(45(2  x
dx
df
  







dx
dh
xhn
dx
df n 1
)(
)45(10  x
4050  x

58. Ejemplo
Sea
367)( 2
 xxxf
   614367
2
1 2
1
2


xxx
dx
df
 2
1
2
367
37



xx
x
367
37
2



xx
x
La función puede escribirse también de la siguiente forma:
 2
1
2
367)(  xxxf
y
367)( 2
 xxxf
 2
1
2
367)(  xxxf

59. Ejemplo
Sea
23
2
)6(
63
)(
xx
x
xf



 
  



















223
232232
1
23
2
)6(
)63)(6(2)63()6)(6(
)6(
63
2
1
xx
xxxxxxx
xx
x
dx
df
 
















 43
22332
1
2
23
)6(
)63()6(6)6(
63
)6(
2
1
xx
xxxxxx
x
xx
 










 43
24243
2
23
)6(
)36369(366)6(
63
)6(
2
1
xx
xxxxxx
x
xx

60. Ejemplo










 43
24243
2
3
)6(
)36369366)(6(
63
)6(
2
1
xx
xxxxxx
x
xx









 43
423
2
)6(
)363()6(
63
1
2
1
xx
xxx
x









 23
4
2
)6(
363
63
1
2
1
xx
x
x
63)6(
363
2
1
223
4



xxx
x