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Ecuación de la circunferencia con centro (h,k) para bachillerato con ejercicios propuestos, en un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación. (x-h)² + (y-k)² =r², donde (h,k) es el centro y r es el radio. En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación. (x-h)² + (y-k)² =r², donde (h,k) es el centro y r es el radio. Para determinar la ecuación ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio.

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ECUACIÓN DE LA
CIRCUNFERENCIA CENTRO C (h ; k)
TANGENTE A UNA RECTA
Circulo y Circunferencia:
Aplicaciones de la circunferencia en la
vida cotidiana:
https://www.youtube.com/watch?v=KGlNQtV3Ca0
Tangente a un Circulo.
Una tangente a un círculo es una línea recta
que toca el círculo solamente en un punto.
Este punto es llamado el punto de tangencia.
La tangente en cualquier punto de un círculo
es perpendicular al radio a través del punto
de tangencia.
• Fórmula de la distancia de un punto a una recta.
𝑑 =
𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶
𝐴2 + 𝐵2
En donde: A, B, C son los coeficientes que aparecen en la ecuación
de la recta en forma general.
• Ecuación de la circunferencia tangente a una recta (forma
ordinaria y general).
𝑥 − ℎ 2
+ 𝑦 − 𝑘 2
= 𝑟2
𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎
𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥ℎ − 2𝑦𝑘 + ℎ2
+ 𝑘2
− 𝑟2
= 0 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙
En donde, (h,k) son las coordenadas del centro, y r es el radio de la
circunferencia.
Encontrar la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria y general, con centro
en (-2,3) y tangente a la recta 𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟑 = 𝟎
1. Calculamos y graficamos la recta tangente a la circunferencia, y ubicamos los puntos (-2,3) en el plano.
𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟑 = 𝟎
𝑥 = 0
2 0 + 𝑦 + 3 = 0
𝑦 + 3 = 0
𝑦 = −3
(𝟎, −𝟑)
𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟑 = 𝟎
𝑦 = 0
2𝑥 + 0 + 3 = 0
𝑥 = −
3
2
≈ −1,5
(−
𝟑
𝟐
, 𝟎)
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  • 1. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CENTRO C (h ; k) TANGENTE A UNA RECTA
  • 3. Aplicaciones de la circunferencia en la vida cotidiana: https://www.youtube.com/watch?v=KGlNQtV3Ca0
  • 4. Tangente a un Circulo. Una tangente a un círculo es una línea recta que toca el círculo solamente en un punto. Este punto es llamado el punto de tangencia. La tangente en cualquier punto de un círculo es perpendicular al radio a través del punto de tangencia.
  • 5. • Fórmula de la distancia de un punto a una recta. 𝑑 = 𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶 𝐴2 + 𝐵2 En donde: A, B, C son los coeficientes que aparecen en la ecuación de la recta en forma general. • Ecuación de la circunferencia tangente a una recta (forma ordinaria y general). 𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥ℎ − 2𝑦𝑘 + ℎ2 + 𝑘2 − 𝑟2 = 0 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 En donde, (h,k) son las coordenadas del centro, y r es el radio de la circunferencia.
  • 6. Encontrar la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria y general, con centro en (-2,3) y tangente a la recta 𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟑 = 𝟎 1. Calculamos y graficamos la recta tangente a la circunferencia, y ubicamos los puntos (-2,3) en el plano. 𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟑 = 𝟎 𝑥 = 0 2 0 + 𝑦 + 3 = 0 𝑦 + 3 = 0 𝑦 = −3 (𝟎, −𝟑) 𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟑 = 𝟎 𝑦 = 0 2𝑥 + 0 + 3 = 0 𝑥 = − 3 2 ≈ −1,5 (− 𝟑 𝟐 , 𝟎)
  • 7. 1. Calculamos la ecuación de la circunferencia tangente a una recta (forma ordinaria y general). (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 Identificamos los valores de (h,k) que son: ℎ = −2; 𝑘 = 3, también debemos calcular el valor de r, para aquello debemos encontrar con la fórmula de la distancia de un punto a una recta. 𝑑 = 𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶 𝐴2 + 𝐵2 𝐴 = 2; 𝑥1 = −2 𝐵 = 1; 𝑥2 = 3 𝐶 = 3 1. Reemplazamos los valores. 𝑑 = 2(−2) + 1(3) + 3 (2)2 + (1)2 𝑑 = −4 + 3 + 3 4 + 1 𝑑 = 2 5 𝑟 = 𝑑 = 2 5 ≈ 0,89𝑢 𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟑 = 𝟎
  • 8. 1. Reemplazamos r en la ecuación de la circunferencia tangente a una recta. 𝑥 − (−2) 2 + (𝑦 − 3)2 = 2 5 2 (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 3)2 = (2)2 5 2 (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 4 5 (𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎) (𝑥2 + 2𝑥 + 4) + (𝑦2 − 6𝑦 + 9) = 4 5 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 6𝑦 + 13 − 4 5 = 0 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 6𝑦 + 61 5 = 0 (𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙) 𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2
  • 9. Hallar la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria y general, que tiene centro en el punto (4,2) y es tangente a las rectas (−𝒙 + 𝒚 = 𝟐); (−𝒙 − 𝒚 = −𝟏𝟎). 1. Calculamos y graficamos las rectas tangentes a la circunferencia, y ubicamos los puntos (4,2) en el plano. −𝒙 + 𝒚 − 𝟐 = 𝟎 𝑥 = 0 (0) + 𝑦 − 2 = 0 𝑦 = 2 (𝟎, 𝟐) −𝒙 + 𝒚 − 𝟐 = 𝟎 𝑦 = 0 −𝑥 + (0) − 2 = 0 𝑥 = −2 (−𝟐, 𝟎) −𝒙 − 𝒚 + 𝟏𝟎 = 𝟎 𝑥 = 0 −(0) − 𝑦 + 10 = 0 −𝑦 = −10 𝑦 = 10 (𝟎, 𝟏𝟎) −𝒙 − 𝒚 + 𝟏𝟎 = 𝟎 𝑦 = 0 −𝑥 − (0) + 10 = 0 −𝑥 = −10 𝑥 = 10 (𝟏𝟎, 𝟎)
  • 10. 1. Calculamos la ecuación de la circunferencia tangente a una recta (forma ordinaria y general). (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 Identificamos los valores de (h,k) que son: ℎ = 4; 𝑘 = 2, también debemos calcular el valor de r, para aquello debemos encontrar con la fórmula de la distancia de un punto a una recta. 𝑑 = 𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶 𝐴2 + 𝐵2 2. Reemplazamos los valores. 𝑑1 = −1(4) + (1)(2) + (−2) (−1)2 + (−1)2 𝑑1 = −4 + 2 − 2 1 + 1 𝑑1 = −4 2 𝑟1 = 𝑑1 = 4 2 = 2 2𝑢 𝑑2 = −1(4) + (−1)(2) + 10 (−1)2 + (−1)2 𝑑2 = −4 − 2 + 10 2 𝑑2 = 4 2 𝑟2 = 𝑑2 = 4 2 = 2 2𝑢 En consecuencia, 𝑟1 = 𝑟2 𝐴 = −1; 𝑥1 = 4 𝐵 = 1; 𝑥2 = 2 𝐶 = −2 𝐴 = −1; 𝑥1 = 4 𝐵 = −1; 𝑥2 = 2 𝐶 = 10
  • 11. 1. Reemplazamos r en la ecuación de la circunferencia tangente a una recta. (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 2)2 = 2 2 2 (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 2)2 = 8 (𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎) (𝑥2 − 8𝑥 + 16) + (𝑦2 − 4𝑦 + 4) = 8 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 − 4𝑦 + 20 − 8 = 0 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0 (𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙)
  • 12. Encuentre las ecuaciones de las circunferencias en forma ordinaria, cuyos centros están en la recta 𝟕𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟏 = 𝟎, y son tangentes a las rectas: (5x-12y+5=0), (4x+3y-3=0) Desconocemos el centro C(h,k), pero podemos expresarlo de la siguiente manera 𝟕𝒉 − 𝟐𝒌 − 𝟏 = 𝟎 (1) Recta L1 L2
  • 13. 1. Se tiene el dato de las tangentes a la circunferencia: (5x-12y+5=0), (4x+3y-3=0), y procedo a sacar sus distancias, sabiendo que: 𝑑 = 𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶 𝐴2 + 𝐵2 2. Reemplazamos los valores. 𝑑1 = 5(ℎ) + (−12)(𝑘) + (5) (5)2 + (−12)2 𝑑1 = 5ℎ − 12𝑘 + 5 25 + 144 𝑑1 = 5ℎ − 12𝑘 + 5 169 𝑟1 = 𝑑1 = 5ℎ − 12𝑘 + 5 13 𝑑2 = 4(ℎ) + (3)(𝑘) − 3 (4)2 + (3)2 𝑑2 = 4ℎ + 3𝑘 − 3 16 + 9 𝑑2 = 4ℎ + 3𝑘 − 3 25 𝑟2 = 𝑑2 = 4ℎ + 3𝑘 − 3 25 En consecuencia, 𝑟1 = 𝑟2 5ℎ − 12𝑘 + 5 13 = 4ℎ + 3𝑘 − 3 5 5(5ℎ − 12𝑘 + 5) = ±13(4ℎ + 3𝑘 − 3) (2) 𝐴 = 5; 𝑥1 = ℎ 𝐵 = −12; 𝑥2 = 𝑘 𝐶 = 5 𝐴 = 4; 𝑥1 = 4 𝐵 = 3; 𝑥2 = 2 𝐶 = −3
  • 14. 1. Generamos un sistema de ecuaciones: entre (1) y (2), para encontrar el valor de h,k; tomando en cuenta el valor positivo. 7ℎ − 2𝑘 − 1 = 0 5(5ℎ − 12𝑘 + 5) = 13(4ℎ + 3𝑘 − 3) 7ℎ − 2𝑘 − 1 = 0 −27ℎ − 99𝑘 + 64 = 0 Resolvemos el sistema de ecuaciones por cualquier método y obtenemos: 𝐶( 227 747 , 421 747 ), Entonces: ℎ = 227 747 , 𝑘 = 421 747 2. Reemplazamos h,k para encontrar el radio o distancia en cualquiera de las dos Ec tangentes. 𝑟1 = 𝑑1 = 5 227 747 − 12 421 747 + 5 13 𝑟1 = 𝑑1 = 14 747 1. Reemplazamos r en la ecuación de la circunferencia tangente a una recta. 𝑥 − 227 747 2 + 𝑦 − 421 747 2 = 14 747 2
  • 15. 1. Generamos un sistema de ecuaciones: entre (1) y (2), para encontrar el valor de h,k; tomando en cuenta el valor negativo. 7ℎ − 2𝑘 − 1 = 0 5(5ℎ − 12𝑘 + 5) = −13(4ℎ + 3𝑘 − 3) 7ℎ − 2𝑘 − 1 = 0 11ℎ − 3𝑘 − 2 = 0 2. Resolvemos el sistema de ecuaciones por cualquier método y obtenemos: 𝐶(1,3), Entonces: ℎ = 1, 𝑘 = 3 3. Reemplazamos h,k para encontrar el radio o distancia en cualquiera de las dos Ec tangentes. 𝑟2 = 𝑑2 = 4(1) + 3(3) − 3 5 𝑟2 = 𝑑2 = 4 + 9 − 3 5 𝑟2 = 𝑑2 = 10 5 = 2 4. Reemplazamos r en la ecuación de la circunferencia tangente a una recta. (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 = (2)2 (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 = 4
  • 17. TAREA Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto (3, 4) y es tangente a la recta 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑 = 𝟎 Encontrar las soluciones de las ecuaciones de las circunferencias, sus centros se encuentran en la recta 𝟒𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟑, y son tangentes a las rectas 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟏𝟎; 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟓