VARIABLES

1. Gestión Estadística de la Información II
Estudios Generales
Variable Aleatoria
Discreta y Continua
Sesión 1

3. Al finalizar la sesión, el estudiante sintetiza las definiciones fundamentales de una
variable aleatoria discreta y continua mediante la resolución de problemas,
demostrando un adecuado nivel de comprensión y sentido de responsabilidad.
Sesión 1
Resultado de aprendizaje

4. Variable Aleatoria Discreta

5. Explorando nuestros saberes Motivación y cognición
Luego de haber visualizado el vídeo indicado en el
enlace adjunto respondemos a las siguientes
interrogantes:
❑ ¿Qué se entiende por variable aleatoria
discreta?
❑ ¿Qué valores toma una variable aleatoria
discreta?
Visualizamos el vídeo

6. Fenómenos / Experimentos
Es de interés observar los diversos fenómenos que nos rodean, ya sea en un ámbito natural o social.
Dichos fenómenos también llamados experimentos pueden clasificarse en dos tipos:
▪ Experimentos deterministas, hechos en que si se repiten las mismas condiciones iniciales se
garantiza el mismo resultado, (un auto que circula a una velocidad constante durante un
determinado tiempo, recorre siempre el mismo espacio; una combinación de sustancias en
determinadas proporciones y temperatura producen siempre el mismo resultado de mezcla;
extraer una bola roja de una caja que contiene sólo bolas rojas, son algunas situaciones de este
tipo de experimentos).
▪ Experimentos aleatorios, hechos en que si se repiten las mismas condiciones iniciales y
conociendo todos los posibles resultados no se conoce cual de ellos puede ocurrir (ganar el
premio en una lotería, extraer una bola de un color en una caja que contiene bolas de varios
colores, número de lápices defectuosos fabricados diariamente, registro de color de ojos por un
oftalmólogo, preferencia de un consumidor por la marca de leche, observar el cambio mensual en
un índice de precios, son entre otros casos de este tipo de experimentos).
En estadística la Teoría de la probabilidad estudia el comportamiento de los fenómenos o
experimentos aleatorios, nos permitirá medir o cuantificar la incertidumbre asociada a los posibles
resultados finales de un experimento aleatorio.

7. Experimentos aleatorios
Conforme a, refiere a los fenómenos o experimentos en los cuales no sabemos lo que va a ocurrir.
▪ El espacio o conjunto de todos los posibles resultados finales del fenómeno se denomina: Espacio
muestral (Ω / E / S).
▪ Cada uno de los posibles resultados de Ω constituye un evento o suceso elemental. Cualquier
subconjunto de Ω constituye un evento o suceso. Los sucesos se representan por letras
mayúsculas (A, B, M, N, …).
Ejemplos:
E1: La fabricación de artículos en una línea de producción y contar el número de artículos
defectuosos producidos en un período de 24 horas.
Ω1={0,1,2,…,N}, donde 𝑁 es el número máximo de artículos que se pudo construir en 24 horas.
A1: Todos los artículos fueron no defectuosos, A1={0}
E2: El ala de un aeroplano se arma con un gran número de remaches. Contar el número de remaches
defectuosos.
Ω2={0,1,2,…,M}, donde 𝑀 es el número máximo de remaches instalados.
M2: Se obtienen menos de cuatro remaches, M2={0,1,2,3}
E3: Fabricar un foco y probar su tiempo de duración (en horas) en una lampara hasta que se quema.
Ω3={t: t≥0}, donde t es el tiempo en horas.
B3: La bombilla se quema en menos de 10 horas, B3={t: 0≤t≤10}

11. Ejemplos de Variable Aleatoria DISCRETA
(Anderson, 2008) nos indica que muchos experimentos se describen mediante valores numéricos,
pero otros no. En una encuesta se le puede preguntar a una persona si recuerda el mensaje de un
comercial de televisión. Los resultados de este experimento se describen definiendo una variable
aleatoria x como sigue: sea x = 0 si la persona no recuerda el mensaje y sea x = 1 si la persona
recuerda el mensaje, valores numéricos que son arbitrarios (se podría haber usado 5 y 10), pero son
aceptables de acuerdo con la definición de una variable aleatoria, es decir, x es una variable aleatoria
porque proporciona una descripción numérica de los resultados del experimento.
Experimento Variable aleatoria Valores posibles
Llamar a cinco clientes Números de clientes que hacen un pedido 1,2,3,4,5
Inspeccionar un envió de 50 radios Número de radios que tienen algún defecto 0,1,2,3,…,49,50
Hacerse cargo de un restaurante durante un
día
Número de clientes 0,1,2,3,…
Vender un automóvil Sexo del cliente 0 si es hombre; 1 si es mujer
Inspección un lote de 75 radios Número de radios defectuosos 0, 1, 2, 3, … , 75
250 llamadas de ventas Cantidad de ventas realizadas 0, 1, 2, 3, …, 250
Construcción de un nuevo laboratorio Porcentaje del proyecto terminado luego de 4 meses 0 ≤ x ≤ 100
Funcionamiento de una tienda Número de clientes que entran en una semana 0,1,2,3,…

12. Variable ESTADÍSTICA
En estadística descriptiva se revisa los conceptos de
escala nominal, ordinal, de intervalo y de razón.
Estas escalas generan precisamente variables
aleatorias del mismo nombre. Ocurre que las
variables de intervalos y de razón son cuantitativas
y pueden ser discretas o continuas. Los casos
nominal y ordinal se refieren a cualidades en donde
la variable aleatoria al asignar un número a cada
resultado asume que tales cualidades son discretas.
Una variable aleatoria discreta es el modelo teórico
de una variable estadística discreta (considerando
los valores sin agrupar).

14. 𝑥𝑖 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 = 𝑝𝑖
𝑥1 𝑝1
𝑥2 𝑝2
𝑥3 𝑝3
⋮ ⋮

15. 0.16
0.48
0.36
0 1 2
Distribución de
probabilidad
𝐗 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖
X = 0 0.16
X = 1 0.48
X = 2 0.36
𝚺 1

16. 𝑥𝑖 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 = 𝑝𝑖 𝐹 𝑥𝑖 = 𝐹𝑖
𝑥1 𝑝1
𝐹1 = 𝑝1
𝑥2 𝑝2
𝐹2 = 𝑝1 + 𝑝2
𝑥3 𝑝3
𝐹2 = 𝑝1 + 𝑝2 +𝑝3
⋮ ⋮ ⋮

17. Función de Distribución: Ejemplo
Para el caso anterior:
𝐗 𝒑(𝑥𝑖) Si 𝑭(𝑥𝑖)
… 0 𝑥𝑖 < 0 0
X = 0 0.16 0 ≤ 𝑥𝑖 < 1 0.16
X = 1 0.48 1 ≤ 𝑥𝑖 < 2 0.64
X = 2 0.36 𝑥𝑖 ≥ 2 1
𝚺 1

19. Esperanza Matemática: Ejemplo
Para el caso anterior:
𝐗 𝒑(𝑥𝑖) 𝑥𝑖 ∙ 𝒑(𝑥𝑖)
X = 0 0.16 0 ∙ 0.16 = 0
X = 1 0.48 1 ∙ 0.48 = 0.48
X = 2 0.36 2 ∙ 0.36 = 0.72
𝚺 1 1.2
𝐸 𝑋 = ෍
𝑖=1
3
𝑥𝑖 ∙ 𝑃 𝑥𝑖 = 𝑥1 ∙ 𝑃 𝑥1 + 𝑥2 ∙ 𝑃 𝑥2 + 𝑥3 ∙ 𝑃 𝑥3 = 0 ∙ 0.16 + 1 ∙ 0.48 + 2 ∙ 0.36 = 1.2

21. 𝐗 𝒑(𝑥𝑖) 𝑥𝑖 − 𝐸(𝑋) 2
∙ 𝑃 𝑥𝑖
X = 0 0.16 0 − 1 2
∙ 0.16
X = 1 0.48 1 − 1 2 ∙ 0.48
X = 2 0.36 2 − 1 2 ∙ 0.36
𝚺 1 0.52

22. Modelos de distribución de probabilidad discreta
En ocasiones, algunas variables aleatorias siguen distribuciones de probabilidad que corresponderán a
la consideración de experimentos con determinadas características, estos modelos teóricos es la
descripción razonable de algunos fenómenos aleatorios, estos modelos o distribuciones son
situaciones simplificadas de la realidad que pueden ser útiles. Se sintetizan algunos modelos de
probabilidad para el caso de la v.a. discreta que resultan útiles para el tema de la estimación:

23. Modelos de distribución de probabilidad discreta

24. Ejercicios de distribución de probabilidad discreta
La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los
lectores ya la han leído.
Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
A. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas?
B. ¿Y cómo máximo 2?
Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de
buena salud.
Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30
años o más es 2/3.
Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
A. Las cinco personas
B. Al menos tres personas
C. Exactamente dos personas

25. Variable Aleatoria Continua

26. INDAGACIÓN
Explorando nuestros saberes Motivación y cognición
Luego de haber visualizado el vídeo indicado en el
enlace adjunto respondemos a las siguientes
interrogantes:
❑ ¿Qué se entiende por variable aleatoria
continua?
❑ ¿Qué valores toma una variable aleatoria
continua?
Visualizamos el vídeo

27. Variable Aleatoria CONTINUA
En muchos experimentos aleatorios los resultados no son intrínsecamente numéricos; el número
resulta de aplicar un instrumento de medida o función al objeto observado, corresponde a variables
aleatorias cuyo rango son todos los números reales de un intervalo dado, cuyos resultados no se
cuentan sino se miden, como podrían ser: tiempo que tarda en llegar un colectivo a una paradero o
tiempo de vida de un fusible, dado que dichos valores no son contables no se puede describir el i-
esimo valor de la v.a. por lo que su probabilidad pierde significado.
Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar cualquier valor numérico dentro de un
intervalo o colección de intervalos, es decir puede asumir un número incontable de valores o no
numerable de números reales.
Experimento Variable aleatoria Valores posibles
Operar un banco Tiempo en minutos entre la llegada de los clientes 𝑥 ≥ 0
Llenar una lata de refresco (máx. 12.1 onzas) Cantidad de onzas 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.27
Construir una biblioteca Porcentaje del proyecto terminado en seis meses 0 ≤ 𝑥 ≤ 100
Probar un proceso químico
Temperatura a la que tiene lugar la reacción
deseada
150º𝐹 ≤ 𝑥 ≤ 212º𝐹
Observar una montaña Altura en metros 𝑥 ≥ 0
Observar trabajar a un empleado Tiempo no productivo 𝑥 ≥ 0
Pesar un envío Peso en kilogramos 0 ≤ x ≤ 1000
Preparación de vino Proporción de alcohol de fruta fermentada 0 ≤ x ≤ 100

36. Modelos de distribución de probabilidad continua
Se sintetizan algunos modelos de probabilidad para el caso de la v.a. continua que resultan útiles para
el tema de la estimación:

37. Modelos de distribución de probabilidad continua

38. Modelos de distribución de probabilidad continua

39. Modelo de distribución de probabilidad Normal

40. Modelo de distribución de probabilidad Normal

41. Modelos de distribución relacionados con la Normal

42. Modelos de distribución relacionados con la Normal

43. Modelos de distribución relacionados con la Normal

44. APLIQUEMOS LO APRENDIDO
TRABAJO EN CLASE (GRUPOS)
▪ Analiza los ejercicios propuestos con
responsabilidad e interés y comparte los
resultados con sus demás compañeros.
▪ Agrúpate con tus compañeros, y resuelve
los ejercicios propuestos con actitud
responsable y comparte la solución al
resto de tus compañeros.
Actividad: Trabajo en equipo
Material: Archivo con enunciados
Duración: 50 minutos

45. CONCLUSIONES
CONCLUSIONES.
Elaboramos las conclusiones de la
clase:
¿Qué hemos aprendido?
¿Cómo hemos aprendido?

46. Referencias Bibliográficas
…
de Oteyza, M. E. de O. (2003). Guia de estudio de álgebra (p. 50). Pearson Educación.
Fuentes, A. (2022). ALGEBRA: Un análisis matemático preliminar al cálculo (p. 19).
Lulu.com.
IGER, I. G. de E. R.-. (2019). Matemática 7: 1° básico - IGER (p. 315). IGER.
Morales, N. A. G. (2012). Representaciones simbólicas y algoritmos (p. 108). SECRETARÍA
DE EDUCACIÓN PÚBLICA.
Palmer, C. I., Bibb, S. F., Jarvis, J. A., &#38; Mrachek, L. A. (2010). Matemáticas prácticas
(p. 112). Reverte.
Pereyra, L. E. (2022). Álgebra (p. 122). Klik.

47. Gestión Estadística de la Información II
Estudios Generales
Muchas gracias
por su participación
El éxito leve puede ser explicado por las habilidades y el
trabajo. El éxito salvaje es atribuible a la varianza.
-Nassim Taleb-