Corriente de conducción y convección Conductores Dieléctricos Ecuación de continuidad y tiempo de relajación Condiciones en la Frontera

1. Campos Eléctricos en el espacio
material
Teoría de Campos Electromagnéticos
Francisco A. Sandoval
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2. Agenda
 Flashback
 Introducción
 Propiedades de los materiales
 Corrientes de convección y de conducción
 Conductores
 Polarización en dieléctricos
 Constante y resistencia dieléctricas
 Dieléctricos lineales, isotrópicos y homogéneos
 Ecuación de continuidad y tiempo de relajación
 Condiciones en la frontera
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3. Quadrinho
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4. Introducción
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5. Introducción
 Hasta aquí, teoría electrostática del campo vacío.
 En este capítulo, teoría de los fenómenos eléctricos en el
espacio material.
 La mayor parte de las fórmulas deducidas son aplicables,
aunque con ciertas modificaciones.
 Los materiales se dividen en (de acuerdo a propiedades
eléctricas):
 Conductores
 No conductores (aisladores o dieléctricos)
 Se examina propiedades de los materiales dieléctricos:
susceptibilidad, permitividad, linealidad, isotropía, etc.
 Condiciones en la frontera de campos eléctricos existentes en
dos medios distintos.
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6. Propiedades de los materiales
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7. Propiedades de los materiales
 Los materiales se clasifican según su conductividad 𝜎
(mhos por metro):
 Conductores (metales) - 𝜎 ≫ 1: cobre, aluminio
 No conductores (aisladores o dieléctricos) - 𝜎 ≪ 1: vidrio,
caucho
 La conductividad de un material depende de la
temperatura y la frecuencia.
 Material de conductividad intermedia – semiconductor:
silicio, germanio.
 La conductividad de los metales suele aumentar al
disminuir la temperatura.
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8. Propiedades de los materiales
 Microscópicamente, la principal diferencia entre un metal
y un aislador radica en la cantidad de electrones
disponibles para la conducción de corriente.
 Dieléctricos – pocos electrones disponibles
 Metales – abundantes electrones libres.
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9. Corrientes de Convección y
Conducción
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10. Corrientes de Convección y conducción I
La corriente (en amperes) a través de un área dada es la carga eléctrica que pasa por
esa área por unidad de tiempo.
𝐼 =
𝑑𝑄
𝑑𝑡
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11. Corrientes de Convección y conducción II
 Si la corriente ∆𝐼 fluye a través de una superficie ∆𝑆, la
densidad de corriente 𝑱 es (caso: densidad de
corriente es perpendicular a la superficie)
𝐽 𝑛 =
∆𝐼
∆𝑆
 Si la densidad de corriente no es normal a la superficie:
∆𝐼 = 𝑱 ∙ 𝑑𝑺
 La corriente total que fluye a través de una superficie 𝑆
es
𝐼 = 𝑱 ∙ 𝑑𝑺
𝑆
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12. Corrientes de Convección y conducción III
 Tipos de densidad de corriente (según como se produzca
𝐼)
 Densidad de corriente de convección
 Densidad de corriente de conducción
 Densidad de corriente de desplazamiento
 La corriente de convección no satisface la ley de Ohm.
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13. Corrientes de Convección y conducción IV
 En presencia de un flujo de carga de densidad 𝜌 𝑣 a una
velocidad 𝒖 = 𝑎 𝑦 𝐚 𝒚, la corriente a través del filamento es
La densidad de corriente en un punto es la corriente a través de un área unitaria
normal en ese punto.
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14. Corrientes de Convección y conducción V
 La densidad de corriente en dirección 𝑦 𝐽 𝑦 es
 En general
 La corriente 𝐼 es la corriente de convección y 𝐽 es la
densidad de corriente de convección, en (A/m2)
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15. Corrientes de Convección y conducción VI
 La corriente de conducción requiere de un conductor.
 Un conductor se caracteriza por una gran cantidad de electrones
libres, los cuales suministran corriente de conducción debida a un
campo eléctrico aplicado.
 Cuando se aplica un campo eléctrico 𝑬, la fuerza sobre un electrón
con carga −𝑒 es
 Si (ley de Newton) el electrón con masa 𝑚 se desplaza en un campo
eléctrico 𝑬 con una velocidad promedio de 𝒖, el cambio promedio
en el momento del electrón libre debe ser proporcional a la fuerza
aplicada:
 𝜏 es intervalo temporal promedio entre colisiones.
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16. Corrientes de Convección y conducción VII
 Si hay 𝑛 electrones por unidad de volumen, la densidad de
carga electrónica está dada por:
 Así, la densidad de corriente de conducción es
 o la forma puntual de la ley de Ohm
 donde 𝜎 = 𝑛𝑒2
𝜏/𝑚 es la conductividad del conductor.
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17. Conductores
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18. Conductores I
Un conductor perfecto no puede contener un campo electrostático.
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19. Conductores II
 Un conductor es un cuerpo equipotencial. En cualquiera
de sus puntos el potencial es el mismo.
𝑬 = −𝛻𝑉 = 0
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20. Conductores III
 Conductor cuyos extremos se mantienen a una diferencia de
potencial 𝑉.
 𝑬 ≠ 0 dentro del conductor
 No hay equilibrio estático, debido a la fuente de fuerza electromotriz.
 Compele a la cargas libres a moverse e impide que se establezca el
equilibrio electrostático.
 Existe campo eléctrico dentro del conductor, para sostener flujo de
corriente.
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21. Conductores IV
 Cuando los electrones se mueven, se topan con fuerzas
amortiguadoras llamadas resistencia.
 Suponer que conductor posee una sección transversal
uniforme 𝑆 y es de longitud ℓ.
 La dirección del campo eléctrico 𝑬 producido es la misma que
la del flujo de cargas positivas o corriente 𝐼.
 Dirección contraria a la del flujo de electrones.
 El campo eléctrico es uniforme y de magnitud:
𝐸 =
𝑉
ℓ
𝐽 =
𝐼
𝑆
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22. Conductores V
 Remplazando 𝐽, y posteriormente 𝐸
 donde 𝜌𝑐 = 1/𝜎 es la resistividad del material.
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23. Conductores VI
 La resistencia de un conductor de sección transversal no
uniforme:
 La potencia (en watts) es la rapidez de cambio de la
energía 𝑊 (en joules) o fuerza por velocidad.
Ley de Joule
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24. Conductores VII
 En el caso de conductor de sección transversal uniforme,
𝑑𝑣 = 𝑑𝑆 𝑑𝑙, de manera que:
Forma común Ley de
Joule en teoría de
circuitos eléctricos
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25. Polarización en Dieléctricos
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26. Polarización en dieléctricos I
 Considere un átomo de dieléctrico, compuesto por una carga
negativa −𝑄 (nube de electrones) y una carga positiva +𝑄
(núcleo).
 El átomo es neutro.
 Al aplicarse campo eléctrico, carga positiva es desplazada por
la fuerza 𝑭+ = 𝑄𝑬 desde su posición de equilibrio hacia la
dirección de 𝑬. La carga negativa es desplazada en dirección
opuesta por la fuerza 𝑭− = 𝑄𝑬
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27. Polarización en dieléctricos II
 Por desplazamiento de cargas, resulta un dipolo, se dice
que dieléctrico ha sido polarizado.
 Distribución distorsionada de carga equivalente, corresponde a
la distribución original más un dipolo de momentofralbe.com

28. Polarización en dieléctricos III
 Si hay 𝑁 dipolos en un volumen ∆ 𝑣 del dieléctrico, el
momento del dipolo total debido al campo eléctrico es
 La polarización 𝑷 (columbs/metro cuadrado) es el
momento del dipolo por unidad de volumen del
dieléctrico
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29. Polarización en dieléctricos IV
 El principal efecto del campo eléctrico 𝑬 sobre un
dieléctrico es la creación de momentos del dipolo que se
alinean en la dirección de 𝑬.
Polarización de una molécula polar. (a) dipolo permanente 𝑬 = 0, y (b) alineación
del dipolo permanente 𝑬 ≠ 0
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30. Polarización en dieléctricos V
 Se supone que una distribución continua y uniforme de
momentos eléctricos dipolares en todo el volumen, lo que no
se produce.
 Pero, una visión macroscópica, la polarización 𝑷 puede dar
cuenta del aumento de la densidad del flujo eléctrico, según
 La ecuación permite a 𝑬 y 𝑷 tener direcciones diferentes
(ciertos dieléctricos cristalinos).
 En un material isotrópico y lineal, 𝑬 y 𝑷 son paralelos en cada
punto,
 La susceptibilidad eléctrica 𝜒 𝑒 es una constante adimensional.
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31. Constante y Resistencia
Dieléctricas
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32. Constante y Resistencia Dieléctricas I
 Sustituyendo la polarización en la ecuación de densidad
de flujo eléctrico
 donde
𝜀 - permitividad del dieléctrico
𝜀0 - permitividad del vacío
𝜀 𝑟 - permitividad relativa
(cosntante dieléctrica)
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33. Constante y Resistencia Dieléctricas II
 La constante dieléctrica 𝜀 𝑟 es la razón de la permitividad
del dieléctrico a la del vacío. (adimensional)
 La resistencia dieléctrica es el campo eléctrico máximo
que un dieléctrico puede tolerar o soportar sin
disrupción.
 La disrupción dieléctrica se presenta, cuando el campo
eléctrico en un dieléctrico es suficientemente grande, entonces
comienza a arrebatar electrones a las moléculas y el dieléctrico
se convierte en conductor.
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34. Ecuación de Continuidad
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35. Ecuación de Continuidad
 Por Principio de conservación de la carga, la rapidez de
reducción de la carga dentro de un volumen dado debe
ser igual al flujo neto de corriente hacia fuera a través de
la superficie cerrada del volumen.
 La corriente que sale de la superficie cerrada es:
 𝑄𝑖𝑛, carga total encerrada por la superficie cerrada.
 Aplicando teorema de divergencia
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36. Ecuación de Continuidad
 Pero
 Sustituyendo
 O
Ecuación de continuidad de la
corriente: no puede haber acumulación
de carga en ningún punto
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37. Condiciones en la Frontera
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38. Condiciones de Frontera I
 Hasta aquí – campo eléctrico en medio homogéneo
 También existe campo en región compuesta por dos
medios distintos.
 Problema: determinar campo en uno de los lados de la
frontera si el campo en el otro lado es conocido.
 Condiciones de frontera impuestas por el tipo de
material con el que se han producido los medios.
 Dieléctrico (𝜀 𝑟1
) y dieléctrico (𝜀 𝑟2
)
 Conductor y dieléctrico
 Conductor y vacío
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39. Condiciones en la Frontera II
 Para determinar condiciones en la frontera:
 Emplear ecuaciones de Maxwell
 Descomponer la intensidad de campo eléctrico 𝑬 en dos
componentes ortogonales.
 𝑬 𝒕, 𝑬 𝒏 - componentes tangencial y normal a la interfaz de interés.
 También la densidad e flujo eléctrico puede descomponerse de igual
manera.
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40. A. Condiciones en la Frontera dieléctrico-
dieléctrico I
Aplicando a la trayectoria cerrada abcda:
Como:
Las componentes tangenciales de 𝑬 son iguales en los dos lados de la frontera.
𝑬 𝑡 es continua de un lado a otro de la frontera y 𝑫 𝑡 es discontinua.
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41. A. Condiciones en la Frontera dieléctrico-
dieléctrico II
Aplicando a la superficie gaussiana:
Como:
𝜌 𝑆 - densidad de carga libre deliberadamente colocada en la frontera.
𝑫 se dirige
de la región
2 a la 1
Si en la interfaz no existe carga libre:
Las componente normal de 𝑫 es continua de un lado a otro de la interfaz.
La componente normal de 𝑬 es discontinua en la frontera.
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42. A. Condiciones en la Frontera dieléctrico-
dieléctrico III
 Determinar la refracción del campo eléctrico a través de
la interfaz.
 𝜃1 y 𝜃2 - ángulos con la normal a la interfaz
(a)
(b)
Dividiendo (a) entre (b)
Ley de refracción del campo eléctrico en una
frontera libre de carga.
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43. B. Condiciones en la frontera conductor-
dieléctrico I
 Conductor perfecto (𝜎 → ∞ o 𝜌𝑐 → 0)
 Mismo procedimiento que interfaz dieléctrico–dieléctrico.
 Incorporar que 𝑬 = 0 dentro del conductor.
Aplicando a la
trayectoria
cerrada abcda:
Cuando:
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44. B. Condiciones en la frontera conductor-
dieléctrico II
Puesto que 𝑫 = 𝜀𝑬 dentro del
conductor
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45. B. Condiciones en la frontera conductor-
dieléctrico III
 En condiciones estáticas:
 Dentro de un conductor no puede existir ningún campo
eléctrico.
 Puesto que 𝑬 = −𝛻𝑉 = 0, no puede haber ninguna diferencia
de potencial entre dos puntos cualesquiera en el conductor. Un
conductor es un cuerpo equipotencial.
 El campo eléctrico 𝑬 puede ser externo al conductor y normal
a la superficie de éste, es decir
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46. B. Condiciones en la frontera conductor-
dieléctrico III
 Blindaje electrostático:
 Es una aplicación del hecho de que
𝑬 = 0 dentro del conductor.
 Si un conductor A mantenido en un
potencial de cero circunda a un
conductor B, se dice que B está
eléctricamente protegido por A
contra otros sistemas eléctricos,
como el conductor C, fuera de A.
 El conductor C fuera de A es
protegido por A contra B.
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47. C. Condiciones en la frontera conductor-
vacío
 Caso especial de las condiciones conductor-dieléctrico.
De
Remplazando 𝜀 𝑟 por 1 (el vacío)
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48. Referencias
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49. Bibliografía y Referencias
 Sadiku, Matthew N. O. «Elementos de Electromagnetismo»,
Editorial Alfaomega, Oxford University Press, 2010.
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