metodos numericos, trabajo de ingenieria

1. Método Numérico para el cálculo de aproximación de raíces
“Método iterativo de punto fijo” o
“Método de aproximación sucesiva”
Introducción
Un métodoiterativoesunmétodoque progresivamente vacalculandoaproximacionesala
soluciónde unproblema. EnMatemática,un métodoiterativose repiteunmismoprocesode
mejorasobre unasoluciónaproximada:se esperaque loobtenidoseaunasoluciónmás
aproximadaque lainicial.El procesose repite sobre estanuevasoluciónhastaque el resultado
más reciente satisfagaciertosrequisitos.A diferenciade losmétodosdirectos,enloscualesse
debe terminarel proceso paratenerlarespuesta,enlosmétodositerativosse puede
suspenderel procesoal términode una iteraciónyobtenerunaaproximaciónala solución.
En la actualidadexistenunagrancantidadde métodositerativospararesolverecuacionesno
lineales,con 𝑓: ℝ → ℝ ;una funciónreal de variable real.Laesenciade estosmétodos
consiste enque si se conoce un entornosuficientemente pequeñoque contienesoloaunaraíz
de la ecuación 𝑓 (𝑥) = 0 y seleccionamosunaestimacióninicial de laraíz 𝑋0, lo
suficientementecercade la raíz buscada α, generamos mediante unafunciónde puntofijo
𝑔 (𝑥) una sucesiónde iterados 𝑋1,𝑋2,… ,𝑋𝑘 que convergenalaraíz α. La convergenciade la
sucesiónse garantizaconla elecciónapropiadade lafunción 𝑔(𝑥) yde la aproximacióninicial
𝑋0.
Un métodoiterativoconstade lossiguientespasos:
 Iniciacon unasoluciónaproximada.
 Ejecutauna serie de cálculosparaconstruiruna mejoraproximaciónpartiendodel
valorde lasoluciónaproximada.Lafórmulaiterativaque permite construirlanueva
aproximaciónusandolaanterior,se conoce comoecuaciónde recurrencia.
 Se repite el pasoanterior,pero usandocomosoluciónaproximadalanueva
aproximaciónobtenida.
ConceptoBásico
El métodode aproximacionessucesivasoiteraciónde puntofijoesunaformamuyútil y
simple de encontrarlaraíz de unaecuaciónde la forma 𝑓(𝑥) = 0. Para ellose reordenala
ecuaciónde maneraque 𝑥 sea igual a 𝑔(𝑥). Esta transformaciónse puede llevaracabo
mediante operacionesalgebraicasosimplementeagregando 𝑥 enambosmiembrosde la

2. ecuaciónoriginal.A unasoluciónde estaecuaciónse le llamaunpuntofijode lafunción
𝑔(𝑥), ya que siempre converge concualquierformaelegidade 𝑔(𝑥).
Proceso de Aplicación.
Dada una función 𝑔(𝑥),un valor𝑥 tal que 𝑥 = 𝑔(𝑥) de tal manera que unpuntofijode
𝑔(𝑥) sea tambiénunaraíz de 𝑓(𝑥). Comoejemplotenemosa:
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0
Tenemoscomoposibilidadesde 𝑔(𝑥):
𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2
𝑔(𝑥) = √𝑥 + 2
𝑔(𝑥) = 1 +
2
𝑥
𝑔(𝑥) =
𝑥2 + 2
2𝑥 − 1
El primerpasodel procedimientoesencontrarunpuntofijode 𝑔(𝑥) que se puede
obtenerpormediode losintervalosdados [𝑎,𝑏] oproponiendounaestimacióninicial(𝑋0)
que se encuentre enel intervalo [𝑎, 𝑏].
Evaluar𝑔(𝑥) en𝑋0 para obtenerunanuevaaproximación 𝑋1,esdecir𝑋1 = 𝑔(𝑋0). Las
siguientesaproximacionesse calculanmediante 𝑋𝑛 = 𝑔(𝑋𝑛−1) yde estamanera se van
generandoaproximaciones 𝑋1, 𝑋2,𝑋3,………….El procesose da por terminadocuandose
cumple algunode lossiguientescriteriosde convergenciaparalasdosúltimasiteraciones.
Donde 𝜀 esla toleranciade errorque el problemamanda.

3. Perotodoestospasosson generadosapartir de la aplicaciónde este métodoaunafunción
𝑔(𝑥) que sea convergente alafunciónprincipal.
Una manera de ahorrar el trabajo de ir evaluandocadaiteraciónencadauna de las funciones
𝑔(𝑥) es probandodirectamente𝑔(𝑥) poruncriteriode convergencia.Hayque recalcarque el
métodose puede utilizarsi ysolosi,se cumplael criteriode convergencia.
Criteriode convergencia.
Las 𝒇(𝒙) que satisfagan el criterio |𝒈´(𝒙)| < 𝟏 prometerán convergenciaal aplicar el método
de puntofijo.
Graficas del métododel punto fijo.
 Convergencia
Donde α es la raíz exactade lafunción 𝑓(𝑥) y tambiénesel puntofijode 𝑔(𝑥).

4.  Divergencia.

5. Condicionesde existenciadel puntofijo.
Si 𝑥 = 𝑔(𝑥) continuaen [𝑎, 𝑏] tal que:
 𝑔(𝑥) ∈ [𝑎,𝑏] ∀ 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
 |𝑔´(𝑥)| < 1 ∀ 𝑥 ∈ (𝑎,𝑏)
Entonces 𝑔 tiene unúnicopuntofijo.
Conclusión.
A veces si se toma un intervalodemasiadogrande puede serque nose cumplalacondición
𝑔(𝑥) ∈ [𝑎,𝑏] ∀ 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] sinembargosi |𝑔´(𝑥)| < 1 cerca de laraíz, el métodoigual puede
convergera dicharaíz.
Ejerciciosa resolver:
1) Determine si la ecuación 𝒈(𝒙) =
𝟏𝟎𝒙+𝟓
𝒙𝟐
converge con el métodode punto fijo
teniendounvalor inicial de 𝑿𝟎 = 𝟏
2) Encuentre la raíz aproximada de la ecuación 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 − 𝟏𝟎 enel intervalo
(1,2) y con un valor de tolerancia 𝜺 = 𝟎.𝟏%
3) Cual esla aproximaciónde la raíz de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝒆𝒙 con un valor
inicial de 𝑿𝟎 = 𝟎 y con un valor de tolerancia 𝜺 < 𝟏%