apunte

1. Polinomios
Francois Moraga
Semana 11
2019

2. 1.- Polinomios
Denición 1: Sea p : R → R una función, se dice que p(x) es un polinomio en una variable, y es de la
forma:
p(x) = a0 + a1x + a2x2
+ ldots + anxn
=
n
X
i=1
ai · xi
donde n ∈ N, ai ∈ R.
Los ai se acostumbran a llamar coecientes del polinomio, si an 6= 0 se dice que el polinomio es de grado n.
Igualdad: Sea p(x) =
n
X
i=0
ai · xi
con an 6= 0 y q(x) =
n
X
i=0
bi · xi
con bn 6= 0. Entonces,
p(x) = q(x) ⇐⇒ ai = bi , ∀ i = 0, 1, 2, . . . , n
Suma y producto: Sea p(x) =
n
X
i=0
ai ·xi
con an 6= 0 y q(x) =
m
X
i=0
bi ·xi
con bm 6= 0 supóngase que n ≥ m,
entonces:
(p + q)(x) = p(x) + q(x) donde, grado(p + q) ≤ n o bien grado 0.
(p · q) (x) = p(x) · q(x) donde, grado(p · q) = m + n.
Propiedad 1
Sea p(x) =
n
X
i=0
aixi
con an 6= 0 y q(x) =
m
X
i=0
bixi
con bm 6= 0 tales que p(x) · q(x) = 0, ∀ x ∈ R, entonces
p(x) = 0 ∨ q(x) = 0.
Propiedad 2
Sean p(x), q(x) y r(x) tres polinomios tales que p(x) 6= 0. Si p(x) · q(x) = p(x) · r(x), ∀x ∈ R, entonces
q(x) = r(x).
Denición 2: Sean p(x) y q(x) dos polinomios tales que q(x) 6= 0. Se dice que q(x) divide a p(x) o que q(x)
es un factor de p(x), si y solo si existe un polinomio s(x) tal que p(x) = s(x) · q(x).
Como q(x) 6= 0 y p(x) = s(x) · q(x) ⇐⇒
p(x)
q(x)
= s(x).
1

3. Ejemplo. La denición anterior da lugar a gran número de factorizaciones importantes, algunas de estas
son:
xn − an = (x − a) xn−1 + xn−2a + . . . + x · an−2 + an−1
x2n − a2n = (xn − an)(xn + an)
x8 − a8 = (x − a)(x + a)(x2 + a2)(x4 + a4).
Propiedad 3
Sean p(x) y q(x) dos polinomios, con q(x) 6= 0, entonces existen dos únicos polinomios s(x) y r(x) tales que
p(x) = s(x)q(x) + r(x), donde el grado de r(x) es menor que el grado de q(x) ó r(x) = 0.
Observación:
1. Es costumbre llamar a p(x) como el polinomio dividiendo, a q(x) como el polinomio divisor, a s(x) el
polinomio cuociente y a r(x) el polinomio resto.
2. Si en caso de ser r(x) = 0, se acostumbra a decir que la división de p(x) por q(x) es exacta.
3. Si r(x) = 0 =⇒ p(x) = s(x)q(x) y se dice que p(x) es factorizable y que s(x) y q(x) son sus factores.
4. Si q(x) 6= 0, entonces
p(x)
q(x)
= s(x) +
r(x)
q(x)
1.1.- Algoritmo de la división
p(x)
q(x)
= s(x) +
r(x)
q(x)
, (grado de p(x) ≥ grado de q(x)).
1. Se ordenan los términos de p(x) y q(x) en orden decreciente de sus potencias.
2. Se divide el término de mayor potencia de p(x) por el término de mayor potencia de q(x), sea este
resultado denotado por αx (que puede ser constante).
3. Se multiplican cada uno de los términos de q(x), por αx obtenido en 2, y se restan del polinomio p(x)
obteniéndose p1(x), que es un grado menor que p(x).
4. Se repite el proceso (1,2 y 3) para p1(x), obteniéndose p2(x) y así sucesivamente, hasta que el grado
de pi(x) sea menor que el grado de q(x).
5. Si el grado de pi(x) grado de q(x) entonces r(x) = pi(x), por otra parte s(x) es la suma de todos los
αx.
Ejemplo . Dividir p(x) = 2x4 + 6x3 + 6x2 − 7x + 10 por q(x) = x2 − 2x.
2

4. Solución. Usando los pasos anteriores, tenemos que:
2x4 − 6x3 + 6x2 − 7x + 10 ÷ x2 − 2x = 2x2 − 4x − 2
− 2x4 + 2x3
− 4x3 + 6x2 − 7x + 10
+ 4x3 − 8x2
− 2x2 − 7x + 10
+ 2x2 − 4x
− 11x 10
Notemos que de aquí:
r(x) = −11x + 10 ; s(x) = 2x2
− 4x − 2
por lo tanto,
p(x)
q(x)
= 2x2
− 4x − 2 +
−11x + 10
x2 − 2
1.2.- Teorema del resto
El resto de dividir p(x) por (x − α) es p(α), α ∈ R.
Demostración. Note que el resto de la división por (x−α) es una constante. Sea A esta constante, entonces
p(x) = s(x)(x − α) + A en esta ecuación haciendo x = α obtenemos A = p(α).
Ejemplo. ¾Qué número debe agregarsea p(x) = x3 + 2x2 para que sea divisible por (x + 4)?
Solución: Sea k el número que debemos agregar para que x + 4 sea un factor del polinomio.
p(x) = x3
+ 2x2
+ k
Aplicando el teorema del resto :
p(−4) = (−4)3
+ 2 · (−4)2
+ k = 0 =⇒ k = 32
1.3.- División sintética
Se trata de un método que permite efectuar la división de un polinomio p(x) por (x − α), α ∈ R. Este
método se dene de la siguiente manera:
Denición 1: Sea p(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn entonces por el teorema del resto podemos expresar:
p(x) = (x − α)(c0 + c1x + . . . + cn−1xn−1
) + p(α)
3

5. De donde, por igualdadde polinomios obtenemos que:
p(α) = a0 + αc0
c0 = a1 + αc1
c1 = a2 + αc2
. . .
cn−2 = an−1 + αcn−1
cn−1 = an
de aquí note que p(α) = a0 + αc0 = a0 + a1α + a2α2 + . . . + anαn como era de esperar.
Lo anterior, se representa de forma esquemática como:
an an−1 an−2 . . . a2 a1 a0
α αcn−1 αcn−2 . . . αc2 αc1 αc0
an cn−2 cn−3 . . . c1 c0 p(α)
Ejemplo. Dividir p(x) = 4x5 − 3x4 − 5x3 + 2 por x + 1
Solución: Por división sintética, tenemos que:
4 −3 −5 0 0 2
−1 −4 7 −2 2 −2
4 −7 2 −2 2 0
La división es exacta pues el resto es cero, por lo tanto:
p(x) = (x + 1)(4x4
− 7x3
+ 2x2
− 2x + 2)
Raíz de un polinomio
Denición 2: Sea p(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn, ai ∈ R, an 6= 0. Se dice que α ∈ R es una raíz del
polinomio p(x) siempre que se cumple que p(α) = 0.
Observación: Si α es una raíz del polinomio p(x) entonces (x − α) es un factor de p(x).
Multiplicidad
Denición 3: Sea α una raíz de p(x). Se dice que α es una raíz de multiplicidad k, k ∈ N si y solo si (x−α)k
divide a p(x) pero (x − α)k+1 no lo divide.
Observación 2: La división sintética es un buen argumento para encontrar raíces con cierto g
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6. Relación entre los coecientes de un polinomio y sus raíces
Sea p(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn un polinomio de grado n (an 6= 0) con coecientes reales y sean
α1 , α2 , . . . , αn sus raíces, no necesariamente distintas de la factorización p(x) = an(x−α1)(x−α2) . . . (x−
αn) al igualar los coecientes de las distintas potencias se obtienen las siguientes fórmulas:
La suma de las raíces es igual a −
an−1
an
.
La suma de los productos de la raíces tomadas de dos en dos es igual a
an−2
an
.
La suma de los productos de las raíces tomadas de tres en tres es igual a
an−3
an
.
Propiedad. Todo polinomio con coecientes reales y de grado impar tiene por lo menos una raíz real.
2.- Fracciones parciales
¾Qué es una fracción parcial?
Una fracción parcial para aplicarla y darle solución está sujeta a casos, los mismo que son:
1. Cuando el denominar de la fracción es de primer grado y no está repetido:
ax + b =⇒
A
ax + b
2. Cuando el denominador de la fracción es de primer grado y está repetido:
(ax + b)k
=
A
ax + b
+
B
(ax + b)2
+
C
(ax + b)3
+ . . .
en donde A, B, C son el contenido a determinarse.
3. Cuando el denominador de la fracción es de segundo grado y está repetido:
(ax2
+ bx + c)k
→
Ax + B
(ax2 + bx + c)
+
Cx + D
(ax2 + bx + c)2
+
Ex + F
(ax2 + bx + c)3
+ . . . ;
donde A, B, C, D, E, F son constantes a determinarse.
Explicación de los casos
primer caso Si el grado del numerador es un grado menor que el denominador, conviene expresar el deno-
minador como un producto de factores, por lo que se debe factorizar. Aquí se puede hacer uso
de la tabla 1.
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7. primer caso Si el grado del numerador es igual o mayor al del denominador, la fracción debe reducirse
a una expresión mixta dividiendo el numerador para el denominador. Para ello se aplica el
Teorema de la división (Prueba de la división):
P(x)
D(x)
→
P(x)
R(x)
·
D(x)
Q(x)
P(x)
D(x)
= Q(x) +
R(x)
D(x)
Procedimiento
1. Analizar la Fracción Parcial: Se verica que el polinomio del numerador sea de menor grado que el
denominador. En caso de no serlo se transforma la fracción a una forma mixta, usando el Teorema de
la División (Prueba de la división).
2. Factorizar el denominador si no lo está. Siempre es conveniente tener el denominador en su forma
factorizada.
3. Determinar las constantes. Dependiendo del sistema de ecuaciones que se obtenga se procede a resolverlo
para determinar el valor de las constantes del sistema.
4. Reemplazar las constantes. Finalmente se sustituyen los valores de las constantes determinadas para
la expresión.
Factor Forma del Factor Forma de la Fracción Parcial
0 A = constante No existe
1 (ax + b)
A
ax + b
→ Cte. A a determinarse.
1 (ax + b)n A
ax + b
+
B
(ax + b)2
+
C
(ax + b)3
+ . . .
2 (ax2 + bx + c)
Ax + B
ax2 + bx + c
2 (ax2 + bx + c)n Ax + B
ax2 + bx + c
+
Cx + D
(ax2 + bx + c)2
+
Ex + F
(ax2 + bx + c)3
+ . . .
Ejemplo. Descomponer en fracciones parciales la expresión racional:
R(x) =
x2 + 2x − 1
2x3 + 3x2 − 2x
6

8. 2x3
− 3x2
− 2x = x(2x2
+ 3x − 2) = x(2x − 1)(x + 2)
Así, la expresión racional dada es equivalente a :
R(x) =
x2 + 2x − 1
x(2x − 1)(x + 2)
=
A
x
+
B
2x − 1
+
C
x + 2
La cual se puede descomponer en fracciones parciales de la siguiente forma
R(x) =
x2 + 2x − 1
x(2x − 1)(x + 2)
=
A
x
+
B
2x − 1
+
C
x + 2
De lo anterior se deduce que:
x2
+ 2x − 1 = A(2x − 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x − 1)
Así:
si x = 0 =⇒ − 1 = −2A =⇒A =
1
2
si x =
1
2
=⇒
1
4
=
5B
4
=⇒B =
1
5
si x = −2 =⇒ − 1 = 10C =⇒C = −
1
10
Por lo tanto:
R(x) =
x2 + 2x − 1
x(2x − 1)(x + 2)
=
1
2x
+
1
5(2x − 1)
−
1
10(x + 2)
Bibliografía
Matemáticas para administracióny economía. Haeussler y Paul.EditorialPrenticeHall. 2003
Algebra y trigonometría. Sullivan. Editorial Pearson.Educación.2006.
Solución. Observe que:
7