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Coordenadas polares y rectangulares
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Coordenadas polares y rectangulares
1.
1. Transformar los
siguientes puntos de coordenadas rectangulares a coordenadas polares a. (2, 8) r= √푥2 + 푦2 = √22 + 82 = √68 = 8,24 휃 = tan−1 8 = tan−1 4 = 75,9° 2 a.- Coordenadas polares (4,47, 75,9°) b. (-5, -6) r = √52 + (6)2= √25 + 36 = √61 = 7,81 휃 = tan−1 −6 = tan−1 1,2 = 50,1° −5 b. -Coordenadas polares (7,81, 50°) c. (√2 , 1 5 ) r = √(√2) 2 + ( 1 5 2 = √51 ) 25 = 1,42 휃 = tan−1 1 5 √2 = tan−1 1 5√2 = 8° c.- coordenadas polares (1,42, 8°) 2. Calcula el área que encierra la curva de ecuación polar r= 1+ sin∅ Tomamos el área comprendida entre θ = 0 ; θ = π r π 2 0 a. A1= 2∫ 1 2 dθ (1 + sen θ)2 π o A1= 2∫ 1 2 d휃 (1 + 2 푠푒푛∅ + 푠푒푛2 휋 0 A1= 2∫ 1 2 휃) 푑휃 휋 0 A1= ∫ 푑휃 휋 0 + 2 ∫ 푠푒푛 휃푑휃 + ∫ 1−푐표푠휃 2 푑휃 휋 0 휋 − 2 푐표푠휃|0 A1= 휃|0 휋 + 1 2 휋 − 휃 |0 1 2 휋 푠푒푛휃|0 A1= 휋 − 0 − 2[cos 휋 − cos 0] + 1 2 [휋 − 0] − 1 2 [푠푒푛 휋 − 푠푒푛 0] A1= 휋 − 2(−1 − 1) + 휋 2 − 1 2 (0) A1= 휋 + 4 + 휋 2 A1 = 3 2 휋 + 4 El ejercicio anterior esta correspondido entre los 휃 valores θ = π ; θ = 3 2 π 퐴2= 1 2 3 2 휋 ∫ (1 + sen θ)2 휋
2.
퐴2= 1 2
3 2 휋 − 2 푐표푠휃|휋 [휃|휋 3 2 휋 + 1 2 3 2 휋 − 휃|휋 1 2 3 2 휋 ] 푠푒푛휃|휋 퐴2= 1 2 [ 3 2 3 2 휋] − [푐표푠 ( 1 4 휋) − 푐표푠 휋]+ [ 3 2 휋 − 휋] − 1 4 3 2 [푠푒푛 ( 휋) 푠푒푛 휋] 퐴2= 1 4 휋 − 1 + 1 16 휋 + 1 4 퐴2= 5 16 휋 − 3 4 3. Transformar los siguientes puntos de coordenadas rectangulares a coordenadas polares: a. (2, 휋 4 ) b. (−8, 3휋 2 ) −1 2 c. ( , 5휋 4 ) a. (2, 휋 4 ) → 푟 = 2 ; 휃 = 휋 4 cos 휃 = 푥 푟 휋 4 → 푥 = 푟 cos 휃 ; 푥 = 2 . cos ( ) = 1,41 푠푒푛 휃 = 푦 푟 → 푦 = 푟 푠푒푛휃 = 2 푠푒푛 휋 4 = 1,41 a.- coordenadas rectangulares (1,41 ; 1,41) b. (−8, 3휋 2 ) 푟 = −8 ; 휃 = 3휋 2 푥 = cos 휃 = −8 . cos 3휋 2 = 0 푦 = 푟 푠푒푛 휃 = −8 . 푠푒푛 3휋 2 = 8 b.- coordenadas cartesianas (0, 8) c. ( −1 2 , 5휋 4 ) 푥 = 푟 cos 휃 = −1 2 푐표푠 ( 5휋 4 ) = 0,35 푦 = −1 2 푠푒푛 ( 5휋 4 ) = 0,35 c.- coordenadas rectangulares (0,35 ; 0,35)
3.
4. Calcular el
área que encierra la cuerva de ecuación polar r = 4cos (2휃) 퐴 = 2 ∫ 1 2 푟2 푑휃 휋 0 휋 퐴 = ∫ (4 cos 휃)2 푑휃 0 휋 퐴 = ∫ 16 푐표푠2휃 푑휃 0 휋 퐴 = 16 ∫ 푐표푠2 휃 푑휃 0 1 + cos 2 휃 = 16 ∫ (√ 2 2 ) 휋 0 푑푥 = 16 ∫ 1 + 푐표푠2 2 휋 0 푑휃 휋 퐴 = 8 ∫ (1 + 푐표푠2휃)푑휃 = 8 (∫ 푑휃 0 휋 + ∫ cos 2휃 푑휃 0 ) 휋 0 휋 + 퐴 = [휃|0 1 2 휋 ] 푠푒푛2휃|0 퐴 = [(휋 − 0) + 1 2 (푠푒푛2휋 − 푠푒푛20)] = 8휋 5. Transformar la siguiente ecuación e variable polar a rectangulares r = 2cos(3휃) Multiplicando ambos lados por r 푟(푟) = 푟(2 cos(3휃)) 푟2 = 2 푟 푐표푠(3휃) Tenemos que 푟2 = 푥2 + 푦2 sustituyendo tenemos 푥2 + 푦2 = 2푟 cos(3휃) 푥2 + 푦2 = 2푥 푥2 − 2푥 + 푦2 = 0 푥2 − 2 2 푥 + 12 − 1 + 푦2 = 0 (푥 − 1)2 + 푦2 6. Transformar la sigues de variables rectangulares a variable polares 푥2 − 2푦2 = 4(푥 + 푦)2 푥2 − 2푦2 = 4(푥2 + 2푥푦 + 푦2) 푥2 − 2푦2 = 4(푥2 + 푦2 + 2푥푦) Tenemos que 푟2 = 푥2 + 푦2 x = cos휃 ; y = r sen휃 Sustituyendo en la ecuación tenemos (푟 푐표푠휃)2 − 2(푟 푠푒푛휃)2 = 4(푟2 + 푟 푐표푠휃 . 푟 푠푒푛휃) 푟2푐표푠2휃 − 2푟2푠푒푛2휃 = 4푟2 + 4푟2푐표푠휃 . 푠푒푛휃 푟2. (푐표푠2휃 − 2푠푒푛2휃) 4푟2(1 + 푐표푠휃 . 푠푒푛휃) 푐표푠2휃 − 2푠푒푛2 = 4(1 + 푐표푠휃 . 푠푒푛휃)
4.
República Bolivariana de
Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Instituto universitario de Tecnología “Antonio José de Sucre” Barquisimeto. Edo-Lara MatematicaIII Integrante: Edixon Lucena C.I: 23.364.149 Seccion: S1
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