Vectores

540 visualizaciones

Publicado el

0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
540
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
2
Acciones
Compartido
0
Descargas
8
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

Vectores

  1. 1. AT EUCap´ ıtulo 1 I-´Algebra vectorial AI AD Galileo Galilei [Pisa, 1564; Arce- Galileo dec´ que la F´ ıa ısica est´ en un gran libro que se abre continuamente a tri (Florencia), 1642]: Fue el pione-ante nuestros ojos y que no se puede comprender sin antes aprender la lengua LIC ro en usar el m´todo experimental een que est´ escrito. Esa lengua es la matem´tica. En este cap´ a a ıtulo introducimos para determinar las leyes de la Na-algunas herramientas matem´ticas esenciales que manejaremos a lo largo del a turaleza, y se le considera el fun- dador de la Din´mica, ya que fue alibro. el primero en determinar las leyes del movimiento de los proyectiles y en enunciar la ley de la inercia; AP1.1. Magnitudes escalares y vectoriales. Vectores hallazgos recogidos en su obra Dis- libres, deslizantes y ligados corsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze atte- nenti alla mecanica e i movimenti locali (Discursos y demostraciones CA1.1.1. Magnitudes escalares y vectoriales entorno a dos nuevas ciencias rela- cionada con la mec´nica y los mo- a Los objetos que maneja la F´ ısica son magnitudes mensurables, tambi´n e vimientos locales), de 1602. Cons-llamadas observables f´ ısicos: son magnitudes que se pueden comparar con un truy´ uno de los primeros telesco- opatr´n o unidad y expresar, con una cierta precisi´n, como un m´ltiplo de esta o o u pios y sus observaciones le llevaron ISIunidad. a defender el heliocentrismo fren- te al geocentrismo aristot´lico. La e Las magnitudes f´ ısicas pueden representarse mediante diferentes objetos Inquisici´n le abri´ un proceso y le o omatem´ticos. En particular, las magnitudes f´ a ısicas que manejaremos en este prohibi´ defender sus ideas. olibro ser´n de dos tipos: escalares y vectoriales. a .F Las magnitudes escalares son aqu´llas que se caracterizan mediante uno e magnitudes escalares(por lo general) o varios n´meros reales que son invariantes bajo traslaciones y urotaciones del sistema de referencia. TOEJEMPLO: La energ´ cin´tica, la temperatura, la intensidad de corriente, la ıa ecarga el´ctrica, el resultado de un partido de f´tbol. e u DP Las magnitudes vectoriales son aqu´llas que se caracterizan no s´lo por su e o magnitudes vectorialesmagnitud sino, adem´s, por su direcci´n y sentido. Se representan mediante a ovectores. Los vectores se pueden visualizar como flechas cuya longitud es proporcionala la magnitud y cuyas direcci´n y sentido coincide con las del vector. o 5
  2. 2. 6 ´ Algebra vectorial AT EJEMPLO: La posici´n, velocidad y aceleraci´n de una part´ o o ıcula, la fuerza, EU el momento de una fuerza. Como veremos enseguida, hay varios tipos de magnitudes vectoriales. Otras magnitudes f´ ısicas se describen mediante otros objetos matem´ticos: vectores a I- cuyas componentes son n´meros complejos, matrices, tensores, etc. En parti- u cular, los tensores son de uso frecuente en ciertas aplicaciones t´cnicas (por e ejemplo, el momento de inercia de un sistema respecto de los distintos ejes que AI pasan por un punto fijo o las tensiones de un cuerpo seg´n las distintas direc- u ciones que pasan por un punto se representan por tensores), pero su estudio excede los objetivos de este libro. AD 1.1.2. Vectores Un segmento de recta queda determinado por sus dos puntos extremos. Cuando estos puntos est´n dados en cierto orden, se dice que el segmento a est´ orientado. a LIC vector Se llama vector a todo segmento orientado. El primero de los puntos que lo determinan se llama origen y el segundo extremo del vector. Para indicar un vector se usa una flecha encima de la letra que lo representa, por ejemplo v, o una flecha encima de las letras que representan su origen y su AP extremo, por ejemplo AB. Otras veces se utilizan letras negritas, por ejemplo v. En este libro usaremos la notaci´n v, excepto en los casos en los que se o desee poner de manifiesto el origen y el extremo, en cuyo caso emplearemos la notaci´n AB. o recta de aplicaci´n o La recta que contiene el vector se llama recta de aplicaci´n o recta de acci´n o o CA del vector, y determina la direcci´n del mismo. La orientaci´n sobre la recta, o o direcci´n o definida como aqu´lla que va del origen al extremo del vector, determina el e sentido sentido del vector. Todos los vectores situados sobre una misma recta o sobre rectas paralelas tienen la misma direcci´n. Sobre cada recta hay dos sentidos o opuestos. ISI Toda magnitud vectorial puede representarse por un vector cuya longitud sea proporcional al valor de esa magnitud y cuya direcci´n y sentido sean las o correspondientes a la magnitud. .F m´dulo o Se llama m´dulo de un vector a la longitud del segmento orientado que o lo define. El m´dulo de un vector es siempre un n´mero positivo o nulo. Si el o u vector es v = AB, el m´dulo se representa mediante cualquiera de las siguientes o notaciones: TO |v| = v = |AB|. (1.1) Cuando el m´dulo es nulo el segmento se reduce a un punto (sin direcci´n o o ni sentido). Se define como vector nulo aqu´l que tiene su m´dulo igual a cero. e o DP 1.1.3. Vectores libres, deslizantes y ligados En F´ ısica las magnitudes vectoriales aparecen en tres situaciones diferentes. A cada una de estas situaciones le corresponde un tipo de vector.
  3. 3. 1.1 Magnitudes escalares y vectoriales. Vectores libres, deslizantes y ligados 7 ATVectores libres EU Los vectores libres son aqu´llos que quedan caracterizados por su: e vectores libres (A) m´dulo, o (B) direcci´n y o (C) sentido. I-As´ dos vectores libres son equivalentes si tienen el mismo m´dulo, direcci´n y ı, o osentido. Como veremos, un vector libre se caracterizan mediante un conjunto AIde n n´meros reales, donde n es la dimensi´n del espacio vectorial. u o En F´ısica usaremos vectores libres para describir magnitudes vectoriales quepermanecen invariantes, es decir cuyo m´dulo, direcci´n y sentido no cambian, o oante: AD (1) cualquier traslaci´n del vector a lo largo de su recta de acci´n y o o (2) cualquier traslaci´n del vector paralela a s´ misma. o ı LICEJEMPLO: Una magnitud f´ ısica que puede describirse mediante un vectorlibre es la aceleraci´n debida a la gravedad en una habitaci´n en la superficie o oterrestre, g, que es un vector libre de m´dulo 9,8 m/s2 , direcci´n vertical y o osentido hacia abajo, puesto que la aceleraci´n con que caen los cuerpos masivos o APen la superficie de la Tierra no cambia (aproximadamente) si nos movemos alo largo de la vertical (siempre y cuando no nos alejemos demasiado de lasuperficie de la Tierra) o paralelamente a la direcci´n del vector (siempre y ocuando los efectos de la curvatura terrestre sean despreciables). CAVectores deslizantes Los vectores deslizates son aqu´llos que quedan caracterizados por su: e vectores deslizates ISI (A) m´dulo, o (B) direcci´n, o (C) sentido y .F (D) recta de aplicaci´n. oAs´ dos vectores deslizantes son equivalentes si tienen el mismo m´dulo, direc- ı, o TOci´n, sentido y recta de aplicaci´n. Matem´ticamente se caracterizan mediante o o aun conjunto de n n´meros reales (es decir, un vector libre) y la ecuaci´n de u ouna recta (para cuya caracterizaci´n basta con conocer la direcci´n de la recta o ode aplicaci´n, que coincide con la del vector, y un punto de ´sta). o e En F´ısica usaremos vectores deslizantes para describir magnitudes vectoria- DPles que permanecen invariantes ante (1) pero no ante (2).EJEMPLO: Una magnitud f´ ısica que puede describirse mediante un vector des-lizante es una fuerza aplicada sobre un s´lido r´ o ıgido, ya que su efecto mec´nico a
  4. 4. 8 ´ Algebra vectorial AT no cambia si la aplicamos sobre puntos de la misma recta de acci´n. M´s ade- o a lante dedicaremos mucha atenci´n al estudio de las fuerzas aplicadas a s´lidos o o EU r´ ıgidos. Vectores ligados I- vectores ligados Los vectores ligados son aqu´llos que quedan caracterizados por su: e (A) m´dulo, o AI (B) direcci´n, o (C) sentido y AD (E) punto de aplicaci´n. o As´ dos vectores ligados son equivalentes si tienen el mismo m´dulo, direcci´n, ı, o o sentido y punto de aplicaci´n. Matem´ticamente se caracterizan mediante un o a conjunto de n n´meros reales (es decir, un vector libre) y las coordenadas de u un punto. LIC En F´ısica usaremos vectores ligados para describir magnitudes vectoriales que no son invariantes ni ante (1), ni ante (2). AP EJEMPLO: Una magnitud f´ ısica que puede describirse mediante un vector ligado es la velocidad instant´nea de una part´ a ıcula puntual, v(t). Se trata de un vector, que s´lo tiene sentido f´ o ısico si est´ aplicado sobre el punto a CA donde se encuentra la part´ıcula en ese instante, punto que a su vez queda caracterizado por un vector ligado, el vector posici´n r(t). o a b Otra magnitud que debe describirse mediante un vector ligado es la fuerza aplicada sobre un cuerpo deformable (por ejemplo un chicle). El cuerpo ISI experimenta deformaciones distintas seg´n se aplique la fuerza en uno u u c d otro punto.FIGURA 1.1: Si los cuatro vectores a, Otra magnitud que debe describirse mediante un vector ligado es el mo- .Fb, c, d fuesen vectores libres entonces mento de una fuerza en un punto (sobre el que volveremos en el cap´ ıtu-a, b y c ser´ equivalentes. Si los cua- ıan lo 3). Este vector s´lo tiene sentido f´ o ısico si est´ aplicado sobre el punto atro vectores fuesen vectores deslizan- respecto al cual se ha calculado el momento de la fuerza.tes entonces s´lo a y b ser´ equiva- o ıanlentes. Si los cuatro vectores fuesen TOvectores ligados entonces no habr´ ıados vectores equivalentes. 1.1.4. Caracterizaci´n algebraica de un vector o DP Componentes de un vector Supongamos en el espacio un sistema de coordenadas cartesianas ortogona- les de origen O y ejes x, y, z. Sean P1 (x1 , y1 , z1 ) y P2 (x2 , y2 , z2 ) el origen y el extremo de un vector dado a (fig. 1.2). componentes Se llaman componentes de un vector a respecto del sistema (O; x, y, z) a las
  5. 5. 1.1 Magnitudes escalares y vectoriales. Vectores libres, deslizantes y ligados 9 ATproyecciones de a sobre los ejes x, y, z; es decir, a los n´meros u z P2 EU ax = x2 − x1 , (1.2) ay = y2 − y1 , (1.3) az az = z2 − z1 . (1.4) a ax Para denotar un vector en un cierto sistema de coordenadas cartesianas ay P1 I-escribiremos a = (ax , ay , az ). Los vectores libres opuestos (es decir, aqu´llos e yque tienen igual m´dulo y direcci´n, pero sentidos opuestos) tienen todas las o o Ocomponentes iguales en valor absoluto, pero de signos contrarios. AI Dos vectores libres iguales tienen las mismas componentes en cualquier sis-tema de coordenadas. x Como se ilustra en la fig. 1.2, la longitud del vector a coincide con la de ladiagonal de un paralelep´ ıpedo recto cuyas aristas son ax , ay , az . Por tanto, el FIGURA 1.2: Componentes del vector a respecto del sistema (O; x, y, z). ADm´dulo de a verifica o |a| = ax 2 + ay 2 + az 2 , (1.5)donde la ra´ cuadrada se toma siempre positiva. ız LIC √EJEMPLO: a = (1, −2, 3), |a| = 12 + (−2)2 + 32 = 14.Cosenos directores AP Se llaman cosenos directores de un vector, respecto de un sistema de coor- cosenos directoresdenadas ortogonales (O; x, y, z), a los cosenos de los ´ngulos que forma el vector acon el sentido positivo de los ejes coordenados. Los ´ngulos hay que tomarlos entre 0 y π radianes, de manera que los a CAcosenos directores puedan ser positivos o negativos. Si los ´ngulos del vector a = (ax , ay , az ) con el sentido positivo de los ejes ax, y, z son, respectivamente α, β, γ (fig. 1.3), los cosenos directores se deducende las f´rmulas que expresan que la proyecci´n de un segmento sobre un eje, o oes igual a la longitud del segmento por el coseno del ´ngulo que el segmento a z ISIforma con el eje ax = |a| cos α, (1.6) g ay = |a| cos β, (1.7) .F az = |a| cos γ. (1.8) a a bSustituyendo estas igualdades en la ec. (1.5), resulta y O TO cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1, (1.9)que es la relaci´n fundamental que liga los cosenos directores de un vector. o x Conocidas las componentes de un vector se puede calcular tanto su m´dulo, o ´ FIGURA 1.3: Angulos α, β y γ corres-mediante (1.5), como sus cosenos directores, mediante (1.6)–(1.8). El m´dulo o DPdetermina la longitud del vector. Los cosenos directores determinan la direcci´n o pondientes al vector a en el sistema (O; x, y, z).y sentido del vector. Los vectores de m´dulo unidad se llaman vectores unitarios o versores. o vectores unitarios A cada vector a le corresponde un versor que tiene la misma direcci´n y el omismo sentido. Este vector se denota por a.ˆ
  6. 6. 10 ´ Algebra vectorial AT Para obtener el versor que tiene la misma direcci´n y sentido que el vector o a = (ax , ay , az ), basta con dividir cada una de sus componentes entre el m´dulo o EU de a, ax ay az a= ˆ , , . (1.10) |a| |a| |a| Es decir, a es aqu´l que tiene por componentes los respectivos cosenos directores ˆ e de a, I- a = (cos α, cos β, cos γ). ˆ (1.11) AI EJEMPLO: a = (1, −2, 3); a = ( √1 , − √2 , √3 ), cos α = ˆ 14 14 14 √1 , 14 cos β = − √2 , 14 √3 . cos γ = 14 AD 1.2. ´ Algebra vectorial LIC 1.2.1. Introducci´n o Los vectores no son simplemente conjuntos ordenados de n´meros reales, u AP sino objetos matem´ticos que se comportan de una forma bien definida bajo a traslaciones y rotaciones del sistema de referencia y que en cada sistema de referencia se describen mediante un conjunto de n´meros reales distinto. Por u ejemplo, consideremos el par de n´meros (2, 1). Si (2, 1) representa un vec- u tor (por ejemplo, una posici´n, una velocidad o una fuerza) entonces cuando o CA trasladamos y rotamos el sistema de referencia ese vector no cambia, pero se expresa mediante un par de n´meros distinto. Sin embargo, si (2, 1) representa u el n´mero de goles que se han marcado en un partido de f´tbol, al cambiar de u u sistema de referencia el resultado no cambia. En ese caso (2, 1) no es un vector, sino una pareja de escalares. ISI An´logamente, hay operaciones sobre vectores que son vectoriales y otras a que no lo son. Todo depende de c´mo se comporten los resultados de esa ope- o raci´n ante un cambio de sistema de referencia. Por ejemplo, la operaci´n que o o consiste en multiplicar cada una de las componentes de un vector por un cierto .F escalar λ (producto por un escalar) es una operaci´n vectorial, porque apli- o cada sobre un vector siempre proporciona el mismo vector resultante (cuyas componentes ser´n diferentes en cada sistema de referencia). Sin embargo, la a TO operaci´n que consiste en sumar λ a cada una de las componentes de un vector, o no es una operaci´n vectorial: aplicada sobre el mismo vector expresado en dos o sistemas de referencia distintos, no da como resultado el mismo vector. En las pr´ximas secciones vamos a introducir una serie de operaciones “vec- o toriales” entre vectores. Todo lo que digamos hasta el final del cap´ıtulo es v´lido a DP para vectores libres. Dado que los vectores deslizantes (ligados) no son sino vec- tores libres aplicados sobre una recta (un punto), tambi´n ser´ v´lido para estos e a a vectores all´ donde tenga sentido (por ejemplo, tiene sentido sumar dos fuerzas a aplicadas sobre la misma recta de un s´lido r´ o ıgido, pero no tiene sentido sumar las velocidades instant´neas de dos part´ a ıculas diferentes).
  7. 7. 1.2 ´ Algebra vectorial 11 AT1.2.2. Suma y diferencia de vectores EUAdici´n de vectores o Para sumar geom´tricamente dos vectores a y b se procede de la siguiente emanera. Se coloca el origen de b sobre el extremo de a; el vector a + b esaqu´l cuyo origen es el origen de a y cuyo extremo es el extremo de b (fig. 1.4 eizquierda). Este procedimiento se conoce con el nombre de regla de la poligonal. I- Al mismo resultado se llega tomando a y b con el mismo origen O y definien- b b a+ a+do la suma como la diagonal que pasa por O, del paralelogramo determinado b bpor a y b (fig. 1.4 derecha). Este procedimiento se conoce como regla del para- AIlelogramo. a a Proyectando la poligonal formada por los vectores a, b y a + b sobre losejes coordenados, resulta que las componentes del vector suma a + b son la FIGURA 1.4: Representaci´n osuma de las componentes de los vectores a = (ax , ay , az ) y b = (bx , by , bz ). geom´trica de la suma de dos e AD vectores a y b. A la izquierda usandoPor ejemplo, al proyectar sobre el eje x (fig. 1.5) la componente de a + b es la regla de la poligonal. A la derechaP1¯ 3 = P1¯ 2 + P2 P3 = ax + bx , donde Pi¯ j es la distancia (que puede ser P P ¯ P usando la regla del paralelogramo.negativa) entre los puntos Pi y Pj . z Se puede, por tanto, establecer la siguiente definici´n: El vector suma de LIC oa y b es el vector que tiene por origen y extremo, respectivamente, el origeny el extremo de la poligonal obtenida llevando un vector a continuaci´n del o a+ botro. Las componentes del vector suma respecto del sistema (O; x, y, z) son las b Psumas de las componentes a = (ax , ay , az ) y b = (bx , by , bz ) respecto del sistema a(O; x, y, z), es decir, AP P1 a + b = (ax + bx , ay + by , az + bz ), (1.12) P2 yque es la forma algebraica de describir la suma de los vectores a y b. P3 x CAEJEMPLO: a = (1, 2, 3), b = (1, −2, 3); a + b = (2, 0, 6). FIGURA 1.5: La componente x del ¯ ¯ vector a + b es P1 P3 = P1 P2 + De la fig. 1.4 izda., usando el teorema de Pit´goras, se deduce inmediata- a ¯ P 2 P 3 = ax + b x .mente que el m´dulo del vector suma verifica o vector suma ISI |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2 |a| |b| cos θ, (1.13)donde θ es el ´ngulo entre a y b. a .F Por otra parte, puesto que, como se ve en la fig. 1.4 izda., a, b y a + b sonlos lados de un tri´ngulo, se cumple la desigualdad triangular: a a a |a + b| ≤ |a| + |b|, (1.14) -b -b TO a-b a-bdonde la igualdad se alcanza unicamente en el caso θ = 0. ´ FIGURA 1.6: Representaci´n oSustracci´n de vectores o geom´trica de la diferencia de dos e DP El vector diferencia a − b de dos vectores es igual a la suma de a y del vector vectores a y b.−b, opuesto a b. vector diferencia Por tanto, las componentes del vector diferencia a − b respecto del sistema(O; x, y, z) son a − b = (ax − bx , ay − by , az − bz ). (1.15)
  8. 8. 12 ´ Algebra vectorial AT Para visualizar geom´tricamente la diferencia a − b procederemos como en e el caso de la suma, tomando −b en vez de b. Las figs. 1.6 izda. y dcha. son las EU an´logas a las figs. 1.4 izda. y dcha. para este caso de la diferencia de vectores. a Propiedades de la suma de vectores Cualesquiera que sean los vectores a y b, se verifican las siguientes propie- I- dades: Propiedad asociativa: AI (a + b) + c = a + (b + c). (1.16) AD Propiedad conmutativa: a + b = b + a. (1.17) Elemento neutro (el vector nulo, 0): LIC a + 0 = a. (1.18) Elemento sim´trico (para cada vector a, su opuesto −a): e AP a + (−a) = 0. (1.19) 1.2.3. Producto de un escalar por un vector CA Sea un vector a = (ax , ay , az ) y un escalar λ. Se llama producto del escalar el escalar λ por el vector a λ por el vector a (o producto del vector a por el escalar λ) al vector que tiene: (1) el m´dulo igual al producto del m´dulo de a por el valor absoluto de λ; o o (2) la misma direcci´n que a; (3) el mismo sentido que a si λ es positivo y el o ISI sentido opuesto si λ es negativo. a Las componentes del vector λ a respecto del sistema (O; x, y, z) son, por tanto, -2a λa = (λ ax , λ ay , λ az ). (1.20) .F 3a Por ejemplo, la fig. 1.7 representa los vectores a, −2a, 3a.FIGURA 1.7: Vectores a, −2a, 3a. TO EJEMPLO: a = (−7, 2, 3), λ = 2 ; λ a = − 7 , 1, 2 . 1 2 3 1 Si λ = |a| , el vector DP a λa = (1.21) |a| es un vector de m´dulo unidad (o unitario o versor) y de la misma direcci´n y o o sentido que a.
  9. 9. 1.3 Producto escalar y producto vectorial 13 ATVersores fundamentales EU Sea (O; x, y, z) un sistema de coordenadas ortogonales. Los versores funda-mentales ı, , k son los que tienen, respectivamente, las direcciones de los ejes versores fundamentalesx, y, z, y con el sentido coincidente con el sentido positivo de los mismos. Suscomponentes respecto del sistema (O; x, y, z) son ı = (1, 0, 0), (1.22) I-  = (0, 1, 0), (1.23) k = (0, 0, 1). (1.24) AI Todo vector a = (ax , ay , az ) puede escribirse en la forma a = ax ı + ay  + az k, (1.25) ADpuesto que seg´n las reglas de adicci´n de vectores y de multiplicaci´n de los u o omismos por un escalar, el vector del segundo miembro tiene componentes ax ,ay , az , es decir, es el vector a. Esta descomposici´n de un vector como suma de los tres versores funda- o ´ LICmentales es muy importante y util. La llamaremos descomposici´n can´nica de o oun vector.Propiedades del producto de un vector por un escalar AP Cualesquiera que sean los escalares α y β y los vectores a y b, se verificanlas siguientes propiedades: Propiedad distributiva respecto a la suma de escalares: (α + β) a = α a + β a. (1.26) CA Propiedad distributiva respecto a la suma de vectores: α (a + b) = α a + α b. (1.27) ISI Propiedad asociativa de escalares: (αβ) a = α(β a). (1.28) .F Elemento neutro (el 1): 1 a = a. (1.29) TO1.3. Producto escalar y producto vectorial DP1.3.1. Producto escalar Se llama producto escalar o interno de dos vectores a, b al escalar obtenido producto escalarcomo producto de los m´dulos de a y b por el coseno del ´ngulo formado por o alos dos vectores.
  10. 10. 14 ´ Algebra vectorial AT Indicaremos el producto escalar de dos vectores mediante un punto “·” entre ellos. As´ ı, EU a · b = |a| |b| cos θ, (1.30) siendo θ el ´ngulo que forman los vectores a y b. a Mediante las componentes de los vectores a y b, su producto escalar se expresa a · b = ax bx + ay by + az bz . (1.31) I- La condici´n necesaria y suficiente para que dos vectores sean perpendicu- o lares es que el producto escalar sea cero. AI Si a y b tienen la misma direcci´n y el mismo sentido θ = 0 y a · b = |a| |b|. o Si a y b tienen la misma direcci´n y sentido opuesto (se dice entonces que o son vectores antiparalelos) θ = π y a · b = −|a| |b|. Con el producto escalar, el ´ngulo θ entre los vectores a y b se calcula a AD mediante la f´rmula o a·b cos θ = . (1.32) |a| |b| LIC EJEMPLO: a = (1, 2, 3), b = (0, −4, 5); a · b = 1 · 0 + 2 · (−4) + 3 · 5 = 7, θ = arc cos √147√41 . Ahora que hemos introducido el producto escalar, la ec. (1.13) se puede reescribir como AP |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2 a · b. (1.33) Es f´cil comprobar que a |a − b|2 = |a|2 + |b|2 − 2 a · b. (1.34) CA La interpretaci´n geom´trica del producto escalar a · b pasa por observar o e que |b| cos θ es el m´dulo (o el m´dulo multiplicado por −1) del vector que o o se obtiene al proyectar el vector b sobre el vector a (fig. 1.8). An´logamente a |a| cos θ es el m´dulo (o el m´dulo multiplicado por −1) del vector que se obtiene o o ISI al proyectar el vector a sobre el vector b. As´ pues, a · b se puede interpretar ı como el escalar que se obtiene al multiplicar el m´dulo de a por el m´dulo (o o o el m´dulo multiplicado por −1) del vector que se obtiene al proyectar el vector o b sobre el vector a. .F Propiedades del producto escalar Cualesquiera que sean el escalar λ y los vectores a y b, se verifican las TO siguientes propiedades: Propiedad conmutativa: a · b = b · a. (1.35) Propiedad distributiva respecto a la suma de vectores: DP a · (b + c) = a · b + a · c. (1.36) λ (a · b) = (λ a) · b. (1.37)
  11. 11. 1.3 Producto escalar y producto vectorial 15 ATVector proyecci´n o EU El vector proyecci´n de b sobre a (fig. 1.8), que denotaremos por Pa (b) es o vector proyecci´n oun vector que tiene la misma direcci´n que a, el mismo sentido si 0 < θ < π o o 2sentido opuesto si π < θ < π y cuyo m´dulo es al valor absoluto de 2 o a·b |b| cos θ = . (1.38) |a| I-El vector proyecci´n de b sobre a se expresa o AI a·b a Pa (b) = . (1.39) |a| |a|El vector proyecci´n de a sobre b, que denotaremos por Pb (a), se obtiene inter- o ADcambiando en la ec. (1.39) los papeles de a y b. FIGURA 1.8: Vector proyecci´n de b o1.3.2. Producto vectorial LIC sobre a. El m´dulo de este vector es o Se llama producto vectorial o externo de dos vectores a y b, y lo denotaremos el valor absoluto de |b| cos θ. La direc-por a × b (o por a ∧ b), al vector que tiene: (1) el m´dulo igual al producto de o ci´n coincide con la de a. El sentido o es el de a o el opuesto, dependiendolos m´dulos de a y b por el seno del ´ngulo (positivo) que forman, o a del valor de θ. |a × b| = |a| |b| sen θ; (1.40) producto vectorial AP(2) la direcci´n perpendicular al plano determinado por las direcciones de los ovectores a y b; (3) el sentido igual al que se obtiene al aplicar la regla de la manoderecha: consideremos los dedos coraz´n, ´o ındice y pulgar de la mano derecha.Colocamos el dedo ´ ındice en la misma direcci´n y sentido que a, el dedo coraz´n o oen la misma direcci´n y sentido que b, entonces el sentido del vector a × b es el o CAdel pulgar (fig. 1.9). a a xb ISI .F TO b FIGURA 1.9: Regla de la mano de- DP recha para obtener el sentido de a×b. Equivalentemente, el sentido de a × b tambi´n se puede definir, aplicando la eregla del sacacorchos, como el de avance de un sacacorchos de a a b siguiendoel ´ngulo menor de π. a
  12. 12. 16 ´ Algebra vectorial AT N´tese que para conocer el sentido de a × b hay que conocer previamente o la orientaci´n de un triedro en el espacio (la mano derecha o el sacacorchos). o EU La visualizaci´n geom´trica del producto vectorial viene descrita por la o e propia definici´n. Baste a˜adir que el m´dulo del producto vectorial coincide o n o con el ´rea del paralelogramo determinado por a y b (fig. 1.10). a Las componentes del vector a× b respecto del sistema (O; x, y, z) se obtienena xb de las de a = (ax , ay , az ) y b = (bx , by , bz ) mediante el siguiente determinante I- b ı  k q a × b = ax ay az AI bx by bz a = (ay bz − az by ) ı + (az bx − ax bz )  + bx a (ax by − ay bx ) k AD = (ay bz − az by , az bx − ax bz , ax by − ay bx ). (1.41)FIGURA 1.10: Representaci´n ogeom´trica de los productos vecto- e EJEMPLO: a = (1, 0, 2), b = (1, 2, 0); a × b = (−4, 2, 2), b × a = (4, −2, −2). LICriales a × b y b × a. El m´dulo de oesos productos vectoriales coincide La condici´n necesaria y suficiente para que dos vectores tengan la misma ocon el ´rea del pol´ a ıgono determinadopor a y b, que es el valor absoluto direcci´n (con sentidos iguales u opuestos) es que su producto vectorial sea ode |a| |b| sen θ. La direcci´n es la o nulo. APperpendicular al plano determinadopor a y b. Propiedades del producto vectorial Cualesquiera que sean el escalar λ y los vectores a, b, c, se verifican las siguientes propiedades: Propiedad anticonmutativa: CA a × b = −b × a. (1.42) Carece de la propiedad asociativa: ISI a × (b × c) = (a × b) × c. (1.43) Propiedad distributiva respecto a la suma de vectores: .F a × (b + c) = a × b + a × c. (1.44) λ (a × b) = (λ a) × b. (1.45) TO Adem´s, es f´cil comprobar que los versores fundamentales verifican a a ı ×  = k, (1.46)  × k = ı, (1.47) DP k × ı = . (1.48) Como veremos m´s adelante, las ecs. (1.46)–(1.48) implican que los versores a fundamentales forman una base cartesiana en un espacio vectorial de dimen- si´n 3. o
  13. 13. 1.4 Independencia lineal. Bases 17 AT1.4. Independencia lineal. Bases EU1.4.1. Independencia lineal Un conjunto de vectores {v1 , . . . , vk } se dice que es linealmente indepen-diente si la ecuaci´n o linealmente independiente I- λ 1 v1 + . . . + λ k vk = 0 (1.49)s´lo tiene la soluci´n trivial λ1 = . . . = λk = 0. o o Si existe alguna soluci´n no trivial a la ec. (1.49); es decir, si al menos uno o AIde los λi = 0, entonces diremos que los vectores {v1 , . . . , vk } son linealmentedependientes. Ning´n vector de un conjunto de vectores linealmente independientes puede uexpresarse como combinaci´n lineal de los otros. Es decir, la ecuaci´n o o AD λ1 v1 + . . . + λi−1 vi−1 + λi+1 vi+1 + . . . + λk vk = vi (1.50)no tiene soluci´n. o En un conjunto de vectores linealmente dependientes hay al menos un vectorque puede expresarse como combinaci´n lineal de los otros. o LIC La dimensi´n de un espacio vectorial V es el mayor n´mero posible de o uvectores linealmente independientes en V .1.4.2. Bases AP Un conjunto de vectores B = {v1 , v2 , . . . , vk } se dice que es una base de un baseespacio vectorial V de dimensi´n k si: o {v1 , v2 , . . . , vk } es linealmente independiente, y CA cualquier vector v de V se puede escribir como combinaci´n lineal de los o vectores de la base. Es decir, existe un conjunto de n´meros λ1 , λ2 , . . . , λk , u tales que v = λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λk vk . Una base se dice base ortogonal si el producto escalar de cualquier pareja base ortogonal ISIde vectores de la base es cero. Una base se dice base ortonormal si es una base ortogonal y est´ formada a base ortonormalpor vectores unitarios. Si k ≥ 3, una base B = {v1 , v2 , . . . , vk } se dice base cartesiana si es una base cartesiana .Fbase ortonormal y adem´s v1 × v2 = v3 , . . . , vk−1 × vk = v1 . aEJEMPLO: {ı, , k} es una base cartesiana de R3 porque: TO {ı, , k} es linealmente independiente, ∀v ∈ R3 ∃ vx , vy , vz ∈ R : v = vx ı + vy  + vz k, |ı| = || = |k| = 1, DP ı ·  = ı · k =  · k = 0, se verifican las ecs. (1.46)–(1.48).
  14. 14. 18 ´ Algebra vectorial AT Problemas propuestos EU1.1. Dados los vectores a = ı − 3 + 3k y b = (1, 2, 2), (b) El vector proyecci´n del vector v = (3, 4) sobre la ocalcula: recta. (a) a + b, 3 a − 2 b. (c) El ´ngulo que forma v con la recta. a I- (b) |a + b|, |a − b|. 1.4. Consideremos los tres vectores libres v1 , v2 , v3 de la fi- (c) El ´ngulo que forman a y b. a gura. Sabiendo que: v1 est´ contenido en el plano OY Z, v2 a est´ contenido en el plano OXZ, v3 es perpendicular tanto a AI (d) El vector unitario que tiene la misma direcci´n y sen- o a v1 como a v2 , v3 tiene componente z positiva, |v1 | = 4, tido que a. El vector unitario que tiene la misma direcci´n o √ √ |v2 | = 3 3, |v3 | = 3 6. y sentido opuesto que b. (e) Los cosenos directores de a. (a) Halla las componentes de los vectores v1 , v2 , v3 . AD (b) Halla los ´ngulos que forma el vector v1 + v3 con los a (f) a · b, a × b, b × a. vectores ı, , k. (g) El vector proyecci´n de a sobre b y de b sobre a. o (c) Calcula el vector proyecci´n de v1 sobre v2 y el vector o (h) Un vector de m´dulo 7 que sea perpendicular a a y b. o proyecci´n de v2 sobre v1 . o LIC −→1.2. El vector P1 P2 tiene como origen P1 (1, 0, 2) y extremo ←P2 (2, 2, 0). Halla: v3 z (a) Las componentes cartesianas del vector. AP (b) Su m´dulo y cosenos directores. o 30o (c) El vector unitario que tiene la misma direcci´n y sen- o ← −→ v2 ← tido que P1 P2 . 60o v1 CA (d) El vector con la misma direcci´n y el mismo sentido o −→ que P1 P2 pero de m´dulo 5. o −→ y (e) Un vector perpendicular a P1 P2 , de m´dulo 5 y cuya o componente x valga 0. O ISI x1.3. Dada la recta de ecuaci´n x + 3y − 4 = 0, determi- ona: PROBLEMA 1.4 .F (a) Un vector unitario en la direcci´n de la recta. o TO Cuestiones1.1. El producto escalar de dos vectores unitarios es (d) un valor num´rico comprendido entre menos uno y e DP uno. (a) un vector unitario. 1.2. Sea a · b el producto escalar de los vectores a y b. Si b (b) la unidad. es un vector unitario entonces |a · b| es siempre (c) un valor num´rico comprendido entre cero y uno. e (a) igual al m´dulo de la proyecci´n de b sobre a. o o
  15. 15. Cuestiones 19 AT (b) igual al coseno del ´ngulo que forman a y b. a 1.5. Dados los vectores a, b y c no nulos, el resultado de a · (b × c) (c) igual al m´dulo de la proyecci´n de a sobre b. o o EU (d) igual al m´dulo de a. o (a) es cero si los tres vectores son coplanarios.1.3. El vector proyecci´n de a sobre b no puede tener o (b) es un vector perpendicular a a, b y c. (c) es cero si b y c son coplanarios. (a) la misma direcci´n que a. o (d) siempre es un escalar no negativo. I- (b) la misma direcci´n que b. o (c) m´dulo mayor que el de a. o 1.6. Sean tres vectores no nulos a, b, c. Las componentes de a y b respecto del sistema cartesiano {O; x, y, z} son, AI (d) m´dulo mayor que el de b. o respectivamente, (ax , ay , az ) y (bx , by , bz ); el ´ngulo que a forma el vector a con el sentido positivo del eje z es γ; el1.4. Dada la expresi´n vectorial a × b = a, con a y b no o ´ngulo entre a y b es θ. Se˜ala la opci´n incorrecta. a n onulos, se cumple que AD (a) b es un vector unitario paralelo a a. (a) a · (b + c) = a · b + c · a. (b) b es un vector unitario perpendicular a a. (b) a · b = (ax bx , ay by , az bz ). (c) |a| = az / cos γ. (c) b es un vector unitario coplanario con a. LIC (d) la expresi´n no es correcta para ning´n b. o u (d) |a × b| = |a| |b| sen θ . AP CA ISI .F TO DP

×