1. PROBABILIDAD
Y ESTADISTICA
TEMA 4:
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
Nombre del docente
UNIDAD 3
ESTADÍSTICA INFERENCIAL: INTRODUCCIÓN,
MUESTREO, PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE MEDIA, Y
PROPORCIÓN
2. SUBTEMAS
» Sub tema 1 : Hipótesis Estadísticas:
Conceptos Generales.
» Sub tema 2 : Prueba de hipótesis
para la media de la población
3. OBJETIVO
Identificar los conceptos de hipótesis,
variables e indicadores mediante la
aplicación de las pruebas de hipótesis
para obtener una conclusión sobre un
valor desconocido.
5. La hipótesis es considerada como una aseveración o
afirmación aproximada del valor que el parámetro de
la población bajo una investigación lograría tomar.
Se la suele resolver en los siguientes pasos:
1. Establecer si es una prueba de dos colas o de una.
Fije sus hipótesis. Elija un nivel de significancia
Pasos básicos en pruebas de
hipótesis
6. 2. Determine que distribución (t o z) es
la apropiada y halle el o los valores
críticos para el nivel de significancia
escogido en la tabla apta.
3. Deduzca el error estándar del
estadístico muestral. Utilice el error
estándar para cambiar el valor
observado del estadístico dentro de
un valor estandarizado.
4. Plantee la distribución y marque la
posición del valor de la muestra
estandarizada y de(los) valor(es)
críticos para la prueba.
7. 5. Compare el valor estadístico muestral
estandarizado con el o los valores críticos
para esta prueba y comente los
resultados.”
Los componentes formales dentro de la
prueba de hipótesis son:
a. Hipótesis nula
La hipótesis nula denotada por 𝐻0 es la
aseveración de que un solo valor del
parámetro de la población es igual a un valor
afirmado.
𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 𝐻0: 𝜇 ≤ 𝜇0 𝐻0: 𝜇 ≥ 𝜇0
7
8. b. Hipótesis alternativa
La hipótesis alternativa dada por 𝐻1 es la
aseveración establecida a base de la
evidencia obtenida.
Proporciones:
𝐻1: 𝑝 > 𝑝0 𝐻1: 𝑝 < 𝑝0 𝐻1: 𝑝 ≠ 𝑝0
Medias :
𝐻1: 𝜇 > 𝜇0 𝐻1: 𝜇 < 𝜇0 𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0
Desviaciones estándar:
𝐻1: 𝜎 > 𝜎0 𝐻1: 𝜎 < 𝜎0 𝐻1: 𝜎 ≠ 𝜎0
8
9. Error Tipo I: denotado por el símbolo α y es
considerado el error de rechazo de la hipótesis
nula cuando efectivamente es verdadera.
Error Tipo II: denotado por el símbolo β,
considerado el error de no rechazo a la
hipótesis nula cuando efectivamente era falsa.
Mediante la siguiente tabla se mostrará el
tamaño de los errores al tomar decisiones
incorrectas:
9
𝐻0 Verdadera 𝐻0 Falsa
Rechazamos 𝐻0 Error Tipo I = α Decisión acertada
No rechazamos 𝐻0 Decisión acertada Error Tipo II = β
10. c. Región crítica
La región crítica o de rechazo es el conjunto de
valores tales que el estadístico de prueba pueda
permitir el rechazo de la hipótesis nula. La
localización de esta va a depender de la forma de
la Hipótesis Alternativa, de tal manera que:
» Si 𝐻1: 𝜇 > 𝜇0 , entonces dicha región está
localizada en la cola derecha de la distribución
de estadístico de prueba.
10
11. » Si 𝐻1: 𝜇 < 𝜇0 , entonces dicha región
está localizada en la cola izquierda de la
distribución de estadístico de prueba.
» Si 𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0 , entonces dicha región es
dividida en dos partes; una parte será
para la cola derecha y la otra
respectivamente para la cola izquierda
de la distribución de estadístico de
prueba
11
12. d. Estadístico de prueba
El estadístico de prueba es un determinado
valor que se calcula partiendo de datos
muéstrales.
» Para proporciones: 𝑧 =
𝑝−𝑝
𝑝𝑞
𝑛
» Para medias : 𝑧 =
𝑥−𝜇
𝜎
𝑛
o 𝑡 =
𝑥−𝜇
𝑠
𝑛
» Para desviaciones estándar: 𝑥2 =
𝑛−1 𝑠2
𝜎2
12
13. Prueba de hipótesis para la
media de la población
El propósito principal de una
prueba de hipótesis para la media
poblacional es determinar si el
valor hipotético para un parámetro
de la población debe aceptarse.
Las pruebas de hipótesis para la
media poblacional se pueden dar
por:
13
14. » Prueba de hipótesis de una media
(σ conocida)
Mediante la siguiente tablas se muestra los
componentes de una hipótesis:
14
Hipótesis nula 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 𝐻0: 𝜇 ≤ 𝜇0 𝐻0: 𝜇 ≥ 𝜇0
Hipótesis alternativa 𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0 𝐻1: 𝜇 > 𝜇0 𝐻1: 𝜇 < 𝜇0
Estadístico de prueba
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑛
Región crítica
𝑧: 𝑧 > 𝑧∝
2
𝑧: 𝑧 > 𝑧∝ {𝑧: 𝑧 < −𝑧∝}
15. 15
» Prueba de hipótesis de una media
(σ desconocida)
Mediante la siguiente tablas se muestra los
componentes de la hipótesis:
Hipótesis nula 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 𝐻0: 𝜇 ≤ 𝜇0 𝐻0: 𝜇 ≥ 𝜇0
Hipótesis alternativa 𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0 𝐻1: 𝜇 > 𝜇0 𝐻1: 𝜇 < 𝜇0
Estadístico de prueba
𝑡 =
𝑥 − 𝜇
𝑠
𝑛
Región crítica
𝑡: 𝑡 > 𝑡𝑛−1;
∝
2
𝑡: 𝑡 > 𝑡𝑛−1;∝ {𝑡: 𝑡 < −𝑡𝑛−1;∝}
16. Ejercicios de aplicación
En una empresa se fabrican piezas que no alcanzan el tamaño
mínimo de 25 cm. Se toma una muestra a 10 elementos: 19,
15, 20, 28, 17, 13, 21, 18, 17, 20. Indicar con un nivel de
significancia del 90% si la compañía debe tomar alguna
medida para cambiar el tamaño de dichas piezas.
Resolvemos:
Datos
𝜇 = 25
𝑛 = 10
16
17. Procedemos a aplicar los pasos para realizar
una prueba de hipótesis
Primero fijamos las hipótesis, determinamos
si es de dos colas o una y el nivel de
significancia
𝐻0: 𝜇 ≥ 25
Para contrarrestar la hipótesis nula; nos dicen
que no alcanza el máximo de 25 cm; entonces
𝐻1: 𝜇 < 25
Como hipótesis alterna nos dice que es <25;
es una prueba de hipótesis de una cola hacia
la izquierda.
Con un nivel de significancia 𝛼 = 100% −
90% = 10% = 0,1
𝑡𝑐 = −1.3830
18. Determinamos que es una distribución t y
procedemos a hallar el valor crítico
Si la muestra tiene 10 datos; los grados de
libertad serán 𝛾 = 10 − 1 = 9 y 𝛼 = 0,1 .
Procedemos a buscar en la tabla t-student y
obtenemos 𝑡𝑐 = 1.3830. y por regla del valor
critico es -1.3830
Ahora calculamos el estadístico de prueba
𝑡 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑛
18
21. Procedemos a colocar los valores para
encontrar el estadístico de prueba. La μ nos
proporciona el ejercicio (25)
𝑡 =
18,8 − 25
4,05
10
𝑡 = −1,2807
En conclusión como el valor 𝑡 = −1,2807
esta dentro de la zona de aceptación por lo
tanto se acepta la hipótesis nula (𝐻0) y
rechazamos la hipótesis alternativa (𝐻1). Lo
que quiere decir que la compañía debe tomar
medidas para cambiar el tamaño de las
piezas. 21
22. 2. Una embotelladora vierte 250 ml de
gaseosa por unidad. En una muestra
aleatoria a 40 gaseosas resulta un
contenido promedio de 245 ml con una
desviación estándar de 30 ml, determinar
mediante la prueba de hipótesis el
promedio teórico de 250 en
contraposición con la hipótesis alternativa
de que es menor a 250 en un nivel de
significancia del 5%
22
23. Resolvemos
El ejercicio básicamente nos proporciona toda
la información
Datos
𝑥 = 245
𝜇 = 250
𝜎 = 30
𝛼 = 0.05
Seguimos los mismos pasos del ejercicio
anterior. Proponemos las hipótesis
𝐻0: ≥ 250
𝐻1: 𝜇 < 250
Debido a que es < 250, es de una cola hacia
la izquierda.
𝑡𝑐 = 1.3830
24. Trabajamos con un 95% de confianza; el 5%
será la zona de rechazo.
Buscamos en la tabla de la normal estándar el
valor de 0.05 en su centro. Entonces no
obtenemos el valor de 0.05 pero si valores
cercanos que pertenecen a 1,64 y 1,65 y
sacamos un promedio.
1,65 + 1,64
2
= 1,645
Por la regla de la región critica es -1,645
24
25. Para el estadístico de prueba
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑛
𝑧 =
245 − 250
30
40
= −1,05
Decisión: el valor del estadístico de prueba
está dentro de la zona de aceptación; por
ende, se acepta la hipótesis nula y se rechaza
la hipótesis alternativa.
Conclusión: se puede afirmar que el
contenido de cada gaseosa es menor a 250 ml
con una significación del 5%.
25
27. BIBLIOGRAFÍA
• Lind, Marchal, Wathen (2012).
Estadística Aplicada a los Negocios y la
Economia. México: McGraw-Hill/Irwin
• Mendenhall, Beaver, Beaver (2004).
Introduccion a la Probabilidad y
Estadística. Mexico: Cengage Learning.
• Taylor, R. A. (2012). Probabilidad y
Estadística para Ingenieros. México:
Pearson Educación.
