Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss, eliminación de Gauss-Jordan, descomposición LU, factorización de Cholesky, factorización QR, y los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi. Explica las ventajas y desventajas de cada método y cómo se implementan para encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones.

1. Laura Rodríguez C.I.:22182251

2. El método de Gauss y sus variantes son conocidos como métodos directos para
resolver el problema inicial Ax = b. Se ejecutan a través de un número finito de pasos y
generan una solución x que sería exacta sino fuera por los errores de redondeo. En
contraste, un método iterativo da lugar a una sucesión de vectores que idealmente converge
a la solución. El cálculo se detiene cuando se cuenta con una solución aproximada con
cierto grado de precisión especificado de antemano o después de cierto número de
iteraciones. Los métodos indirectos son casi siempre iterativos.
Método de eliminación Gaussiana
El método de eliminación Gaussiana para la solución de sistemas de ecuaciones
lineales consiste en convertir a través de operaciones básicas llamadas operaciones de
renglón un sistema en otro equivalente más sencillo cuya respuesta pueda leerse de manera
directa. El método de eliminación Gaussiana es el mismo para sistemas de ecuaciones 2×2,
3×3, 4×4 y así sucesivamente siempre y cuando se respete la relación de al menos una
ecuación por cada variable.
Antes de ilustrar el método con un ejemplo, es necesario primeramente conocer las
operaciones básicas de renglón las cuales se presentan a continuación:
1. Ambos miembros de una ecuación pueden multiplicarse por una constante
diferente de cero.
2. Los múltiplos diferentes de cero de una ecuación pueden sumarse a otra ecuación
3. El orden de las ecuaciones es intercambiable.
Para un mayor entendimiento de este método veamos un ejemplo práctico de
eliminación Gaussiana.
1)
Sistema compatible determinado

3. X = -1 Y = 3
2)
Sistema compatible indeterminado
Método de Gauss Jordan
El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss – Jordan, es
un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de
variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera
aplicación mencionada.
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en
primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su
notación matricial:
Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada) Una vez
hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad, es
decir una matriz equivalente a la original, Esto se logra aplicando a las distintas filas y
columnas de las matrices simples operaciones de suma, resta, multiplicación y división;
teniendo en cuenta que una operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de la

4. columna, sea el caso.
El proceso de eliminación de Gauss - Jordán consiste en realizar transformaciones
elementales en el sistema inicial, destinadas a transformarlo en un sistema diagonal. El
número de operaciones elementales de este método, es superior al del método de Gauss
(alrededor de un 50% más).
Descomposición LU
El método de Descomposición LU se basa en demostrar que una matriz A se puede
factorizar como el producto de una matriz triangular inferior L con una matriz triangular
superior U, donde en el paso de eliminación sólo se involucran operaciones sobre los
coeficientes de la matriz, permitiendo así evaluar los términos independientes bi de manera
eficiente.
La implementación del algoritmo de la Descomposición LU tiene sus variantes en
cuanto a los valores iniciales de la diagonal que tomen las matrices L y U, es decir si los
valores de la diagonal de la matriz L tiene números 1, formalmente esto se refiere a la
Descomposición de Doolitle. Pero si los valores de la diagonal de la matriz U tiene
números 1, formalmente esto se refiere a la Descomposición de Crout
Factorización De Cholesky
Una matriz simétrica es aquella donde Aij = Aji para toda i y j, En otras palabras,
[A] =[A] T. Tales sistemas ocurren comúnmente en problemas de ambos contextos: el
matemático y el de ingeniería. Ellos ofrecen ventajas computacionales ya que sólo se
necesita la mitad de almacenamiento y, en la mayoría de los casos, sólo se requiere la mitad
del tiempo de cálculo para su solución. Al contrario de la Descomposición LU, no requiere
de pivoteo. El método de Factorización de Cholesky se basa en demostrar que si una matriz
A es simétrica y definida positiva en lugar de factorizarse como LU, puede ser factorizada
como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular
inferior, es decir los factores triangulaes resultantes son la traspuesta de cada uno.
A = L . LT
Factorización de QR, Householder
Anteriormente analizamos la factorización LU de una matriz el cual conduce aun
método muy eficiente para resolver un sistema lineal. Otro método de factorización de una
A, llamada factorización QR de A. Esta factorización se usa ampliamente en los programas
de computadora para determinar valores propios de una matriz, para resolver sistemas
lineales y para determinar aproximaciones por mínimos cuadrados

5. En muchas aplicaciones el número de filas (M) de una matriz de coeficientes A mxn
puede ser 3 al número de columnas (N). La Factorización QR consiste en descomponer la
matriz Amxn en el producto de dos matrices:
Método De Gauss Seidel
El Método de Gauss Seidel emplea valores iniciales y después itera para obtener
estimaciones refinadas de la solución; es particularmente adecuado para un gran número de
ecuaciones, lo cual en cierto modo lo hace un método más comúnmente usado. La fórmula
utilizada para hallar los xi viene dada por el despeje de cada una de las xi en cada una de las
ecuaciones y se les da un valor inicial a cada xi de cero.
Método de Jacobi
El Método de Jacobi transforma una matriz simétrica en una matriz diagonal al
eliminar de forma simétrica los elementos que están fuera de la diagonal.
Desafortunadamente, el método requiere un número infinito de operaciones, ya que la
eliminación de cada elemento no cero a menudo crea un nuevo valor no cero en el elemento
cero anterior. Si A es diagonalmente dominante, entonces la sucesión que resulta de la
iteración de Jacobi converge a la solución de Ax = b para cualquier vector inicial Xo.
Partimos de una aproximación inicial Xo para las soluciones Xi al sistema de ecuaciones y
sustituimos estos valores en la ecuación:
Que es la expresión que nos proporciona las nuevas componentes del vector x(k) en
función de vector anterior x(k-1) en la iteración de Jacobi, en su respectivo algoritmo;
donde el a el método de Jacobi más que usar el último valor disponible de , con base en un
conjunto de las x anteriores (). De esta forma, como se generan nuevos valores, no se usan
en forma inmediata sino que se retienen para la siguiente iteración.