modelos de redes capacitadas

1. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 1
TEMA NRO 7
MODELOS
DE REDES
CAPACITADAS

2. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 2
¿QUÉ ES UNA RED CAPACITADA?
❖ Se denomina Red Capacitada a una representación grafica de un problema
asociado a transporte con o sin transbordo por medio de la cual se puede analizar
como canalizar la entrega de bienes o servicios desde varios orígenes a varios
destinos, pasando o no por almacenamientos intermedios, para cumplir una
demanda intentando optimizar alguna propiedad, por ejemplo el mínimo costo de
transporte, el flujo máximo que puede soportar una red existente, la distancia mas
corta para llegar desde un origen a cada uno de los destinos y la expansión mínima
de una red para tratar que todos los nodos o puntos de red puedan quedar
conectados.

3. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 3
Temario:
Conceptos y definiciones de redes.
Importancia de los modelos de redes
Distintos tipos de redes capacitadas
Análisis de solución de ejercicios de redes

4. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 4
4

5. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 5

6. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 6
Un problema de redes es aquel que puede representarse por:
Nodos
Flechas
Valores Sobre las Flechas
Distancia, Tiempo,
Costos, Unidades,
etc.
1 2

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8. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 8
LA IMPORTANCIA DE LOS MODELOS DE REDES RESIDE EN QUE:
❖Muchos problemas comerciales pueden ser resueltos a través de modelos redes,
tales como distribución, logística, reparto, abastecimiento, etc.
❖El resultado de un problema de redes garantiza una solución de números enteros,
dada su estructura matemática. No se necesitan restricciones adicionales para
obtener este tipo de solución.
❖Problemas de redes pueden ser resueltos por pequeños algoritmos , no importando
el tamaño del problema, dada su estructura matemática.
❖Redes mas complejas pueden ser resueltos con el planteo de modelos de
Programación Lineal Entera

9. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 9
TERMINOLOGÍA DE REDES
* Flujo: Corresponde a la cantidad que debe transportarse desde un nodo i a un nodo j a
través de un arco que los conecta. La siguiente notación es usada:
• Xij= cantidad de flujo
• Uij= cota máxima de flujo que se debe transportar
• Lij= cota mínima o máxima de flujo que se puede transportar.
* Arcos dirigidos / no dirigidos: Cuando el flujo puede transportarse en una sola
dirección se tiene un arco dirigido (la flecha indica la dirección). Si el flujo puede
transportarse en ambas direcciones existe un arco no dirigido (sin flecha).
* Nodos adyacentes: Un nodo j es adyacente con un nodo i si existe un arco que une el
nodo j con el nodo i.

10. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 10
RUTAS/CONEXIÓN ENTRE NODOS
*Ruta: Una colección de arcos formados por una serie de nodos adyacentes. Los
nodos están conectados si existe una ruta entre ellos.
CICLOS / ARBOLES / ARBOLES EXPANDIDOS
* Ciclos : Un ciclo se produce cuando al partir de un nodo por un cierto camino se
vuelve al mismo nodo por otra ruta.
* Arbol : Una serie de nodos que no contienen ciclos.
*Arbol expandido: Es un árbol que conecta todos lo nodos de la red (contiene n-1
arcos), sin formar ciclos.

11. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 11

12. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 12

13. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 13
CADENA DE SUMINISTROS (SUPPLY CHAIN)

14. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 14
PROBLEMA DE TRANSPORTE SIN TRANSBORDO

15. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 15
PROBLEMA DE TRANSPORTE CON TRANSBORDO

16. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 16
CADENA DE SUMINISTROS (SUPPLY CHAIN)

17. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 17
CADENA DE SUMINISTROS (SUPPLY CHAIN)

18. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 18
UPSTREAM, MEADSTREAM y DOWNSTREAM

19. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 19
TRANSPORTE DEL CRUDO

20. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 20
CADENA DE SUMINISTROS (SUPPLY CHAIN)

21. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 21

22. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 22

23. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 23

24. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 24

25. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 25

26. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 26
RUTAS DE EUROPA

27. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 27

28. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 28
TRANSPORTE DE CONTAINERS

29. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 29

30. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 30
PROBLEMA DE FLUJO: RUTA MAS CORTA
Quiere
llegar
hasta
aquí

31. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 31
Quiere
llegar
hasta
aquí

32. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 32
PROBLEMA DE FLUJO: RUTA MAS CORTA. SUBTE DE TOKYO

33. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 33
PROBLEMA DE FLUJO: ARBOL DE EXPANDIDO MINIMO

34. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 34
PROBLEMA DE FLUJO MAXIMO

35. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 35
Tipos de Redes
Capacitadas

36. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 36
TIPOS DE REDES CAPACITADAS
✓ Modelos de Asignación
✓ Modelos de Transporte sin transbordo
1) Modelos de Flujos de Costo Mínimo (Transporte con Transbordo)
2) Modelos de la Ruta mas Corta
3) Modelos de Arbol de Expandido Mínimo
4) Modelos de Flujo Máximo
5) Modelos del Viajante de Comercio (TSP)

37. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 37
PROBLEMA DE FLUJO MAXIMO

38. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 38
PROBLEMA DE RUTA MAS CORTA

39. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 39
PROBLEMA DE FLUJO MAXIMO SOBRE REDES

40. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 40
PROBLEMA DE FLUJO MAXIMO SOBRE REDES

41. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 41
PROBLEMA DE FLUJO MAXIMO SOBRE REDES

42. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 42
MODELO TSP

43. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 43
MODELOS DE REDES
DE COSTO MINIMO

44. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 44
1. REDES DE COSTO MINIMO
❖ Este tipo de modelos de red capacitada consiste en encontrar la forma mas
económica de mover bienes y servicios a través de una red compuesta de múltiples
nodos. Incluye los casos de transporte con y sin transbordo.
❖ Es una extensión del problema general de Modelos de Transporte sin Transbordo,
considerando en este caso que el movimiento de bienes y servicios puede ser
optimizado utilizando centros intermedio de intercambio, centros de distribución o
los propios centros de consumo como paso para llegar a cumplir con la demanda
prevista en un nodo de destino.
❖ Muchas empresas utilizan centros de transbordo para reducir costos de transporte.
Estos centros de transbordo, generalmente son Centros de Distribución, grandes
depósitos para realizar posteriormente una entrega mas rápida y atomizada al
conjunto de clientes destinos.

45. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 45
1. REDES DE COSTO MINIMO

46. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 46
1. REDES DE COSTO MINIMO

47. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 47
1. REDES DE COSTO MINIMO - ¿CÓMO SE RESUELVE?
Ecuación de Flujo Neto
Producción + Inventario Inicial + Entradas = Salidas + Consumos +
Acumulación
Entradas – Salidas = Flujo Neto = Consumos + Acumulación –
Producción – Inventario Inicial
Salidas – Entradas = Flujo Neto = Producción + Inventario Inicial –
Consumos – Acumulación
Salidas – Entradas = Flujo de Entrada – Flujo de Salida = Flujo Neto

48. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 48
1. REDES DE COSTO MINIMO
COMO SE RESUELVE?
Para nuestro problema tenemos las siguientes variables:
Xij = Cantidad de unidades que se enviaran desde el nodo i al nodo j
Cij = Costo de mover una unidad del origen i al destino j
Costo de la Distribución = MINIMO Posible
ij
n
i
i
n
j
j
ij C
X
Z
Min *
)
(
1 1

=
=
=
=
=

49. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 49
EJEMPLO 01 DE REDES DE COSTO MINIMO
ABASTECIMIENTO A PANIFICADORAS
❖ Una cierta empresa del rubro alimentación (molino harinero) necesita entregar
semanalmente 1,000 bolsas de harina de 50 Kg. cada una a cuatro
establecimientos de panificación de reconocida marca.
❖ Toda su producción generalmente se canaliza a través de su centro de distribución
(CD) (excepto los casos que se comentan en el párrafo siguiente), donde recibe
además otros productos que también fábrica la misma empresa y desde el cual
distribuye a sus centros mayoristas o grandes centros de consumos, tal el caso de
los cuatro centros de panificación que mencionamos.

50. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 50
EJEMPLO 01 – REDES DE COSTO MÍNIMO
ABASTECIMIENTO A PANIFICADORAS
❖ Posee dos centros de producción, con capacidad de elaborar 500 bolsas de 50 Kg.
de harina cada uno por semana y tiene contratos firmados con sus clientes para
proveer directamente del centro de producción al centro de consumo, evitando la
utilización del centro de distribución, agilizando de esta manera los tiempos de
suministro.
❖ Por limitaciones de disponibilidad de transporte, solamente es posible enviar 100
bolsas por semana entre los centros de producción y los de consumo obviando el
centro de distribución.

51. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 51
EJEMPLO 01 – REDES DE COSTO MÍNIMO
ABASTECIMIENTO A PANIFICADORAS
❖ El diseño de la red de distribución es tal que se permite utilizar los centros de
producción o los centros de consumo como puntos de transito hacia otro destino, si
los costos por estas rutas alternativas lo permiten.
❖ La demanda de los centros de panificación (centros de consumo), y de producción
se resume en la siguiente tabla:

52. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 52
Nodos Origen
Destinos
1 2 3 4 5 6 7
Prod 1 Prod 2 CD Panif 1 Panif 2 Panif 3 Panif 4
1 Prod. 1 9 18 32 33
2 Prod. 2 10 17 32 34
3 CD 14 15 15 17
4 Panific. 1 9
5 Panific. 2 9 12
6 Panific. 3 12 10
7 Panific. 4 10

53. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 53
Producción Capacidad Destino Demanda
Planta 1 500 Bolsas Panificadora 1 300 Bolsas
Planta 2 500 Bolsas Panificadora 2 200 Bolsas
Panificadora 3 250 Bolsas
Panificadora 4 250 Bolsas
1. REDES DE COSTO MINIMO

54. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 54

55. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 55

56. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 56

57. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 57

58. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 58
EJEMPLO 01 – ABASTECIMIENTO DE PANADERIAS
Como deben entregarse estas 1,000 bolsas semanales al menor costo de
transporte?.

59. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 59
MIN(Z) = 9*X12 + 18*X13 + 32*X14 + 33*X15 + 10*X21 + 17*X23 + 32*X26 + 34*X27 + 14*X34 + 15*X35 + 15*X36 + 17*X37 + 9*X45 +
9*X54 + 12*X56 + 12*X65 + 10*X67 + 10*X76
Balances de Flujo Neto
Centro de Producción 1: Flujo Neto = 500 = X13 + X15 + X14 + X12 - X21
Limitación Ruta X14 X14 ≤ 100
Limitación Ruta X15 X15 ≤ 100
Centro de Producción 2: Flujo Neto = 500 = X23 + X26 + X27 + X21 – X12
Limitación Ruta X26 X26 ≤ 100
Limitación Ruta X27 X27 ≤ 100
Centro de distribución Flujo Neto = 0 = X34 + X35 + X36 + X37 – X13 – X23
Centro Panificación 1 Flujo Neto = -300 = X45 – X14 – X34 – X54
Centro Panificación 2 Flujo Neto = -200 = X56 + X54 – X15 – X35 – X65 – X45
Centro Panificación 3 Flujo Neto = -250 = X65 + X67 – X26 – X36 – X56 – X76
Centro Panificación 4 Flujo Neto = -250 = X76 – X27 – X37 – X67
Con Xij >= 0 (todas las cantidades positivas)

60. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 60

61. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 61

62. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 62

63. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 63
SOLUCION AL PROBLEMA PLANTEADO
MINIMO COSTO ($ 32,700) DE MOVER 1000 BOLSAS DE HARINA

64. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 64
DIAGRAMA DE LA RED DE DISTRIBUCION OPTIMA

65. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 65

66. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 66
Ing. Andrés Caminos 66
MODELOS DE REDES
DE DISTANCIA
MAS CORTA

67. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 67
PROBLEMA DE RUTA MAS CORTA
Se trata de encontrar la ruta de menor distancia, o costo , entre el punto de
partida o nodo inicial y el destino o nodo terminal.
Definición del Problema
✓ Se tienen n nodos, partiendo del nodo inicial 1 y terminando en el nodo final n.
✓ Arcos direccionales o bidireccionales conectan los nodos i y j con distancias
mayores que cero, dij
✓ Se desea encontrar la ruta de mínima distancia que conecta el nodo 1 con el
nodo n.

68. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 68
SOLUCIÓN-ANALOGÍA CON UN PROBLEMA DE REDES
El algoritmo de Dijkstra:
- Encontrará la distancia mínima del nodo de partida a los
otros nodos, en el orden que se encuentran los nodos con
respecto al nodo de inicio.
- Este algoritmo encuentra la ruta más corta desde el nodo
de inicio a todos los nodos de la red.

69. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 69
PROBLEMA 02 – RUTA MAS
CORTA
❖ Una empresa de logística
tiene que transportar una
carga desde Seattle en la
frontera con Canadá hasta El
Paso, en la frontera con
México, usando una serie de
autopistas que lo obligan a
pasar por diferentes ciudades
❖ Determinar la ruta mas corta
entre Seattle y El Paso para
la siguiente red de carreteras.

70. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 70

71. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 71

72. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 72

73. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 73

74. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 74
MATRIZ DE INCIDENCIA O MATRIZ DE COSTOS

75. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 75

76. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 76

77. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 77
SOLUCION OPTIMASEGUN WINQSB
SEATTLE BOISE SAL LAKE CITY
EL PASO ALBURQUERQUE

78. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 78

79. Salt Lake City
1 2
3 4
5
6
7 8
9
10
11
12
13 14
15
16
17 18 19 El Paso
Seattle
Boise
Portland
Butte
Cheyenne
Reno
Sac.
Bakersfield
Las Vegas
Denver
Albuquerque
Kingman
Barstow
Los Angeles
San Diego
Tucson
Phoenix
599
691
497
180
432 345
440
102
452
621
420
526
138
291
280
432
108
469
207
155
114
386
403
118
425 314
296
933
475
189

80. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 80
Distancia
desde el nodo
1 (Seattle)
hacia cada
uno de los
otros nodos

81. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 81

82. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 82
PROBLEMA DE RUTA MAS CORTA
❖ La solución puede plantearse por aplicación de un modelo de programación lineal
entera
❖ Definimos una variable de tipo binaria Xij, que representa si debe pasar por un
determinado nodo i hasta un nodo j, que tiene una cierta cantidad de kilómetros por
recorrer Cij.
❖ El valor de Xij = 1, indica que se usará la ruta ij, un valor Xij = 0, indicará que no se
usará la ruta ij.
1 1
(Cos )
j m
i n
ij ij
i j
Función Objetivo Mimimizar to C X
=
=
= =
= = 

83. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 83
0102 0103 0104 0201 0207 0208 0301 0304
0305 0401 0403 0407 0503 0506 0510 0605 0607
0704 0706 07
FUNCION OBJETIVO
( ) 599 180 497 599 420 691 180 432
933 497 432 345 933 138 291 138 526
345 526 420
Min Z X X X X X X X X
X X X X X X X X X
X X X
= + + + + + + + +
+ + + + + + + + +
+ + 02 0711 0708 0712 0802 807 0809
1005 1011 1013 1107 1110 1114 1116 1115 1209
1207 1215 1219 1310 1314 1316 1317
432 440 621 691 440 0 102
291 280 114 432 280 155 475 108 452
621 469 296 114 189 386 118
X X X X X X
X X X X X X X X X
X X X X X X X
+ + + + + + +
+ + + + + + + + +
+ + + + + + 1413 1411
1415 1511 1514 1512 1613 1611 1619 1713 1718
1819
189 155
207 108 207 469 386 475 403 118 425
314
X X
X X X X X X X X X
X
+ + +
+ + + + + + + + +
( ) ( )
IJ JI
entrada entrada
ECUACION DE BALANCE
X X FLUJO NETO
− =
 

84. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 84
0102 0103 0104
0102 0702 0802 0201 0207 0208
0103 043 0503 0301 0304 0305
0
RESTRICCIONES: BALANCE ENTRADAS - SALIDAS = FLUJO NETO
NODO 01 1
NODO 02
NODO 03
NODO 04
X X X
X X X X X X
X X X X X X
X

 = + +
 + + = + +
 + + = + +
 304 0104 0704 0401 0403 0407
0305 0605 1005 0503 0506 0510
0506 0706 0605 0607
0407 0607 0207 1107 0807 1207 0702 0708 0712 0711 0706 0704
0708
NODO 05
NODO 06
NODO 07
NODO 08
X X X X X
X X X X X X
X X X X
X X X X X X X X X X X X
X
+ + = + +
 + + = + +
 + = +
 + + + + + = + + + + +
 + 0208 0908 0802 0807 0809
0809 1209 0908 0912
0510 1110 1310 1005 1011 1013
NODO 09
NODO 10
X X X X X
X X X X
X X X X X X
+ = + +
 + = +
 + + = + +

85. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 85
1011 1411 0711 1611 1511 1107 1110 1115 1116 1114
1512 0712 0912 1219
1013 1413 1613 1713 1310 1314 1
RESTRICCIONES: BALANCE ENTRADAS - SALIDAS = FLUJO NETO
NODO 11
NODO 12
NODO 13
X X X X X X X X X X
X X X X
X X X X X X X

 + + + + = + + + +
 + + =
 + + + = + + 316 1317
1314 1114 1514 1413 1411 1415
1415 1115 1215 1512 1511 1514
1316 1116 1613 1611 1619
1317 1817 19
1718 1819
1819 1619 1219
NODO 14
NODO 15
NODO 16
NODO 17
NODO 18
NODO 19
X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X
X X X
X X
X X X
+
 + + = + +
 + + = + +
 + = + +
 + =
 =
 + + =1

86. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 86
0102 0103 0104 0201 0207 0208 0301 0304
0305 0401 0403 0407 0503 0506 0510 0605 0607
0704 0706 07
FUNCION OBJETIVO
( ) 599 180 497 599 420 691 180 432
933 497 432 345 933 138 291 138 526
345 526 420
Min Z X X X X X X X X
X X X X X X X X X
X X X
= + + + + + + + +
+ + + + + + + + +
+ + 02 0711 0708 0712 0802 807 0809
1005 1011 1013 1107 1110 1114 1116 1115 1209
1207 1215 1219 1310 1314 1316 1317
432 440 621 691 440 0 102
291 280 114 432 280 155 475 108 452
621 469 296 114 189 386 118
X X X X X X
X X X X X X X X X
X X X X X X X
+ + + + + + +
+ + + + + + + + +
+ + + + + + 1413 1411
1415 1511 1514 1512 1613 1611 1619 1713 1718
1819
0102 0103 0104
189 155
207 108 207 469 386 475 403 118 425
314
RESTRICCIONES: BALANCE ENTRADAS - SALIDAS = FLUJO NETO
NODO 01 1
NODO 02
X X
X X X X X X X X X
X
X X X
X
+ + +
+ + + + + + + + +

 = + +
 0102 0702 0802 0201 0207 0208
0103 043 0503 0301 0304 0305
0304 0104 0704 0401 0403 0407
0305 0605 1005 0503 0506 0510
0506 0706 0605 0607
NODO 03
NODO 04
NODO 05
NODO 06
NODO 07
X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X
+ + = + +
 + + = + +
 + + = + +
 + + = + +
 + = +
0407 0607 0207 1107 0807 1207 0702 0708 0712 0711 0706 0704
0708 0208 0908 0802 0807 0809
0809 1209 0908 0912
0510 1110 1310 1005 1011 1013
10
NODO 08
NODO 09
NODO 10
NODO 11
X X X X X X X X X X X X
X X X X X X
X X X X
X X X X X X
X
 + + + + + = + + + + +
 + + = + +
 + = +
 + + = + +
 11 1411 0711 1611 1511 1107 1110 1115 1116 1114
1512 0712 0912 1219
1013 1413 1613 1713 1310 1314 1316 1317
1314 1114 1514 1413 1411 1415
1415
NODO 12
NODO 13
NODO 14
NODO 15
X X X X X X X X X
X X X X
X X X X X X X X
X X X X X X
X X
+ + + + = + + + +
 + + =
 + + + = + + +
 + + = + +
 + 1115 1215 1512 1511 1514
1316 1116 1613 1611 1619
1317 1817 19
1718 1819
1819 1619 1219
NODO 16
NODO 17
NODO 18
NODO 19 1
X X X X
X X X X X
X X X
X X
X X X
+ = + +
 + = + +
 + =
 =
 + + =

87. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 87

88. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 88
Ing. Andrés Caminos 88
MODELOS DE REDES
DE ARBOL DE
EXPANDIDO MINIMO

89. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 89
ARBOL DE EXPANDIDO MINIMO
❖ Este problema surge cuando todos los nodos de una red deben conectar entre
ellos, sin formar un loop.
❖ El árbol de expansión mínima es apropiado para problemas en los cuales la
redundancia es expansiva, o el flujo a lo largo de los arcos se considera
instantáneo.

90. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 90
EL TRANSITO DEL DISTRITO METROPOLITANO
❖La ciudad de Vancouver esta planificando el desarrollo de una nueva línea en
sistemas de tránsito.
❖El sistema debe unir 8 edificios públicos y centros comerciales.
❖El distrito metropolitano de transito necesita seleccionar un conjunto de líneas de
transporte que conecten todos los centros a un mínimo costo. El costo representa el
tiempo que demora entre 1 nodo y otro adyacente.
❖La red seleccionada debe permitir:
✓ - Factibilidad de las líneas que deban ser construidas.
✓ - Mínimo costo posible por línea.

91. 5
2 6
4
7
8
1
3
Zona Oeste
Zona Norte Universidad
Distrito
Comercial
Zona Este
Shopping
Center
Zona Sur
Zona
Centro
50
34
35
39
45
41
RED QUE REPRESENTA EL
ARBOL EXPANDIDO.

92. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 92
SOLUCIÓN - ANALOGÍA CON UN PROBLEMA DE REDES
❖ El algoritmo que resuelve este problema es un procedimiento muy
fácil (“trivial”).
❖ Corresponde a una categoría de algoritmos “ávidos” o “glotones”.
Algoritmo de Kruskal:
1. Comience seleccionando el arco de menor longitud.
2. En cada iteración, agregue el siguiente arco de menor
longitud del conjunto de arcos disponibles , tomando la
precaución de no formar ningún loop.
3. El algoritmo finaliza cuando todos los nodos están
conectados.
John Kruskal

93. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 93
ALGORITMO DE PRIM
❖ El algoritmo de Prim es un algoritmo perteneciente a la teoría de los grafos para
encontrar un árbol recubridor o de expandido mínimo en
un grafo conexo, no dirigido y cuyas aristas están etiquetadas.
❖ En otras palabras, el algoritmo encuentra un subconjunto de aristas que forman
un árbol con todos los vértices, donde el peso total de todas las aristas en el árbol
es el mínimo posible. Si el grafo no es conexo, entonces el algoritmo encontrará
el árbol recubridor mínimo para uno de los componentes conexos que forman dicho
grafo no conexo.
❖ El algoritmo fue diseñado en 1930 por el matemático Vojtech Jarnik y luego de
manera independiente por el científico computacional Robert C. Prim en 1957 y
redescubierto por Dijkstra en 1959. Por esta razón, el algoritmo es también
conocido como algoritmo DJP (Dijkstra-Jarnik-Prim) o algoritmo de Jarnik.

94. Shopping
Center
Loop
5
2 6
4
7
8
1
3
Zona Oeste
Zona Norte
Universidad
Distrito
Comercial
Zona Este
Zona Sur
Zona
Centro
50
34
35
39
45
41
Costo Total = 236 Km
RED QUE NO REPRESENTA
LA SOLUCIÖN OPTIMA
FORMA UN CICLO CERRADO
Ing. Andrés Caminos 94

95. Shopping
Center
5
2 6
4
7
8
1
3
Zona Oeste
Zona Norte
Universidad
Distrito
Comercial
Zona Este
Zona Sur
Zona
Centro
35
39
Costo Total = 236 Km
RED QUE REPRESENTA LA
SOLUCIÖN OPTIMA
Ing. Andrés Caminos

96. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 96
Solución óptima mediante WINQSB

97. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 97
NO HAY UN ALGORITMO DE
PROGRAMACION LINEAL PARA
ARBOL DE EXPANDIDO MINIMO

98. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 98

99. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 99
Ing. Andrés Caminos 99
MODELOS DE REDES
DE FLUJO MAXIMO

100. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 100
PROBLEMA DE FLUJO MAXIMO SOBRE REDES
❖ Este modelo se utiliza para reducir los embotellamientos entre ciertos puntos de
partida y destino en una red.
❖ Existe un flujo que viaja desde un único lugar de origen hacia un único lugar destino
a través de arcos dirigidos que conectan nodos intermedios
❖ Cada arco tiene una capacidad que no puede ser excedida
❖ La capacidad no debe ser necesariamente la misma para cada dirección del arco.

101. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 101
PROBLEMA DE FLUJO MAXIMO SOBRE REDES
Definición del Problema
✓ Existe un nodo origen (con el número 1), del cual los flujos emanan.
✓ Existe un nodo terminal (con el número n), en el cual todos los flujos de la red
son depositados.
✓ Existen n-2 nodos (numerados del 2, 3,....,n-1), en el cual el flujo que entra es
igual al flujo que sale.
✓ La capacidad Cij que transita del nodo i al nodo j, y la capacidad Cji para la
dirección opuesta, pueden ser distintas.
❑ El objetivo es encontrar la máxima cantidad de flujo que salga del nodo 1 al nodo de
destino n sin exceder la capacidad de los arcos.

102. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 102
EJEMPLO 04: FLUJO MAXIMO SOBRE REDES
❖ Química Unida produce pesticidas y otros productos de
control de plagas agrícolas. El veneno químico necesario
para la producción es depositado en grandes tambores.
Una red de tubos y válvulas regula el flujo del químico de
los tambores a las diferentes áreas de producción.
❖ El departamento de seguridad debe diseñar un
procedimiento que vacíe los tambores de la forma más
rápida posible dentro de los tubos del área de depósito,
usando la misma red de tubos y válvulas.
❖ El procedimiento debe determinar:
1) ¿Qué válvulas deben abrirse y cerrarse?
2) Estimar el tiempo total de descarga para un volumen de 100,000 litros.

103. Tambores
con químico
Tambores de
Seguridad
1 7
4
2
3
6
5
10
0
8
0
0
0
0
0
0
0
10
6
1
12
1
4
4
2
2 8
3
3
7
2
El máximo flujo de 2 a 4 es 8
No se permite flujo de 4 a 2.

104. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 104
SOLUCIÓN - ANALOGÍA DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL
• Variables de decisión
Xij - Flujo que viaja desde el nodo i hacia el nodo j a través del arco que conecta
ambos nodos.
• Función Objetivo - Maximizar el flujo que sale del nodo 1: Max X12 + X13
• Restricciones
• [Flujo total que sale del nodo 1] = [Flujo total que entra en el nodo 7]
X12 +X13 = X47 + X57 + X67
• [Para cada nodo intermedio: Flujo que entra = flujo que sale]
Nodo 2: X12 + X32 = X23 +X24 + X26
Nodo 3: X13 +X23 + X63 = X32 +X35 + X36
Nodo 4: X24 +X64 = X46 + X47 + X42
Nodo 5: X35 +X65 = X56 + X57
Nodo 6: X26 +X36 + X46 +X56 = X63 +X64 +X65 + X67

105. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 105
EL flujo no puede exceder la capacidad de los arcos
• X12 ≤ 10; X13 ≤ 10; X23 ≤ 1; X24 ≤ 8; X26 ≤ 6; X32 ≤ 1; X35 ≤ 15; X36
≤ 4; X46 ≤ 3; X47 ≤ 7; X56 ≤ 2; X57 ≤ 8; X63 ≤ 4; X64 ≤ 3; X65 ≤ 2; X67
≤ 2;
• Los flujos no pueden ser negativos:
• Todos los flujos Xij >= 0
Se debe tener presente que este problema es relativamente pequeño y la solución puede
ser obtenida rápidamente usando el modelo de programación lineal.
Para problemas de redes mas complejos deben usarse otros tipos de software basados en
teoría de grafos.

106. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 106
SOLUCIÓN-ANALOGÍA CON UN PROBLEMA DE REDES
- La idea básica es la siguiente:
1) Encontrar una ruta sin capacidad en cada uno de sus arcos.
2) Aumentar el flujo de esos arcos por la mínima capacidad de uno de los arcos
de la ruta.
3) Repetir este procedimiento hasta completar la ruta de manera tal que todos
los arcos tengan una capacidad residual positiva.
4) Designar un nodo origen y un nodo de flotación
5) Definir las capacidades de todos los arcos en la red ( en ambos sentidos)

107. El máximo flujo obtenido por WINQSB
Tambores
con químico
Tubo de Seg.
1 7
4
2
3
6
5
8
8
2
7
7
10
7
8
2
Flujo Máximo= 17
Tiempo de Descarga
= 100000/17000
= 5.88 horas

108. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 108

109. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 109

110. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 110

111. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 111
PROBLEMA DEL VIAJANTE DE
COMERCIO
SALESMAN TRAVELING PROBLEM
(TSP)

112. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 112
PROBLEMA DEL VIAJANTE DE COMERCIO (TSP)
❖ El problema del vendedor viajero, problema del vendedor
ambulante, problema del agente viajero o problema del viajante (TSP por sus
siglas en inglés (Travelling Salesman Problem)), responde a la siguiente pregunta:
dada una lista de ciudades y las distancias entre cada par de ellas, ¿cuál es la ruta
más corta posible que visita cada ciudad exactamente una vez y al finalizar
regresa a la ciudad origen?

113. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 113
PROBLEMA DEL VIAJANTE DE COMERCIO (TSP)
❖ Este es un problema NP-Hard dentro en la optimización combinatoria, muy
importante en investigación operativa y en ciencias de la computación.
❖ El problema fue formulado por primera vez en 1930 y es uno de los problemas de
optimización más estudiados.
❖ Es usado como prueba para muchos métodos de optimización. Aunque el problema
es computacionalmente complejo, se conoce gran cantidad de heurísticas y
métodos exactos, así que es posible resolver planteamientos concretos del
problema desde cien hasta miles de ciudades.

114. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 114
PROBLEMA DEL VIAJANTE DE COMERCIO (TSP)
❖ El TSP tiene diversas aplicaciones aún en su formulación más simple, tales como:
la planificación, la logística y la fabricación de circuitos electrónicos. Un poco
modificado, aparece como subproblema en muchos campos como la secuenciación
de ADN.
❖ En esta aplicación, el concepto de “ciudad” representa, por ejemplo: clientes, puntos
de soldadura o fragmentos de ADN y el concepto de “distancia” representa el
tiempo de viaje o costo, o una medida de similitud entre los fragmentos de ADN.
❖ En muchas aplicaciones, restricciones adicionales como el límite de recurso o las
ventanas de tiempo hacen el problema considerablemente difícil.
❖ El TSP es un caso especial de los Problemas del Comprador Viajante (travelling
purchaser problem).

115. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 115
PROBLEMA DEL VIAJANTE DE COMERCIO (TSP)
❖ En la teoría de la complejidad computacional, la versión de decisión del TSP
(donde, dada una longitud “L”, el objetivo es decidir si el grafo tiene un camino
menor o igual que L) pertenece a la clase de los problemas NP-completos.
❖ Por tanto, es probable que en el caso peor el tiempo de ejecución para cualquier
algoritmo que resuelva el TSP aumente de forma exponencial con respecto al
número de ciudades.
❖ El origen de los problemas del viajante no está claro. Una guía para viajantes de
1832 menciona el problema e incluye ejemplos de viajes a través de Alemania y
Suiza, pero no contiene un tratamiento matemático del mismo

116. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 116
PROBLEMA DEL VIAJANTE DE
COMERCIO (TSP). Caso práctico
❖ En el problema se presentan N! rutas
posibles, aunque se puede simplificar
ya que dada una ruta nos da igual el
punto de partida y esto reduce el
número de rutas a examinar en un
factor N quedando (N-1)!.
❖ Como no importa la dirección en que
se desplace el viajante, el número de
rutas a examinar se reduce
nuevamente en un factor 2. Por lo
tanto, hay que considerar (N-1)!/2
rutas posibles

117. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 117
PROBLEMA DEL VIAJANTE DE COMERCIO (TSP). Caso práctico
❖ En la práctica, para un problema del viajante con 5 ciudades hay (5-1)!/2=12 rutas
diferentes y no necesitamos un ordenador para encontrar la mejor ruta, pero apenas
aumentamos el número de ciudades las posibilidades crece factorialmente:
•Para 10 ciudades hay (10-1)!/2 =181.440 rutas diferentes
•Para 20 ciudades hay (20-1)!/2 = 6.082 x 10^16 rutas diferentes
•Para 30 ciudades hay (30-1)!/2 = más de 4x10^30 rutas posibles.
❖ Un ordenador que calcule un millón de rutas por segundo (1x10^6) necesitaría
10^17 años para resolverlo. Dicho de otra forma, si se hubiera comenzado a
calcular al comienzo de la creación del universo (hace unos 13.400 millones de
años aproximadamente) todavía no se habría terminado. Puede comprobarse que
por cada ciudad nueva que incorporemos, el número de rutas se multiplica por el
factor N y crece factorialmente. Por ello el problema pertenece a la clase de
problemas NP-completos.

118. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 118
¿QUE PASARÍA SI NUESTRA RED TUVIERA 100 CIUDADES PARA RECORRER?
La cantidad de rutas posibles seria (100-1)!/2 = el numero que figura debajo
93,326,215,443,944,152,681,699,238,856,266,700,490,715,968,264,381,621,468,592,
963,895,217,599,993,229,915,608,941,463,976,156,518,286,253,697,920,827,223,75
8,251,185,210,916,864,000,000,000,000,000,000,000,000 rutas posibles

119. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 119
EJERCICIO 05 - DEMOSTRATIVO DE TSP
❖ Un vendedor de equipos de alta tecnología,
debe realizar una “gira de trabajo” partiendo de
Los Angeles (LA) y debe recorrer las
siguientes ciudades Denver (DEV), Houston
(HOU), Dallas (DAL), Richmond (CHM), Nueva
York (NY) de manera de recorrerlas una sola
vez realizando un ciclo cerrado y regresando
nuevamente a Los Angeles, su lugar de
partida.
❖ La red representa distancias en Kilómetros a
recorrer, encontrar la cantidad mínima de
kilómetros necesarios y cual seria el recorrido
del tour a visitar.

120. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 120

121. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 121

122. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 122

123. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 123

124. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 124

125. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 125
El TSP puede ser formulado por
la PROGRAMACIÓN LINEAL EN ENTEROS.
❖ Sea Xij igual 1, si existe el camino para ir de
la i a la ciudad j, y 0 en otro caso, para el
conjunto de ciudades 0,..., n.
❖ Sean Ui para i = 1,..., n variables artificiales.
❖ Sea Cij la distancia desde la ciudad i a la
ciudad j.
❖ Entonces el modelo de programación lineal
en enteros puede ser escrito como
0 # , 0
0, #
0, #
( )
Restricciones de Filas
1
Restricciones de Columnas
1
Restricciones de Consistencia
- 1 1 i#j n
0
n n
ij ij
i j i j
n
ij
i i j
n
ij
j j i
i j ij
ij
Min z C x
x
x
u u nx n
Variables x binarias y
= =
=
=
=
=
=
+  −   

 



126. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 126
TSP COMO PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL ENTERA
❖ El primer conjunto de igualdades asegura que cada ciudad 0,..., n de salida llegue
exactamente a una ciudad, y el segundo conjunto de igualdades aseguran que
desde cada ciudad 1,..., n se salga exactamente hacia una ciudad (ambas
restricciones también implican que exista exactamente una salida desde la ciudad
0 (el punto de salida).)
❖ La última restricción obliga a que un solo camino cubra todas las ciudades y no
dos o más caminos disjuntos cubran conjuntamente todas las ciudades.
❖ Para probar esto se muestra en (1) que toda solución factible contiene solamente
una secuencia cerrada de ciudades, y en (2) que para cada uno de los recorridos
que cubren todas las ciudades, hay valores para todas las variables uij que
satisfacen las restricciones.

127. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 127

128. Ing. Andrés Caminos MODELOS DE REDES CAPACITADAS Pag. 128
Ing. Andrés Caminos 128