Ecuación de la circunferencia

1. DOMINIO
MATEMÁTICO
Bienvenidos

2. CIRCUNFERENCIA
DOMINIO MATEMÁTICO
2

3. CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia es el lugar geométrico que representa una línea
curva cerrada, cuyos puntos equidistan de un punto fijo llamado centro.
3
Donde:
h y k : coordenadas del centro de la circunferencia
r: radio de la circunferencia
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2 (𝑥 − ℎ)2+(𝑦 − 𝑘)2= 𝑟2

4. CIRCUNFERENCIA
Forma general.
4
𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Para una circunferencia A=C
Centro de la circunferencia
𝐶 ℎ, 𝑘 = −
𝐷
2
, −
𝐸
2
Radio de la circunferencia
𝑟 = (ℎ2 + 𝑘2 − 𝐹)

5. Circunferencia
EJEMPLO
5
Encontrar el centro y el radio de la siguiente circunferencia
𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0
Centro
𝐶 ℎ, 𝑘 = −
𝐷
2
, −
𝐸
2
𝐷 = −4; 𝐸 = 2 𝐶 ℎ, 𝑘 = −
−4
2
, −
2
2
𝑪 𝒉, 𝒌 = 𝟐, −𝟏
Radio
𝑟 = (ℎ2 + 𝑘2 − 𝐹) ℎ = 2; 𝑘 = −1; 𝐹 = −1 𝑟 = (22 + −1 2 − (−1))
𝒓 = 𝟔

6. Circunferencia
EJEMPLO
6
Determinar la ecuación de la circunferencia de centro (2, -6) y
radio igual a 8.
(𝑥 − ℎ)2+(𝑦 − 𝑘)2= 𝑟2
ℎ = 2; 𝑘 = −6; 𝑟 = 8
(𝑥 − 2)2+(𝑦 − (−6))2= (8)2
(𝒙 − 𝟐) 𝟐+(𝒚 + 𝟔) 𝟐= 𝟔𝟒

7. Puntos dentro o fuera de una circunferencia
7
Para determinar si un punto se encuentra sobre, dentro o fuera de
la circunferencia se reemplaza las coordenadas del punto P(𝑥 𝑝, 𝑦𝑝)
en la ecuación de la circunferencia.
𝑥 𝑝
2 + 𝑦𝑝
2 < 𝑟2 "𝐷𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎"
Ecuación general
Forma canónica
𝑥 𝑝
2 + 𝑦𝑝
2 = 𝑟2 "𝑆𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎"
𝑥 𝑝
2 + 𝑦𝑝
2 > 𝑟2 "𝐹𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎"
𝐴𝑥 𝑝
2 + 𝐶𝑦𝑝
2 + 𝐷𝑥 𝑝 + 𝐸𝑦𝑝 + 𝐹 < 0 "𝐷𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎"
𝐴𝑥 𝑝
2 + 𝐶𝑦𝑝
2 + 𝐷𝑥 𝑝 + 𝐸𝑦𝑝 + 𝐹 = 0 "𝑆𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎"
𝐴𝑥 𝑝
2
+ 𝐶𝑦𝑝
2
+ 𝐷𝑥 𝑝 + 𝐸𝑦𝑝 + 𝐹 > 0 "𝐹𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎"

8. Ecuación de la recta
EJEMPLO
8
Determinar si el punto A (2, 3) se encuentra dentro, fuera o sobre la
circunferencia 9𝑥2 + 9𝑦2 − 6𝑥 + 54𝑦 + 46 = 0
A(2, 3)
9𝑥2 + 9𝑦2 − 6𝑥 + 54𝑦 + 46
9(2)2
+ 9(3)2
−6(2) + 54(3) + 46
36+81 − 12 + 162 + 46
𝟑𝟏𝟑 > 𝟎 " 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜
𝐴 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎"

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