Calcuclo integral pasito a paso i

En matemática, observamos diversos símbolos, una de ellas es una variante de la letra s
larga, es el símbolo de la integral, f . Su creador Leibniz, lo tomó de la letra inicial de la
palabra latina summa, escrito rumma. En el alfabeto fonético internacional la s alargada,
es llamada esh, f. Además, éste símbolo se le conoce como la antiderivada.
Una función F(x) se denomina antiderivada de otra función f(x) continua sobre un intervalo
conocido, si se cumple la siguiente igualdad:
Sea la función F(x) = x4
una antiderivada de la función f(x) = 4x3
, porque, si diferenciamos
F(x), es decir, F'(x) = 4x3
, será igual que la función original.
Además, la función T(x) = x4
+ 9 , es también una antiderivada de f(x) = 4x3
, porque, si
diferenciamos T(x), es decir, r'(x) = 4x3
+O, será igual que la función original. En general
se cumple lo siguiente:
La suma de F(x) +e, se conoce como antiderivada general de f(x). Veamos la TABLA 2.1:
38
TABlA 2.1: Ejemplos ilustrativos de funciones originales
R(x) =x 3
12
Grupo Editorial Megabyte
r(x) = ~x112
2

Unidad II - Integrales Indefinidas
Ampliando:
Si f(x) = 4x3 las antiderivadas generales son F1 (x) = x4
-7, F2 (x) = x4
+ 2rr, y F3 (x) =
x4 + 120e-rr etc. Obsérvese, los números -7, 2n y 120e-n , son diferentes, y no hacen
variar las funciones F1 (x), F2 (x) y F3 (x), por ello se consideran constantes, y se denotan
por la letra e , de manera usual.
Finalmente, la antú:Wrívaáa genera{ de la función f(x) está dada por: F(x) +e (la letra
e es una constante, e E IRl.). Por lo tanto, es importante mencionar que al calcular la
antiderivada no se obtiene una única función, sino toda una familia de funciones, que desde
el punto de vista geométrico, son curvas paralelas a F(x), veamos la Figura 2.1.
fiGURA 2.1: Ejemplos de antiderivadas generales
2.1.3.A. Definición:
Sea M(x) la antiderivada general de f(x), si se cumple M(x) = F(x) + e, tal que F'(x) =
f(x), entonces a M(x) se le conoce como la integral indefinida de f(x).
Notación de la integral indefinida de f(x), cuando x pertenece a un intervalo conocido:
DEBES SABER QUE: Si diferenciamos la doble igualdad en la definición de la integral
indefinida, tenemos: M'(x) = F'(x) = f(x), a ésta relación se le conoce como yro_píeáaá
funáamenta{ de {as antíderívadás, por tanto, se cumple la siguiente relación:
d[F(x)] = f(x)dx
Veamos los siguientes ejemplos ilustrativos en la TABLA 2.2:
TABlA 2.2: Ejemplos ilustrativos de la integral indefinida
Grupo Editorial Megabyte 39

Gabriel Loa - Cálculo Integral
La integral es indefinida, porque contiene una constante e, que puede tomar cualquier valor
numérico.
2.1.3.8. Notación:
Veamos el siguiente esquema, que representa la notación de la integral indefinida.
FIGURA 2.2: Notación de la integral indefinida
TABLA 2.3: Definición de los elementos de la integral indefinida
diferencial de x.
En conclusión:
El procedimiento para calcular la antiderivada se denomina integración indefinida y se
denota por el símbolo f, denominado operador de integración o antiderivación, de tal forma
que la siguiente expresión: f f(x)dx, se denomina integral indefinida de f(x). Y finalmente,
la integral indefinida se denota por: M(x) = f f(x)dx = F(x) +c.
Existe una interpretación geométrica simple para la propiedad fundamental de las
antiderivadas. Si F y G son derivadas de f , es correcto que: c'(x) = F'(x) = f(x), por lo
tanto, se cumple: 3:.._ f f(x)dx = f(x).
dx
Significa, que la pendiente F'(x) de la recta tangente a y= F(x) en el punto (x, F(x)) es la
misma pendiente c'(x) de la recta tangente a y=G(x) en el punto (x,G(x)), lo cual
implica que las rectas son paralelas, como se muestra en la FIGURA 2.3. En conclusión, la
curva y-= G(x) es paralela a la curva y= F(x), válido para todo x, de manera que se
cumple lo siguiente:
40

FIGURA 2.3: Interpretación geométrica de las antiderivadas
A continuación, se muestra las propiedades más importantes de la integral indefinida.
TABLA 2.4: Propiedades de la integral indefinida
Ejemplos ilustrativos con cada una de las propiedades:
La derivada de la integral
indefinida es igual al
integrando (está resaltado en
negrita).
La antiderivada de f' (x) es
f(x), siempre y cuando f(x)
sea una función derivable en
un intervalo conocido.
integral indefinida se
interpreta como una
operación inversa a la
diferenciación (es equivalente
a I), es decir:
d[f(x)] = f' (x)dx
La diferencial de la integral
indefinida es igual a la
función integrando por la
diferencial de x.
Sea f(x) = 4x3
; determine:~ [f f(x)dx] , aplicamos la propiedad correspondiente:
dx
:x[f f(x)dx] = [f 4x3
dx]' = [x4
+e]' = 4x3
•
Sea f'(x) = 5x4
y f(x) = x 5
, determine: f f'(x)dx, tenemos que, f 5x4
dx = x 5

Sea f(x) = x2 , determine: Jd(f(x)) , entonces tenemos Jd(x2) = x2 + e
Sea f(x) = 7x8
, halle: d[f f(x)dx] , entonces tenemos d[f 7x8
dx] = [f 7x8
dx]'dx = 7x8
dx
Sea f(x), una función derivable, k y e son constantes de la integración indefinida; se
puede observar en la columna izquierda la fórmula e inmediatamente el ejemplo ilustrativo
al lado derecho, para su mejor comprensión; veamos la TABLA 2.5:
TABlA 2.5: Fórmulas básicas de integración
1) Jkdx =.kx +e
3) Jkf(x)dx = kff(:í;)dx
42
JSdy =By+ e
f
dx
--=lnlx-21 +e
x-2
f
3x
3xdx =-+e
ln3
J
dx 1 ¡x-4x2 - 42 = 2(4) In x + 4 +e
f dx 1 ¡x+ 552 - x2 = 2(5) In x- 5 +e
J¡:::::.==d=x== = sen-1 (-x_-_4) +e
)16-(x-4)2 4

Las fórmulas o reglas de integración tienen nombres conocidos como: La fórmula 1, es la
regla de la constante, la número 2, es la regla de la potencia, la número 3, es la regla del
factor constante por una función, la número 4, es la regla exponencial, la número 5, es la
regla logarítmica, y la número 6, es la regla de la suma y diferencia, entre otras.
DEBES SABER QUE:
Amigo lector, si Ud. efectúa la diferenciación del lado derecho, el resultado debe ser igual al
integrando. Veamos la fórmula 1, de la TABLA 2.5: !!.. (kx +e) =!!.. (kx) +!!..(e) =k+ O=
dx dx dx
k , de esta manera, puede verificar su procedimiento, para todas integrales, que realice.
Debo mencionar que uno de los pasos más importantes en la integración es reescribir o
darle la forma adecuada al integrando, en una forma que corresponda con las fórmulas
básicas de integración, siguiendo el patrón de la TABLA 2.6:
TABlA 2.6: Proceso para reescribir el integrando
TABLA 2.7: Ejemplos ilustrativos de cómo reescribir el integrando
(
hl/2)2,4 1/2 +e 4,8h1/ 2 +e
1 2 5 -4
zP -¡P +e
p2 (p-4)-+5- +e
2 -4
3 21
-z7/3 --z4/3 +e
7 4
Demostrar la regla de potencia:
Para comprobar la regla de la potencia, es suficiente demostrar que la derivada de la
función,
_:!___ (xn+l) = (-1-)[(n + 1)xn] = xn
dx n +1 n+ 1

En consecuencia, dado que la derivada de (xn+l) es xn, en sentido contrario, la antiderivada
n+1
de xn es (xn+l) .Por supuesto que la antiderivada general se obtiene sumando la constante
n+1
de integración e.
Ejemplos ilustrativos:
f
1 J r-2
+1 r-1
1
-dr = r-2
dr =---+e=-+ e=--+ e
r 2 -2+1 -1 r
J
1 f t-1/2 +1
-dt = t-1
12
dt = +e= 2Vt + e
Vt (-~+1)
f J f
z0+1
dz = 1dz = z 0
dz =
0
+
1
+e= z + e
Es importante, tomar en cuenta que la variable de integración comúnmente es x , pero
puede ser otra como Ud. puede observar (r, t, z) etc.
Demostrar la regla de la constante por una función: f kf(x)dx =k f f(x)dx , k es una
constante. Para comprobar la regla de la constante, es suficiente demostrar que la derivada
de la derecha, k f f(x)dx es kf(x), de la siguiente manera:
:x [k Jf(x)dx] =k :x [f f(x)dx] = kf(x)
Ejemplos ilustrativos, integración término a término:
dr = - - - + 7 + r dr
J(100- Sr+ 7r
2
+ r
3
) J(100 5 )
r 2 r 2 r
=100fr-2
dr -SJ.!dr+ 7frdr +frdrr
(
r-2+1) r1+1
= 100 -- - Slnlrl + 7r +-+e-1 2
100
Slnlrl + 7r +::.:_+er 2
DEBES SABER QUE:
Amigo lector, las variables no pueden salir del signo integral, es decir; f xe-xdx * x f e-xdx.
La integral de un producto no es el producto de las integrales, así:
Jf(x).g(x)dx =1= Jf(x)dx. Jg(x)dx
44 Grupo Editorial Megabyte

La integración con condiciones iniciales tiene como objetivo determinar la constante de
integración e, empleando para ello el dato inicial del problema denominado condición inicial
CI, 0 también valor en la frontera, de esta manera se conocerá de manera particular la
única función y= f(x) = y(x).
Es decir, cualquier función de la forma f(x) = x2
+ e, tiene su derivada igual al valor 2x.
Note, que debido a la constante de integración e, no se conoce un f(x) único. Sin embargo,
si ¡ tiene un valor particular de x, es posible determinar el valor de e y así conocer
específicamente f(x).
Ejemplo ilustrativo:
Si se conoce que, f(2) = 3, reemplazamos en la ecuación f(x) = x2
+e, f(2) = 22
+e ,
3 = 4 +e, despejamos la constante, e = -1 , por lo tanto, obtenemos la funcíón
yartíeu{ar u orígína[: f(x) = x2
- 1.
Es decir, ahora ya se conoce la función particular f(x) para la cual f' (x) = 2x y !(2) = 3. La
condición f(2) = 3, que da un valor para la función ¡, y un valor específico de x, se
denomina condición inicial.
Ejemplo 1:
Determine f(x), si f'(x) = (x2
+ 1)(4x- 3), con la condición inicial que: !(1) =S.
Pasos:
1. Desarrollando los factores (que está en paréntesis), usando la propiedad distributiva,
obtenemos f'(x) = 4x3
- 3x2
+ 4x- 3. Además, se sabe que f f'(x)dx = f(x), siendo la
antiderivada de f' (x) la función f(x), la cual se obtiene de la siguiente manera:
f(x) = J(4x3
- 3x2
+4x- 3)dx = J4x3
dx- J3x2
dx +J4xdx- J3dx
2. Para calcular la constante e tenemos el valor de frontera que indica que f(1) = S,
reemplazando como f(1) = (1)4
- (1)3
+ 2(1)2
- 3(1) +e ---7 S= -1 +e :. e= 6.
3. Finalmente, e = 6, y la funeíón yartíeu{ar es: f(x) = x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6.
Ejemplo 2:
Determine f(x), si dy = 3x- 4, con la condición inicial (CI), que: f(-1) =
13
~ 2
Pasos:
1. Recordemos que: f f' (x)dx = f(x) + e
Jf' (x)dx = J(~~) dx = J(3x- 4) dx = J3xdx- J4dx = ~x2 - 4x +e

2. Entonces, podemos observar que f(x) = ~x2
- 4x +e, por la condición inicial o de
2
frontera CI, [x = -1 y f( -1) = ~] , reemplacemos en f(x): f( -1) = %(-1)2
- 4(-1) +e =
~: obteniendo, e = 1.
3. Finalmente, la antiderivada o función particular u original de 3x- 4 , está dado por la
función, f(x) = ~x2
- 4x + 1.
2
Ejemplo 3:
Una compañía actualmente produce 150 unidades por semana de un producto. Por
experiencia, saben que el costo de producir la unidad x, en una semana (esto es, el costo
marginal) está dado por: C'(x) = 25- 0,02x. Determine el costo extra (es decir, el
incremento), por semana que deberá considerarse al elevar la producción de 150 a 200
unidades, es decir, nos piden: [C(200)- C(150)].
Pasos:
1. El costo marginal C'(x), es la derivada de la función de costo C(x). En consecuencia,
calculemos primero, la función de costo, el cual se obtiene integrando la función de costo
marginal.
C(x) = JC'(x)dx = J(25- 0,02x)dx
C(x) = 25x- 0,02 (x
2
2
) +e
C(x) = 25x- 0,01x2
+e
2. En este ejemplo no es necesario obtener e, tampoco tenemos la información para
calcularlo. Nos piden hallar el incremento en el costo [C(200)- C(150)], que resulta de
elevar la producción x, de 150 a 200.
3. Calculemos la función de costo para 200 unidades y para 150 unidades, luego lo
restamos, de esa manera la constante e se elimina, así:
C(200) = 25(200)- 0,01(200) 2
+e ~ C(200) = 4 600 +e
C(150) = 25(150)- 0,01(150)2 +e ~ C(150) = 3 525 +e
C(200)- C(150) = (4 600 +e)- (3 525 +e)
C(200)- C(150) = 1 075
4. Finalmente, el incremento en el costo semanal sería $1 075. Nótese que la constante
desconocida e, no aparece en la respuesta final.
Ejemplo 4:
El ingreso marginal de la empresa TESIL S.A, fabricante de casacas de cuero, de la marca
PERÚ, que exporta a Europa y Canadá, está dado por la siguiente ecuación:
R' (x) = 15 - 0,01x
a.- Determine la función de ingreso R(x).
b.- Encuentre la función de demanda (precio p), para el producto bandera de la empresa
TESIL S.A.

Pasos:
1. La función de ingreso R(x), es la integral de la función de ingreso marginal R'(x). Así
que:
R(x) = JR'(x)dx = J(15- 0,01x)dx = 15x- 0,01 (~
2
) +e
R(x) = 15x- 0,005x2
+e
2. A fin de determinar e, tomemos en cuenta que si no hay ingreso, entonces el ingreso
debe ser cero, es decir, R(x) = O, y esto se establece cuando no se venden unidades
(x =O). Ahora, reemplazamos en la ecuación de ingreso R(x) hacemos x = O---> R(O) =O,
obteniendo:
R(x) = 15x- 0,005x2
+e---> O= 15(0)- 0,005(0)2
+e , entonces, e= O
Por consiguiente, la función de ingreso R(x) está dado por: R(x) = 15x- 0,005x2
.
3. Si cada artículo que la empresa produce se vende a un precio p, entonces el ingreso R,
obtenido por la venta de x artículos está dado por R(x) = px. Recuerde amigo lector, que el
ingreso total (R), está dado por el precio de venta, en este caso p, multiplicado por la
cantidad del artículo producido x.
4. Entonces, la estrategia es igualar las dos ecuaciones, de la siguiente manera:
R = px = 15x- 0,005x2
, despejando p , para obtener la relación de demanda para el
producto de la empresa: p = 15- 0,005x.
5. Finalmente, la función de demanda para el producto bandera de la empresa TESIL S.A.
está dado por la ecuación; p = 15- 0,005x.
Ejemplo 5:
La Empresa Agroindustrial Dulcito S.A.A. está abocada a la siembra y procesamiento de
caña de azúcar y comercialización de productos derivados de la caña; como el azúcar,
alcohol, melaza y bagazo. Su ingreso marginal está dado por la siguiente ecuación:
R' (x) = 28 - 0,02x
Determine la función de ingreso.
Pasos:
1. De forma similar al ejemplo anterior, la función de ingreso R(x), es la integral de la
función de ingreso marginal R' (x). Así que:
R(x) = JR'(x)dx = J(28- 0,02x)dx = 28x- 0,02 (~
2
) +e
R(x) = 28x- 0,01x2
+e
2. Para determinar e, consideremos que no hay ingreso, es decir, el ingreso debe ser cero,
R(x) =O.
3. Reemplazamos en la ecuación de ingreso R(x), haciendo x = O...... R =O, obteniendo:
R(x) = 28x- O,Olx2
+e---> O= 28(0)- 0,01(0)2
+e , entonces, e= O
4. Finalmente, la función de ingreso, R(x) es: R(x) = 28x- O,Olx2 •

Usando las fórmulas básicas de integración, encuentre las integrales indefinidas:
En los ejercicios 11 al 14, determine la función f(x) si la recta tangente tiene las siguientes
pendientes (recuerde que la derivada es la pendiente de la recta tangente en un punto
determinado).
11.- 4x2
12.- 2x3
13.- 0,75x: ................. .
14.- e8
x : ................. .
15. -Amigo lector complete la propiedad de la definición de la integral indefinida:

16. -Para desarrollar los ejercicios Ud. debe conocer la estructura de una integral, se le pide
completar los elementos:
.;·~···~1
17. -Resuelve el ejercicio:
JxP dx = . . . . . . · . . . · · · · p * -1
18. -Aplique la propiedad correspondiente:
19. -Complete el espacio en blanco en la siguiente expresión matemática:
Jx10
dx = ~ x11
+e
[]
20. -Mencione si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F):
-Si g(x) = 20x3
, entonces algunas de sus antiderivadas son:
G(x) = Sx4
+ 5 ; H(x) = Sx4
- 41, ( )
- Sea la integral indefinida:
Jd (H(x)) = H(x) ; (
- La integral de un producto, es el producto de las integrales, así:
Jf(x). g(x)dx = Jf(x)dx. Jg(x)dx ; ( )
21.- Complete las siguientes fórmulas:
A. Si f(x) = 9x11
; determine:
:JJf(x)dx] =
B. Si f(x) = x8
; determine:
Jd(f(x)) =
C. Si f(x) = f¡x6
; determine:
d [f f(x)dx] =
D. Si h(x) = xe-sx; determine: d [f h(x)dx] =

Aplicación en Matemática
Problema 0:1.
familia de curvas: Se tiene una familia de curvas, y en cualquier punto (x ,y) de dichas
curvas, pasa una recta tangente que tiene una pendiente igual a 4x- S. Determine la
ecuación de las curvas.
Primer paso:
Tenemos la pendiente de la recta tangente denotado como mtan, en cualquier punto (x ,y),
este dato es la derivada de la función y= f(x), así:
dy
mtan = dx = 4x - S
Segundo paso:
Separamos las variables, es decir, despejamos dy para escribir la ecuación con diferenciales
(darle la forma), y aplicar la integral, en cada miembro (se antiderivan):
dy = (4x- S)dx
Jdy= Jc4x-S)dx
Aplicamos las reglas básicas de integración que aparecen en la TABlA 2.S, y obtenemos:
y+ e1 = 4 ( ~
2
) - Sx + e2
y = 4 ( x
2
2
) - Sx +c2 - c1
DEBES SABER QUE:
Amigo lector, esta diferencia de constantes arbitrarias e2 - e1 se debe reemplazar por una
única constante arbitraria e , no altera el resultado:
y = 4 ( ~
2
) - Sx + e2 - e1
y = 4 ( ~
2
) - Sx + e
Tercer paso:
Obtenemos la solución completa de la derivada:

solución:
dy
- = 4x - S 4 y = 2x2
- Sx + e
dx
Finalmente, la ecuación de las familias de curvas está dado por: y= 2x2
- Sx +c.
Aplicación en Administración
Problema 02
Producción de lápices: La gerencia comercial de una compañía dedicada a la fabricación
de lápices exclusivo para niños, presenta su informe mensual de la venta de este producto,
en la cual la función de costo marginal e' está dado por:
, 1
e (x) = zox-z +1
donde e(x) dólares, es el costo total de producción de x unidades de lápices. Determine la
función de costo total que permita a la gerencia general tomar la mejor decisión en bien de
la compañía.
Primer paso:
Se conoce la derivada del costo marginal, e'(x) y tenemos que hallar la función de Costo
total C(x), para ello integramos en ambos miembros de la igualdad, de la siguiente manera:
e' = zox-~ + 14 Je'(x) = J(zox-~ + 1)dx
Segundo paso:
Aplicamos las reglas básicas de integración, y obtenemos:
Solución:
1
x-;;:
e(x) = 20 1 + x +e
2
Finalmente, el costo total para la toma de decisiones será:
1
e(x) = 40xz + x +e
Problema 03
Del problema anterior, si el costo de producción de 3 600 unidades es $10 500, determine:
a) La constante e.
b) La función costo total.
e) El costo de producción de 10 000 lápices.
Gmpo Editorial Megabyte 51

Primer paso:
Conocido la función de costo total, evaluamos la función, para 3 600 unidades (x =
3 600), cuando el costo es de $10 500, [C(3 600) = 10 500], así:
1
C(3 600) = 40(3 600)2 + 3 600 +e ---? 10 500 = 6 000 +e
:. e= $4 500
Segundo paso:
Ahora reescribiremos la nueva función de costo total, conociendo la constante, e = $4 soo:
C(x) = 40xi + x + 4 500
Tercer paso:
Ahora, podemos evaluar la función para 10 000 lápices, y de esta manera aprobar o no, el
proyecto en el corto plazo.
C(x) = 40xi + x + 4 500
1
C(10 000) = 40(10 000)2 + 10 000 + 4 500
C(10 000) = $18 500
Solución:
Finalmente, la gerencia comercial, luego de realizar un análisis serio, estima que el costo
total de producir 10 000 lápices asciende a 18 500 dólares, por lo tanto, el proyecto es
viable para los próximos meses, comercializándose en diversos mercados del mundo,
obteniendo una ganancia por volumen de producción.
Aplicación en física
Problema 04
Desaceleración de un vehículo: Un vehículo motorizado ViaJa en línea recta, en el
instante que el conductor se ve forzado a aplicar los frenos para evitar atropellar un perrito,
que cruzaba en ese momento. Si los frenos proporcionan una desaceleración constante de
22 pi~s (pies por segundo, por segundo), y la constante de integración de la velocidad es
S
66 pies, determine:
S
a) La ecuación de la velocidad.
b) La ecuación de la distancia, antes de detenerse por completo.
Primer paso:
Recordemos, cuando un objeto se desplaza en línea recta, su aceleración es la derivada de
la velocidad con respecto al tiempo, y está dada por: a = dv
dt

segundo paso:
De acuerdo a la información el vehículo motorizado, desacelera a 22 P;;s, por lo tanto, se
considera negativo, así:
Tercer paso:
dv
- = a(t) = -22
dt
Despejamos la diferencial de velocidad dv, integramos en ambos miembros de la igualdad,
y reemplazamos el valor de la constante de integración, e= 66,
Entonces tenemos:
Cuarto paso:
dv = -22dt
Jdv = J-22dt
v(t) = -22t +e
v(t) = -22t + 66
Cuando un objeto se desplaza en línea recta, su velocidad, es la derivada de la distancia con
respecto al tiempo, y está dada por:
Quinto paso:
ds
V=-= -22t + 66
dt
Despejamos la diferencial de la distancia, ds, integramos en ambos miembros de la
igualdad, tal como se muestra:
Jds = J(-22t + 66)dt
S = -11t2
+ 66t + k
Recuerde, k, es constante de integración de la distancia,
Solución:
Finalmente, estimado lector llegamos al final de este problema, las respuestas son:
a) v(t) = -22t + 66 y b) s = -11t2
+ 66t +k
Aplicación en Biología
Problema 05
Bacterias: Científicos de una universidad en los Estados Unidos, dedicados a la
investigación de microorganismos unicelulares, determinaron que la población P(t) de una
colonia de bacterias, t horas después de iniciar la observación, tiene una razón de cambio
del número de bacterias por tiempo de acuerdo a la siguiente fórmula:
dP
- = 200e0,1t + 150e-o,o3t
dt

Si la constante de integración de la población de bacterias es de 353 000, determine:
a) La ecuación de la población en el tiempo t.
b) Si la población era de 350 000 bacterias cuando se inició la observación, ¿cuál será la
población 5 horas después?
Primer paso:
Despejamos la diferencial de población, dP, integramos en ambos miembros de la igualdad:
dP = (200e 0·1t + 1Soe-0•03 t)dt
JdP = J(200e 0
•
1
t + 1Soe-0
•
03
t)dt
Segundo paso:
Aplicamos las reglas básicas de integración y obtenemos:
P(t) = 2 000e0
•
1
t- S 000e-0•03 t +e
Tercer paso:
Ahora reescribiremos la nueva función de la población de bacterias, conociendo la constante
de integración, e= $3S3 000:
P(t) = 2 000e0·1t - S 000e-0•03t + 3S3 000
Cuarto paso:
Al inicio de la observación tenían 350 000 bacterias en t = O, pero, luego de 5 horas serán
(t =S):
P(S) = 2 000e0•1 (5) - S OOoe-0•03 (5) + 3S3 000
:. P(S) = 3S6 297
Solución:
Finalmente, luego de 5 horas de observación la población de bacterias aumentó en 6 297.
Aplicación en Física
Problema 06
Aceleración de la gravedad: Un momento culminante en la historia de la física fue el
descubrimiento realizado por Isaac Newton acerca de la Ley de la Gravitación Universal.
En este escenario, la aceleración de la gravedad cerca de la superficie de la Tierra es 9,8
Esto es, la velocidad v, de un objeto que cae libremente en el vacío cambia a razón de:
54
dv m
-d =9,82
t S
m
;z·

Halle la ecuación de la velocidad y el espacio recorrido por el objeto que cae libremente en
el vacío, considerando los postulados de Newton, publicados en su libro, Principios
matemáticos de filosofía natural.
Primer paso:
Despejemos la diferencial de la velocidad dv, integramos en ambos miembros de la
igualdad:
dv = 9,8dt
Jdv = J9,8dt
Amigo lector, sin ammo de confundir, sólo con el afán de entender el proceso de
integración, menciono: en cada miembro de la igualdad se genera una constante, de esta
forma:
v + e1 = 9,8t + e2
Para simplificar el proceso, ambas constantes se sustituyen como una sola, así:
v = 9,8t +e
Siendo la ecuación de la velocidad del objeto que cae libremente en el vacío:
v(t) = 9,8t +e
Segundo paso:
Sabemos que la ecuación de velocidad, está dado por: v = ds , y en el problema la
dt
velocidad calculada es: v(t) = 9,8t +e, por lo tanto, igualemos, ambas ecuaciones de
velocidad:
ds
v = -= 98t+e
dt '
Despejamos la diferencial de la distancia, ds, integramos en ambos miembros de la
igualdad, así:
Jds = J(9,8t + e)dt
S = 9,8 e;)+et +k
Ahora, k es la constante de integración de la distancia.
Solución:
Finalmente, estimado lector llegamos al final de este problema, las respuestas son:
a) v(t) = 9,8t +e
b) s = 4,9t2
+ et + k

DEBES SABER QUE:
Amigo lector, los descubrimientos de Newton acerca de la luz y el movimiento de los
planetas, permitió realizar los primeros vuelos espaciales. Era un apasionado en descubrir
los significados ocultos de la biblia.
Problema 07
Conociendo la derivada: Se pide determinar la función particular u original f(x), si se
conoce la derivada f'(x) = dy = Sx- 2, con la condición inicial (CI), que f(O) = 9.
dx
Primer paso:
Para iniciar el desarrollo de la resolución, tenemos que tener presente la propiedad:
Jf' (x)dx = f(x) +e
Segundo paso:
Como la derivada de la función f(x), es conocido, reemplazamos en la propiedad de la
siguiente manera:
Jf' (x)dx = J(:~) dx = J(Sx - 2) dx
Tercer paso:
Desarrollamos la integral término a término, como se muestra:
+e
Cuarto paso:
f(x)
Entonces, podemos observar que f(x) = ~x2
- 2x +e, y por la condición inicial o de
frontera, CI, [x =O y f(O) = 9], reemplazamos en f(x), para hallar e, así:
S
f(O) = z-C0) 2
- 2(0) +e _, 9 =O+ e :. e= 9.
Solución:
Finalmente, reemplazando nuevamente en la función f(x), tenemos la función particular u
original, el cual está dado por: f(x) = ~x2
- 2x + 9.
2
Problema 08
Conociendo la derivada y la CI de una función: Se pide determinar la función particular
u original y(x), si se conoce la derivada y'(x) = Jx, con la condición inicial, CI, que
y(4) = 18.

Primer paso:
La estrategia es similar al anterior, es decir conocer y aplicar correctamente la siguiente
propiedad:
Jf' (x)dx = f(x) +e
Segundo paso:
como la derivada de la función y(x) = f(x), es conocido, reemplazamos en la propiedad:
Tercer paso:
Reescribimos la derivada, para desarrollar la integral, así:
Jy'(x)dx = J4x-1
12
dx = 8x 1
12
+e
Cuarto paso:
Entonces, podemos observar que la función y(x) = 8x1
12
+e, por la condición inicial, CI,
tenemos [x = 4 , y(4) = 18] , reemplazamos en y(x), tal como se observa:
y(4)= 8(4) 112
+e---> 18=16+e :.e=2
Solución:
Finalmente, reemplazando nuevamente en la función y(x), tenemos la función particular u
original: y(x) = 8x112 + 2.
Aplicación en Biología
Problema 09
Dieta para roedores: Un grupo de biólogos estudió los efectos alimenticios en ratas que
fueron alimentadas con una dieta rica en 10% de proteína. La proteína consistió en levadura
Y harina de maíz. El grupo encontró que en cierto periodo, la razón de cambio aproximada
del aumento promedio de peso (G, en gramos) de una rata con respecto al porcentaje P de
levadura en la mezcla proteínica fue:
dG P
dP =-
25
+ 2 ; O~ P ~ 100
Si G(10) = 38 entonces P = 10, encuentre G(P).
Primer paso:
Integramos la razón de cambio aproximada del aumento promedio de peso de una rata, con
respecto al porcentaje P de levadura en la mezcla proteínica, es decir, dGfdP'

fG'(P)dP = J(:~) dP = J(-:S+ 2 ) dP
Segundo paso:
Desarrollamos la integral término a término, de la siguiente manera:
JG'(P)dP = J-:SdP + JZdP
J
p2
G'(P)dP =-SO+ ZP +e
Tercer paso:
p2
Entonces, podemos observar que G(P) = -so+ ZP +e, y por la condición inicial o de
frontera, CI, [P = 10 y G(10) = 38], reemplazamos en G(P), así:
(10) 2
G(10)=-5()+2(10)+e-> 38=18+ e :.e=20
Solución:
p2
Finalmente, reemplacemos nuevamente en la función G(P), obteniendo, G(P) = -so+ ZP +
20.
Aplicación en Economía
Problema 10
Elasticidad de la demanda: Un productor de tomates de una zona rural en la Lima, ha
determinado que la función de ingreso marginal, es:
dr
- = 100- 3q2
dq
Encuentre la función de demanda p(q).
Primer paso:
Amigo lector, la estrategia para resolver este problema, es determinar el ingreso r, a partir
de la función del ingreso marginal , dr.
dq
Jr' (q)dq = J(::)dq = J(100- 3q
2
) dq
Segundo paso:
Desarrollamos la integral término a término, de la siguiente manera:
Jr'(q)dq = J100dq- J3q2
dq -> Jr'(q)dq = 100q- q3
+e-> r(q) = 100q- q3
+e

Tercer paso:
Entonces, podemos observar que la función ingreso es, r(q) = lOOq- q3
+e, en este caso,
no contamos con la condición inicial CI, por tanto, se asume lo siguiente: si no hay
producción (q = O) entonces no hay ingresos, r(q) =O para el productor de tomates, por lo
tanto, [q = O y r(O) =O], reemplazamos en la función de ingreso r(q):
r(q) = lOOq- q3
+e --7 r(O) = 100(0)- (0) 3
+e --7 O= O+ e :. e= O
Entonces obtenemos e= O, luego, la función de ingreso queda expresada, así:
r(q) = lOOq- q3
Cuarto paso:
A continuación, calculamos función de demanda p, para ello recordemos amigo lector, que
el ingreso es el producto del precio de venta del artículo p por la cantidad de artículos
producidos q, reemplazamos en la función de ingreso, y despejamos la función de demanda
p, de la siguiente manera:
r(q) = p.q
r(q) =p. q = lOOq - q 3
Despejando p obtenemos: p(q) = 100- q2
Solución:
Finalmente, la función de demanda p(q), está dado por la función, p(q) = 100- q2 .
Aplicación en Economía
Problema 11
Dem<llnda de la elasticidad del producto: Del problema anterior, determine la demanda
de la elasticidad del producto n, cuando el número de tomates sea cinco unidades.
Primer paso:
Recordemos que la demanda de la elasticidad del producto denotado por la letra griega eta
r¡, se determina de la siguiente manera:
Ahora, se sabe que el número de artículos es cinco unidades, es decir q = 5; luego
procedemos a determinar la función de demanda p(q), evaluada en q = 5, así:
Como, p(q) = 100 - q2
, entonces p(5) = 100 - (5)2 --7 p(5) = 75.
Segundo paso:
Procedemos a diferenciar la función de demanda p(q) respecto a la cantidad producida q,
dp d
dq : p(q) = 100- q2
--7 ....E..= -2q, y luego evaluemos en q = 5, así:
dq

dp dp dp
- = -2q---> -(5) = -2(5) ---> -(5) = -10
dq dq dq
Tercer paso:
Reemplacemos en la demanda de la elasticidad del producto r¡, como sigue:
p 75
- _!/_ ---> - _s_
r¡ - dp r¡ - -10
dq
Solución:
Finalmente, vemos que la función de demanda de la elasticidad del producto r¡, está dado
por: r¡ = -~ , como r¡ < 1 , quiere decir, que se trata de una demanda inelástica o rígida,
2
esto significa: que el producto tiene un amplio margen de subida del precio, aumentando el
ingreso de los productores y que una bajada en el precio reduce sus ingresos,
manteniéndose la demanda, así por ejemplo, si el precio del pan sube o baja, la gente sigue
consumiendo.
Aplicación en Medicina
Problema 12
Tejido fluido: Para estudiar el comportamiento de la sangre en las arterias, un grupo de
médicos brasileños, simulan dicho comportamiento como el flujo de un fluido en un tubo
delgado de un material similar a la arteria, de radio constante R, que contiene un tubo
concéntrico de radio r, donde O:::; r:::; R. La velocidad V del fluido es una función de r y
está dada por:
J
(Pt- P2 )r
V= - dr
ZL!l
donde, P1 y P2 son las presiones en los extremos del tubo, J.1 (una letra griega que se lee
"eta") es la viscosidad del fluido y L es la longitud del tubo.
Si V= O entonces r =R. Demuestre que:
Primer paso:
Estimado lector, sería importante que Ud. conozca algunas características de la sangre, es
un tejido fluido que circula por capilares, venas y arterias de todos los vertebrados e
invertebrados. Su color rojo característico es debido a la presencia del pigmento
hemoglobínico contenido en los eritrocitos. Es un tipo de tejido conjuntivo especializado,
tiene una fase sólida (incluye a los glóbulos blancos, los glóbulos rojos y las plaquetas) y
una fase líquida, representada por el plasma sanguíneo.
Luego, de esta introducción, vamos a desarrollar la integral, pero antes, puede observar en
la ecuación de la velocidad V, del fluido, es una función de r, esto quiere decir que los
demás términos como: P1 y P2 , que son las presiones en los extremos del tubo, 11 es la

viscosidad del fluido y L es la longitud del tubo, son constantes, por lo tanto, salen fuera
del signo integral, de la siguiente manera:
f
(P1 - P2)r (P1 - P2) fV= - dr =- rdr
ZL~ ZL~
Ahora, si podemos integrar de una forma más sencilla:
V = - r dr = - - + e
(Pl - Pz) f (P1 - P2 ) (r2
)
ZL~ ZL~ 2
Luego, la velocidad V, del fluido sería:
Segundo paso:
Conociendo la ecuación de la velocidad V del fluido, V=- (P
1
-Pzl (C_) +e, utilicemos la
ZL¡.t 2
condición inicial, CI, [Si r = R entonces V= 0], reemplacemos en V, obteniendo:
Entonces, obtenemos la constante de integración e:
Tercer paso:
Sustituyendo nuevamente en la función de la velocidad V del fluido, resulta:
Cuarto paso:
Factoricemos el término común (P
1
-Pzl y ordenando los parámetros, obteniendo la ecuación
4L¡.t
pedida:
Solución:
Finalmente, el proceso finaliza con la demostración de la velocidad V del fluido de radio
constante R, que contiene un tubo concéntrico de radio r, donde O::::; r::::; R, que simula el
comportamiento de la sangre en la arteria:

Problema 13
Olimpiada Matemática: En un concurso de matemática realizado en Estocolmo, Suecia,
clasificaron estudiantes de quinto de secundaria de países de Sudamérica y Europa. Una de
las preguntas de dicho exámen fue la siguiente:
Determine la función f(x) cuya tangente tiene una pendiente de 3x2
+ 7, para cada valor de
x, cuya gráfica pasa por el punto (1, S)
Primer paso:
Amigo lector, recuerde usted que la pendiente de la recta tangente en un punto
cualesquiera (x,f(x)), es la derivada de la función f(x), por lo tanto, tenemos:
f'(x) = 3x2
+ 7
Segundo paso:
La funcion buscada f(x) viene a ser la antiderivada, veamos:
f(x) = Jf'(x)dx = J(3x2
+ 7) dx --..¿ f(x) = x3
+ 7x +e
Tercer paso:
Para determinar la constante e , tomamos en cuenta que la gráfica de la función f(x) pasa
por el punto (1, 5). Es decir, se sustituye x = 1 --..¿ f(1) = 5 en la ecuación anterior
despejamos la constante de integración e, así:
f(x) = x3
+7x +e--..¿ 5 = 13
+7(1) +e --..¿e= -3
Solución:
Finalmente, la función buscada es f(x) = x3
+ 7x- 3.
Problema 14
Pizarras vitrificadas: Melamitec E.I.R.L. es una importante empresa peruana dedicada a
la fabricación de muebles en general, con diseños computarizados a gusto del cliente,
siendo las pizarras vitrificadas uno de sus trabajos. Dichas pizarras presentan las siguientes
características: una pantalla de proyección y presenta una superficie magnética de acero
vitrificado a sooac con garantía de por vida. Además, son resistentes, ideales para lugares
de uso continuo, como centros educativos, academias y universidades. La gerente general
la Sra. Vanesa Jesús, ha determinado que su costo marginal en dólares por unidad, es el
siguiente:
3x2
- 60x + 380
donde x es el número de pizarras producidas. El costo total de producción de las primeras
dos pizarras es $900. ¿cuál es el costo total de producción de media docena de pizarras,
considerando todos los costos ascociados?

Primer paso:
Amigo lector, recuerde que el costo marginal CM, es la derivada de la función costo total
c(x), el cual se expresa de la siguiente manera:
dC
dx = 3x
2
- 60x + 380
Segundo paso:
El costo total C(x) viene a ser la antiderivada, veamos:
C(x) = J:~ dx = J(3x2
- 60x + 380)dx --... C(x) = x 3
- 30x2
+ 380x +e
Tercer paso:
Para determinar el valor de la constante de integración e , utilizamos la siguiente
información: las primeras dos pizarras cuestan $900, quiere decir que C(2) = 900,
reemplazamos en la ecuación:
C(x) = x3 - 30x2
+ 380x +e--... C(2) = 23
- 30(2)2 + 380(2) +e --... 900 = 648 +e--... e = 252
Cuarto paso:
El costo de la producción de media docena (x = 6) de pizarras vitrificadas será:
C(x) = x 3
- 30x2
+ 380x + 252
C(6) = 63
- 30(6) 2
+380(6) +252 --... C(6) = 1 668
Solución:
Finalmente, el costo total de producción de media docena de pizarras vitrificadas es $1 668.
Aplicación en Ingeniería Pesquera
Problema 15
Harina de pescado: La harina de pescado es un producto obtenido del procesamiento de
pescados, eliminando su contenido de agua y aceite. Se estima que para el año 2 014 los
requerimientos de harina de pescado se elevarían en 4 millones de toneladas métricas
debido a la variedad de aplicaciones de éste producto industrial marino. Un intermediario
recibe 8 toneladas de harina de pescado que se consumirán en cuatro meses
aproximadamente a un ritmo de 2 toneladas por mes. Debido al volumen del cargamento
los costos de almacenamiento es un céntimo por kilogramo al mes. ¿cuánto pagará el
intermediario en los costos de almacenamiento durante dos trimestres?
Primer paso:
En primer lugar definimos C(t) como el costo total de almacenamiento en soles durante t
meses. El cargamento en kilogramos de harina de pescado almacenados después de t
meses está dado por la siguiente fórmula: 8 000-2 000 t.

Segundo paso:
Para determinar la tasa de cambio del costo de almacenamiento con respecto al tiempo
dC/dt realizamos el siguiente análisis:
- Si el costo total mensual por kilogramo es un céntimo, en soles, equivale a 0,01 soles.
- El cargamento en kilogramos de harina de pescado almacenados después de t meses está
dado por: 8 000 - 2 000 t
Entonces la tasa de cambio de costo de almacenamiento con respecto al tiempo estaría
dado por la siguiente fórmula:
dC
dt = (0,01)(8 000- 2 000 t)
Tercer paso:
Calculamos C(t) que es una antiderivada, la cual se obtiene de la siguiente manera:
C(t) = f~~ dt = f(0,01)(8 000- 2 000 t) dt -> C(t) = 80t- 10t2
+e
Cuarto paso:
Para determinar la constante de integración e, se entiende que, cuando llega el cargamento
de harina de pescado el tiempo es igual a cero (t = 0), es decir, no hay costo, C(O) =O, por
tanto tenemos:
C(t) = 80t- 10t2
+e
C(O) = 80(0) - 10(0)2
+e -> O= O+ e :. e = O
Entonces la función costo total de almacenamiento en soles durante t meses queda
expresado como:
C(t) = 80t- 10t2
Quinto paso:
Para determinar los costos de almacenamiento de dos trimestres t = 6, reemplazamos en la
ecuación anterior:
C(6) = 80(6)- 10(6)2
-> C(6) = 120
Solución:
Finalmente, el intermediario pagará por los costos de almacenamiento durante dos
trimestres, la suma de 120 soles.
Aplicación en Física
Problema 16
Tren bala: Los japoneses fueron los pioneros de la alta velocidad ferroviaria en el mundo
con su tren bala o "Shinkansen" en la década de 1 960, que alcanzan velocidades superiores
a 200 km/h. El tren de alta velocidad es uno de los vehículos de transporte más seguros del
mundo y el que menos víctimas mortales produce, superando incluso al avión. Se
fundamenta en la levitación magnética. En un recorrido de prueba por una ciudad japonesa,

el tren bala tiene una velocidad en el instante t, el cual se modela mediante la siguiente
función: v(t) = 7,4 t.
Determine la función de posición del tren bala. Suponga que al inicio del recorrido de
prueba, el tren bala está ubicado en la estación de la línea ferroviaria.
Primer paso:
Definamos la posición del tren en cualquier instante t, como e(t) de tal manera que al
diferenciar la posición del tren bala obtenemos su respectiva velocidad, v(t) de la siguiente
manera:
e'(t) =v(t)
Segundo paso:
Por lo tanto, podemos escribir la velocidad como:
e'(t) = 7,4 t
Para determinar la función de posición integramos la derivada de la función posición, así:
e(t) = Je' (t) dt = J7,4 t dt = 3,7 t 2
+e
Tercer paso:
Para calcular la constante arbitraria e usamos la condición inicial, e(O) =O, entonces:
e(t) = 3,7 t2
+e
e(O) = 3,7 (0)2
+e-> e= O
Solución:
Finalmente, la función de posición del tren bala queda expresada como: e(t) = 3,7 t 2
.
Aplicación en Ingeniería Industrial
Problema 17
Mi revista favorita: La revista "con criterio" es la publicación semanal de análisis y opinión
más importante de Uruguay, siendo la empresa editorial más sólida de América Latina. Hoy
en día se ha convertido en una publicación que se destaca en el continente debido a los
diversos reconocimientos y premios internacionales, por su periodismo con carácter, su
capacidad investigativa y su independencia.
La circulación de esta revista es de 8 000 ejemplares por semana. Gracias a la demanda de
sus lectores se espera que la circulación de ejemplares por semana aumente a razón de:
6 t213 +5
donde t se expresa en semanas a partir de hoy durante los próximos dos años. Con base a
está proyección, ¿cuál será la circulación de la revista "con criterio" dentro de 180
semanas?

Primer paso:
Definamos la circulación de la revista "con criterio" dentro de t semanas, como M(t), de tal
manera que al diferenciar la circulación de la revista obtenemos la razón de cambio de
circulación de la revista por semana M'(t), como sigue:
M'(t) = 6 t 213 +S
Segundo paso:
Por tanto, podemos escribir la circulación de la revista Valentino dentro de t semanas como:
M(t) = fM'(t)dt = f(6 t 2
13
+S) dt ---7 M(t) = 6 (~~;) + St +e :. M(t) =
1
SS t
5
13
+ St +e
Tercer paso:
Para determinar la constante arbitraria e, usemos la condición inicial, M(O) =S 000,
entonces:
1S 1S
M(t) = - t5
13
+ St +e ---7 M(O) = -(0)5
13
+ S(O) +e ---7 S 000 =O+ e :. e= S 000
S S
Cuarto paso:
La circulación de la revista Valentino dentro de t semanas, queda expresado como:
Quinto paso:
1S
M(t) = - t5
13
+ St + 8 000
S
Para determinar la circulación de la revista dentro de 1SO semanas reemplazamos en la
ecuación anterior para t = 1SO:
1S
M(1SO) =S (1S0) 5
13
+ S(lSO) + 8 000 ---7 M(1SO) = 29 SSS
Solución:
Finalmente, la circulación de la revista "con criterio" dentro de 1SO semanas será de 29 558
revistas.
Aplicación en Sociología
Problema 18
Nivel de empleabilidad: En la actualidad contamos con el mayor número de personas
educadas y capacitadas que ha existido en nuestra historia pero, al mismo tiempo, los
volúmenes de desempleo y subempleo también son mayores. Es por ello, que un grupo
multidisciplinario principalmente por científicos sociales realizaron una investigación acerca
del ingreso anual promedio y (en dólares) que una persona de un grupo urbano particular
con x años de educación obtendrá al encontrar un empleo ordinario. Estimaron que la razón
del ingreso anual promedio con respecto a los años de educación está dada por:
66
dy
- = 120x312 ; 4 :::; x:::; 16
dx

donde y= 32 000 cuando x = 10. Encuentre el ingreso anual promedio actual.
Primer paso:
Debemos obtener la función del ingreso anual promedio y, para ello despejamos la
diferencial de y 1 e integramos tal como se muestra a continuación:
dy = 120x3
12
dx ~y= J120x3
12
dx = 120 Jx3
12
dx ~y= 48x5
12
+e
Segundo paso:
Para determinar la constante arbitraria e1 usamos la condición inicial siguiente: y = 32 000
cuando x = 10, entonces tenemos:
y= 48x5
12
+e~ 32 000 = 48(10)5
12
+e~ e = 16 821
Tercer paso:
Por lo tanto, la función del ingreso anual actual está dada por: y = 48x5
12
+ 16 821
Solución:
Finalmente, la función del ingreso anual promedio actual es: y= 48x5
12
+ 16 821.
Aplicación en Ingeniería de Sistemas e Informática
Problema 19
TI: La Tecnología de la Información son herramientas y métodos empleados para recabar,
retener, manipular o distribuir información, y se encuentra generalmente asociada con las
computadoras y las tecnologías afines aplicadas en la toma de decisiones. Es por ello, que la
empresa Intec S.A.C. viene fabricando dispositivos electrónicos como las tarjetas
electrónicas para ser aplicados en diversas actividades económicas.
Por lo cual el gerente general determina que los costos fijos semanales son del orden de los
$7 000. Si la función del costo marginal está dado por:
donde C es el costo total en dólares de producir x unidades de tarjetas electrónicas por
semana. Encuentre el costo de producir 800 de estás tarjetas semanalmente.
Primer paso:
Determinamos la función del costo total C(x) de la siguiente manera:
C(x) = J[10-6
(2.10-3 x 2
- 2Sx) + 2,4] dx ~ C(x) = 6,67.10-10x 3 - 1,25.10-5 x2 + 2,4x +e

Segundo paso:
Para determinar la constante arbitraria e , usamos la condición inicial siguiente: Como los
costos fijos son constantes sin importar el nivel de producción entonces tenemos que: x = O
y C = 7 000, lo cual se escribe como, e(O) = 7 000, y reemplazamos en la última ecuación:
7 000 = 6,67.10-10
(0)3
-1,25.10-5 (0) 2 + 2,4(0) +e --> e= 7 000
Tercer paso:
Por lo tanto, la función del costo total está dada por:
C(x) = 6,67. 10-10
x3
- 1,25.10-5x2 + 2,4x + 7 000
Cuarto paso:
Para determinar el costo de producir 800 tarjetas electrónicas por semana reemplazamos en
la ecuación precedente: (x = 800):
C(800) = 6,67.10-10 (800)3 - 1,25.10-5
(800) 2
+ 2,4(800) + 7 000--> C(800) = $8 912
Solución:
Finalmente, el costo total de producir 800 tarjetas electrónicas semanales es de $8 912.
Problema .20
Examen de admisión: En el último exámen de admisión de una universidad pública de
prestigio, el enunciado indicaba: Establecer la función g(x) cuya tangente tiene una
pendiente de 4..fX- 1, para cada valor de x cuya gráfica pasa por el punto (3, 2).
Primer paso:
La pendiente de la recta tangente en un punto cualesquiera (x ,g(x)), es la derivada de la
función g(x), por tanto, tenemos; g'(x) = 4..fX -1
Segundo paso:
La funcion buscada g(x) viene a ser la antiderivada, y se calcula de la siguiente manera:
g(x) =Jg'(x)dx =J(4..JX -1) dx --> g(x) =~x312 - x +e
Tercer paso:
Para determinar la constante e, tomamos en cuenta que la gráfica de la función g(x) pasa
por el punto (3, 2). Es decir, se sustituye x = 3 --> g(3) = 2 , en la ecuación anterior
despejamos la constante de integración e, así:
8 8
g(x) =3x3
/
2
- x +e--> 2 =J (3)3
12
- 3 +e--> e= -8,85"" -9
Solución:
Finalmente, la función buscada es g(x) = !:x312
- x- 9.
3

Como hemos visto, las integrales surgen en los modelos de fenómenos reales y en la
medición de objetos del mundo que nos rodea, y sabemos, en teoría, que su evaluación se
realiza mediante antiderivadas. Sin embargo, cuanto más complicados se vuelvan nuestros
modelos, más lo serán nuestras integrales. Siendo la integración un arte como una ciencia,
es preciso saber cambiar esas integrales más complejas a formas simples para resolverlos.
La meta de este capítulo: es mostrar cómo podemos cambiar las integrales no conocidas a
integrales reconocibles, en la que podamos aplicar las fórmulas básicas de integración,
localizarlo en una tabla, o calcularlo con la ayuda de un computador.
Las técnicas de integración son procedimientos o conjunto de reglas, que nos permiten
desarrollar diferentes tipos de ejercicios sobre integrales indefinidas, así tenemos: La regla
de la potencia para la integración, el método de sustitución, diversos métodos de división,
cambio de base, el uso de funciones trigonométricas y de funciones hiperbólicas, el uso de
tablas de integrales, etc.
Es oportuno, presentar más fórmulas de integración, que incluyan la regla de potencia de
una función x, integrales que incluyen funciones exponenciales, integrales que permiten
obtener funciones logarítmicas, las integrales trigonométricas, y las funciones hiperbólicas
para su uso en la resolución de problemas.
En la TABLA 2.8, se puede observar algunas de dichas fórmulas que son de gran
importancia y la utilidad es múltiple, los cuales nos permitirán resolver la mayor cantidad de
problemas aplicados en las diversas áreas de estudio, válido para las universidades del Perú
Y del extranjero.

TABLA 2.8: Más fórmulas básicas de integración
la f
ex• + 5)1
ex• + 5)6
e4x3
)dx = --7-- +e
que
Jeaxdx = ~eax +e
que
Jdxx _
8
= ln[x- 8[ +e
que
J cos4x
funciones sen4xdx = --
4
- +e
que
J sen3x
funciones cos3xdx = -
3
- + e
que
Jsec
2
ada = tana + e
que
Jcsc2
f3df3 = -cot{J +e
que
funciones
Jsece .tanede = sece + e
por
que
funciones
Jcscy. coty dy = -cscy + epor
que
J e senze
sen2
8de =----+e
2 4
que
J f3 sen2f3
cos2
f3 dfJ = Z+ -
4
- +e
Resuelve las siguientes integrales de funciones trigonométricas:
J3(senx + cosx)dx = 3 Jsenx dx + 3 Jcosx dx = 3(-cosx + c1 ) + 3(senx + c2)
= - 3cosx + 3c1 + 3senx + 3c2 = 3(senx- 3cosx) + 3c1 + 3c2 = 3(senx- 3cosx) +e
Estimado lector, en el ejemplo precedente, podemos observar que la regla de la suma y la
diferencia para la integración nos permite integrar expresiones término a término,

Unidad II- Integrales Indefinidas
generando varias constantes ci , producto de las integraciones individuales, los cuales se
combinan en una sola constante arbitraria e, resaltado en negrita.
Estimado lector, el desarrollo de una integral puede llegar a ser difícil, pero comprobarla,
una vez terminado el proceso de integración, resulta relativamente fácil: lo que se tiene que
hacer es diferenciar el lado derecho, como se mencionó en el primer capítulo, al final la
derivada debe ser igual al integrando, resaltado en negrita, veamos a continuación:
J9tanx. secx dx = 9 Jsecx. tanx dx = 9(secx +e) = 9secx + 9c = 9sec~~-~
d d d
- (9secx +e) = 9 -d (secx) + -d e = 9secx .tanx + O= 9secx. tanx
dx X X
A continuación demostraremos las fórmulas 2, 6 ,11 y 12 de la TABLA 2.8:
Fórmula 2: f[g(x)]ng'(x)dx = [g(x)Jn+l +e , para todo n =t- -1. La estrategia que
n+l
utilizaremos es diferenciar el lado derecho, es decir:
Fórmula 6: f coskx dx = se:kx +c. De forma similar, diferenciamos el lado derecho:
d (senkx ) d (senkx) d 1- --+e =- - - +-(e)= -(kcoskx) +O= coskx
dx k dx k dx k
Fórmula 11: Para demostrar la integral que incluye funciones seno cuadrado, debemos
recordar la siguiente equivalencia:
J 2 J(1 - cos2x) 1 J 1 J 1 1 (sen2x) x sen2xsen xdx =
2
dx =
2
dx -
2
cos2x dx = 2 x - 2 -
2
- + e = 2- -
4
- + e
Fórmula 12: Para demostrar la integral que incluye funciones coseno cuadrado, debemos
recordar la siguiente equivalencia:
f f(1 + cos2x) 1 J 1 J 1 1 (sen2x) x sen2x
COS
2
Xdx=
2
dx=2 dx+2 COS2XdX=2X+2 -
2
- +c=2+-
4
-+c

2.2.4.1. Método de sustitución:
Es uno de los principales métodos para evaluar integrales, el cual consiste en realizar un
cambio de variable, para convertir una integral "compleja" en una que nos permita utilizar
las Tablas 2.5 y 2.8, cabe mencionar que el aplicar este método implica utilizar la regla de
la cadena o también conocido como regla de la potencia de una función en x, para la
integración.
Ejemplo 1:
Pasos:
1. Se elige una variable, tal como z, entonces se iguala z, al integrando Sx + 7, sin
considerar el exponente: z = Sx + 7
2. Luego, se diferencia z, con respecto a x; y se despeja dx :
dz d
- = - (Sx + 7) = S ---> dz = Sdx
dx dx
dz
.. dx=-
S
3. A continuación, reemplazamos en el integrando y resolvemos:
(Sx + 7) 2
dx = z2
- =- z 2
dz =- - +e=-+ e
f f dz 1 J 1 (z3
) z3
S S S 3 15
4. Finalmente, reemplazamos por la variable original x :
f
(Sx + 7)3
(Sx+7) 2
dx=
1
S +e
Ejemplo 2:
J8x(4x2
- ll) 3
dx
Pasos:
1. Se elige una variable, tal como z , entonces se iguala z, al integrando, sin considerar el
exponente (en general, busque el cambio más simple): z = 4x2
-11
2. Luego, se diferencia z, con respecto a x, y se despeja dx :
dz d dz
-=-(4x2
-11)=8x---> dz=8xdx :.dx=-
~ ~ ~
3. A continuación, ordenamos, reemplazamos en el integrando y resolvemos:
J8x(4x2
- 11)3
dx = J(4x2
- 11)3
8xdx = Jz 3
dz =
2
4
4
+e
4. Finalmente, reemplazamos por la variable original x:
J
(4x2
- 11)4
8x(4x2
- ll) 3
dx =
4
+e

Ejemplo 3:
JZy -JYZ+1"dy
Pasos:
1. se elige una variable, tal como z , entonces se iguala z, al integrando, sin considerar el
signo radical: z = Y
2
+ 1
2. Luego, se diferencia z, con respecto a y, y se despeja dy :
dz d
- = - (y2
+ 1) = Zy ---> dz = 2ydy
dy dy
dz
:. dy =-
2y
3. A continuación, ordenamos, reemplazamos en el integrando y resolvemos:
fZy JY2+l dy = J(y
2
+ 1)
1
/
2
2ydy = fz
1
1
2
dz = ~~: +e
4. Finalmente, reemplazamos por la variable original y :
J2y JY2+1dy = ~ (yz + 1)3/2 + e
Ejemplo 4:
Jcos(S{J + 13) d{J
Pasos:
1. Se elige una variable, tal como z , entonces se iguala z, al integrando, sin considerar el
coseno, sólo el ángulo del coseno: z = 5{3 + 13
2. Luego, se diferencia z, con respecto a {3, y se despeja d{J :
dz d dz
d{J = d{J (5{3 +13) = S ---> dz = Sd{J :. d{J = S
3. A continuación, reemplazamos en el integrando y resolvemos:
J f
dz 1
cos(S{J + 13) d{J = cos zS =
5sen z +e
4. Finalmente, reemplazamos por la variable original {3:
Jcos(S{J + 13) d{J =~sen (5{3 + 13) +e
2.2.4.2. Integración por partes:
Es una técnica de integración, cuyo procedimiento consiste en cambiar ciertas integrales a
formas más sencillas de integrar, demostraremos la fórmula de integración por partes, de la
siguiente manera; consideremos que las funciones u y v son funciones diferenciables de x,
aplicando el producto de estas funciones tenemos:

Integramos cada término:
(uv)' = vdu + udv
J(uv)' = Jvdu + Judv
uv = Jvdu + Judv
Despejamos la siguiente integral Judv , así tenemos; la fórmula de integración por partes:
Judv =uv -Jvdu
El objetivo: es seleccionar un u y un dv de la manera más apropiada/ lo cual se logra por
supuesto con la práctica, por ensayo y error.
Ejemplo 5:
fxe5x+2 dx
Considere: u= x y dv = e5x+2dx
Pasos:
1. En este problema la selección de u y dv ya están propuestos/ por lo tanto/ el
procedimiento es diferenciar u respecto a x 1 y luego integrar dv1 para obtener la función v.
Tal como se muestra en la tablita:
lt;;o. X du =dx
' •· . ···.·
Jdv =Je5
x+2
dx
1
dv =e5'!+2 dx" .. v = -e5x+2 +el
5
DEBES SABER QUE:
Amigo lector, la constante de integración e1 1 no se toma en cuenta debido a que no se
pierde la continuidad.
2. Todo el proceso desarrollado/ se reemplaza en la fórmula de integración por partes:
5
5 es un artificio
3. Finalmente/ después de aplicar la fórmula de integración por partes se concluye que:
xe5x+2dx = -xe5x+2 __ e5x+2
J
1 1
5 25 J (5x- 1):. xe5x+2dx = ----zs- e5x+2 +e
Ejemplo 6:

Pasos:
1
. En este ejemplo seleccionamos u y dv así: u= x diferenciando tenemos du = dx , y
dv == e-xdx, integrando tenemos: Jdv = Je-xdx ---'> v =-e-x.
2. Aplicando la fórmula de integración por partes:
Judv = uv - Jvdu
u=';x du =dx
3. Reemplazamos:
4. Finalmente, luego de evaluar la integral y reducir obtenemos:
Ejemplo 7:
Pasos:
1. Seleccionamos u y dv así: u= lnx ---'> du = :Cdx
X
x3
2.. Luego: dv = x2
dx ---'> v =-
3
Judv = uv - Jvdu
4. Reemplazando:
Ordenando y resolviendo la segunda integral tenemos:
---'> x2
!nxdx=-x3 !nx--x3 --c
J
1 1 1
3 9 3
5. Finalmente, se puede escribir:
DEBES SABER QUE:
Amigo lector, para comprobar el desarrollo, se aplica la diferenciación al miembro derecho
de la igualdad, con la finalidad de obtener la misma expresión del integrando, así:

DEBES SABER QUE:
Si usted amigo lector, hubiese tomado: u= x2
~ du = 2xdx y dv = lnxdx, el procedimiento
resultaba más tedioso, (al inicio, no es fácil hacer un cambio adecuado). Por lo tanto, en
general, se recomienda en éste tipo de ejercicios tomar u = lnx.
Ejemplo 8:
J!n(4x) dx
Pasos:
1. Seleccionamos u y calculamos du, así: u= ln4x ~ du =~ dx =]:_dx
4x x
2. Luego dv, lo integramos y obtenemos: dv = dx ~ V =X
Judv =u. v- Jvdu ~ JIn(4x)dx = ln(4x).x- Jx (~dx) ~ J!n(4x)dx = xln4x- x +e
4. Finalmente, luego de evaluar la integral se obtiene:
J!n(4x)dx = x(ln(4x)- 1) +e
2.2.4.3. Integración de funciones con el exponencial natural, e:
Este procedimiento consiste en utilizar la función exponencial cuya forma general es bx,
pero en este caso, la base será el número irracional denotado por la letra e , en honor al
matemático suizo Leonardo Euler (1 707-1 783), cuyo valor aproximado es, e= 2,718281 ...
La función exponencial con base e, se le conoce como función exponencial natural.
Curiosamente e , es la primera letra de la palabra exponente, y del apellido de Euler. Aquí
también utilizaremos el método de sustitución. La derivada de la función exponencial es:
d
-[ef(x)] = ef(x)f'(x)
dx
Para determinar la integral de una función exponencial con base e utilizamos la fórmula:
.·• .· ;ef:Cx) ...
ef(x)dx :::¡; -·-·· - + e
f'(x)
Determine las integrales que contienen funciones con la exponencial natural, e:
fe-4xdx:
Se puede reconocer que la función integrando es ef(x) = e-4x y f(x) = -4x entonces
f' (x) = -4 , luego, de acuerdo a la fórmula obtenemos:

e-4x dx = - - + e = --e-4x + e
f
e 4x 1
-4 4
Jesxdx:
se puede reconocer que la función integrando es ef(x) = e5
x, y f(x) = Sx entonces
f'(x) ==S, entonces de acuerdo a la fórmula tenemos que:
Je3y+7 dy:
se puede reconocer que la función integrando está dado por ef(y) = e3Y+7, y la función
f(y) == 3y +7 tiene como derivada f' (y) = 3, entonces de acuerdo a la fórmula tenemos
que:
f
e3y+7
e3Y+7 dy = -3- +e
Una variación de la fórmula es:
Sean los datos: f' (x) = zex y f(x) = zex , determine: f zex e2ex dx , de acuerdo a la
fórmula tenemos: Jzexezex dx = e2eX +e
Sean los datos: de
acuerdo a la fórmula tenemos: Jexee
3
+ex-!n7dx = ee
3
+ex-!n7 +e .
En los siguientes ejemplos, usemos el método de sustitución, aplicado a la integración de
funciones con exponencial natural (e):
Ejemplo 9:
Calcule: Jer
4
- 5r 3dr
Pasos:
1. Se elige una variable, tal como z , se iguala al exponente de la base e (en general,
busque el cambio más simple): z = r 4
- S
2. Luego, se diferencia z, con respecto a r, y se despeja dr :
dz d
- = - (r4
- S) = 4r3
~ dz = 4r3 dr ..
dr dr
dz
dr=-
4r3
3. A continuación, ordenamos, reemplazamos, cancelamos en el nuevo integrando y
resolvemos:
4 F. 1 f 4 1 4 5· lna mente, reemplazamos por la variable original r : er - 5r 3 dr = ¡er - +e

Ejemplo 10:
Determine:
Pasos:
1. Sea la variable, z, la cual se iguala al exponente de la base e: z = r2
2. Luego, se diferencia z, con respecto a r, y se despeja dr:
dz d
- = - (r2
) = 2r ---Y dz = 2rdr
dr dr
dz
:. dr =-
2r
3. A continuación, reemplazamos, cancelamos en el nuevo integrando y resolvemos:
4. Finalmente, reemplazamos por la variable original r : Jer
2
Zrdr = er
2
+e
Ejemplo 11:
Calcule: Jer
3
+3r(6r2
+ 6)dr
Pasos:
1. Se elige una variable, tal como z, se iguala al exponente de la base conocido como el
número e: z=r3 +3r
2. Luego, se diferencia z, con respecto a r, y se despeja dr:
~ d ~ ~
- =- (r3 + 3r) = 3r2
+ 3 ---Y dz = (3r2
+ 3)dr :. dr = - - - = -::-::--::----::-
dr dr 3r2 + 3 3(r2 + 1)
3. A continuación, ordenamos, reemplazamos, factorizamos, cancelamos en el nuevo
integrando y resolvemos:
4. Finalmente, reemplazamos por la variable original r : Jer3
+3r(6rz + 6)dr = zer3
+3r +e
DEBES SABER QUE: t+l
La fórmula de la regla de la potencia, no se aplica en: Jetdt *_e__ + e
t + 1
2.2.4.4. Integrales que obtienen funciones logarítmicas:
Este procedimiento consiste en utilizar las funciones logarítmicas las cuales están
relacionadas con las funciones exponenciales. Así tenemos, el logaritmo natural y común,
que se simbolizan como !nx y log x, respectivamente.
En forma general, el primero tiene la base e y el segundo la base 10. La relación
matemática entre ellos está dado por:

Tenga presente la derivada de la función logarítmica:
d f'(x)
dx [!nf(x)] = f(x)
La fórmula de la integral que permite obtener una función logarítmica:
Ejemplos ilus'i:rativos:
f
3x2 + 1 ·
---dx = lnlx3
+ xl +e
x3
+x
f
sec2
x
--dx = lnltanxl +e
tanx
J
1 .
:¡;av = lnlvl+ e
f x + 1 1 J2x + 2 1
-
2
--dx =- - 2
--dx = -
2
lnlx2
+ 2xl +e
x +2x 2 x + 2x
f 1 1J 3 1
--dx =- --dx = -lnl3x + 21 +e
3x +2 3 3x + 2 3
En los siguientes ejemplos utilizáremos el método de sustitución, aplicado a la integración
de funciones, que permiten obtener funciones logarítmicas:
Ejemplo 12: 2
Resuelve: J(In:) dx
Pasos:
1. Se elige una variable, tal como z, entonces se iguala z, al logaritmo natural (en general,
busque el cambio más simple): z =In x
2. Luego, se diferencia z con respecto a x, y se despeja dx:
dz d 1 1
-=-(lnx)=--. dz=-dx :.dx=xdz
dx dx x x
3. A continuación, reemplazamos, cancelamos en el nuevo integrando y resolvemos:
f(ln x )2 J2 2 J 2
3
--x-dx = ~(xdz) = z 2
dz =
3 + e
... malmente, reemplazamos por la variable original x : ---dx = -(lnx)3 +e" F" J(In X )
2
1
X 3
DEBES SABER QUE:
Amigo lector, no confundir ln3
x = (lnx)3 con lnx3 •
Ejemplo 13:
Resuelve:
f-1
-dx
1 +_2:_
ex

Pasos:
1. Desarrollamos el integrando:
2. Se elige la variable, z, la cual se iguala generalmente con el denominador: z == ex+ 1
3. A continuación, se diferencia z, con respecto a x, y se despeja dx :
dz d dz
-==-(ex+ 1) ==ex ___, dz == exdx :. dx ==-
dx dx ex
4. Luego, ordenamos, reemplazamos, cancelamos en el nuevo integrando y resolvemos:
J 1 J ex Jex (dz) J1--dx == --dx == - - == -dz == ln/z/ +e
1 + _.!:_ ex + 1 z ex z
ex
5. Finalmente, reemplazamos por la variable original x:
J
1 J ex- -
1
dx == - -
1
dx ==In/ex+ 1/ +e
1 +- ex+
ex
Ejemplo 14:
Encontrar el área de la región limitada por la gráfica y==+, el eje x y la recta x = 3.
X +1
Pasos:
1
3 X
1. El área está dada por la integral definida: -2--1dx
O X +
FIGURA 2.4: Área de la región limitada por g(x) , el eje x y la recta x == 3
2. Sea la función g(x) == -7-- que pasa por el origen de coordenadas, en la cual usted puede
X +1
considerar, z == x2
+ 1, entonces z' == 2x (en este ejemplo, no se usará). Para aplicar la
regla logarítmica, multiplicamos y dividimos entre 2 como se muestra (a este tipo de
integral fb , se le conoce como interagral definida, lo veremos en la Unidad III):a
Es la derivada de x 2
+ 1
1
3
x 113
2x 1 1 1
-
2
- -
1
dx == -
2
- 2
- -
1
dx =-2
[ln(x2
+ l)]Ó ==-(In 10 -In 1) ==-In 10 "" 1,151
0 x+ 0 x+ 2 2

Ejemplo 15:
Resuelve la ecuación diferencial:
Pasos:
dy 1
dx x!nx
1. Puede escribirse como una integral indefinida:
fdy = J-1
-dx -"'y= J-1
-dx
xlnx xlnxHay tres formas posibles para sustituir z:
''0 1, t'§v,,r ~',~'Sll !is'
Primera z=x
Segunda z = xlnx
Tercera z = lnx
2. La forma: z = x y z = x In x , no logra ajustarse a la forma z' jz de la técnica logarítmica,
pero si cumple la tercera forma. Haciendo: z = lnx -"' z' = 1/x, se obtiene lo siguiente:
J
1 J1/x Jz'x!nxdx= !nxdx= -dx=lnlzl+c=lnllnxl+c
3. Por tanto, la solución es y= lnllnxl +c.
' 1
t Jf'(x) , 1
1 f(x) dx =lnlf(x)l +e
2.2.4.5. Integrales que requieren una división algebraica previa:
El objetivo es conocer, analizar y aplicar las técnicas de integración en problemas con
mayor grado de dificultad empleando para ello, la división algebraica de polinomios como:
división larga, división sintética como el método de Horner, el método de Ruffini (su uso,
dependerá de la forma del integrando), etc. Es decir, en general la integración de fracciones
algebraicas implica realizar previamente una división, con la finalidad de obtener un
cociente y un residuo. Donde D(x) es el dividendo, d(x) el divisor, Q(x) el cociente y R(x)
es el residuo de la división algebraica. Si dividimos el algoritmo de la división entre d(x)
tenemos la expresión equivalente:
Algoritmo de la división
D(x)
Ejemplo 16: J(xs + 4)Determine la siguiente integral indefinida: + dx
Pasos:
1. La estrategia es dividir previamente el integrando en dos fracciones, de la siguiente
manera: (xs x4 )
J xz +xz dx
2. Luego, integramos término a término:
Ejemplos 17:
Determine la siguiente integral indefinida:
f(2x
3
+ 3x
2
+ X + 1) dx
2x + 1
1. Estimado lector, debemos realizar la división previa, en este caso se recomienda aplicar
el algoritmo de Ruffini (división sintética), debido al tipo de divisor; la FIGURA 2.5 muestra
el esquema:

fiGURA 2.5: Algoritmo de Ruffini
2. Obtenemos el cociente: Q(x) = 2x2
+ 2x y el resto: R(x) = 1, ahora en la fórmula:
3, A continuación, hacemos un artificio, multiplicamos por 2/2 al término
procedemos a integrar término a término el nuevo integrando:
1
2X+l
f(2x2
+ 2x + -
1
-) dx = J(zx2
+ 2x + (~)-
2
-) dx = ~x3 + x 2
+ ~lnl2x + 11 +e
2x + 1 2 2x + 1 3 2
Ejemplo 18:
Determine la siguiente integral indefinida:
Pasos:
f(6x
5
- 20x
4
- l3x
3
+ 25x
2
- 21x + 9) dx
3x2
- x + 1
y
1. En este caso es recomendable aplicar el Método de Horner, debido al tipo de
denominador, veamos la FIGURA 2.6:
fiGURA 2.6: Algoritmo de Horner

Explicación:
Note, que el grado del dividendo es 5 y del divisor es 2, por lo que el cociente será un
polinomio de tercer grado y 4 términos, quiere decir, que a partir del cuarto término, se traza
una línea discontinua para separarlo del residuo. El procedimiento es el siguiente: Se divide
el coeficiente del término principal del dividendo 6, entre el coeficiente del término principal
del divisor 3, obteniendo el coeficiente del término principal del cociente 2, y éste número
multiplica, al coeficiente lineal del divisor 1, obteniendo 2 y -2, luego, se suma en la
segunda columna -20 + 2 = -18 y este número, se divide entre 3, obteniendo -6 y así
sucesivamente. Sabemos que la línea discontinua separa el cociente y el resto, confirmando
que el cociente Q(x), es un polinomio de tercer grado de 4 términos, y el resto R(x) es un
polinomio de primer grado de dos términos, así: Q(x) = 2x3
- 6x2
-7x + 8 y el resto es
R(x) = -6x + 1 , reemplazamos en la fórmula:
D(x)
d(x)
Q(x)
1
+
6x5 - 20x4
- 13x3
+ 25x2
- 12x + 12
- - - - - - = - - - - - - - - - = 2x3
- 6x2
- 7x + 8
3x2 - x + 1
2. Ahora, procedemos a integrar término a término:
+
R(x)
d(x)
-6x + 1
3x2
- x + 1
f(6x
5
- 20x
4
- 13x3
+ 25x
2
- 12x + 12) J( 3 2 -6x + 1 )
3 2 1
dx = 2x - 6x - 7x + 8 +
3 2 1
dx
x-x+ x-x+
f f f f J
6x - 1 x4 7x2
= 2x3
dx- 6x2 dx- 7x dx + 8dx- 2 dx =-- 2x3
- - + 8x- lnl3x2 - x + 11 +e
3x - x + 1 2 2
2.2A.6. Integración de funciones con una base diferente a la base e :
Adicionalmente, en este capítulo integraremos funciones exponenciales con una base
diferente al número e, empleando la siguiente expresión como integrando:
Siendo la integral de la siguiente manera:
Ejemplos ilustrativos: v
En primer lugar demostraremos la fórmula precedente: Javdv =
1
: a+ e
Tenga presente que: e 1n2 = 2 , en este caso elna =a y reemplazamos:
Javdv =Je!nav dv = JeClna)vdv
Utilizamos el siguiente artificio multiplicando a la integral: ln a
!na

En el siguiente ejemplo ilustrativo, vamos aplicar la fórmula precedente demostrada, para
determinar la siguiente integral indefinida de base 2: J23
-x dx
Vemos que la base es a= 2 y el exponente es v = 3- x, entonces dv = -dx , sustituimos:
f av f f J z3-xaVdv=-+C __. 2VdV= 23 -X(-dX)=- 23-XdX=---+C
In a ln2
2.2.4.7. Integración de fum:iones trigonométricas:
Don~e, m , n son
núm~ro.? entetos
positivos.
Son técnicas para evaluar integrales del tipo:
Jsenm x cosn x dx
y
/
/
Jsecm x tann x dx
Evaluar Jsen5
x cos x dx con la regla de las potencias haciendo u =sen x __, du = cos x dx ,
veamos:
f J
u6
sen6
x
sen5
xcosxdx= u5
du=6+c=-
6
-+c
Para encontrar la antiderivada o primitiva de Jsenm xcosn x dx , utilizaremos la regla de la
potencia, y las identidades trigonométricas, veamos la TABLA 2.9:
TABLA 2.9: Identidades trigonométricas
sen2
x + cos2
x = 1 Identidad pitagórica
2
1- cos 2x
sen x = 2
Identidad del ángulo medio para sen2
x
2
1 +cos2x
COS X=
2
Identidad del ángulo medio para cos2
x
Ejemplo 19:
Encontrar:
Pasos:
L Amigo lector, antes de emplear el método de sustitución, debemos hacer que una función
trigonométrica tenga exponente lineal y el otro mayor/ ello se logra degradando el
exponente de la función y empleando la TABLA 2.91 veamos: Conservar un
factor lineal
Jsen3
x cos4
x dx = Jsen2
xcos4
x(sen x)dx = J(1- cos2
x) cos4
x sen x dx
Jsen3
x cos4
x dx = f(cos 4
x- cos6
x)sen x dx = Jcos4
x sen x dx- Jcos6
x sen x dx
2. Luego/ usc.mos la regla de la potencia con u = cos x (se escoge la función con mayor
exponente) entonces la diferencial está dado por du = -sen x dx y reemplazamos:
84

Ejemplo 20: Jcos3 x
Si la potencia del coseno es impar y positiva,resuelve: ---dx
-Jsen x
Pasos:
L Observemos que la función con mayor exponente, es el coseno, entonces conservamos
un factor (degradación) para formar luego el du, y convertir los otros factores del coseno a
seno.
Mayor
exponente
ConserVar un
factor lineal
Convertir los
cosenos a senos
f
cos
3
x Jcos
2
x cos x J(1 - sen2
x) (cos x)
---dx = dx = dx
-Jsen x -Jsen x -Jsen x
2. Para usar la regla de la potencia hacemos u= sen x -> du = cos x dx , y reemplazamos:
fcos
3
x J J J---dx = [(sen x)-1
12
cos x dx- (sen x)3
12
cos x dx] = u-112 du-
-Jsen x
5 1 5
fcos
3
x dx = u
1
1
2
_ u2 +e = _(_s_en-::-x_)_2 (sen x)2 1 2 5
-Jsenx
112
:;_ - 5 +c=2(senx)2-
5(senx)2+c
2
Ejemplo 21:
Se observa que la potencia del coseno es par y no negativa, encuentre:
Jcos
4
x dx
Pasos:
1+eos 2x 4 (1+eos 2x)
2
41. Sabemos que 2
1 1 f t'cos x = --
2
- -> cos x = --
2
- , se reemp aza e cos x y e ecua:
f 4 J(1 + eos 2x)
2
J(1 eos 2x cos
2
2x) J[1 cos 2x 1 (1 + cos 4x)]cos x dx = dx = -+--+--- dx = -+--+- dx
2 4 2 4 4 2 4 2
2. En este ejemplo, no utilizaremos el método de sustitución, sólo la integral del coseno:
f 4 1 J Jeos 2x 1 J1 1 Jeos 4x 1 sen 2x 1 1 (sen 4x)eos x dx =- dx + -- dx +- - dx +- -- dx = -
4
x +-
4
- +-
8
x +-
8
-
4
- + e
4 2 4 2 4 2
Ejemplo 2.2:
f
tan3
x
La potencia de la tangente es impar, encontrar: ---dx
-Jsec x
Pasos:
lo Se multiplica por secx al integrando y degrada la tangente de x, así: tan3 x = tan2 xtanx,
secx
el denominador sube, se emplea tan2
x = sec2 x- 1 y se resuelve:
fsecx J--(secx)-112 tan3 x dx = (secx)-312 (tan2 x)(secxtanx)dx
secx

J
tan
3
x Jr::::-::-:::.dx = (secx)-3
12(sec 2x -l)(secxtanx)dx
vsecx
= J[Csecx)1
12-(secx)-3
12](secxtanx)dx
2. Para aplicar la regla de la potencia consideremos hacer u= secx--. du =secxtanxdx, se
conserva el factor de secxtanx para formar du, veamos:
f
tan3x J J u3/2 u-1/2 2
--dx = u112du- u-312du = - - - - - =- (secx) 312 + 2(secx)-1
12 +e
.Jsecx 3/2 -1/2 3
Caso de sustituciones trigonométricas empleando triángulos rectángulos:
Amigo lector, ya sabemos como evaluar las integrales que contienen potencias de funciones
trigonométricas, ahora empleamos la técnica de sustituciones trigonométricas para evaluar
integrales que contienen radicales como:
El objetrvo de las sustituciones trigonométricas es .eliminar el radical en el
integrando, lo éuaf sereáliza con las icfenticjades pitagór.ícas.
Sea u = a sen e, a > O, donde e , varía: -rr/2 :::; e :::; rr/2. Entonces hacemos:
Ejemplo 23: · j dx
Por sustitución trigonométrica y considerando: u= a sen e , encuentre: ¡;::;----;
x2 v9- x2
Pasos:
1. En este tipo de casos las reglas básicas de la integración nos conduce a un proceso
complicado. Por ello, empleamos la sustitución trigonométrica, observe que .)9- x2
tiene la
forma de .Ja2 - u2 , donde a= 3 y u= x. Así que igualamos con u= a sen e y obtenemos
la diferencial de x:
X = a sen e = 3 sen e -+ dx = 3 COSe de y x2 = 9sen2e
2. Empleando el triángulo mostrado se obtiene el cose, así:
X .,j9-X 2 ¡;:;----o
X = 3 sen e -+ sen e = - :. COS e =-- -4 V 9 - X 2 = 3 COS e3 3
3. Así, la sustitución trigonométrica nos lleva a:
X
x=asenfJ~sene=
a
f--=d=x== = f 3 cose de = ~f _d_e_ = ~f csczede =-~cote+ e
xz.J9- xz (9sen2 e)(3 cose) 9 sen2
e 9 9
J dx = - ~ (..f9+XZ) + e = - .J9+XI + e
xz.J9 - x2 9 x 9x
'
'
X

Ejemplo 24:
Aplicando la sustitución trigonométrica y u = a tan e , encontrar:
f
dx
V4x2 + 1
Pasos:
1. Observe que V4x2 + 1 tiene la forma de Vu2 + a2
, donde u= 2x y a= 1. Igualamos
con u = a tan e1 obteniendo 2x = a tan e.
2. Determinemos la diferencial de x, si Zx =tan e___, dx = ~sec2
e de.
3. Empleando el triángulo mostrado se obtiene la sec e, sabiendo
que 2x =tan e_, tan e= z; :. sece = v4x2 + 1
4. La sustitución trigonométrica genera la siguiente expresión:
2x
2x=tan8---') tanB=-
1
1
2x
f 1 1 Jsec
2
ede 1 J 1 1 1 1
~dx=- e =- secede=-lnjsece+tanel+c=-ln .J4x2
+1+2x +e
2 sec 2 2 2
2.2.4.8. Integración por medio de fracciones parciales:
Es una técnica algebraica de integración que consiste en reescribir el integrando de una
función racional propia. Es decir, se trata de un cociente N(x)/D(x) de dos polinomios, en la
cual el grado del numerador N(x), es menor que el grado del denominador, D(x). Así,
tenemos por ejemplo:
N(x) 39x2 - 7x
D(x) x3 -6x2 +2x-6
El objetivo de este procedimiento: es integrar la función racional propia expresándola como
una suma de fracciones, cada una de las cuales es más fácil de integrar que la función
racional original. Este procedimiento se llama método de las fracciones simples o parciales.
Procedimiento:
1) Divida la fracción impropia: Si se tiene N(x)/D(x) una fracción impropia (es decir, si
el grado del numerador es mayor o igual al grado del denominador), divida el numerador
entre el denominador, aplicando el método de Ruffini o Horner, etc. obteniendo la siguiente
expresión:
FIGURA 2.7: Esquema de una división impropia
2) Aplica los casos en la fracción propia: Como el grado de N1 (x) es menor que el grado
de D(x), se aplica los casos I y II (siguiente página) en la fracción racional propia, N1 (x)/
D(x).

El procedimiento se inicia, factorizando completamente el denominador en factores como:
y
Donde ax2
+bx +e es irreductible (o irreducible), es decir, cuando no puede ser expresado
como producto de otros polinomios de menor grado.
Casos de Descomposición de N(x)jD(x) en fracciones simples:
CASO I: Factores lineales: Por cada factor lineal (px + q)m, la descomposición en
fracciones simples debe incluir la suma siguiente de m fracciones.
CASO U: factores cuadráticos: Para cada factor cuadrático (ax2
+ bx + c)n, la
descomposición en fracciones simples debe incluir la suma siguiente de n fracciones.
Ejemplo 25:
1
factores lineales distintos, descomponer en fracciones simples:
x 2
- Sx + 6
Pasos:
L Factorizamos el denominador, por el método ensayo y error (factorización simple), es
decir, x2
- Sx + 6 = (x- 3)(x- 2), luego, incluir una fracción simple por cada factor, así:
1 A B
-x:::-2 -----=s=--x-+-6 = -x---3 + -x---2
2. Reducimos la expresión racional, para ello multiplicamos ésta ecuac1on por el mínimo
común denominador, es decir (x- 3)(x- 2) , obteniendo la ecuación básica:
1 = A(x- 2) + B(x- 3)
3. Luego, obtenemos los números A y B, la forma más conveniente es haciendo que los
factores particulares se igualen a cero, es decir, (x- 2) = O --. x = 2 y (x- 3) = O ---? x = 3.
Para hallar A, hacemos x = 3 y obtenemos:
1 = A(3- 2) + B(3- 3)
1 = A(l) + B(O) ---7 A = 1
Para hallar B, hacemos x = 2 y obtenemos:
1 = A(2 - 2) + B(2 - 3)
1 = A(O) + B(-1)--. B = -1
4. Finalmente, la descomposición en fracciones simples por factores lineales distintos es:
1 1 1
x2 - Sx +6 x - 3 x - 2

Ejemplo 26: JSx2 + 20x + 6
factores lineales repetidos, encuentre: dx
x3 + 2x2 +X
Pasos:
1. Factorizamos el denominador por el método ensayo y error (factorización simple):
x3
+ 2x2 + x = x(x2
+ 2x + 1) = x(x + 1)2
:2. Incluimos una fracción para cada potencia de x, así (x + 1)1
, hasta el exponente 2,
(x + 1)2 , en el caso de x también:
Sx2
+ zox + 6 A B e----,--- =- + + -----.,.
x(x+1)2 x (x+1)1
(x+1)2
3. Multiplicando por el mínimo común denominador (mayor exponente) es decir, x(x + 1)2
obtenemos la ecuación básica:
Sx2 + 20x + 6 = A(x + 1)2 + Bx(x + 1) + ex
Para hallar A, hacemos x =O . Esto elimina los términos By e, obteniendo:
6 = A(1) +O + O -->A = 6
Para hallar e, hacemos x = -1. Esto elimina los términos A y B , obteniendo:
s- zo + 6 = o+ o- e -. e = 9
4. Para encontrar el valor de B, usaremos cualquier otro valor de x , junto con los valores
calculados de A y e. Usando X = 1, A = 6 y e = 9 1 obtenemos:
5+20+6=A(4)+B(2)+e ->31=6(4)+2B+9 .·. B=-1
5. Finalmente, reescribimos el integrando e integramos término a término y reducimos:
J
Sx
2
+ 20x + 6 J(6 1 9 ) (x + 1)-
1
( 1)
2 dx = ----+e 1)2 dx = 6lnlxl- lnlx + 11 + 9 +e
X X+ X X+ 1 X+ -1
-----dx=ln -----+e
J
Sx
2
+ 20x + 6 1 x
6
1 9
x(x + 1)2 x + 1 x + 1
Ejemplo 27: 3
factores cuadráticos y lineales distintos, calcule: J Zx -
4
x-
8
dx
(x2 - x)(x2 + 4)
Pasos:
1. Similar al ejemplo anterior, primero factorizamos el denominador por el método de
ensayo y error obteniendo:
(x2 - x)(x2
+ 4) = x(x -1)(x2 + 4)
2· Debe incluirse una fracción simple por cada factor, y para el factor (x2
+ 4) debemos
colocar en la tercera fracción, un numerador del tipo, ex+ D, así tenemos:

2x3
- 4x - 8 A B ex + D
-;-;;,-----::-;:-;;--7 = - +-- +- -
ex2-x)ex2+4) X X-1 x2 +4
3. Multiplicando por el mínimo común denominador xex- 1)ex2
+ 4), obtenemos la ecuación
básica:
2x3
- 4x- 8 =Aex- 1)ex2
+ 4) + Bxex2
+ 4) +eex+ D)ex)ex- 1) ... f3
Para hallar A, hacemos x =O y obtenemos:
-8=Ae-1)e4)+0+0 ->A=2
Para hallar B, hacemos x = 1 y obtenemos:
-10=0+Be5)+0 -->B=-2
4. Ahora debemos encontrar las constantes e y D 1 elegimos otros dos valores cualesquiera
para x. Como x = -1, y usando A= 2 y B = -2 , reemplazamos en f3 :
-6 = e2)e-2)e5) +e-2)e-1)e5) +e-e+ D)e-l)e-2)--> 2 =-e+ D
Ahora, para x = 2 1 nuevamente en f3, obtenemos:
O= e2)e1)e8) +e-2)e2)e8) + e2e + D)e2)e1)--> 8 = 2e + D
5. Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales, resulta:
-e + D = 2 y 2e + D = 8 :. e = 2 y D = 4
6. Finalmente, evaluamos la integral, reemplazando el integrando:
f 2x
3
- 4x - 8 J(2 2 2x 4 ) x
( )(
2 4
)dx= ----+-2
--+-2
- - dx= 2lnlxl-2lnlx-1l+ln(x2
+4)+2tan-1
-+c
X X-1 X+ X X-1 X +4 X +4 2
Redutléndo; obtenemos~~
2.2.4.9. Integración de funciones hiperbólicas:
2.2.4.9.A. Introducción:
Amigo lector, en muchas aplicaciones matemáticas, especialmente en ingeniería y física se
presentan combinaciones de ex y e-x. Dichas combinaciones se denominan funciones
hiperbólicas, siendo los más empleados el seno hiperbólico, senh, y el coseno hiperbólico,
cosh. Los valores de estas funciones están relacionados con las coordenadas de los puntos
de una hipérbola equilátera, de forma similar que los valores de las funciones
trigonométricas correspondientes, están relacionados con las coordenadas de los puntos de
una circunferencia.
90
ex- e-x
senh x = --
2
--
e-x+ ex
coshx =
2
Donde la variable x representa cualquier número real

De la definición, el dominio de cada una de estas funciones, es el conjunto de los números
reales JRL El rango del senh también es el conjunto IRL Sin embargo, el rango del cosh es el
conjunto de números del intervalo [1, +oo).
ex- e-x
senhx=-
2
-
ex+ e-x
coshx=-
2
-
e-x- ex ¡ex-e-x]senh (-x) = -
2
- = - -
2
- __. senh (-x) = -senh x
e-x+ ex
cosh (-x) = -
2
- __. cosh (-x) = cosh x
Impar
Par
El seno hiperbólico es una función impar y el coseno hiperbólico es una función par. Las
fórmulas de las derivadas de las funciones seno hiperbólico y el coseno hiperbólico se
obtienen mediante la aplicación de las definiciones anteriores y diferenciando las
expresiones resultantes que contienen funciones exponenciales, así:
ex- e-x
senhx=-
2
-
ex+ e-x
coshx=--
2
(
ex- e-x) e-x+ ex
Dx(senh x) = Dx -
2
- = -
2
- = coshx
(
ex+ e-x) ex- e-x
Dx(cosh x) = Dx -
2
- = -
2
- = senh x
Dx(senhx) = coshx
Dx(cosh x) = senh x
Aplicando la regla de la cadena se tiene el siguiente teorema, si u es una función
diferenciable de x, entonces se cumple:
2.2.4.9.8. Grilfica de las funciones hiperbólicas:
Veamos a continuación la FIGURA 2.8, que muestra los gráficos de las dos principales
funciones hiperbólicas, con sus respectivas características:
FIGURA 2..8: Gráfica del seno y coseno hiperbólico
-1
-2

Para completar las otras cuatro funciones hiperbólicas, los cuales se definen en términos del
seno hiperbólico y del coseno hiperbólico, vea la TABLA 2.10.
TABLA 2.10: Cuatro fa.mdones hiperbólicas
Demostración:
ex- e-x
Pruebe que: tanhx = - - - -
ex+ e-x
senh x
tanh x = cosh x
cosh x
coth x =--
senhx
1
sech x=--
coshx
1
csch x =--h-
sen x
2
sechx=---
ex +e-X
2
cschx=---ex- e-x
senh x
Sabemos que la función tangente hiperbólica está dado por, tanh x = coshx , reemplacemos
en ésta igualdad el senh x = ex-e-x y el cosh x = ex+e-x , obteniendo la expresión:
2 2
2
Pruebe que: cschx = -x
ex- e
Sabemos que la función cosecante hiperbólica está dado por,
1
csch X= senhx '
ex-e-x
reemplacemos en ésta igualdad el senh x = -
2
- obteniendo la expresión:
1 2 2
eseh x = ex-e-x = ex- e-x --> eseh x =ex- e-x
2
2
Pruebe que: sech x = x
ex+ e-
1
Sabemos que la función secante hiperbólica está dado por, sech x = coshx , reemplacemos
ex+e-x
en ésta igualdad el cosh x = --
2
- ; obteniendo la expresión:
1 2 2
seeh x = x+ -x = --> sech x = ----
_e_e_ ex+ e-x ex+ e-x
2
Amigo lector, para una mejor comprensión de los ejemplos y problemas de aplicación de las
funciones hiperbólicas, presentamos a continuación la TABLA 2.11, que muestra un
comparativo de las identidades de las funciones trigonométricas e hiperbolicas, clasificados
de cuatro formas diversas.

TABlA 2.1:1.: Comparación de identidades
1- cos 2x
sen2 x = - -
2
--
1 + cos 2x
cos2x = - -
2
- -
sen(x +y) = sen x cos y+ cos x sen y
sen(x- y) =sen x eos y- eos x sen y
cos(x +y)= cos xcosy- senx sen y
cos(x- y) = cos x cos y+ sen x sen y
2
-1 + cosh2x
senh x = 2
2
1 + cosh 2x
cosh x =
2
senh(x +y) =senh x cosh y+ cosh x senh y
senh(x -y) = senh x cosh y- cosh x senh y
cosh(x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y
cosh(x- y) = cosh x cosh y- senh x senh y
2.2.4.9.C. Derivación e integración de funciones hiperbólicas:
Amigo lector, debemos tener en cuenta que las funciones trigonométricas, son funciones
periódicas mientras que las funciones hiperbólicas no lo son. Como se mencionó en la
introducción, en muchas aplicaciones matemáticas, especialmente en ingeniería y física se
presentan combinaciones de ex y e-x. Estas combinaciones se denominan funciones
hiperbólicas, de las cuales, las dos más importantes son el seno hiperbólico y el coseno
hiperbólico.
Presentamos a continuación las reglas de derivación y de integración, para las funciones
hiperbólicas los cuales se expresan en términos de ex y e-x, consideremos que u, es una
función derivable de x, veamos la TABLA 2.12.
Podemos apreciar en la parte superior de la primera columna las derivadas de las funciones
hiperbólicas y a la derecha los ejemplos ilustrativos y en la parte inferior tenemos las
integrales de funciones hiperbólicas y los ejemplos ilustrativos, para el mejor entendimiento
Y organización de la información.
DEBIES SABER QUE:
Amigo lector, tome en cuenta la siguiente notación

TABLA 2.12: Derivadas e integrales de fundones hiperbólicas
d
-d [éo..th u] == -(csc:h2
u)u'
X
. . '.
d
-d [sech u] = -(sechu tanhu)u'X .
d
dx [csch u] =-(cschu coth u)u'
Jcosh u du = senh u + e
Jsenh u du = cosh u + e
fsech2
u du= tanh u+ c
Jcsch2
u du =-coth:u +e
Jsechu tanh u du = -sech u +e
Demostración:
Pruebe que: _<1:_ [tanh u] = (sech2
u)u'
dx
d
- [tanh x] = (sech2
x)l
dx
d[ 1] 21( 1)- coth- = -(csch -) --
dx x x x2
~[sechJi] = -(sechJX;tanhJi)(
1
r::)dx Zvx
d
- [csch Sx] = -(csch Sx coth Sx)(S)
dx
J2x coshx2
dx = senh x2
+e
J4x3
senh x4
dx = cosh x4
+ e
J2~sech2 JX dx = tanh JX +e
-csch2
- dx = -coth- +e
f
1 1 1
x2 X X
Jsech x tanh x dx = -sech x + e
f
1 1 1 1
---:;;:¡:¡ csch r::coth r:: dx =-csch r::+ e
2x vx vx vx
h
senhx
Sabemos que la función tangente hiperbólica está dado por: tan X = coshx
diferenciemos como un cociente, Dx (;) = vu'v-zuv' , obteniendo la expresión:
, luego
d d [senhx] coshx(coshx)-senhx(senhx) 1 2
-[tanhx] =- - - = = - - - = sech x
dx dx cosh x cosh2 x cosh2 x
d
Pruebe que: -[cschu] = -(cschucoth u)u'
dx
Sabemos que la función cosecante hiperbólica está dado por: csch x = -
1
- , luego
senhx
diferenciemos como un cociente, Dx (;) = vu';zuv' , obteniendo la expresión:
d d ( 1 ) (senhx)1' -1(senhx)' coshx
- (eseh x = - - - = = - = -eseh xcoth x
dx ) dx senhx (senh x)2 senh x senh x

veamos a continuación los ejemplos ilustrativos de derivadas de funciones hiperbólicas:
~[senh (x2 - 3)] = cosh(x2
- 3)(2x)
dx
1 , senh x
~[in (coshx)] = -h- (coshx) = -h- = tanhx, recuerde que:
dX COS X COS X
~ [x senh x- cosh x] = x cosh x + 1. senhx- senhx = x cosh x
dx
Ejemplo 28:
DAu .v) =í< t>' + u'v
Determine la derivada de la función f, luego simplifique mediante el empleo de identidades
de las funciones hiperbólicas.
1
f(x) =
2
[ln(tanh x)]
Pasos:
1. Recordemos que la derivada del logaritmo natural estudiado por Nicholas Mercator, está
dado por:
1 1 [ 1 ]
f(x) = 2[ln(tanhx)]--> f'(x) = 2· tanhx.Dx(tanhx)
2. Luego de diferenciar, cambiamos la tangente en seno y coseno, la secante en función del
coseno y reducimos la expresión:
1 1 1 cosh x 1 1 1
f'(x) = -.--.sech2
x = -.---.--- = = --- = csch2x
2 tanh x 2 senh x cosh2 x 2 senh x cosh x senh 2x
Ejemplo 29:
Calcule la integral de la función hiperbólica: Jcosh 2x senh2
2x dx
Pasos:
1. Para desarrollar la integral utilicemos la identidad hiperbólica del ángulo doble, que se
encuentra en la TABLA 2.11: senh2x = 2 senh x cosh x.
2. Utilicemos el siguiente artificio, multipliquemos y dividamos entre 2:
Jcosh 2x senh2
2x dx = ~ J(2 cosh 2x)(senh 2x) 2
dx
3. Hacemos un cambio de variable: z = senh 2x --> dz = cosh 2x (2x)' = 2 cosh 2x dx
4. Reemplacemos y ordenemos para generar el nuevo integrando en función de z, así:
Jcosh2x senh2
2x dx =~J(2 cosh 2x)(senh 2x)2
dx =~J(senh 2x)2
(2 cosh 2x dx) =~Jz2
dz =~[~]+e
5. Finalmente, cambiemos nuevamente a la variable x, obteniendo:
f 1 [(senh 2x)
3
] (senh 2x)
3
cosh2xsenh2
2xdx=
2 3
+e=
6
+e

2.2.4.10. Integración de funciones hiperbólicas inversas:
2.2.4.10.A. Introducdém:
Al comparar las funciones trigonométricas, con las funciones hiperbólicas podemos decir que
éstas últimas no son periódicas. En general, las funciones hiperbólicas son inyectivas por lo
tanto, tienen funciones inversas, en cambio las funciones coseno y secante hiperbólicas, son
inyectivas, si se restringe su dominio a los números reales positivos, y es en éste dominio
restringido donde tienen función inversa.
Sabemos que las funciones hiperbólicas se definen en términos de las funciones
exponenciales, y las funciones hiperbólicas inversas pueden expresarse en términos de
funciones logarítmicas, como se muestra en la TABLA 2.13:
Demostración:
TABlA 2.13. funciones hiperbólicas inversas
senh-1
x = ln (x+,Jxz +1)
cosh-lx = ln (x +,Jx2
- 1)
1 1+x
tanh-1 x = -ln - -
2 1-x
1 x+1
coth-1x = -ln--
2 x-1
(
1 Vl + x
2
)
csch-1
x = In ;: +-
1
-x-l-
(-oo,oo)
[1, 00)
(-1,1)
(-oo,-1) U (l,oo)
(0,1]
(-oo, O) u (O, oo)
Demostremos que la función g es la función inversa de f , para ello usaremos las
propiedades de las funciones exponencial y logarítmica.
f(x) =senhx =ex-
2
e-x y g(x) = ln(x + Vx2 + 1)
Para demostrar que g es la inversa de f , o viceversa se debe cumplir que:
f(g(x)) = x o g(f(x)) = x
Apliquemos la composición de funciones, tal como se muestra:
eg(x) _ e-g(x) eln(x+Fx"'+i) _ e-[ln(x+Fx"'+i)J (X + ..jX
2
+ 1) - [(x+~)l
f(g(x)) = x--> f(g(x)) = senh (g(x)) =
2 2
=
2
= x
2.2.4.10.8. Gráfica de las funciones hiperbólicas inversas:
Veamos la FIGURA 2.9 que muestra los gráficos de las dos principales funciones
hiperbólicas, con sus respectivas características:

FIGURA 2.9: Gráfica del seno y coseno hiperbólico inverso
Cred~nte en todo,$u dominio.
Además:
y= senh-1x si y sólo si
x = senhy
donde y es cualquier número
real.
-00 -2
1
-1
2.1.4.UU:. Derivación e integración de funciones hiperbólicas inversas:
Presentamos a continuación las reglas de derivación y de integración, para las funciones
hiperbólicas inversas, consideremos que u, es una función derivable de x. Se puede
comprobar cada una de ellas, aplicando las definiciones logarítmicas de las funciones
hiperbólicas inversas. Veamos la TABLA 2.14.
TABlA 2.14: Derivadas e integrales de funciones hiperbólicas inversas
1
z{X (1- x)
f~ = senh-1
':+ e= In (x +.jx2 +a2 ) +e
.Jxz + az a
f__d_x_ = cosh-1 ':+e =In (x + .Jx2 - 22) +e
.Jxz _ zz 2
f dx ~tanh_l(x+l) +c=_l_lnl3+(x+l)l+c
32 -(x+1)2 3 3 2(3) 3-(x+l)
f dx 1 14+v'42+ xz¡--e==== --In +e
XV42 +x2 4 X

Demostración:
Pruebe la siguiente igualdad:
f-==d=u= = senh-1 ~
~uz + aZ a
+e
La demostración se realizará diferenciando el lado derecho de la igualdad para obtener el
integrando:
(
~) 1 ( X ) Vx
2
+ 1 +X 1D (senh-1
x) = D In x+vx2 + 1 = 1 +--- = =---
x x x+VxZ+l Vx2 +1 (x+-JX2+I)Vx2+1 Vx2 +1
f
du u
Demuestre la siguiente igualdad: -fU'2=a2 = cosh-1
-
uz _ aZ a
+e
La demostración se realizará diferenciando el lado derecho de la igualdad para obtener el
integrando:
Ejemplo ilustrativo: J dx
Calcule la siguiente integral, usando funciones hiperbólicas inversas: ----r=:==:::===;;:
x~16- 9x2
El objetivo es reescribir el integrando, considerando: a= 4 y u= 3x---> du = 3dx.
J
dx J 3dx 1 4 + ,/(4)2- (3x)2
xV16- 9x2 = (3x),/(4)2- (3x)2 =-¡In l3xl +e
f
du
uVa-z -uz
Calcule la siguiente integral, usando funciones hiperbólicas inversas:
f
dx
7- 4x2
De forma similar, reescribimos el integrando, considerando: a= -J7 y u= 2x---> du = 2dx.
Exprese cada una de las siguientes expresiones en términos de un logaritmo natural:
sech-1 0 3 =In 1+,f1=0,32 = O 6279
' 0,3
1

1.- J(x + srdx
4.- J~2x - 1 dx
6.- J(x - 8)5
dx
J
12
3.- (4x-7)3dx
9.- J21~x+14dx
J
6w3 -7
12.- -w--dw
13.- J~2u + 5 du
z= x+S dz=dx+O

14.- JFr(r2
- 2) dr
J
xz
15.- --dx
1 + x 2
J
6x2
- llx +S
16.-
1
dx
3x-
En los siguientes problemas exprese la función racional dada en términos de fracciones
parciales. Considere la posibilidad de tener siempre que dividir.
18.- f(x) =~-->
x 2 +7x+6
z X2
19.- f(x) "=. . .~
x2
+6x +8
. . 4x -s.
20.--:-f(x) = 2
..
2
.
1
-->
.· · · x + x+
Determine las integrales:
6(x2+1)
25.- Encuentre el área de la región limitada por la gráfica: y= (x+z)z , y el eje x, desde
x=Oax=l.
26.- Exprese cada una de las siguientes expresiones en términos de un logaritmo natural:

Aplicación en Medicina
problema 01
Futbolista herido: En un clásico de fútbol se disputaba la final del campeonato de ascenso
a la primera división, en una versión más de la Copa Perú. Un defensa del equipo local salta
a despejar y se golpea la cabeza con el jugador rival, cayó al césped y empezó a sangrar de
manera profusa a la altura de la frente. Tuvo que retirarse del campo y fue reemplazado.
Luego, de ser llevado a la clínica, el médico le indica que tiene un corte que obligó a ponerle
más de 12 puntos. Luego, de t días, el área de la herida empieza a cerrar y se está
reduciendo a una tasa de -4(t + 3)-2
en centímetros cuadrados por día. Del domingo, día
del partido, hasta el miércoles el área de la herida fue dos centímetros cuadrados. El
futbolista le pregunta al médico:
a) ¿cuál era el área de la herida el día del accidente?
b) ¿cuál será el área prevista de la herida el día viernes si continua sanando a esa misma
tasa?
Primer paso:
En primer lugar debemos definir nuestra variable, en este caso sea S , el área de la herida
que está sanando, en cm2
, a partir del día del partido de fútbol. Además, según la
información, el área está disminuyendo a una tasa o razón con respecto al tiempo de:
Segundo paso:
dS
- = -4(t + 3)-2
dt
Despejamos dS , para darle la forma y aplicar la integración en cada miembro:
dS = -4(t + 3)-2
dt
fdS = J-4(t + 3)-2
dt
Tercer paso:
Aplicamos el método de sustitución, hacemos que: z = t + 3 , luego diferenciamos z con
respecto a t así, dz = dt , reescribimos el integrando, obteniendo:
S= -4 J(t +3)-2
dt = -4 Jz-2
dz = -4 [~:]+e= 4z-1
+e
Cuarto paso:
Para terminar de resolver la integral reemplazamos en la ecuación original, en función del
tiempo t en días :
S= -4 J(t + 3)-2
dt = 4(t + 3)-1
+e~ S= 4(t + 3)-1
+e
Quinto paso:
De acuerdo a la información, el área de la herida sufrida por el jugador de fútbol, el día
miércoles fue de 2 cm2
, recordemos que se lesionó el domingo, hasta el miércoles han

transcurrido 3 días, es decir t = 3 . Con esta información podemos calcular la constante
arbitraria de integración e, haciendo que S(3) = 2, reemplazamos en la ecuación S:
S(t) = 4(t + 3)-1
+e
2 = 4(3 + 3)-1
+e .. e= 41J
Entonces, la ecuación de la herida que está sanando es:
S(t) = 4(t + 3)-1
+ 41J
Sexto paso:
Respondemos las preguntas:
a) El día del accidente, se considera como día inicial; es decir, el área de la herida el día del
partido de fútbol se produce cuando el tiempo es cero, t =O, entonces el área fue:
S(O) = 4(0 + 3)-1
+ 41J -¿ S(O) = 2,67 cm2
b) Luego a los 5 días, desde el domingo hasta el viernes, el área de la herida que está
sanando será:
S(5) = 4(5 + 3)-1
+ 41J -¿ S(5) = 1,83 cm2
Solución:
Finalmente, el día del accidente el área de la herida fue 2,67 cm2
, y para el día viernes será
de 1,83 cm2
, lo más probable es que el jugador esté alineando para el partido de revancha.
Aplicación en Sociología
Problema 02
!Esperanza de vida: En la ciudad de México se llevó a cabo un estudio de la esperanza de
vida con una muestra representativa de los residentes en esa ciudad. Si la tasa de cambio
de la esperanza de vida EV de personas que nacieron en la ciudad de México puede
modelarse como:
dEV 19
dt 3t+45
donde t es el número de años a partir de 1 950 y la esperanza de vida en ese año fue de 66
años, encuentre la esperanza de vida para personas que nacieron en 1 996.
Primer paso:
En este problema, en comparacron con el anterior la tasa de cambio ya está definida. Se
trata de integrar la Esperanza de vida en función del tiempo, con la finalidad de obtener la
ecuación de la Esperanza de vida, EV:
dEV 19
dt 3t + 45
Segundo paso:
Despejamos dEV para darle la forma, y aplicar la integración en cada miembro:

19 f f 19dEV=--dt-> dEV= --dt
3t + 45 3t + 45
19 f dt
.. EV == 3 t + 15
Tercer paso:
Aplicamos el método de sustitución, hacemos que: z = t + 15 , luego diferenciamos z, con
respecto a t, dz = dt , reemplazamos en la ecuación de la Esperanza de vida, obteniendo:
19 J dt 19 Jdz 19 19
EV =- - - =- - = -lnlzl + e -> EV = -lnlzl + e
3 t + 15 3 z 3 3
Cuarto paso:
Para terminar de resolver la integral reemplazamos en la ecuación original, en función del
tiempo t en días :
19J dt 19 19 19
EV =- - -
5
-> EV = -
3
lnlzl +e= -(lnlt + 151 +e) :. EV = -
3
lnlt + 151 +e
3 t + 1 3
Quinto paso:
19
Recuerde amigo lector, -e sólo se toma como e, bien, siguiendo con la información, la3 1
Esperanza de vida de los mexicanos en 1 950 fue de 66 años, es decir, en t = O-> EV = 66,
ahora calculemos la constante arbitraria de integración e, de la siguiente manera:
19
EV = 3lnlt + 151 +e
19
-> 66 = 3n(O + 15) +e -> e= 48,84
Entonces la ecuación de la Esperanza de vida es: EV(t) = ~lnlt + 151 + 48,84
Sexto paso:
La Esperanza de vida para las personas de la ciudad de México que nacieron en 1 996
(t = 46) será calculado en la función de la esperanza de vida, como sigue:
19
EV = 3lnl46 + 151 + 48,84-> EV = 74,87 años
Solución:
Finalmente, la esperanza de vida en 1 996, es mayor que en 1 950, debido a los grandes
avances en las ciencias y tecnología.
Problema 03
ilo reto!: Amigo lector, a partir de este instante, tiene 2 minutos para resolver el ejercicio
de la integral indefinida.
J
Zm-9
-;=====dm
.Jm2 - 9m+ 1
Primer paso:
Por el método de sustitución igualamos z con el radicando del integrando: z = m 2
- 9m + 1

Segundo paso:
Luego, se diferenciamos z, con respecto a m, y se despeja, la dm:
dz d 2
dz
dm = dm (m - 9m + 1) = 2m - 9 ~ dz = (2m - 9)dm :. dm = 2
m _
9
Tercer paso:
Luego, ordenamos, reemplazamos, cancelamos en el integrando, y resolvemos:
f¡==;;2=m=::=-=9==.=dm = J-2m_-_9 (-d_z_) = J dz = J z-1/2dz =(-z1-/2) +e= 2z1/2 +e
-Jm2-9m+1 -Vz 2m-9 -Vz 1h
Solución:
Finalmente, reemplazamos por la variable original m, obteniendo:
Problema 04
f---,=:::;;
2
:=m=::=-=
9
==dm = 2(m2 - 9m + 1)1
12
+e
-Jm2 - 9m + 1
Aplicando la fórmula: Otra de las técnicas, para evaluar un integral, es utilizar
directamente las fórmulas de la TABLA 2.5 (pág. 42), pero primero se debe reescribir el
integrando, utilizando el método completando el cuadrado, veamos el siguiente caso:
f
dx
-Jsx- x2
Primer paso:
Debemos reescribirlo, utilizando el método de completar el cuadrado, que consiste en
2
sumarle y restarle, la mitad del coeficiente lineal al cuadrado (D ,con el objetivo de formar
el Trinomio cuadrado perfecto (TCP) de la siguiente manera:
[
8
2 8 2]8x- x2 = -(x2 - 8x) = - x2 - 8x + (;z) - (2) = -(x2 - 8x + 16) + 16 = 16- (x- 4)2
Segundo paso:
En esta ocasión, no aplicaremos el método de sustitución, sino la fórmula de la TABLA 2.5 :
f~= sen-1 (~) +e
a2 _ x2 a
Solución:
Finalmente, reemplazamos en la fórmula precedente y obtenemos la respuesta:
fr:==d=x="" = J dx = sen-1 (-x_-_4) +e
-J8x- x2 -,)16- (x- 4)2 4

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