Análisis de materiales conductores en campos eléctricos. Tomado del libro "Elementos de Electromagnetismo de Sadiku"

1. CAMPOS ELECTRICO ESTÁTICO EN
DIELÉCTRICOS.
Conductores.

2. 1. CORRIENTE ELECTRICA.
La corriente en amperes a través de un área dada es
la carga eléctrica que pasa por esa área por unidad
de tiempo.
𝐼 =
𝑑𝑄
𝑑𝑡
Una corriente de un ampere, es la carga transferida a
razón de un Coulomb por segundo.

3. 2. DENSIDAD DE CORRIENTE J.
La densidad de corriente se define como la razón de
una corriente “I” fluyendo a través de una superficie
“S”:
𝐽 𝑛 =
∆𝐼
∆𝑆
Expresando la ecuación anterior en términos de
corriente:
∆𝐼 = 𝐽 𝑛∆𝑆

4. 2. DENSIDAD DE CORRIENTE J.
La ecuación anterior parte de la suposición de que la densidad
de corriente es perpendicular a la superficie analizada.
Si en todo caso la densidad de corriente no fuese perpendicular
a la superficie obtenemos la siguiente expresión para la
corriente:
∆𝐼 = 𝑱 ∙ ∆𝑆
𝑑𝐼 = 𝑱 ∙ 𝑑𝑆
𝑑𝐼 = 𝑱 ∙ 𝑑𝑆
𝐼 = 𝑱 ∙ 𝑑𝑆

5. 3. CORRIENTE I.
Según como se produzca la corriente “I” existen tres
diferentes tipos de densidad de corriente:
1. Densidad de corriente de convección
(dieléctricos).
2. Densidad de corriente de conducción
(conductores).
3. Densidad de corriente de desplazamiento
(Ecuaciones de Maxwell en el análisis de ondas).

6. 4. CORRIENTE DE CONVECCIÓN
Este tipo de corriente ocurre cuando el medio donde
fluye la corriente es un medio aislador (dieléctrico)
como gas, liquido, gas enrarecido o en el vacío.
Consideremos el pequeño tramo de filamento
mostrado a continuación:

7. 4. CORRIENTE DE CONVECCIÓN
Vamos a considerar un flujo de carga ρv a una
velocidad 𝑢 = 𝑎 𝑦 𝒂 𝒚 . La corriente a través del
filamento seria:
∆𝐼 =
∆𝑄
∆𝑡
= 𝜌 𝑣∆𝑆
∆𝑙
∆𝑡
= 𝜌 𝑣∆𝑆𝑢 𝑦
𝐽 𝑦 =
∆𝐼
∆𝑆
= 𝜌 𝑣 𝑢 𝑦
𝑱 = 𝜌 𝑣 𝒖

8. 4. CORRIENTE DE CONVECCIÓN
En la ecuación anterior “I” es la corriente de
convección y “J” es la densidad de corriente de
convección que posee las unidades de
𝐴
𝑚2 .
Nota: la densidad de corriente en un punto dado es la
corriente a través de un área unitaria normal en ese
punto.

9. 5. CORRIENTE DE CONDUCCIÓN.
La corriente de conducción se manifiesta en medios
conductores. Un medio conductor se caracteriza por
tener una gran cantidad de electrones libres los
cuales suministran una corriente de conducción
debido a la aplicación de un campo electrico.
Cuando aplicamos un campo electrico “E” la fuerza
experimentada por un electrón es:
𝑭 = −𝑒𝑬

10. 5. CORRIENTE DE CONDUCCIÓN.
Dicha fuerza ocasionara colisiones entre electrones y
habrá movimiento de electrones entre átomos del medio
conductor.
Cada electrón posee una masa “m” y se estará
desplazando en el medio de acuerdo a una velocidad “u”.
El cambio promedio en el momento del electrón libre será
proporcional a la fuerza aplicada según la ley de Newton:
𝑚𝒖
𝜏
= −𝑒𝑬
𝒖 = −
𝑒𝜏
𝑚
𝑬

11. 5. CORRIENTE DE CONDUCCIÓN.
Tao “τ” es el intervalo temporal promedio entre
colisiones de electrones. La ecuación anterior indica
que la velocidad del electrón es directamente
proporcional al campo electrico aplicado.
La densidad de carga electrónica definida para n
electrones en cierto medio conductor es:
𝜌 𝑣 = −𝑛𝑒

12. 5. CORRIENTE DE CONDUCCIÓN.
Sustituyendo para encontrar la densidad de corriente
de conducción:
𝑱 = 𝜌 𝑣 𝒖 =
𝑛𝑒2 𝜏
𝑚
𝑬 = 𝜎𝑬
𝜎 =
𝑛𝑒2 𝜏
𝑚
𝑱 = 𝜎𝑬

13. 5. CORRIENTE DE CONDUCCIÓN.
Notas:
1. Sigma es la conductividad del conductor:
𝜎 =
𝑛𝑒2 𝜏
𝑚
2. La ecuación de la densidad de corriente de
conducción se le conoce como la forma puntual de la
ley de ohm.
𝑱 = 𝜎𝑬

14. 6. CONDUCTORES.
Consideremos el conductor aislado mostrado en la
figura:

15. 6. CONDUCTORES.
Si aplicamos un campo electrico externo Ee las
cargas positivas libres se impulsan en el mismo
sentido del campo electrico externo.
Las cargas negativas se alinean en direccion
contraria del campo electrico externo. Las cargas
libres actuaran de la siguiente manera:
1. Se acumularan en la superficie del conductor y
formaran una carga inducida.
2. Las cargas inducidas establecerán un campo
electrico inducido interno Ei el cual anulara la
acción del campo electrico externo Ee.

16. 6. CONDUCTORES.
De las dos situaciones anteriores podemos
comprender una propiedad importante de un
conductor perfecto:
“ Un conductor perfecto no puede contener un campo
electrostático”.
A un conductor se le llama cuerpo equipotencial. Lo
que implica que en cualquiera de sus puntos el
potencial es el mismo. Esto se basa en el hecho de
que 𝐸 = −𝛻𝑉 = 0.

17. 6. CONDUCTORES.
Ahora consideraremos un medio conductor sometido
a una diferencia de potencial.
En este caso la intensidad de campo E es distinto de
cero.

18. 6. CONDUCTORES.
La fuerza electromotriz ocasiona que el conductor no
entre en equilibrio estático (cargas internas) en
cambio la fuerza electromotriz ocasiona que las
cargas libres se encuentren en movimiento
produciendo el flujo de corriente. Por tanto bajo estas
condiciones si existe campo electrico.
Ahora supongamos que el conductor tiene un área
uniforme “S” y una longitud “l”.

19. 6. CONDUCTORES.
La direccion del campo electrico es la misma que la del
flujo de cargas positivas o corriente I.
𝐸 =
𝑉
𝑙
Puesto que el conductor posee una sección transversal
uniforme:
𝐽 =
𝐼
𝑆
𝐼
𝑆
= 𝜎𝐸 =
𝑉
𝑙

20. 6. CONDUCTORES.
𝐼
𝑆
= 𝜎𝐸 =
𝑉
𝑙
𝑅 =
𝑉
𝐼
=
𝑙
𝜎𝑆
𝑅 =
𝜌𝑐 𝑙
𝑆
𝜌𝑐 = 1/𝜎 es la resistividad del material.

21. 6. CONDUCTORES.
Si el área del conductor no es uniforme:
𝑅 =
𝑉
𝐼
=
𝐸. 𝑑𝑙
𝜎𝐸. 𝑑𝑆
=
𝐸. 𝑑𝑙
𝐽. 𝑑𝑆
La potencia P en watts es la rapidez de cambio de la
energía W en joules o fuerza por velocidad:
𝑃 = 𝐸. 𝐽𝑑𝑣

22. 6. CONDUCTORES.
La densidad de potencia Wp en watts/m3 seria:
𝑊𝑝 = 𝐸 ∙ 𝐽 = 𝜎 𝐸 2

23. 6. CONDUCTORES.

24. 6. CONDUCTORES.

25. 6. CONDUCTORES.