practica

1. Semana 3
Semana 3
Álgebra
Álgebra

2. Semestral Intensivo Virtual ADUNI Álgebra
semana
03
Polinomios
POLINOMIO
• Es una expresión algebraica.
• No admite radicación ni división entre variables.
• Los exponentes de las variables son enteros
positivos.
Ejemplo
P(x; y)=3x5
– x3
y2
+6y13
es un polinomio de variables x, y con tres términos.
Polinomios de una variable
P(x)=x3
+x+12
Q(x)=3x2
+x+4
R(t)=t2
+t+10
H(x)=5; polinomio constante
Observación
El mayor exponente de la variable de un polinomio no
constante indica su grado.
Ejemplos
P(x)=2x+1 es de primer grado.
Q(x)=x2
– x+7 es de segundo grado.
R(t)=t3
– t+12 es de tercer grado.
FORMA GENERAL
P(x)=a0xn
+a1xn –1
+a2xn – 2
+...+an –1x+an
Si a0 ≠ 0, entonces el grado de P(x) es n.
Además
• Coeficientes: a0; a1; a2; ...; an
• Coeficiente principal: a0
• Término independiente: an
VALOR NUMÉRICO (V. N.)
Es el valor obtenido en una expresión cuando a sus
variables se les reemplaza por constantes.
Ejemplos
• P(x; y)=3x+2y+1,
P(1; 2)=3(1)+2(2)+1=8
• H(x)=x3
+x+2
H(3)=33
+3+2=32
• P(2x –1)=5x+2, evaluando P(5)
2x –1=5 → x=3, luego
P(5)=5(3)+2=17
Teorema
Dado el polinomio
P(x)=Ax3
+Bx2
+Cx+D; A ≠ 0
• Suma de coeficientes
A+B+C+D=P(1)
• Término independiente
D=P(0)
Por ejemplo, en el polinomio
P(x)=3x4
+2x3
+x –1, se tiene
suma de coeficientes:
P(1)=3+2+1–1=5
término independiente:
P(0)=3(0)4
+2(0)3
+0 –1=–1
Polinomio mónico
Es aquel polinomio de una variable cuyo coeficiente
principal es 1.
Ejemplos
P(x)=2x – 3x2
+x4
+1 es mónico.
Q(x)=x2
– x4
+2x+4 no es mónico.

3. Academia ADUNI Material Didáctico
Problemas resueltos
1. Calcule el valor de n si se sabe que la suma
de coeficientes y el término independiente del
polinomio P suman 1.
P(2x –1)=(4x – 3)n
+(2x)n
+128(4x –1)
Resolución
x P
x P
P P
n
n
= = + − ×
+
( )
= = −
( ) + −
+ =
( )
( )
( ) ( )
1 1 2 3 128
1
2
1 1 128
1
0
1 0
:
:
2
2 2 1 4 128
+ + −
( ) − ×
n n
1=2+2n
+( – 1)n
– 22
×27
2n
+( – 1)n
+1=29
n ← par 2n
+2=29
no existe n
n ← impar 2n
– 1+1=29
2n
=29
2. Sea P(x) y Q(x) dos polinomios, tal que cumplen
P(x+6)=2x – 3
además, P x
Q x
( )−
( ) = +
1
6 1.
Halle el valor de Q(10).
Resolución
Debemos tener presente que si P(x) es un poli-
nomio lineal, se cumple
P(a)=3 ∧ P(5)=3 → a=5
En P x
Q x
( )−
( ) = +
1
6 1
para x=10 PQ 10 1
61
( )−
( ) =
En P(x+6)=2x – 3
para x=32 P(38)=61
entonces por lo anterior
Q(10) –1=38
Q(10)=39
3. Sea P(x) un polinomio lineal, tal que
P(2x – 3)=3ax+b
P(3x – 2)=2bx+a
Calcule el valor de a/b.
Resolución
x P ax b
x
= → = +
↓ ↓
−
( )
2 3
2 2
2 3
P(1)=6a+b
x P bx a
x
= → = +
↓ ↓
−
( )
1 2
1 1
3 2
P(1)=2b+a
Igualamos
6a+b=2b+a
5a=b
∴
a
b
=
1
5
4. Se sabe que P(x)=ax+b ∧ Q(ax+b)=6x+7.
Calcule Q(2) si P(1)=2.
Resolución
Se tiene P(x)=ax+b
para x=1 P(1)=a+b
a+b=2
Además
Q(ax+b)=6x+7
para x=1
Q a b
+
( ) =
13
Q(2)=13

4. Semestral Intensivo Virtual ADUNI Álgebra
5. Si f(x – 1)=2f(x – 2) –1, además f( – 3)=2, halle f(0).
UNMSM 2006 - II
Resolución
Usaremos el dato f( – 3)=2
para x= – 1
f f
−
( ) −
( )
= −
2 3
2
2
1

f( – 2)=3
Para x=0
f f
−
( ) −
( )
= −
1 2
2
3
1

f( – 1)=5
Para x=1
f f
0 1
2
5
1
( ) −
( )
= −

f(0)=9
6. Si f(x)=(3a)x+1
; a 0
f(x – 1)=9f(x+1)
halle el valor de a.
UNMSM 2006 - I
Resolución
Utilizaremos cambio de variable.
x x – 1
f x
a x
−
( ) = ( )
1 3
x x+1
f x
a x
+
( )
+
= ( )
1
2
3
En el dato
f f
x x
−
( ) +
( )
=
1 1
9
3ax
=32
×3ax+2a
3ax
=3ax+2a+2
ax ax a
= + +
2 2
a= –1
7. Consideremos P(x) un polinomio, tal que cumple
P(ax+b)=(ax)2
+abx+3
Si P(x)=ax2
+3x – b, calcule el valor de P( – 1).
Resolución
Veamos
P(ax+b)=a2
x2
+abx+3
P(ax+b)=ax(ax+b)+3
P(ax+b)=(ax+b – b)(ax+b)+3
ax+b x
P(x)=(x – b)x+3
P(x)=x2
– bx+3
Comparamos con P(x)=ax2
+3x – b
a=1 ∧ b= – 3
P(x)=x2
+3x+3
Nos piden
P−
( ) = − +
1 1 3 3
8. Si P(x) es un polinomio mónico y cúbico, tal
que P(1)=P(2)=P(3)=5, determine el término
independiente de P(x).
Resolución
Debemos considerar que si
P(a)=0 ∧ P(b)=0 → P(x)=(x – a)(x – b)Q(x)
En el problema, consideremos
T(x)=P(x) – 5, entonces
T(1)=0; T(2)=0; T(3)=0
T x x x Q
x x
( ) ( )
= −
( ) −
( ) −
( )
grado 3 grado 3 grado 0
1 2 3
P(x) – 5=(x – 1)(x – 2)(x – 3)k
P(x)=k(x – 1)(x – 2)(x – 3)+5
coeficiente
principal
=1 (mónico)
P(x)=(x –1)(x – 2)(x – 3)+5
P(0)=( –1)( – 2)( – 3)+5= –1

5. Academia ADUNI Material Didáctico
Ejercicios de reforzamiento
1. Si P(x) es un trinomio, cuadrático y mónico,
tal que la suma de coeficientes es igual a su
término independiente, determine el valor de
P(2021) – P(2020).
A) 2020 B) 2040 C) 4040 D) 4042
2. Si P(x) es un polinomio cuadrático, tal que
P(1)=2; P(2)=3 y P(3)=6, determine su término
independiente.
A)
1 B)
2 C)
3 D)
4
3. La población (P) de una clase de ave depende
de la cantidad de insectos (I) que a su vez de-
pende del área, a en m2
, de vegetación de la
zona, tal que
P(I)=I2
– 10I+30
I(a)=2a – 1
Determine la cantidad de aves de dicha clase
si se tiene un área de vegetación de 8 m2
.
A) 120 B) 140 C) 105 D) 110
4.
Se tiene un paralelepípedo rectangular, donde
su base es un rectángulo tal que su largo pre-
senta 5 cm más que su ancho y su altura es la
mitad del ancho aumentado en 3 cm. Si P(x)
representa el volumen en función de su ancho,
x en cm, calcule la suma de coeficientes del
polinomio P.
A) 21 B) 24 C) 30 D) 14
5.
El dueño de una tienda propone dos formas de
pago, S/900 fijo más 20% de las ventas u S/800
soles más 40% de las ventas. ¿Determine los
polinomios lineales que represente cada pago,
en función de las ventas y el monto de las ven-
tas para que ambos pagos resulten iguales?
A) P
x
x
( ) = +
10
900; Q
x
x
( ) = +
5
800; S/4000
B) P
x
x
( ) = +
5
1000; Q
x
x
( ) = +
2
5
800; S/6000
C) P
x
x
( ) =
−
+
5
900; Q
x
x
( ) =
−
+
2
5
800; 5000
D) P
x
x
( ) = +
5
900; Q
x
x
( ) = +
2
5
800
; S/5000
6.
Se vende un menú a S/8.00 y el costo de pre-
paración por plato es de S/4.50, pero cada mes
tiene que pagar S/600 en alquiler del local,
Determine el polinomio que represente la ga-
nancia y cuántos platos se tienen que vender
mensualmente para obtener ganancia.
A) G(x)=3,5x – 600; x≥172
B) G(x)=2,5x – 600; x≥170
C) G(x)=3,5x – 400; x≥155
D) G(x)=3,5x + 600; x≥165
7. Según un estudio de mercado para un determi-
nado producto se tiene que QO es la cantidad
ofertada y QD es la cantidad demandada, ambas
dependientes del precio x en soles, tal que
QO(x)=250x – 400
QD(x)=71600 – 350x
Determine la secuencia correcta del valor de
verdad (V o F) según corresponda.
I. El precio de equilibrio es de S/120.
II. Si el precio es de S/150 se tendría un exceso
de oferta.
III. Si el precio es de S/100 se tendría un exceso
de demanda.
A) FFF B) VFV C) VVV D) VVF
8. El número de población de bacterias en un cul-
tivo crece de acuerdo al siguiente polinomio:
P(t)=t3
+at+b
donde P es el número de bacterias después de
t horas. Si el número de bacterias inicial es de
1000 y de 6125 después de 5 horas, ¿cuántas
bacterias habrá después de 10 horas?
A) 10 200 B) 11 200 C) 12 500 D) 12 000

6. Semestral Intensivo Virtual ADUNI Álgebra
9. Si P(x) es un polinomio lineal mónico tal que
P ax
P x
( )
( ) = + 6, calcule el valor de P(2).
A)
5 B)
4 C)
7 D)
6
10.
Un terreno rectangular se desea cercar con
x m de cerca, tal que su largo es 3 m más que
su ancho. Determine el polinomio que repre-
sente el área en términos de x.
A) P x x
x
( ) = −
( )
2
6 16
B) P x x
x
( ) = −
( )
2 2
6 16
C) P x
x
( ) = +
( )
2 2
6 16
D) P x
x
( ) = −
( )
2 2
6 16
11. Si P Q ax b
x x
( ) ( )
+ = + ,
P Q a bx
x x
( ) ( )
− = +
y P5 4
( ) = , calcule el valor de PQ 1
( )
( ).
A)
4
3
B)
1
3
C)
2
3
D)
5
3
UNMSM 2010 - I
12. Sea P x
( ) un polinomio cuadrático, tal que
P1 2
( ) = , P2 5
( ) = y P3 10
( ) =
Determine el valor de P−
( )
1 .
A) 2 B) 1 C) – 2 D) –1
13. Sea f x
( ) un polinomio cuadrático mónico, tal
que la suma de coeficientes es 3, además, su
término independiente es – 2. Halle f 2
( ).
A)
8 B)
11
C)
9 D)
10
14. La siguiente regla de Young se utiliza para de-
terminar la dosis de un medicamento para un
niño a partir de la dosis de un adulto.
Regla de Young: d
E
E
D
12
, donde:
d=dosis para el niño
D=dosis para el adulto
E=edad del niño
Si un niño tiene 13 años y la dosis para el adulto
es de 3 comprimidos por día, ¿cuál es la dosis
para el niño.
A) 1 B) 1,46 C) 1,76 D) 1,56
15. Un vendedor cobra por mes un sueldo fijo
de S/900,00 más una comisión del r
% de las
ventas que realiza. En el mes de marzo vendió
S/9000,00 y recibió una comisión de S/1350,00.
Determine el polinomio lineal que describe el
suelo del vendedor. Considere x las ventas.
A) P x
x
9000
1
5
B) P(x)=900+1,5x
C) P x
x
900
3
20
D) P x
x
9000
3
20
16. Un objeto es lanzado hacia arriba. La altura
(en metros) que describe el objeto desde ese
instante hasta que cae al piso es determinado
por el polinomio P(t)=44+8t – t2
, donde t es el
tiempo en segundos que transcurre desde el
momento del lanzamiento. Si el objeto alcanza
su máxima altura al cuarto segundo, halle la
distancia recorrida en el tercer segundo.
A) 1 m B) 20 m C) 8 m D) 3 m
17. Sea P(x) un polinomio completo y ordenado
de forma creciente, de coeficientes enteros
tal que estos están en la relación de 2; 3 y 5
respectivamente. Si el valor numérico de P
para x=10 es 1064, calcule el valor numérico
de P(5).
A) 300 B) 220 C) 624 D) 284
18. Si a las 10 a. m. estoy en el kilómetro 8 de una
carretera y, manteniendo una velocidad cons-
tante, a las 10:20 a. m. estoy en el kilómetro 28,
¿en qué kilómetro estaré a las 12:20 p. m.?
A) 130 B) 110 C) 98 D) 148