Una expresión algebraica es una expresión que relaciona valores indeterminados con constantes y operaciones como suma, resta, producto, división, potencias y raíces. Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas como racionales, irracionales, enteras y fraccionarias. Los polinomios son expresiones algebraicas comunes formadas por la suma de términos monomiales.

1. Expresiones Algebraicas Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz. Ejemplos

2. Tipos de Expresiones Algebraicas Expresiones Algebraicas Racionales Irracionales Enteras Fraccionarias

3. Expresión Algebraica Racional Es racional cuando las variables no están afectadas por la radicación Ejemplo

4. Expresión Algebraica Irracional Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicación Ejemplo

5. Expr.Algebraica Racional Entera Una expresión algebraicas es racional entera cuando la indeterminada está afectada sólo por operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia natural. Ejemplo

6. Expresión Algebraica Racional Fraccionaria Una expresión algebraicas racional es fraccionaria cuando la indeterminada aparece en algún denominador. Ejemplo

7. Polinomios Son las expresiones algebraicas más usadas. Sean a 0 , a 1 , a 2 , …, a n números reales y n un número natural, llamaremos polinomio en indeterminada x a toda expresión algebraica entera de la forma: a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n

8. Ejemplos de polinomios A los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).

9. Términos Monomio : polinomio con un solo término. Binomio : polinomio con dos términos. Trinomio : polinomio con tres términos. Cada monomio a i x i se llama término . El polinomio será de grado n si el término de mayor grado es a n x n con a n  0. A a 0 se lo llama término independiente . A a n se lo llama término principal .

10. Ejemplos El polinomio 0 + 0x + 0x 2 + … +0x n se llama polinomio nulo . Lo simbolizaremos por O p (x) . No se le asigna grado.

11. Ejercicio Indicar cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios. En este último caso indicar su grado.

12. Polinomios iguales Dos polinomios son iguales si y sólo si los coeficientes de los términos de igual grado lo son. Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)

13. Suma de Polinomios Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus coeficientes. Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios P(x) = -2x 4 + 5x 3 – 3x + 1 Q(x) = 3x 3 – 6x 2 – 5x - 2

14. Propiedades de la Suma Asociativa Conmutativa Existencia de elemento neutro Existencia de elemento opuesto

15. Resta de Polinomios Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x). P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ] Ejemplo: Restar los siguientes polinomios P(x) = -2x 4 + 5x 3 – 3x + 1 Q(x) = 3x 3 – 6x 2 – 5x - 2

16. Multiplicación de Polinomios Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los términos de igual grado. Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios P(x) = -2x 4 + 5x 3 – 3x + 1 Q(x) = 3x 3 – 6x 2 – 5x – 2 P(x).Q(x) = P(x) 3x 3 + P(x) (-6x 2 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)

17. Propiedades del Producto Asociativa Conmutativa Existencia de elemento neutro.

18. Algunos productos importantes (x+a) 2 =(x+a)(x+a)= x 2 + 2ax + a 2 (x-a) 2 =(x-a)(x-a)= x 2 - 2ax + a 2 (x+a) 3 = x 3 + 3ax 2 + 3a 2 x + a 3 (x-a) 3 = x 3 - 3ax 2 + 3a 2 x - a 3 (x+a)(x-a)= x 2 –ax +ax-a 2 = x 2 -a 2

19. Ejercicio Escribir los desarrollos de

20. Ejercicio : Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el cuadrado de un binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos como el cubo de un binomio.

21. Ejercicio : La expresión x 2 - a 2 es una diferencia de cuadrados. Escribir las siguientes diferencias como producto de binomios.

22. División de polinomios Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la división de números enteros. Recordemos algunas definiciones de la división entre números enteros.

23. División entre números enteros En el conjunto de números enteros, si D es el dividendo y d  0 es el divisor, existen y son únicos dos enteros c (cociente) y (r (resto) tales que D = d . C + r 0 ≤ r < |d| Si r=0 se dice que D es divisible por d.

24. División entre números enteros Ejemplo: Realizar las siguientes divisiones enteras: 29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues 29 = 6 . 4 + 5 y 0 ≤ 5 < 6 29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues 29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6| ¿Podría haber sido c = -5 y r = -1?

25. División de polinomios Dados los polinomios D(x) = 6x 3 – 17x 2 +15x-8 d(x) = 3x – 4 determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y r(x) tales que D(x) = d(x). C(x) + r(x) de modo que el grado de r(x) sea menor que el grado de d(x) o bien r(x)=O p (x)

26. Ejemplo 6x 3 – 17x 2 + 15x – 8 3x – 4 -6x 3 + 8x 2 2x 2 - 3x + 1 6x 3 -17x 2 +15x-8 = (3x-4)(2x 2 -3x+1)-4 0x 3 - 9x 2 + 15x 9x 2 - 12x 0x 2 + 3x - 8 -3x + 4 0x - 4

27. Ejercicios D(x) = 4x 5 + 2x 3 – 24x 2 + 18x d(x) = x 2 – 3x D(x) = 16x 8 + 24x 6 + 9x 4 d(x) = 4x 5 + 4x 4 + 3x 3 + 3x 2 D(x) = 2x 4 – 6x 3 + 7x 2 – 3x +2 d(x) = x-2

28. División de Polinomios Dados los polinomios D(x) y d(x); d(x)  O p (x), diremos que d(x) divide a D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x) tal que D(x) = d(x) . c(x)

29. Ejercicios Dados los polinomios P(x) y Q(x) indica si alguno de ellos es divisible por el otro P(x) = x 4 -2x 3 +x 2 -5x + 1 Q(x) = x 3 + x 2 + x + 1 P(x) = x 4 +2x 3 +4x 2 + 8x +16 Q(x) = x 5 - 32

30. División de un polinomio por otro de la forma (x-a) 3x 3 – 2x 2 – 5x – 9 x – 2 - 3x 3 + 6x 2 3x 2 + 4x + 3 4x 2 – 5x - 4x 2 + 8x 3x – 9 -3x + 6 -3 3 6 4 8 3 6 3x 3 – 2x 2 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x 2 + 4x + 3) + (-3) Regla de Ruffini 3 -2 -5 -9 2 -3

31. División de un polinomio por otro de la forma (x-a) División de P(x) = 3x 3 – 2x 2 – 5x – 9 por (x-2) realizada por la Regla de Ruffini 3 -2 -5 -9 2 6 8 6 3 4 3 -3 1º operación : 3.2 -2 = 4 2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3 3º operación : [3(2) 2 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3 Por lo tanto 3.(2) 2 -2.(2) 2 -5.2 -9 = -3

32. Raíces de un polinomio Un número real a es raíz de un polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0 Ejercicio: Verifique que x=1 es raíz del polinomio P(x) = 3x 2 + 2x – 5

33. Raíces de un Polinomio Si un polinomio tiene coeficientes enteros y a es una raíz entera del polinomio entonces a divide al término independiente. Ejercicio: Calcular las raíces de P(x) = 2x 3 - 2x 2 - 16x + 24

34. Ejercicio: Calcular las raíces de P(x) = 2x 3 - 2x 2 - 16x + 24 Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe ser divisor de 24. Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x) 2x 3 – 2x 2 – 16x + 24 = ( x – 2)(2x 2 + 2x -12) Ver x=2 también es raíz de 2x 2 + 2x -12 2x 2 + 2x -12 = (x-2)(2x+6)

35. Ejercicio Calcular las raíces de P(x) = x 4 - x 3 - 6x 2 + 4x + 8 P(x) = (x-2) 2 (x+1) (x+2)

36. Resolver la siguiente ecuación

37. Soluciones de la Ecuación Fraccionaria