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Las fuerzas. Dinámica. Fuerzas gravitatorias y eléctricas
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1. DEFINICIÓN DE FUERZA COMO INTERACCIÓN ENTRE DOS CUERPOS.
FUERZA ES UNA MAGNITUD FÍSICA VECTORIAL QUE SURGE CUANDO DOS OBJETOS
INTERACCIONAN, YA SEA “POR CONTACTO” O “A DISTANCIA”.
LAS FUERZAS SE PONEN DE RELIEVE POR PRODUCIR CAMBIOS EN LA VELOCIDAD DE LOS
CUERPOS, INCLUYENDO CAMBIOS EN LA DIRECCIÓN DEL MOVIMIENTO, O BIEN POR
PRODUCIR DEFORMACIONES.
• Es muy importante aclarar desde ahora que según la definición física de fuerza, los
cuerpos no TIENEN FUERZA, sólo LA EJERCEN (o la RECIBEN).
En este tema desarrollaremos otra idea que se presta a confusión, es la idea de Fuerza
(o de interacción), que como otras, apenas se corresponde con lo que en el lenguaje
coloquial se entiende. Así por ejemplo, expresiones como “hay que tener mucha
fuerza de voluntad” o esta otra “a la gaseosa se le ha ido la fuerza”, son expresiones
corrientes del lenguaje cotidiano, pero no se corresponden con la idea de
INTERACCIÓN, que es crucial en física. Te estarás dando cuenta de que en la Ciencia
el lenguaje tiene un uso ESPECÍFICO, es decir, se usa para nombrar conceptos de
forma precisa, mientras que el lenguaje literario e incluso el lenguaje cotidiano está
lleno de CONNOTACIONES, o distintos matices en el significado de las palabras, lo cual
enriquece el lenguaje, pero dificulta la comunicación clara entre los científicos.
Por ejemplo, EL PESO ES UNA FUERZA producida por la INTERACCIÓN entre cualquier
objeto y el planeta Tierra. Es una FUERZA porque produce un cambio en la velocidad
de un cuerpo: por ejemplo, si soltamos un cuerpo, su velocidad aumenta, o si lo
lanzamos hacia arriba, su velocidad disminuye. Si lo lanzamos de manera inclinada, su
trayectoria es una curva, cambiando constantemente la dirección del movimiento
debido al peso. El peso puede producir también la deformación de algunos objetos,
por ejemplo si colgamos un muñeco de un muelle. Es además una fuerza A DISTANCIA,
porque la Tierra atrae a los objetos sin tocarlos, y hace que caigan. Los objetos no
TIENEN peso V-TIENEN MASA-, sino que RECIBEN esta fuerza.
La unidad de fuerza en el sistema internacional de unidades se llama NEWTON (N). El
nombre de esta unidad se debe al famoso científico SIR ISAAC NEWTON, quien
desarrolló los pilares de la física clásica a partir de su publicación PRINCIPA
MATHEMATICA.
“Se necesitan aproximadamente 10 Newton (9,8 N) de fuerza para levantar un objeto
de 1 kilogramo”.
Aunque podríamos nombrar otras miles de fuerzas distintas, cualquier fuerza que
conozcamos corresponde a una de las cuatro fuerzas fundamentales del universo:
• La fuerza GRAVITATORIA, que es la responsable, por ejemplo, del PESO de los
cuerpos o del movimiento circular de los planetas. Es la fuerza de atracción de los
objetos debido a su masa. Tiene largo alcance y se pone de manifiesto cuando las
masas son muy grandes, del orden de masas planetarias.
• La fuerza ELECTROMAGNÉTICA, que aparece en las uniones entre átomos para
formar las moléculas, y entre unas moléculas y otras para formar sólidos y líquidos.
Referida a la atracción y repulsión de cargas, y al magnetismo que se produce en las
cargas en movimiento. También intervienen en el contacto de objetos, por lo que son
las culpables de que no podamos atravesar las paredes. Tiene corto-medio alcance.

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• Las fuerzas NUCLEARES FUERTES, que mantienen unidas las partículas que constituyen
los núcleos atómicos (protones y neutrones por ejemplo). Estas fuerzas son las
responsables de las explosiones atómicas y de la energía nuclear. Es la fuerza más
fuerte que existe en el universo. Tiene corto alcance.
• Las fuerzas NUCLEARES DÉBILES que provocan la desintegración radiactiva de ciertos
átomos inestables transformando unas partículas en otras. Ciertas sustancias como el
Uranio, Polonio, Plutonio, etc. Son inestables ya que emiten partículas que componen
su núcleo.
Estas cuatro fuerzas actúan siempre “a distancia”, sólo que algunas de ellas actúan a
distancias muy cortas (como las fuerzas nucleares, que actúan a menos de la
millonésima parte de la millonésima parte de un metro) y otras a distancias muy largas
(como la fuerza gravitatoria, que puede actuar a miles y millones de años‐luz). De
hecho, las fuerzas que llamamos “por contacto” no son tales en realidad, por ejemplo,
cuando tú sujetas algo con la mano, los electrones (cargados negativamente) de tu
mano se repelen con los electrones del objeto (cargas iguales se repelen) a una
distancia muy corta (una mil millonésima de metro o menos). Los científicos han
necesitado siglos de estudio para llegar a la conclusión de que sólo hay cuatro fuerzas
en el universo. Aún así, algunos científicos se esfuerzan en encontrar una TEORÍA DE LA
UNIFICACIÓN para demostrar que todas las fuerzas se reducen a una sola .Como ya se
unificaron en su día las fuerzas eléctricas y magnéticas.
1. Dibuja las fuerzas que actúan sobre un objeto situado sobre una mesa. En otro
esquema distinto, dibuja las que ese objeto ejerce.
2. Si las fuerzas en la naturaleza aparecen siempre a pares, ¿cómo es posible que un
cuerpo pueda comenzar a moverse?
2. OPERACIONES CON FUERZAS. COMPOSICIÓN Y DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS.
Dado el carácter vectorial de las fuerzas, trabajaremos con vectores, y operaremos
con ellos tal como hemos tratado en el tema introductorio sobre cálculo vectorial.
Al sumar dos vectores habrá que tener en cuenta no sólo su módulo, sino también la
dirección y sentido de cada uno de ellos.
Un conjunto de fuerzas que actúan sobre un cuerpo puede sustituirse por otra (llamada
fuerza resultante o fuerza neta) y que produce el mismo efecto que las fuerzas a las
que sustituye. La fuerza resultante es la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre
un cuerpo.
a) VECTORES CON LA MISMA DIRECCIÓN:
Si las fuerzas tienen el mismo sentido, el módulo de la suma coincide con la suma de
los módulos, pero si tienen sentidos contrarios, hay que hacer la diferencia de los
módulos. La dirección del vector suma será la misma que la de los dos vectores y su
sentido será el de la fuerza de mayor módulo.
F1
F2 F1 F2

=
1+
2
=
1+
2
= − = +

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b) VECTORES PERPENDICULARES:
En este caso se forma un triángulo rectángulo entre los dos vectores y el vector suma
tendrá de módulo el determinado por el
teorema de Pitágoras:
S=√2+B2
La dirección y sentido de la RESULTANTE se ve
en el gráfico, aunque es posible calcular el
ángulo que forma el vector suma con
cualquiera de los dos vectores sumados,
haciendo uso de de la TRIGONOMETRÍA. Necesitamos en primer lugar la definición de
las dos funciones trigonométricas principales, seno y coseno:
3. Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas perpendiculares entre sí, cuyos módulos son,
respectivamente, 10 y 15 N. Determina gráfica y analíticamente el módulo de la
resultante.
4. Sobre un objeto actúan simultáneamente dos fuerzas de la misma dirección y sentido,
de 25 y 35 N respectivamente, produciendo un cambio en su velocidad. ¿Se produciría
el mismo cambio en la velocidad si actuara solamente una fuerza de 60 N de la misma
dirección y sentido que las dos anteriores?
c) CUANDO LOS VECTORES FORMAN UN ÁNGULO CUALQUIERA:
Antes de sumar vectores que forman cualquier ángulo es necesario DESCOMPONERLOS
en los dos ejes de coordenadas.
CUALQUIER vector podrá expresarse SIEMPRE como suma de otros dos vectores
perpendiculares entre sí y coincidentes con los ejes x e y.

=
+

b = a · cos α
c = a · sen α
Observa que para la componente horizontal (eje x) b
utilizamos la función coseno porque se trata del cateto
contiguo al ángulo alfa (α) mientras que para la
componente vertical (eje y) c utilizamos la función seno
porque se trata del cateto opuesto, si lo trasladamos a la derecha del dibujo.
A la inversa: si conocemos las componentes de un vector, podemos representarlo en
un sistema de ejes, y calcular el módulo del vector mediante el teorema de Pitágoras,
ya que el vector

es la hipotenusa de un triángulo rectángulo:
a2= b2+ c2
Las componentes se pueden expresar mediante una pareja de números entre
paréntesis que indican las coordenadas del punto extremo de ese vector. Por ejemplo,
el vector

(1,2) tiene un módulo de:
a =√12 +22 = √5
Observa que el módulo de un vector se escribe con la misma letra, pero sin flechita
encima.

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5. Una balsa de madera es remolcada a lo largo de un canal por dos caballos que tiran
de ella mediante cuerdas perpendiculares entre sí. Cada caballo camina por una orilla.
Suponiendo que los dos ejercen la misma fuerza y que el rozamiento de la balsa con el
agua es de 70 N, determina la fuerza con que deberá tirar cada uno para que la barca
se mueva con movimiento uniforme.
6. Determina el módulo, dirección y sentido de la resultante de sumar dos fuerzas F1
(módulo 10 N, dirección 45º), F2 (módulo 6 N, dirección eje +Y).
7. Dos tractores arrastran un enorme tronco de árbol. Uno de ellos tira con una fuerza de
2000 N formando un ángulo de 20° a la izquierda de la dirección de avance del tronco
(eje OX). ¿Con qué ángulo deberá tirar el otro tractor, que ejerce una fuerza de 1800 N,
para que las componentes laterales (eje OY) se anulen y el tronco avance en línea
recta? Determina la componente de la fuerza resultante en la dirección de avance del
tronco.
8. Obtener las componentes de cada uno de los vectores
representados en la figura si se sabe que los módulos de los
vectores a, b y c son respectivamente, 14, 10 y 16 N.
Obtener las componentes y el módulo del vector
resultante.
3.MEDICIÓN DE LAS FUERZAS. FUERZAS VARIABLES.
Como todas las magnitudes, la fuerza puede medirse. La forma más sencilla es medir
la DEFORMACIÓN que produce en un objeto, como por ejemplo un muelle, lo cual es
el fundamento de un instrumento denominado DINAMÓMETRO. El dinamómetro se rige
por la ley de Hooke.
Robert Hooke afirmó que la deformación de un material es directamente proporcional
a la fuerza ejercida sobre él. La deformación es la diferencia entre el tamaño normal
del objeto y el tamaño del objeto deformado. Es decir, si aplicamos una fuerza a un
objeto elástico, como una gomilla del pelo, se deforma (se alarga) por ejemplo 1
centímetro. Si aplicamos doble fuerza, la deformación será doble, siempre y cuando
no excedamos el LÍMITE DE ELASTICIDAD. Si superamos dicho límite, la gomilla se
deforma permanentemente y, o bien se rompe, o bien se queda estirada y no regresa
a su tamaño original. También es una deformación la COMPRESIÓN, por ejemplo
cuando presionamos una goma de borrar.
Para expresar matemáticamente esta ley,
supongamos un muelle se desplaza ∆x, es el
alargamiento o acortamiento producido, y como
éste es proporcional a la fuerza, debe existir un
número k llamado CONSTANTE DE ELÁSTICIDAD,
que es la constante de proporcionalidad y
relacionada con la naturaleza del material
elástico, de modo que:

elástica= -K · ∆x—
; K se mide en N/m
Nótese que una es la fuerza con la que el objeto
estira o comprime el cuerpo elástico, y otra la
fuerza elástica en sí, que tiene sentido opuesto. ∆x tiene sentido opuesto a la fuerza
elástica, de ahí el signo negativo de la expresión.
X0
X
∆X

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9. Determina el valor de la fuerza necesaria para comprimir 2 mm una goma de borrar, si
la constante elástica es 100 N/cm. CUIDADO CON LAS UNIDADES. Determina cuánto se
comprime la goma si ejercemos una fuerza de 5 Newton.
10. Cuando un coche está cargado con 25 kilogramos, su altura es 25 cm. Si lo cargamos
con 75 kilogramos, su altura desciende a 20 cm. ¿Cuál es la constante elástica de los
amortiguadores y cuál es la altura del coche cuando no está cargado?
11. Razona por qué al dejar caer un objeto más pesado sobre un bloque de plastilina, se
produce un hoyo de mayor profundidad.
12. ¿Es correcto decir que un objeto TIENE una determinada MASA? ¿Y que TIENE un
determinado PESO? Razónalo basándote en lo que ocurriría al llevarnos el objeto a la
Luna.
13. Un objeto de 400 kg de masa está situado sobre una superficie perfectamente lisa,
horizontal y sin rozamiento. ¿Cuál es la fuerza mínima que conseguirá moverlo: igual a su
peso, menor que su peso, mayor que su peso, cualquiera?
4. PRINCIPALES FUERZAS DE CONTACTO EN MECÁNICA.
Existen algunos tipos de fuerzas que por su interés en el análisis y en situaciones
ordinarias, reciben “nombres característicos”. Así por ejemplo, hablamos de “fuerza
elástica” a la ejercida por muelles o gomas, y más en general, a las que deforman los
cuerpos, o hablamos de “Peso” a la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra sobre los
objetos próximos y los hace caer. Además de estas, son también muy importantes las
siguientes:
·Fuerza Normal: es la fuerza de contacto entre dos
objetos sólidos. La dirección de esta fuerza es
siempre perpendicular a la superficie de contacto. Es
una fuerza repulsiva, que hace que los cuerpos no se
fundan entre si, así que se debe dibujar hacia
dentro del objeto que recibe la fuerza. Se suele
representar como N.
Aparece en Cuerpos apoyados. Supongamos que tenemos un libro en lo alto de la
mesa. Sobre el libro actúan dos fuerzas: el peso del libro y la fuerza normal, debido a su
contacto con la mesa. Ya que el libro se encuentra en equilibrio, debe cumplirse que
ambas fuerzas deben ser iguales en módulo y dirección, y sentidos opuestos.

+
= →
−
= Eliminamos las componentes en una única dirección:
P = = mg
·Fuerza de Tensión: es la fuerza que mantiene tenso un alambre, cable, cuerda,
cadena, hilo, etc. La dirección es la misma de la cuerda o cable, y el sentido es hacia
fuera. Por supuesto, debe haber una fuerza en cada extremo, para mantener tensa la
cuerda o cable. Se suele representar como T. También se le suele llamar tensión a la
fuerza que las cuerdas, cables, etc.
EJERCEN sobre los objetos a los que están unidos. En este caso, el sentido es hacia
dentro de la cuerda.
En el dibujo encontramos un cuerpo suspendido del techo a través de
un cable. Sobre el cuerpo actúan dos fuerzas.
Por un lado, el peso de dicho cuerpo y, por otro, la tensión del cable.
Como el cuerpo se encuentra en equilibrio, ambas fuerzas deben ser

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iguales en módulo y dirección y de sentidos contrarios. Así, con respecto a los módulos
se cumple:

+
= →
−
=
P = T= m·g
· Fuerza de Rozamiento: Ha llegado el momento de comenzar a tener en cuenta una importante
fuerza que en buena parte de las ocasiones está presente: la fuerza de rozamiento. En general, suele
denominarse así a toda fuerza que se opone al deslizamiento de los objetos sobre una superficie. Esta
fuerza de rozamiento posee una serie de características:
a. La fuerza de rozamiento es paralela a la superficie de contacto, y NO depende del
valor de esa superficie, aunque SÍ del tipo de éstas.
b. El módulo de la fuerza de rozamiento tiene cualquier valor desde cero hasta un
valor máximo. La fuerza máxima de rozamiento es igual a la fuerza mínima para iniciar
el movimiento. Iniciado el movimiento, la fuerza de rozamiento disminuye y permanece
constante durante todo el movimiento. A la fuerza de rozamiento que actúa desde
que el objeto está en reposo hasta que se pone en marcha, se la llama fuerza de
rozamiento estática. A la fuerza de rozamiento que actúa mientras el objeto se desliza
se la denomina fuerza de rozamiento dinámica.
c. El módulo de la fuerza de rozamiento está estrechamente relacionada con la fuerza
que la superficie es capaz de ejercer sobre el cuerpo, esto es, con la Normal (ésta a su
vez relacionada con el peso del objeto). Ambas son proporcionales, siendo el factor
de proporcionalidad conocido como coeficiente de rozamiento, µ. Se trata de un
número adimensional (sin unidades) que depende del tipo de superficies puestas en
contacto. En general se cumple que µestático µdinámico
Fr= µ·= µ·m·g
desplazamiento
Fr F
14. Dibuja las fuerzas que un libro EJERCE cuando está sobre una mesa. En otro color, dibuja
las fuerzas que el libro RECIBE. Date cuenta de que las fuerzas que ejerce y las que
recibe están emparejadas.
15. Un televisor descansa sobre una mesa. Le aplicamos una fuerza horizontal para
desplazarlo, notando que existe una cierta resistencia a moverse. Dibuja todas las
fuerzas que han actuado sobre el televisor.
16. El televisor anterior ya no funciona, así que lo vamos a dejar caer por una rampa
inclinada hasta el contenedor de reciclaje. Dibuja las fuerzas que actúan sobre el
televisor en esta situación. Ten cuidado de dibujar la Normal de modo perpendicular al
plano y el Rozamiento de modo paralelo al mismo. El peso, por supuesto, es siempre
vertical.
17. Una pistola de juguete lanza flechas con punta de imán gracias a la compresión de un
muelle que tiene en su interior. Dibuja las fuerzas que actúan sobre la flecha:
a. cuando está comprimido el muelle;
b. cuando va por el aire;
c. cuando se pega contra la puerta del frigorífico.
18. Una lámpara cuelga del techo y, al golpearla sin querer con el palo de la escoba, oscila
de un lado a otro. Dibuja las fuerzas que actúan sobre la lámpara en los dos extremos
de su trayectoria y en el punto más bajo.

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19. Desde un balcón situado a 4 m de la calle, soltamos una piedra y una moneda. Si la
masa de los dos objetos es distinta, ¿tendrán la misma aceleración? ¿Pesarán lo mismo?
¿Cuál de ellos llegará antes al suelo? ¿Cuál llegará con mayor rapidez?
20. Un coche se ha quedado atascado en la arena de la playa, de modo que varias
personas le empujan para ayudarle a salir. Dibuja las fuerzas que actúan sobre el coche
y sobre una de las personas que empujan. ¿Qué condición crees que deberá cumplirse
para que el coche pueda empezar a moverse?
21. Dibuja las fuerzas que una persona EJERCE cuando está de pié en reposo. Dibuja las
fuerzas que RECIBE cuando comienza a caminar.
22. Dibuja las fuerzas que ACTÚAN sobre una persona que salta de un bote al pantalán.
23. Un niño arrastra a velocidad constante un camión de juguete de 10 N de peso,
mediante una cuerda que forma un ángulo de 50° con la horizontal, cuya tensión es 8
N. Dibuja las fuerzas que actúan sobre el juguete y calcula el rozamiento del camión
con el suelo. ¿Es igual la normal al peso en esta situación?
24. Sobre una tabla horizontal y rugosa situamos un objeto de masa M. Por uno de sus
extremos vamos levantándola observando que la fuerza de rozamiento es capaz de
frenar el deslizamiento del objeto. Pero llega un cierto ángulo en el que el cuerpo
comienza a deslizar. .Establecer la relación entre el coeficiente de rozamiento y el
ángulo de inclinación.
25. En el techo de un coche hemos puesto una caja. Determina cuál deberá ser el µ para
que la caja no resbale cuando aceleramos el vehículo a 0,82 m/s2.
26. ¿Para qué hará falta aplicar más fuerza: para levantar a pulso una caja de 90 kg o para
arrastrarla por un suelo rugoso con un µ = 1,14?
27. Un cuadro está colgado en la pared mediante una cuerda que
pasa por un clavo, formando sus dos mitades ángulos de 90º. Sabiendo que
la máxima fuerza que puede soportar la cuerda es de 100N, calcular la
máxima masa que puede tener el cuadro. Sol. 14,42 kg
28. Calcula la tensión de la cuerda
sabiendo que la masa del cuerpo es de 102 kg.
Sol. 1000N
29. Calcula la tensión de la cuerda sabiendo que el peso
del cuerpo es 1000N.
Sol. Ta=732N; Tb= 896,6 N

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5. ESTÁTICA y EQUILIBRIO. MOMENTO DE UNA FUERZA.
Recordemos que, en Física, no sólo se habla de equilibrio cuando un cuerpo no se
mueve (equilibrio estático), sino también cuando se mueve con velocidad constante
(equilibrio dinámico). En ambos casos, la condición que deben cumplir las fuerzas es la
misma, por tanto, son situaciones indistinguibles desde el punto de vista físico, como se
expresa en el principio de inercia.
Debemos distinguir dos tipos de movimiento de un objeto, y por tanto, dos tipos de
equilibrio: el objeto puede dar vueltas sobre su centro de gravedad (rotación) y al
mismo tiempo puede trasladarse su centro de gravedad (traslación). En cada caso, la
condición de equilibrio es diferente.
• Equilibrio de traslación: cuando el centro del cuerpo no se mueve o lo hace con
velocidad constante. Para ello es necesario y suficiente que la SUMA (VECTORIAL) DE
TODAS LAS FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE EL CUERPO SEA CERO, o dicho de otro modo,
que todas esas fuerzas que actúan sobre el objeto estén CONTRARRESTADAS.
• Equilibrio de rotación: cuando el cuerpo no gira o lo hace con velocidad constante.
Para ello, NO DEBEN EXISTIR PARES DE FUERZAS APLICADAS SOBRE EL OBJETO, O SI
EXISTEN, DEBEN ESTAR CONTRARRESTADOS (p.ej. balanzas).
Se denomina par de fuerzas a dos fuerzas del mismo módulo, sentidos contrarios y
DIRECCIONES PARALELAS.
Por ejemplo, si queremos hacer girar un volante de un automóvil, las dos manos
ejercen la misma fuerza en sentidos contrarios, y sus direcciones son paralelas. Aunque
el volante no se encuentra en equilibrio de rotación, sí se encuentra en equilibrio de
traslación, porque la suma de las dos fuerzas es nula.
A veces, puede parecer que una sola fuerza puede hacer girar (o volcar) un objeto.
Pero se han de tener en cuenta siempre otras fuerzas como la tensión o la normal, que
sostienen o sujetan al objeto en un punto de apoyo. Por ejemplo, al abrir una puerta,
las bisagras realizan una fuerza igual a la nuestra, pero de sentido contrario, formando
un par de fuerzas.
Para abordar esta situación necesitamos definir una magnitud que nos permita evaluar
la capacidad de giro de los cuerpos sometidos a interacción. Tal magnitud es EL
MOMENTO.
Ya en el primer tema dedicado al cálculo vectorial se adelantó algo de esta magnitud
y de su importancia física. Ahora vamos a introducir un segundo nivel de aproximación
a ella.
En las situaciones en las que en máquinas simples aparecen giros, al abrir una puerta,
al rotar un volante, al apretar un tornillo…El giro se consigue tanto mejor, no solo
cuánto la fuerza aplicada es mayor, sino cuanto mayor es la distancia del punto de
aplicación de la fuerza, al punto fijo. El par de fuerzas aumenta su efecto si aumenta la
distancia entre las fuerzas. Por ejemplo, es más fácil hacer girar un destornillador de
mango grueso, porque así aumenta la distancia entre las dos fuerzas del par.
Aunque también veremos cómo podemos hacer girar objetos sin puntos fijos.

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La magnitud Momento de una fuerza respecto a un punto,
nos permite medir la CAPACIDAD de GIRO.
Se define el momento de una fuerza respecto a un punto,
como el producto vectorial del vector de posición respecto
al punto y a fuerza.

=

El módulo del vector momento, por definición de producto
vectorial es:
= · · = · !
Su unidad es en N·m
El sentido de giro depende de la dirección de los vectores r y F, haciendo girar uno
sobre el otro por el camino más corto, y usando la regla del tornillo aprendida en el
tema 1 de física, sobre cálculo vectorial.
En ocasiones no existe un punto fijo, y en ocasiones para producir un giro hay que
aplicar un par de fuerzas, pero no dos fuerzas cualesquiera sino dos fuerzas de igual
módulo, direcciones paralelas y sentidos opuestos. Se produce un par de fuerzas y el
resultado es un giro. La resultante de un par de fuerzas en sentido opuesto es cero, el
cuerpo no se traslada. Pero como están aplicadas en sitios distintos, si rota.
• Para determinar los puntos de aplicación del vector fuerza aplicaremos
métodos gráficos y analizaremos matemáticamente el efecto producido.
• Para determinar el momento total respecto a un punto, sumamos todos los
vectores momentos de fuerzas respecto a ese punto:

=

+

En resumen, para que un cuerpo se mantenga en equilibrio de rotación y traslación:
#
= 0
%
= 0
De hecho, de esta segunda condición se deduce la ley de la palanca.
CASOS A ANALIZAR:
a) Fuerzas paralelas: Traslación y rotación en un punto.
Al ser las fuerzas vectores deslizantes, se pueden trasladar en la misma dirección.
El módulo de la fuerza resultante es la suma (en fuerzas del mismo de la fuerza
resultante sentido) o la resta (en fuerzas de sentido contrario) de los módulos de cada
fuerza.

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Método gráfico de cálculo de la fuerza resultante de dos fuerzas paralelas:
• Se traza una paralela a la fuerza F1 (la de mayor módulo) en el mismo sentido
de ésta sobre el punto de aplicación de F2.
• Se traza una paralela a F2 y en sentido opuesto sobre F1.
• Se unen los extremos de de ambas proyecciones.
• El punto de corte con la línea de acción de ambas fuerzas nos da el punto de
aplicación de la resultante, que se calcula como suma o resta de ambas según
su sentido.
Para calcular matemáticamente el punto de aplicación tomamos momentos respecto
al punto O (punto de aplicación de la resultante). La suma de los momentos en ese
punto es cero.
%
+ %'
=0, sentidos de momentos opuestos
%(
− %'(
= 0
) · # · *+, 90 − )' · #' · *+, 90 = 0, como r y F son perpendiculares (r=d):
F1 · d1 = F2 · d2
Si conocemos la distancia total que separa a ambas fuerzas, basta con poner una
distancia en función de la otra y despejar.
Ejemplo. Dos fuerzas paralelas F1 y F2, de intensidades 1 y 5 N y de sentido opuesto, se
aplican perpendicularmente en los extremos de una barra de 10 m de longitud.
Calcular el valor de la resultante y el punto de aplicación.
O x 10 m F2= 5N
FR= 5N F1=10 N
FR= 10N – 5N= 5N
El punto O es un ponto de aplicación de la fuerza resultante no sometido a giro.
Por tanto F1 · d1 = F2 · d2

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10 N· x = 5N (10 m + x) → x=10m
El punto de aplicación de la fuerza resultante está situado a 10 m del punto de
aplicación de la fuerza mayor.
La rotación se puede determinar respecto a cualquier punto P, que no es el
punto de aplicación O de ambas fuerzas (ya que ahí no hay giro), para determinar el
sentido de giro del sistema. Para ello habrá que calcular la resultante de la suma de los
vectores momentos de cada fuerza respecto a ese punto, aplicando la regla de
sentido de giro del tornillo. Sentido antihorario(+), sentido horario (-).
r1=d1 o M2 r2=d2
P
F1 M1 F2
Frte
%
= %
− %
' ≠ 0 +, /0,12 3, *+,1562 6+ 75)2

)52 +
Ejemplo. Para el sistema del ejemplo anterior, determinar el sentido de giro de un
punto situado en el centro de la barra. Representar el vector momento resultante.
5m 5m F1= 5N
r2 r1
F2=10 N
%
= %
+ %
'
292 ) : # *2, /+)/+,650;

92* 9ó60;2*

=

+

= F1·d1 + F2·d2 = 5 N ·5m + 10N · 5m= 75 N·m
b) Fuerzas paralelas iguales en el distinto sentido: PAR DE FUERZAS. Solo rotación
• Es imposible DETERMINAR el punto de
aplicación de ambas fuerzas, pues se
contrarrestan. Hay equilibrio de traslación
• Si existe rotación, ya que los momentos
respecto a cualquier punto de la línea de
acción se suman.
Ambos giros son
antihorarios y por
tanto positivos(+)

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• Para el punto medio de acción de las fuerzas
d d
M = F · — + F · — = F · d
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donde “d” es la distancia que separa las rectas dirección de ambas fuerzas
(brazo del par).
Un caso importante de equilibrio de rotación son las balanzas. Tienen un punto de
apoyo alrededor del cual pueden girar, y dos brazos. Se pretende alcanzar el
equilibrio de rotación, y para ello el par de fuerzas ejercido por cada brazo debe ser el
mismo. La suma de los momentos RESPECTO AL PUNTO ha de ser igual a 0. Los
momentos tienen sentidos opuestos.Se consigue que los momentos se anulen en el
equilibrio. No habría pues rotación.
r1=d1 M2 r2=d2
M1
F1 F2
%
+ %'
=0, sentidos de momentos opuestos
%(
− %'(
= 0
) · # · *+, 90 − )' · #' · *+, 90 = 0, como r y F son perpendiculares (r=d):
F1 · d1 = F2 · d2
En resumen, para que exista equilibrio de rotación es suficiente que todas las fuerzas
que se aplican sobre el cuerpo TENGAN EL MISMO PUNTO DE APLICACIÓN, o al menos
ESTÉN SITUADAS EN LA MISMA RECTA. De ese modo no existen pares de fuerzas.
Ejemplo. En la figura aparece una barra sometida a dos fuerzas
y
, de módulos 25
y 40 n respectivamente. Calcula el momento resultante respecto al punto O.
Calculamos el momento de F
1 respecto al punto O:
M1= F1·d1= 25 N ·0,15 m= 3,7 N·m;
M1 es positivo ya que produce giro en sentido
antihorario.
M2= -F2·d2= -r2·F2·senα= -40 N· 0,9m· sen 30º= -18 N·m;
M2 es negativo ya que produce un giro en sentido horario.
El momento resultante M= M1+M2= 3,7 N·m + (-18 N·m)= -14,2 N·m
El momento resultante nos da idea según su signo de que el giro se producirá en
sentido de las agujas del reloj.

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30. Determina si está en equilibrio un cuerpo sometido a la acción de las siguientes fuerzas:
1 10N
20N
30N 30º
31. Si de una balanza cuyo eje mide 30 cm cuelga un cuerpo de 3 kg en un extremo y del
otro una masa de 4,5 kg, ¿dónde debe de colocarse cada masa para que la balanza
permanezca en equilibrio?
32. Dos fuerzas paralelas actúan sobre los extremos de un tronco, de módulos F1= 15 N y F2=
6N, y cuyos puntos de aplicación están separados 10 m. Determina el módulo de la
resultante y su punto de aplicación en los siguientes casos:
a) Las fuerzas tienen el mismo sentido
b) Las fuerzas tiene sentidos opuestos.
Sol. a) FR= 21 N, d1= 2,86 m, d2= 7,14 m; b) FR= 9 N, d1= 6,7 m, d2= 16,7 m
33. En una balanza romana, una pesa de 10 g se sitúa a 5 cm del punto de apoyo. ¿Qué
masa se encuentra en el platillo de la balanza, si la distancia de éste al punto de apoyo
es de 2 cm?
• ¿Es directamente proporcional la masa del platillo a la distancia de la pesa al punto
de apoyo?
• Si transportamos dicha balanza hasta la Luna, la aceleración de la gravedad es
diferente. ¿Continuará la balanza en equilibrio?
34. Explica por qué cuesta más esfuerzo abrir un portón si empujamos cerca de las bisagras.
¿Cuál es el par de fuerzas que hace girar al portón?
• Explica por qué, al colgar un cuadro, si no colocamos el cáncamo exactamente en el
centro, el cuadro se queda torcido. ¿Cuál es el par de fuerzas que hace girar al
cuadro?
35. Calcula el momento resultante del sistema de la
figura respecto al punto O. Sol. -10N·m
36. En los extremos de una tabla de 6 m de longitud
y 30 kg de masa se colocan dos niños de 40 y 50 kg, respectivamente. ¿Dónde debe
estas situado el punto de apoyo para conseguir el equilibrio? Sol. A 2,75 m del niño de
mayor masa.
37. En la figura aparece una barra sometida
a dos fuerzas #
y #
' , de módulos 3 y 5 N
respectivamente. Calcula el momento resultante
respecto al punto O. Sol -5,8N·m
38. La resultante de dos fuerzas paralelas de
sentidos contrarios tiene un valor de 27 N y está
situada a 1m de la fuerza mayor. ¿Cuánto vale la
fuerza menor si la distancia de separación de
ambas fuerzas es de 3m? Sol. F2=9N
39. ¿Es cierto de que las fuerzas iguales y de sentido contrario producen equilibrio?
40. En los extremos de una barra de 1,5 m de longitud se aplican perpendicularmente a ella
dos fuerzas paralelas del mismo sentido, una de doble valor que la otra. Calcular el valor
de la resultante y la distancia entre su punto de aplicación y el punto de aplicación de
la mayor. Sol. 3F, 1m.

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14
41. En la figura de observa una regla que puede girar en
torno a un punto O. Calcula los momentos de cada
fuerza, respecto a este punto y el momento resultante
de la misma. Sol.M1=1,28 N·m; M2=-1,80 N·m;M=-0,52
N·m
42. Calcula el momento resultante del sistema de fuerzas de la figura respecto al punto
O.Sol 1,63 N·m
6. PRINCIPIOS DE NEWTON
Una vez que conocemos cómo manejar vectorialmente
las fuerzas, estamos ya en condiciones de analizar
detenidamente cuáles son las consecuencias de las
fuerzas sobre el movimiento de los objetos.
Aristóteles (384‐322 a JC) pensaba que para mantener
un cuerpo en movimiento había que realizar una fuerza
sobre el mismo. Decía que el “estado natural” de los
objetos es el reposo, y que los objetos “tienden” a volver
a él lo antes posible. Sin embargo, como ya señalamos
en el tema anterior, Aristóteles no realizó ningún
experimento, por lo que estas conclusiones no podemos
decir que sean “científicas”.
El inventor del método científico, Galileo Galilei (1564‐1642) planteó la necesidad de
realizar experiencias para avanzar en el conocimiento de la Naturaleza. De esta forma
experimentó con el movimiento de un cuerpo que es lanzado sobre una superficie
horizontal y descubrió que mientras más pulida está la superficie, más tiempo tarda el
cuerpo en pararse. Ahora bien, Galileo fue capaz de una genialidad, que es descubrir
una ley que gobierna el movimiento de los cuerpos, aunque no se pueda observar
directamente. Se imaginó que, con una superficie perfectamente pulida, el cuerpo
seguiría moviéndose con velocidad constante sin detenerse jamás. Es la rugosidad de
la superficie la que provoca el frenado del cuerpo. Por tanto, se necesita una fuerza
para PONER EN MOVIMIENTO un cuerpo en reposo, pero una vez en movimiento, NO
SE NECESITA NINGUNA FUERZA para que el cuerpo siga con movimiento rectilíneo
uniforme. Isaac Newton (1642‐1727) publicó en 1687 un libro titulado Principia
Mathematica Philosophiae Naturalis (Principios matemáticos de la Filosofía Natural –
así llamaban antes a la Física). Es un libro donde se utilizan las Matemáticas para
describir y calcular fenómenos relacionados con el movimiento, esto es, se trata del
primer libro de Física de la historia. En este libro, que recoge la obra iniciada por
Galileo, se incluyen las tres leyes básicas que gobiernan el movimiento de los cuerpos.
Esas leyes básicas están incluidas implícitamente en la definición de fuerza que
estamos trabajando desde el comienzo de este tema. Separadamente, a tales leyes
se las denominan PRINCIPIOS o LEYES DE NEWTON o DE LA DINÁMICA.

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15
• PRIMER PRINCIPIO o LEY DE LA INERCIA: Cuando la fuerza neta aplicada sobre un
cuerpo es nula (cero), el cuerpo permanece con velocidad constante. Se le llama
INERCIA a la tendencia de los cuerpos a permanecer en reposo o en movimiento
rectilíneo uniforme, esto es, con velocidad constante.
En efecto, si la RESULTANTE DE LAS FUERZAS que actúan sobre el cuerpo es nula, el
cuerpo seguirá como está; esto es lo que en Física se le llama EQUILIBRIO. El estado de
reposo es equivalente al MRU.
IMPORTANTE: aunque se diga en el lenguaje coloquial LA “FUERZA DE LA INERCIA”, NO
ES NINGUNA FUERZA. La inercia es una tendencia, nada más.
Si al cabo de un rato de ceder una fuerza un cuerpo se detiene, no es porque se le
acaba la fuerza que se le dio, sino porque ha actuado una fuerza en sentido contrario
al movimiento, como es el rozamiento.
Para que el cuerpo esté en equilibrio, es suficiente que la RESULTANTE de las fuerzas sea
nula. Más adelante estudiaremos las condiciones que tienen que reunir varias fuerzas
para que el cuerpo permanezca en equilibrio.
Reposo
Si #
resultante=0 ó
MRU
En realidad esta ley parece ir en contra del ‘sentido común’ pues se tiene la creencia
(errónea) de que para que un cuerpo se mantenga en movimiento es necesario que
una fuerza actúe constantemente sobre él. Esta opinión perduró durante mucho
tiempo, hasta que Galileo Galilei1 llegara a la conclusión contraria: los cuerpos pueden
mantenerse en movimiento sin la participación de ninguna fuerza.
Dado que el movimiento de los cuerpos es una cuestión relativa (o ligada a un sistema
de referencia en concreto), esta ley está muy sujeta a la elección de los mismos, de tal
modo que todos aquéllos sistemas considerados en reposo o en movimiento uniforme
se los denomina SISTEMAS DE REFERENCIA INERCIALES, para lo que se cumplen las leyes
física (no solo la ley de inercia). Algo de esto ya hablamos en el tema anterior. Los
sistemas de referencia en rotación o, en general, acelerados, constituyen sistemas de
referencia NO inerciales, y en ellos no se cumplen las leyes de Newton. Sobre este
tema daremos buena cuenta en un apartado posterior al análisis de las leyes de
Newton.
• SEGUNDO PRINCIPIO: Si la fuerza resultante sobre un cuerpo es distinta de cero, se
produce un cambio en la velocidad del cuerpo, es decir, una aceleración. La
dirección y sentido de esta aceleración es la de la fuerza neta que la produce. La
constante de proporcionalidad entre la fuerza y la aceleración es la MASA del objeto,
como se indica en esta fórmula:

= ·?

Si la masa es pequeña, se necesitará también una fuerza pequeña para conseguir una
determinada aceleración. Pero si la masa es grande, al multiplicarla por la aceleración
deseada, obtendremos una fuerza también grande.
Esta ley incluye en sí misma a la ley de la inercia como un caso particular. En efecto, si
el cuerpo no se mueve o lo hace con velocidad constante, su aceleración es nula
(cero), y al multiplicarla por la masa, se obtiene una fuerza resultante cero.
La fuerza
está referida a la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto en
cuestión.

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16
Si la masa del objeto se expresa en el sistema internacional en kg y también la
aceleración (m/s2), la fuerza queda expresada en Newton, como ya se ha dicho. Esto
significa que el Newton es equivalente a:
N = kg · m/s2
Esto que hemos hecho puede hacerse con cualquier fórmula: sustituimos las
magnitudes por las unidades en las que se miden. De ese modo, obtenemos
equivalencias entre unidades del sistema internacional.
7. CANTIDAD DE MOVIMIENTO O MOMENTO LINEAL.
Es fácil comprobar que hay una mayor dificultad para acelerar o frenar un camión
que se mueve con UNA MISMA velocidad que una bicicleta: dicho de otro modo, hay
una mayor resistencia a que se les cambien el movimiento. Tal resistencia a ese
cambio de movimiento es lo que venimos denominando inercia. Sin embargo, la
inercia de un cuerpo ‘es una cualidad’ y si deseamos comparar cuánta más inercia
tiene el camión que la bicicleta hemos de asignarle un valor cuantitativo. El valor
numérico que nos da la medida de la inercia es lo que se denomina como ‘masa
inercial’ y parece claro con el ejemplo del camión y la bicicleta que la velocidad y la
masa inercial son los dos conceptos claves para caracterizar ‘el estado’ de un
movimiento.
A la vez podemos considerar el efecto que produce un cuerpo por el hecho de llevar
una determinada velocidad, el efecto que produce una pelota de tenia a 300 km/h
puede ser más devastador, que el que puede producir una coche que esté casi a 2
km/h…
La magnitud que relaciona la masa y la velocidad del cuerpo, se denomina
CANTIDAD de MOVIMIENTO (o momento lineal) que videntemente resultará una
magnitud vectorial.
@

= ∙ B

La unidad de cantidad de movimiento en el S.I. es el kg · m/s.
Al haber introducido esta nueva magnitud para ayudarnos a caracterizar los
movimientos, las leyes de Newton adquieren un sentido más amplio.
La ley de inercia es reformulable en unos términos más precisos al admitir que si sobre
un cuerpo NO actúan fuerzas exteriores (una partícula aislada), y por tanto NO variar ni
su masa ni su velocidad, LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO PERMANECE CONSTANTE.
Observa que visto de este modo, lo que exige la ley de inercia no es exactamente que
se conserve la velocidad, sino el producto de masa por velocidad. Estrictamente
hablando NO hay partículas aisladas, de modo que se consideran así cuando están lo
suficientemente alejadas unas de otras como para considerar que no perciben sus
mutuas influencias.
La segunda ley de la Dinámica (la ley fundamental) también admite una
reformulación, del siguiente modo:
∑

= m.·a
Recordemos que:
?

=
∆B

∆D

= ∙
∆B

∆D
como asumimos que la masa permanece constante:

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17

=
∆(∙B

)
∆D
=
∆@

∆D
Para instantes de tiempos muy cortos se expresa como:
=
!@

!D
A partir de esta expresión reformulamos las dos primeras leyes de Newton como:
Se demuestra: @G
= @
→ ∙ BG
= ∙ B

Un resultado que se deduce de este último modo de escribir la segunda ley de
Newton, es la relación existente entre la fuerza y el tiempo de actuación de la misma.
Así pueden conseguirse iguales efectos al actuar una fuerza intensa sobre un cuerpo
en un breve instante, que otra de menor intensidad actuando un lapso de tiempo más
grande.
Estas ideas constituyen la esencia de otra magnitud (vectorial) llamada impulso
mecánico, (I) definida como el producto de la fuerza por el tiempo de actuación de
la misma, cumpliéndose la igualdad entre impulso y variación de momento lineal:
∑

∙ ∆D = ∆@
= I

• TERCER PRINCIPIO: La fuerza es consecuencia de la interacción entre dos cuerpos. Si
un cuerpo realiza una fuerza sobre otro, éste también actúa sobre el primero con una
fuerza IGUAL EN MÓDULO Y DIRECCIÓN, pero en SENTIDO CONTRARIO. Estas dos fuerzas
forman lo que se llama un par ACCIÓN – REACCIÓN, una de ellas es la acción y la otra
la reacción.

a/b=-
b/a
No se realiza primero la acción y más tarde la reacción, sino
que son simultáneas. ¿Por qué no se contrarrestan entonces?
Porque cada una actúa sobre un objeto distinto. Para caminar
realizamos una fuerza hacia atrás, por lo que recibimos un
impulso hacia adelante.
Del mismo modo, cuando las ruedas del coche o la bicicleta
intentan resbalar hacia atrás, si su rugosidad se lo impide,
reciben una fuerza hacia adelante. También los barcos, con sus
Si la resultante de las fuerzas que actúan sobre u cuerpo es igual a 0.
∆@

∆D
=
la cantidad de movimiento asociada a ese cuerpo permanece constante.
Si la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es no nula.
∆@

∆D
= ∑

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hélices, impulsan el agua hacia atrás, lo mismo que cuando remamos en un lago, por
lo que recibimos una fuerza hacia adelante. Por último, los aviones, en especial los
llamados “aviones a reacció
velocidad, al igual que los cohetes, lo que provoca una fuerza hacia adelante.
La normal no es la reacción del peso. La reacción del peso es la fuerza con la que los
objetos atraen a la Tierra. A pesar de la
IGUALES. Lo que ocurre es que el objeto de menor masa (el libro en este caso) es el
que experimenta una mayor aceleración, y por eso se observa que el libro se mueve,
pero no se observa que la Tierra se mueva h
La tierra no se mueve hacía el libro ya que la masa de
grande su masa su aceleración a
Cantidad de movimiento y tercera ley de Newton:
Existe una consecuencia sencilla, pero muy importante, de esta tercera ley en el caso
de dos objetos aislados de su medio ambiente de modo que las únicas fuerzas que
actúan sobre ellos son las que se ejercen entre sí.
Bajo estas condiciones, sea m
y m2 y v2 las correspondientes al otro. Las fuerzas que cada uno de ellos ejerce sobre el
otro las denominaremos F12
como:
para dos cuerpos sujetos únicamente a sus interacciones mutuas,
de las cantidades de movimiento de los cuerpos permanece constante a
tiempo. Este resultado es equivalente a la tercera ley de Newton. De hecho, parece
llamados “aviones a reacción” expulsan un chorro de gases calientes a gran
objetos atraen a la Tierra. A pesar de la diferencia de tamaños, estas dos fuerzas son
pero no se observa que la Tierra se mueva hacia el libro.
F T/L
FL/T
La tierra no se mueve hacía el libro ya que la masa de la tierra lo impide. Al ser tan
de su masa su aceleración aJ0.
FL/T = mT· aT Si m a
FT/L = mL· aL Si m a
Cantidad de movimiento y tercera ley de Newton:
de su medio ambiente de modo que las únicas fuerzas que
actúan sobre ellos son las que se ejercen entre sí.
Bajo estas condiciones, sea m1 y v1 la masa y velocidad inicial de uno de esos cuerpos,
las correspondientes al otro. Las fuerzas que cada uno de ellos ejerce sobre el
12 y F21. En realidad la relación entre ambas puede escribirse
K
= −K

0= K
+ K

0=
∆@

∆D
+
∆@

∆D
0= ∆@
+ ∆@

= (B
− B
) + (B
− B
)
(B
+ B
) = (B
+ B
)
@
?D !L M@?NDOP@

!@QR !L M@?NDO
para dos cuerpos sujetos únicamente a sus interacciones mutuas, la suma VECTORIAL
cantidades de movimiento de los cuerpos permanece constante a
. Este resultado es equivalente a la tercera ley de Newton. De hecho, parece
Fuerzas gravitatorias y eléctricas
18
n” expulsan un chorro de gases calientes a gran
diferencia de tamaños, estas dos fuerzas son
la tierra lo impide. Al ser tan
de su medio ambiente de modo que las únicas fuerzas que
masa y velocidad inicial de uno de esos cuerpos,
las correspondientes al otro. Las fuerzas que cada uno de ellos ejerce sobre el
. En realidad la relación entre ambas puede escribirse
suma VECTORIAL
cantidades de movimiento de los cuerpos permanece constante a lo largo del
. Este resultado es equivalente a la tercera ley de Newton. De hecho, parece

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19
que Newton llegó a su enunciado de la acción y reacción estudiando la cantidad de
movimiento de dos cuerpos antes y después de que chocaran.
Ejemplo. Tenemos dos esferas de masas m1= 0,3 kg y m2= 0,5 kg que se deslizan sobre
una mesa a velocidades de 5 m/s hacía la derecha y 2 m/s hacía la izquierda
respectivamente. Considerando que no se disipa energía en el instante del choque,
calcula la velocidad y el sentido de la de mayor masa después del choque
suponiendo que la de menor masa sale despedida hacia la derecha a 3,5 m/s.
Cómo no existen fuerzas disipativas, podemos aplicar el principio de conservación de
la cantidad de movimiento.
Cuando el choque es como el que se muestra en la figura el choque se denomina
frontal y como el movimiento antes y después tiene lugar según una única dirección,
se puede prescindir de la notación vectorial y poner simplemente:
m1 v01 + m2 v02 = m1 v1+ m2 v2
El sentido de movimiento (hacia la izquierda o hacia la derecha) se indica mediante el
signo + ó -.
0.3 · 5m/s + 0,5· (-2m/s) = 0,3 ·v01 + 0,5 ·3,5 m/s
v01= - 4,16 m/s;
La esfera de mayor masa sale despedida en sentido opuesto a la de menor masa.
Ejemplo.
Un trozo de plastilina de 250 g es lanzado con una velocidad de 10 m/s contra un
bloque de madera de 500 g situado sobre una mesa horizontal. Tras el impacto la
plastilina queda adherida al bloque. Calcular la velocidad con la que se inicia el
deslizamiento del conjunto.
m m
V1
*
V2
*
m
m
Antes Después
V01 V02
antes después
* *
1 2 1 2
* *
1 2 1 2
1 2 1 2
p p
p p p p
m v m v m v m v
=
+ = +
+ = +
r r
r r r r
r r r r
v1
v*
m1 m2
antes 1 1 2 2
p m v m v
= + ( )
( )
( )
( )
2
*
desp 1 2
*
antes desp 1 1 1 2
1 1
*
1 2
; v 0
p m m v
p p ; m v m m v
0,250 kg
m v
v
m m
=
= +
= = +
= =
+
m
10
s
(0,250 0,500)kg
+
m
3,33
s
=

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43. ¿Es cierto que...
a. Si la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es cero, el cuerpo estará en
reposo.
b. El movimiento de un cuerpo siempre tiene lugar en la dirección de la resultante de la
fuerza.
c. Si la velocidad de un cuerpo es cero, la resultante de las fuerzas en ese instante debe
ser también cero.
44. Un burro perezoso recibió de repente el don de hablar y dijo al campesino: “Es inútil que
tire del carro, porque el carro tirará de mí con la misma fuerza y nunca conseguiré
moverlo”. ¿Qué debe responderle el campesino?
45. ¿Por qué cuando vamos de pie en un autobús (lo cual está prohibido) y de repente el
conductor frena, nos vamos hacia la parte delantera del autobús? Explícalo basándote
en uno de los principios de Newton.
• Si viajamos sin cinturón de seguridad, incluso en los asientos traseros, en el caso de que
el coche frene bruscamente, nos estrellaríamos contra el parabrisas o contra el asiento
delantero con la misma velocidad que lleve el automóvil. Si nos estrellamos, por
ejemplo, a 50 km/h (que es la velocidad máxima permitida en ciudad), esto sería
equivalente al daño que nos haríamos cayendo… ¿desde qué altura?
46. Un cuerpo tiene una masa de 10 kg. Sobre él actúan dos fuerzas en la misma dirección y
sentido. Una de ellas vale 50 N y la resultante de ambas, 80 N. ¿Qué valor corresponde a
la otra fuerza y qué aceleración adquiere el cuerpo?
47. El motor de una motocicleta ejerce una fuerza mucho menor que el de un camión, y sin
embargo, al ponerse en verde un semáforo, la moto sale antes que el camión. ¿Cuál de
los principios de Newton explica esto?
48. Un vehículo de masa 800 kg está sometido a una fuerza neta de 6000 N. Determina el
tiempo que invertirá dicho vehículo en alcanzar una velocidad de 100 km/h partiendo
del reposo. Calcula el espacio recorrido en dicho tiempo.
49. Explica, basándote en los principios de Newton, por qué si das un empujón a un
muchacho muy corpulento, eres tú el que te caes hacia atrás.
50. Se aplica una fuerza de 50 N que forma un ángulo
de 60º con la horizontal, a un cuerpo de 8 kg de
masa. Calcula la aceleración del cuerpo si este se
mueve por un plano horizontal y el coeficiente de
rozamiento es de 0,1. Sol. 2,7 m/s2
51. Subidos cada uno en una barca, Andrés y Juan empujan sus manos unas contra otras,
interaccionando con una fuerza de 40 N durante 3 segundos. Si la masa de cada barca
es 80 kg, la de Andrés es 60 kg y la de Juan es 40 kg, determina la aceleración de cada
uno, y la velocidad final, suponiendo que no existe rozamiento con el agua.
52. Si empujamos un coche parado sin freno con una fuerza de 400 N durante 10 segundos,
conseguimos que se mueva a 0’5 m/s. Calcula la masa del vehículo.
• Si le damos un fuerte empujón de 2000 N durante 1 segundo, aparte de hacernos
daño, ¿conseguiremos que se mueva a más velocidad?
53. Un guisante seco de 0,4 g de masa es disparado con una pajita de plástico bajo la
acción de una fuerza de 0,35 N durante los 0,14 s que permanece en la cañita.
Determina la rapidez que tendrá al salir disparado.
54. Se dispara un proyectil de 100 gramos en dirección horizontal y choca contra un bloque
de madera de 15 kg que está en reposo sobre una mesa. El conjunto bloque-proyectil
resbala sobre una mesa y recorre 1,15 m hasta que se para. El coeficiente de
rozamiento entre el bloque y la mesa es de 0,4. Calcula:

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a) El valor de la fuerza de rozamiento
b) Velocidad con la que empezó a moverse el conjunto bloque-proyectil.
c) Velocidad del proyectil antes del choque.
Sol. Fr= 59,192N; vconjunto= 3m/s; vproyectil-antes= 453m/s
55. Un fusil de 4 kg dispara balas de 8 g con una rapidez de 150 m/s. Determina la rapidez
de retroceso del fusil.
56. Un hombre de 80 kg de masa está patinando con una rapidez de 6 m/s y choca con un
niño de 40 kg que está patinando en sentido contrario a 9 m/s. ¿Cuál es la velocidad de
los dos juntos cuando chocan?
57. Una pelota de 55 g choca contra una raqueta a144 km/h y rebota con la misma
rapidez. El contacto dura 15 centésimas de segundo. Determina la variación de
cantidad de movimiento y la fuerza ejercida sobre la pelota, admitiendo que la pelota
incide y rebota perpendicularmente a la raqueta.
58. Una bola de billar golpea a otra que se
encuentra en reposo, y tras el choque se
mueven tal como indica la figura. Sabiendo
que las dos bolas tienen la misma masa, y
que la primera reduce su velocidad a la
mitad, calcula él ángulo con el que sale la
segunda bola.Sol. 26,6º
59. Deseamos medir la relación entre las masas
de dos carritos A y B que colisionan. Para
ello lanzamos el carrito A con una rapidez de 0,7 m/s contra el carrito B que está en
reposo. Después del impacto, A rebota con una rapidez de 0,3 m/s, mientras que B sale
despedido con una rapidez de 0,5 m/s. ¿Cuál de las dos masa es mayor y en qué
proporción? Sol. La masa de B es el doble de la masa de A
60. Un vagón que dispone de un contenedor abierto por la parte superior tiene una masa
total de 1250 kg y se mueve a una velocidad de 30 km/h sobre una vía recta. En cierto
momento comienza a llover y el contenedor se llena a razón de 5 L/min. A) ¿Con qué
velocidad se moverá al cabo de una hora y media de incesante lluvia (se desprecia el
rozamiento). B) Expresa la rapidez del vagón en función del tiempo. Solución: a) 22 km/h
61. Un camión va cargado con cajas de huevos. El coeficiente de rozamiento entre las
cajas y el suelo del camión es 0,3. Suponiendo que el camión se mueve a 72 km/h,
calcula la distancia mínima en que debe detenerse, frenando de manera uniforme,
para que las cajas no deslicen.
62. Dos bloques de 10 kg y 20 kg, respectivamente, que están en contacto uno con otro se
encuentran inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal. Si se aplica una
fuerza horizontal de 8 N: a) ¿Qué aceleración adquiere el conjunto?; b) ¿qué otras
fuerzas operan sobre el sistema?; c) ¿Cuál es el valor de las fuerzas de contacto entre
ambos bloques? Sol. 0.26 m/s2; 2.66 N
63. Desde un helicóptero que está a 1000 m de altura lanzamos horizontalmente y hacia la
derecha un proyectil de 10 kg de masa con una rapidez de 200 m/s. Despreciando
rozamientos, calcula la cantidad de movimiento (vector) del proyectil 10 segundos
después de su lanzamiento.
64. Un tenista recibe una pelota de 55 g de masa, con una rapidez de 72 km/h; y la
devuelve, en sentido contrario, con una rapidez de 36 km/h. Determina el impulso que
recibe la pelota y la fuerza (media) que aplica el tenista, si el contacto de la pelota con
la raqueta dura una centésima de segundo.

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65. Una misma fuerza, ¿producirá el mismo efecto al actuar durante 1 segundo sobre un
cuerpo de 4 kg que si actúa durante 4 segundos sobre un cuerpo de 1 kg?
66. Un vagón de 890 kg está detenido en una vía cuando se dirige hacia él otro vagón de
1300 kg con una rapidez de 24 km/h en línea recta. Tras la colisión, ambos quedan
enganchados, pero ¿a qué velocidad se moverán? ¿Cuál hubiera sido la velocidad tras
la colisión si inicialmente el vagón de 890 kg se dirige hacia el segundo con una rapidez
de 14 km/h? ¿Y si el vagón de 890 kg llevara inicialmente una rapidez de 8 km/h en la
misma dirección y sentido que el que colisiona con él a 24 km/h?
67. Una barca está en reposo. Juan, de 70 kg, salta desde la proa (hacia fuera) con una
rapidez de 4 m/s y justo en el mismo instante, Beatriz, de 50 kg lo hace desde la popa
con una rapidez de 3 m/s. Determinar la rapidez de la barca justo después de ambos
saltos sabiendo que la masa de la barca es de 100 kg.
68. Un proyectil de 5 g de masa se dispara horizontalmente sobre un bloque de madera de
3 Kg que se halla en reposo sobre una superficie horizontal. El coeficiente de rozamiento
entre el bloque y la superficie es de 0,2. El proyectil permanece empotrado en el
bloque, y se observa que éste desliza 25 cm. sobre la superficie. ¿Cuál era la velocidad
del proyectil?
8. SISTEMAS DEREFERENCIA INERCIALES Y NO INERCIALES. FUERZAS DE INERCIA.
Vamos a desarrollar estrategias de resolución de situaciones típicas en dinámica. Para
ello habrá que tener en cuenta previamente el sistema de referencia al cual nos
estamos refiriendo. Podremos imaginar un cuerpo que se mueve aceleradamente.
¿Serán iguales las consideraciones dinámicas desde un observador exterior que de
otro que se encuentra sobre el propio cuerpo?
Se considera SISTEMA INERCIAL o GALILEANO cuando se puede considerar vinculado
al cuerpo libre, es decir, centrado en el cuerpo en el que la resultante de las fuerzas
que actúan sobre el mismo es cero. Un sistema inercial es un sistema NO ACELERADO.
Desde este sistema inercial no se puede distinguir entre el reposo y el movimiento
rectilíneo y uniforme.
Una azafata en pleno vuelo puede servir un vaso de agua sin ningún problema ¿qué
ocurriría si intentara servirlo en el momento del despegue?
Las leyes de la dinámica se cumplen de modo idéntico para un observador en
reposo que para otro que se mueve con respecto al primero con MRU.

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23
Sea S un sistema de referencia en reposo, y S´ un sistema inercial que se desplaza
respecto a S con velocidad v0 constante. Un punto P realiza un movimiento en el
espacio. El movimiento de P respecto a S viene dado por la ecuación )
= )
(1), mientras
que )
´ = )
´(1) describirá el movimiento de P respecto a S´. La relación vienen dada por:
)
´ = )
− T
U1 el vector )
es suma de )
´ y T
U1
Derivando respecto t , resulta:
T
´ = T
− T
U o lo que es lo mismo:
T
= T
´ + T
U
Que indica que la velocidad absoluta T
de P (vista desde S en reposo) es igual ala
velocidad relativa T
´ (vista desde S´) más la velocidad de arrastre de un sistema u
observador frente al otro T
U.
Derivando de nuevo respecto a t:

´
Ya que v0 es constante. Esta ecuación demuestra que la aceleración de P es la misma
vista desde S que desde S´, siempre que S´ sea inercial respecto a S. Multiplicando por
m a ambos miembros ?

= ?

´ =
. Esto indica que la ley fundamental de la dinámica
puede aplicarse igualmente al estudio de un cuerpo desde un observador en reposo
S, que desde otro que se mueve con respecto al primero con velocidad constante
(v0), es decir con MRU. Por tanto no existe ningún procedimiento dinámico para
averiguar situados en el interior de un sistema de referencia si este está en reposo o se
mueve con MRU.
8.1. Sistemas no inerciales: fuerzas de inercia.
Cabe preguntarse que sucede en los sistemas de referencia acelerados o no
inerciales, si el movimiento de S´ es no inercial. Si a la azafata del avión se le ocurriera
intentar llenar un vaso cuando el avión despega no acertaría a llenar ni un solo vaso.
En el interior de los sistemas acelerados aparece algo que modifica la anterior
relación, aparecen una especie de fuerzas llamadas fuerzas de inercia.
Suponemos ahora que v0 no es constante, sino que es función del tiempo, como
corresponde a un movimiento acelerado del S´. En tal caso al derivar respecto al
tiempo la velocidad:

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