Teoria electromagnetica

1. Teoría Electromagnética I
Ing. Ricardo Cajo Díaz

2. 2 Conductores y Cargas
Introducción
En el capitulo anterior nos ocupamos de campos
electroestáticos en le vacío o espacio sin materiales. Ahora
vamos a estudiar la teoría de los fenómenos eléctricos en
el espacio material.
También comprobaremos que la mayor parte de las
formulas deducidas en el capitulo anterior son aplicables
aunque con ciertas modificaciones en algunos casos.
Así como pueden existir en el vacío , también pueden
existir campos eléctricos en medios materiales.
Los materiales se dividen de acuerdo a sus propiedades
eléctricas en conductores y no conductores. Los materiales
no conductores se denominan aisladores o dieléctricos.
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3. 2 Conductores y Cargas
2.1 Propiedades Generales de los materiales
En términos generales , los materiales se clasifican en
conductores y no conductores o técnicamente ,en metales
y aisladores (o dieléctricos), según su conductividad 𝜎 , en
mhos/m (Ω−1 /m) o siemens por metro (S/m).
La conductividad de un material depende usualmente de la
temperatura y la frecuencia. Un material de alta
conductividad 𝜎 >>1 se denomina metal, uno de baja
conductividad 𝜎 ≪ 1 aislador y uno de conductividad
intermedia,semiconductor.
Con fundamento en esto queda claro que materiales como
el cobre y aluminio son metales ; el silicio y germanio
semiconductores; vidrio y caucho aisladores.
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4. 2 Conductores y Cargas
2.2 Corrientes de convección y conducción
Voltaje (o diferencia de potencial) y corriente electrica son
dos cantidades fundamentales en ingenieria electrica.
En el capitulo anterior tratamos el potencial. Antes de
analizar el comportamiento del campo electrico en un
conductor o en un dielectrico es conveniente considerar la
corriente electrica.
La corriente electrica suele ser causada por el movimiento
de cargas electricas.
La corriente (en amperes) a traves de un area dada es la
carga electrica que pasa por esa area por unidad de
tiempo.
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5. 2 Conductores y Cargas
2.2 Corrientes de convección y conducción
Es decir
𝑑𝑄
𝐼=
𝑑𝑡
Así, en una corriente de un ampere, la carga es transferida
razón de un coulomb por segundo.
Introduzcamos ahora el concepto de densidad de corriente J
, Si la corriente ∆𝐼 fluye a través de una superficie ∆𝑆 , la
densidad de corriente es.
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6. 2 Conductores y Cargas
2.2 Corrientes de convección y conducción
Si se parte del supuesto de que la densidad de corriente es
perpendicular a la superficie.
Si la densidad de corriente no es normal a la superficie.
∆𝐼 = 𝐉. ∆𝑆
De este modo la corriente total que fluye a traves de la
superficie S es.
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7. 2 Conductores y Cargas
2.2 Corrientes de convección y conducción
Segun como se produzca I, existen diferentes tipos de
densidad de corriente:
Densidad de corriente de conveccion, densidad de corriente
de conduccion y densidad de corriente de desplazamiento.
La ecuacion anterior indica que la corriente I a traves de S
es sencillamente el flujo de la densidad de corriente J.
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8. 2 Conductores y Cargas
2.2 Corrientes de convección y conducción
La corriente de conveccion, en cuanto que distinta a la
corriente de conduccion, no implica conductores y , en
consecuencia, no satisface la ley de ohm.
Ocurre cuando la corriente fluye a traves de un medio
aislador como liquido,gas enriquecido o en el vacio.
Un haz de electrones en un tubo al vacio, por ejemplo es
una corriente de conveccion.
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9. 2 Conductores y Cargas
2.2 Corrientes de convección y conducción
Considere el filamento de la figura. En presencia de un flujo
de carga 𝜌 𝑣 a una velocidad 𝒖 = 𝑢 𝑦 𝒂 𝑦 , la corriente a través
del filamento es
∆𝑄 ∆𝑙
∆𝐼 = = 𝜌 𝑣 ∆𝑆 = 𝜌 𝑣 ∆𝑆𝑢 𝑦
∆𝑡 ∆𝑡
La densidad de corriente en un punto dado es la corriente a
traves de un area unitaria en ese punto.
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10. 2 Conductores y Cargas
2.2 Corrientes de convección y conducción
La densidad de corriente en direccion y 𝐽 𝑦 esta dada por
∆𝐼
𝐽𝑦 = = 𝜌𝑣 𝑢 𝑦
∆𝑆
Asi pues general
𝑱 = 𝜌𝑣 𝒖
La corriente I es la corriente de conveccion y J la
densidad de corriente de conveccion en A/𝑚2 .
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11. 2 Conductores y Cargas
2.2 Corrientes de convección y conducción
La corriente de conduccion requiere de un conductor.
Un conductor se caracteriza por una gran cantidad de
electrones libres , los cuales suministran corriente de
conduccion debida a un campo eléctrico aplicado.
Asi la densidad de corriente de conduccion es
𝑱 = σ𝑬 Forma puntual de la ley de Ohm
Densidad de carga electronica 𝜌 𝑣 = −𝑛𝑒 Si hay n
electrones por unidad de volumen donde e=1.6x10−9C
𝜎 Conductividad del material
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12. 2 Conductores y Cargas
2.2 Corrientes de convección y conducción
Ejercicio
Un cable de 1mm de diametro y conductividad de 5x107 S/m
posee 1029 electrones libres /𝑚3 cuando se aplica un campo
eléctrico de 10mV/m .Determine
a) La densidad de carga de los electrones libres
b) La densidad de corriente
c) La corriente en el cable
d) La velocidad de deriva de los electrones
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13. 2 Conductores y Cargas
2.3 Conductores
Un conductor posee abundante carga con libertad de
desplazamiento. Considérese el conductor aislado que
aparece en la figura.
Propiedad de un conductor
Un conductor Perfecto no puede contener
un campo electroestático. Ing. Ricardo Cajo Díaz

14. 2 Conductores y Cargas
2.3 Conductores
A un conductor se le llama cuerpo equipotencial, lo que
implica que en cualquiera de sus puntos el potencial es el
mismo. Esto se basa en el hecho de que 𝐸 = −𝛻𝑉 = 0.
La ley de Ohm , 𝑱 = σ𝑬 ,permite entender este fenomeno de
otra manera. Para mantener una densidad de corriente finita J
en un conductor perfecto ( 𝜎 → ∞) es necesario que el
campo eléctrico E→ 0.
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15. 2 Conductores y Cargas
2.3 Conductores
De acuerdo con la ley de Gauss , si E=0 , la densidad de
carga 𝜌 𝑣 debe de ser cero.
En consecuencia, esto también nos lleva a la conclusión de
que un conductor perfecto no puede contener un campo
electroestático. En condiciones estáticas,
E=0 , 𝜌 𝑣 =0 , 𝑉 𝑎𝑏 =0 ( dentro de un conductor.)
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16. 2 Conductores y Cargas
2.3 Conductores
Consideremos ahora un conductor cuyos extremos se
mantienen a una diferencia de potencial V. Como se muestra
en la figura, en donde observamos que no hay equilibrio
electroestático , ya que el conductor esta conectado a una
fuente electromotriz. Y hace que las cargas se muevan e
impide que se establezca el equilibrio electroestático.
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17. 2 Conductores y Cargas
2.3 Conductores
Cuando los electrones se mueven , se topan con fuerzas
amortiguadoras llamadas resistencia.
Para deducir la resistencia del material conductor utilizamos la
ley de ohm .
Supongamos que el conductor posee una sección transversal
S y una longitud l .La dirección de E es la misma que la del
flujo de cargas positivas o corriente I. Ésta dirección es
contraria a la del flujo de electrones. El campo eléctrico
aplicado es uniforme y su magnitud esta dada por.
𝐼 𝜎𝑉
E=V/l J=I/S = 𝜎𝐸 =
𝑆 𝑙
𝑙 𝜌𝑐𝑙
R=V/I =
𝜎𝑆
=
𝑆
𝜌 𝑐=1/𝜎 [Resistividad del material ]
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18. 2 Conductores y Cargas
2.3 Conductores
La ecuación anterior es útil para calcular la resistencia de
cualquier conductor de sección transversal uniforme.
Si la seccion transversal del conductor no es uniforme ,la
ecuacion anterior no es aplicable, pero la definicion basica de
resistencia R como la razon de la diferencia de potencial entre
los extremos del conductor y la corriente I a traves del
conductor sigue vigente.
𝑉 𝑬. 𝑑𝒍
𝑅= =
𝐼 𝜎𝑬. 𝑑𝑺
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19. 2 Conductores y Cargas
2.3 Conductores
La potencia (en watts) es la rapidez de cambio de la energia
W(en joules) o fuerza por velocidad . Asi
𝑃= 𝑬. 𝑱 𝑑𝑣
Lo que se conoce como la ley de joule . La densidad de
potencia 𝑤 𝑝 (en watt/𝑚2 ) esta dada por
𝑑𝑃
𝑤𝑝 = = 𝑬. 𝑱 = 𝜎|𝐸|2
𝑑𝑣
En el caso de un conductor con seccion transversal uniforme ,
dv=dSdl
𝑃= 𝐸𝑑𝑙 𝐽𝑑𝑆 = 𝑉𝐼 𝑜 𝐼2 𝑅
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20. 2 Conductores y Cargas
2.3 Conductores
Ejercicio
𝐴
Con relacion a la densidad de corriente J=10z 𝑠𝑒𝑛2 ∅𝒂 𝝆 [ 𝑚2] ,
Halle la corriente a traves de la superficie cilindrica 𝜌 = 2 , 1 ≤
𝑧 ≤ 5 𝑚.
Respuesta: 754 A
Ing. Ricardo Cajo Díaz