Física y química

1. · TEMA UNO ·
CÁLCULO VECTORIAL
“La Naturaleza está escrita en un gran libro siempre abierto a nuestros ojos. Me refiero al Universo.
Imposible es entenderlo sin antes no aprender el lenguaje y los símbolos en que está escrito.
Su lenguaje es el de la matemática, y los símbolos con que está escrito son los círculos, triángulos y demás figuras geométricas sin cuya comprensión es imposible entender una sola palabra”
(Galileo Galilei)
El estudio de la física es importante porque es una de las ciencias más fundamentales. Los científicos de
todas las disciplinas utilizan las ideas de la física, como los químicos que estudian la estructura de las
moléculas, los paleontólogos que intentan reconstruir la forma de andar de los dinosaurios, y los
climatólogos que estudian cómo las actividades humanas afectan la atmósfera y los océanos. Asimismo,
la física es la base de toda la ingeniería y la tecnología. Ningún ingeniero podría diseñar un televisor de
pantalla plana, una nave espacial interplanetaria, ni incluso una mejor trampa para ratones, sin antes
haber comprendido las leyes básicas de la física.
El estudio de la física es también una aventura. En ocasiones, la encontrarás desafiante, a veces
frustrante y en ocasiones difícil; sin embargo, con frecuencia te brindará abundantes beneficios y
satisfacciones. Aunque no lo creas, la física estimulará tu sentido de lo bello, así como tu inteligencia
racional. Si alguna vez te has preguntado por qué el cielo es azul, cómo las ondas de radio viajan por el
espacio vacío, o cómo un satélite permanece en órbita, encontrarás las respuestas en la física básica.
Sobre todo, apreciarás la física como un logro sobresaliente del intelecto humano en su afán por entender
nuestro mundo y a la humanidad misma.
A lo largo de este primer tema nos vamos a ocupar de desarrollar unas herramientas tremendamente
útiles en física y en matemáticas. Es muy probable que de entrada te suenen algo áridas y tediosas, pero
en cuanto pasemos en un tema posterior a darles uso y significado físico, podrás constatar el tremendo
potencial que contienen y la tremenda ayuda que prestan en esto de intentar entender el mundo y el
universo, que es de lo que se ocupa la ciencia en general y la física en particular. De modo, que ten un
poco de paciencia: primero deberemos aprender a conocer las herramientas, usarlas, y luego aplicarlas a
la física.
Muy a menudo, la Ciencia se ve obligada a crear su propio lenguaje, sus propios conceptos para su uso
exclusivo. Los conceptos científicos comienzan a menudo con los que se usan en el lenguaje ordinario
para expresar los hechos diarios, pero se desarrollan de un modo diferente. Se transforman y pierden la
ambigüedad usual en el lenguaje común, ganando en exactitud y poder aplicarse al pensamiento
científico. De este modo, por ejemplo, el resultado de medir una longitud será siempre un número. Sin
embargo, un número solo, es insuficiente para describir algunos conceptos físicos. Por ejemplo: los
efectos que pueden conseguirse al aplicar una determinada fuerza sobre un objeto dependerán no solo del
valor de esa fuerza (de su intensidad) sino también del modo en cómo se apliquen, o bien, para
caracterizar una velocidad es tan esencial el valor de la misma como indicar la dirección del movimiento.
En otros casos, la situación es algo más simple y basta con el conocimiento de ese nº y una unidad para
que el dato (la magnitud) quede perfectamente aclarado: el decir que la masa de un objeto es de 6 kg, deja
perfectamente definida la situación, y ese dato de masa es independiente de otras situaciones que rodeen
al cuerpo que la posee. El reconocimiento de este hecho marca un notable progreso en la investigación
científica.
En física hay magnitudes que pertenecen al primero o al segundo de los grupos anteriormente expuestos,
y tan importante son unas como las otras, si bien –y aquí está buena parte de la clave del asunto- el
tratamiento físico y matemático que reciben cada una son diferentes. A las primeras magnitudes que
necesitan ‘de información extra’ se las denomina magnitudes VECTORIALES, mientras que a las del
segundo grupo, se las denomina magnitudes ESCALARES. Son ejemplos de magnitudes físicas

2. Nociones de Cálculo Vectorial. Tema 1.
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vectoriales: la fuerza, la aceleración, el campo eléctrico, el campo gravitatorio, el momento lineal, el
momento angular, campo magnético, etc…. Y algunos ejemplos de magnitudes física escalares:
temperatura, masa, resistencia eléctrica, energía, potencia, calor…
Estas diferencias NO terminan aquí, sino que otro ingrediente importante y diferenciador entre ambas
está en su tratamiento matemático (en su ‘manipulación’) pues NO se suman, restan, multiplican y
dividen del mismo modo unas y otras. Comprender estos aspectos manipulativos es muy importante,
pues buena parte del significado físico de algunos conceptos de este curso tiene que ver con ello. Para
empezar, al representar una magnitud VECTORIAL usaremos un concepto matemático muy importante:
el concepto de vector (“una flecha”), que posteriormente en la asignatura de matemáticas se
desarrollará con mucho más detalle.
1. A QUÉ DENOMINAMOS “VECTOR”.
En una primera aproximación, puede admitirse que un vector no es
más ‘que un segmento orientado’, lo cual significa que son
segmentos a los que se les asigna un origen (o punto de aplicación)
y un extremo, donde se suele dibujar una punta de flecha.
Evidentemente es una definición un tanto pobre, que se ampliará y
perfeccionará en matemáticas, pero que nos va a permitir entender de modo intuitivo la idea física de
magnitud vectorial y sus utilidades.
En todo vector podemos distinguir las siguientes características:
• Módulo: Se refiere a la longitud del segmento y mide la "intensidad"
de la magnitud que representa, por lo que siempre es un número positivo. Sus
dimensiones no tienen por qué ser las de una longitud. Así el módulo de una
fuerza se medirá, en el SI, en newton (N), o para la aceleración (que también es
magnitud vectorial) su módulo (= intensidad) se medirá en m/s2 en el SI, etc.
• Dirección: Se define como la recta que contiene al segmento. La
dirección en un plano se determina por un ángulo, que es el que existe entre
una dirección de referencia y la dirección que deseamos indicar, medido en
sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. En el espacio es
necesario usar dos ángulos para determinar una dirección.
• Sentido: Es la orientación de la flecha situada en el extremo
del segmento. En el caso de la velocidad, el sentido se refiere al del
movimiento, y en el caso de la fuerza al de empuje o tracción. En la
figura-2 se pueden observar dos vectores con sentidos opuestos. Sin
embargo en el caso de la rotación es necesario recurrir a un convenio,
pues los dos sentidos de giro son en un principio aceptable. El convenio
que utilizaremos es el de atribuir al vector rotación el sentido de avance
de un tornillo que tenga el mismo sentido de giro que la rotación.
A veces, es importante darse cuenta de que hay magnitudes
vectoriales que son independientes de la ‘localización del vector’. Así,
por ejemplo, de la fuerza que aplicamos a un objeto para trasladarlo
en línea recta de un lugar a otro, sólo nos importa el módulo, la dirección y el sentido del vector que
representa a esta fuerza. A este tipo de vectores se los denomina vectores libres. Por el contrario, si en
una magnitud vectorial se exige que no cambie la recta en que apoyan (dirección), a los vectores que las
representan se los denomina vectores deslizantes. Los vectores suelen representarse con una letra
acompañada de una “flecha” en su parte superior, o bien (en aras a la rapidez de escritura) se escriben en
negrita.

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Reciben el nombre de “vectores opuestos” a dos vectores de igual módulo y dirección pero de sentidos
contrarios. Así, los vectores a y –a son vectores opuestos.
Dos vectores se dirán iguales o equivalentes, cuando tengan el mismo módulo, dirección y sentido, o dicho
de otro modo, si transportando paralelamente a sí mismo uno de ellos se le puede hacer coincidir
exactamente con el otro.
Aunque a la hora de abordar situaciones en donde hay involucradas magnitudes vectoriales, es muy útil
hacer la representación dibujada de los mismos, esto se muestra casi del todo insuficiente cuando lo que
deseamos es “operar” con las magnitudes a las que representan, esto
es, cuando deseamos sumar, restar o multiplicar tal es magnitudes.
Por ello, es preciso idear un sistema de representación matemático
que nos permita hacer este tipo de operación.
Este “inconveniente” puede
comenzar a salvarse mediante el
uso de las COORDENADAS DE UN
VECTOR, esto es, las coordenadas
de los puntos que definen el origen
y el extremo del vector en un sistema de ejes (referencia) elegido. En
muchas ocasiones, cuando se dan sólo las coordenadas de un único
punto, puede admitirse que el origen del vector se encuentra en el origen
de coordenadas, esto es, en el punto (0,0), por lo que la pareja de
números dados representarán las coordenadas del extremo. Este hecho,
que por otra parte es abundante, facilita mucho la tarea de determinar
el módulo del vector, como veremos
más adelante.
Otra posible manera de representar
un vector con origen en el punto
(0,0) es dar su módulo ("el tamaño"
del vector) y el ángulo que éste
forma con la parte positiva del eje OX (dirección y sentido del vector).
De este modo, no nos deberá resultar extraño encontrar, por
ejemplo, que un vector posea de módulo 8 unidades y que tenga una
dirección de 200º. Esto nos indica que estará situado en el tercer
cuadrante. La trigonometría y el
conocimiento de los datos
anteriores, hará el resto, y nos
permitirá conocer las coordenadas
del punto que determinan el
extremo del vector.
A tales puntos (individualmente)
también se los denomina
COMPONENTES de ese vector,
las cuales, por cierto, PUEDEN
SER NÚMEROS NEGATIVOS.
A la inversa: conociendo las componentes de un determinado vector,
podremos “reconstruir” el vector original mediante el uso de la
trigonometría y/o el teorema de Pitágoras.
Por tanto definir un vector exige conocer TODOS sus elementos.

4. Nociones de Cálculo Vectorial. Tema 1.
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2. OPERACIONES CON VECTORES.
Las primeras operaciones vectoriales que vamos a tratar son las de la suma y resta, que ya se vieron en el
curso anterior y que vamos a recordar.
Sumar (Restar) magnitudes vectoriales exige que no solo se deba tener en cuenta el módulo de esas
magnitudes, sino que también influyen las direcciones y sentidos de las mismas, de un modo
determinante.
Denominamos RESULTANTE de un conjunto de vectores a otro vector que puede sustituir a ese
conjunto, de modo que su obtención se realiza mediante operaciones vectoriales (suma/resta
multiplicación/división) con los vectores a los que va a sustituir.
Para empezar, vamos a ver el modo de obtener esa resultante en el
caso de la suma. Para realizar esa operación de suma, recordamos
que existen dos modos: uno gráfico, y el otro analítico. Usaremos uno u
otro según la situación.
Gráficamente es fácil sumar dos vectores: sólo hay que dibujar el
primer vector, teniendo en cuenta su módulo dirección y sentido, y
dibujar, a partir del extremo del primer vector, el segundo vector. La
suma de ambos vendrá dada por el vector resultante de unir el origen
del primer vector con el extremo final del segundo.
Igualmente se puede obtener el vector suma, dibujando los dos
vectores en un punto origen común (teniendo en cuenta para hacer el
dibujo el módulo, la dirección y sentido), y construyendo el
paralelogramo que se forma con ambos vectores. El vector suma
vendrá dado por la diagonal de dicho paralelogramo, desde el origen
común. (Ver figuras)
• CUANDO LOS VECTORES TIENEN LA
MISMA DIRECCIÓN:
En este caso el módulo de la suma coincide con la suma de los módulos (en
caso de tener el mismo sentido) o la resta de los módulos (en caso de tener
sentidos contrarios). La dirección del vector
suma será la misma que la de los dos
vectores y el sentido será el del mayor
módulo.
• CUANDO LOS VECTORES SON PERPENDICULARES:
En este caso se forma un triángulo rectángulo entre los dos vectores, y
el vector suma tendrá de módulo el determinado por el teorema de
Pitágoras (valor de la hipotenusa):
La dirección y sentido de la
RESULTANTE vendrá dada
gráficamente, aunque es posible (y
conveniente) calcular el ángulo que
forma el vector suma con cualquiera
de los dos vectores sumados,
haciendo uso de los conceptos
básicos de la TRIGONOMETRÍA.
A
B S
A
B
α
β
22
BAS +=

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Matemáticamente se expresa
Para restar vectores, sólo deberemos tener en cuenta que esto es,
“sumarle el opuesto”.
Aunque parezca superfluo, es necesario que te acostumbres a escribir
correctamente las operaciones vectoriales, de tal modo que no olvides
poner la flecha sobre la letra que lo representa. Puede parecer una
tontería, pero como irás descubriendo, cuando NO se escribe la flecha
sobre la letra, nos estaremos refiriendo exclusivamente a su módulo.
Así que NO es lo mismo escribir
que S = a + b, pues van a representar cosas distintas.
Para efectuar sumas, o restas, de tres o más vectores, el proceso es
idéntico. Basta con aplicar la propiedad asociativa. Desde este punto
de vista, cabe otra interpretación más simple de lo que antes hemos
denominado COMPONENTES DE UN VECTOR, ya que cualquier
vector V puede siempre considerarse como la suma de dos (o más)
vectores, siendo el número de posibilidades infinito. A cualquier
conjunto de vectores que al sumarse den V se les llama componentes
del vector. Las componentes más usadas son las rectangulares, esto
es, el vector se expresa (en el plano) como la suma de dos vectores
mutuamente perpendiculares.
Con esta nueva formulación diremos
que dos (o más) vectores son iguales
cuando lo son sus componentes.
En el espacio tridimensional, el vector se expresa como la suma de tres
vectores mutuamente perpendiculares.
Sin embargo interesa, la mayor parte de las veces, obtener la suma de
vectores de modo analítico, o matemático, si se prefiere. ¿Cómo
proceder entonces?
En tales casos tendremos que echar mano de las componentes de los
vectores a sumar.
De este modo, si tenemos un conjunto de vectores cuya resultante
deseamos determinar, bastará sumar (con sus signos) componente a
componente las correspondientes a los vectores sumando, para obtener así
las componentes de la resultante que buscamos. Esta operación puede
llegar a suponer que previamente tengamos que comenzar por calcular o
determinar las componentes de esos vectores que vamos a sumar, pero
esa operación ya sabemos hacerla.
Resumidamente, de forma gráfica la suma de varios vectores vemos
que es conmutativa:
baS
!!!
+=
baS
!!!
+=

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Conocidas las componentes del vector resultante, ya tendremos TODOS los elementos vectoriales de la
misma.
Más claramente. Supongamos que vamos a sumar los vectores A, B
y C cuyas componentes son conocidas (caso de no serlas, habría que
determinarlas como hemos aprendido):
la resultante será
2.1 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR
UN VECTOR.
En realidad este es un caso que
puede considerarse ‘como un caso
particular de la suma de vectores’
pues multiplicar un número
cualquiera k (escalar), por un
vector no es más ‘sumar k-veces’
ese vector. El resultado de esta
operación será, lógicamente, otro
vector. De él podrá decirse que
conservará la misma dirección
que el vector original, su módulo
deberá ser el resultado de
multiplicar el escalar por el
módulo del vector, y conservará el sentido del vector original si el
número por el que multiplicamos es positivo. En caso contrario, el
sentido se invertirá.
El cociente de un vector entre un escalar es equivalente a multiplicar
el vector (v) por el inverso del escalar (1/k). Esto es, v/k=(1/k) · v =
U. El módulo de este nuevo vector será 1/k veces el módulo de v.
Aunque existen magnitudes físicas que se definen como el producto
de un nº por un vector, y ésta es una operación frecuente, resulta
importante también saber multiplicar vectores entre sí. La operación
de multiplicar vectores es diferente a como se hace con magnitudes
escalares, pues el resultado NO es siempre otro vector, como
sucede con la suma y operaciones que hasta ahora hemos visto. Antes de entrar en esto, debemos
abordar otro punto importante: LOS VECTORES UNITARIOS.
),,(
),,(
),,(
zyx
zyx
zyx
cccC
bbbB
aaaA
!
!
!
),,( zzzyyyxxx cbacbacbaR ++++++
!

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3. VECTORES UNITARIOS.
El trabajo con las componentes de un vector, que es una operación frecuente en física, se simplifica si se
introduce la idea de vectores unitarios. En general, un vector unitario es un vector de módulo unidad.
En física resultan de extrema utilidad para –por ejemplo- expresar la notación vectorial de un modo más
completo. También descubrirás a lo largo de este curso que muchas magnitudes física de carácter vectorial
quedan definidas completamente con ayuda de un vector unitario, que resulta en ocasiones útil para
especificar, por ejemplo, la dirección concreta (y a veces también el sentido) que ha de tener una
determinada magnitud. Así por ejemplo, la velocidad, o el campo gravitatorio o el campo eléctrico (entre
otras muchas) se ayudan de estos vectores unitarios en su definición.
Entendido ya lo que representan las componentes de un vector, resulta fácil ver que éstas pueden
interpretarse fácilmente como el resultado del producto de un escalar “a” por un vector de módulo unidad
(o bien de b por un vector de módulo unidad, si hablamos para el eje OY), siendo a y b las componentes
“numéricas” del vector original. Esto es, si sabemos que un vector tiene de componentes A(a, b, c) de tal
modo que como sabemos
podremos poner también que
o sea
Siendo i, j, k los vectores de módulo unidad (vectores unitarios)
asignados al eje OX, OY y OZ respectivamente. Es más: esto nos
está indicando que en general, cualquier vector podrá siempre
escribirse como el producto de su
módulo por un vector unitario
cualquiera. O lo que es lo mismo,
que un vector unitario en una
dirección dada (marcada por un
vector), podrá obtenerse con sólo
dividir ese vector por su propio
módulo.
Trabajando con vectores unitarios muchas operaciones vectoriales
pueden expresarse de otro modo más completo.
Veamos algunos casos. Dados los vectores:
Si deseamos obtener el vector suma de ambos, (Resultante), bastara
proceder así:
esto es, nos limitamos a agrupar las componentes de cada uno de los vectores.
cbaA
!!!"
++=
kcc
jb=b
ia=a
!!
!!
!!
·=
⋅
⋅
kcjbiaA
!!!"
··· ++=
A
A
u
!
"
=
j7+i3=p
j3+i2-=w
!!!
!!!
j10+i=R
)j7+j(3+)i3+i(-2=R
)j7+i(3+)j3+i(-2=R
p+w=R
!!!
!!!!!
!!!!!
!!!

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De este modo, obtenemos la resultante en función de las componentes vectoriales expresadas en notación
de vectores unitarios.
Igualmente, a estas alturas deberíamos saber obtener las características de un vector expresado en
notación de vectores unitarios.
4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES.
Hemos visto cómo la suma de vectores es consecuencia natural de combinarlos gráficamente, y
sumaremos muchas otras cantidades vectoriales posteriormente a lo largo del curso. También podemos
expresar muchas relaciones físicas de forma concisa usando producto de vectores. Los vectores no son
números ordinarios, así que no podemos aplicarles directamente la multiplicación ordinaria.
Definiremos dos tipos diferentes de productos de vectores. El primero, llamado producto escalar, produce
un resultado escalar. El segundo, el producto vectorial, produce otro vector.
El llamado “producto escalar” de dos vectores cualesquiera:
es UN NUMERO, cuyo valor viene dado por la suma del producto de sus componentes; esto es:
Observa que hemos representado este producto por un punto (·)
entre las letras que denotan los vectores. Este valor además,
coincide con
donde el ángulo α es el que forman las direcciones de los vectores r
y v.
Evidentemente, dado que el resultado de este modo de multiplicar
vectores es un número, éste puede ser negativo, positivo o incluso
nulo.
Una particularidad interesante del producto escalar es su
interpretación geométrica. Por la propia definición de producto
escalar, es fácil entender que éste coincide con el producto del
módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre el primero.
5. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES.
Acabamos de ver que el producto escalar de dos vectores da como resultado un número. Sin embargo,
NO siempre el resultado de la multiplicación de dos magnitudes vectoriales es un escalar, pues depende
del modo en cómo se multipliquen los vectores. Dicho de otro modo: hay una ‘segunda modalidad’ para
multiplicar vectores: el producto vectorial cuyo resultado es OTRO VECTOR y como tal es necesario
determinar TODAS sus características, y éstas pueden conocerse a partir de las componentes vectoriales.
• Su módulo puede obtenerse como
donde, como antes, el ángulo α es el formado por las direcciones de ambos vectores.
jv+iv=v
jr+ir=r
yx
yx
!!!
!!!
vr+vr=vr yyxx
!!
⋅
αvr=vr cos
!!
⋅
αsen⋅⋅=∧ vrvr !!

9. Nociones de Cálculo Vectorial. Tema 1.
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Para determinar las componentes del NUEVO vector (obtenido como producto vectorial de otros
cualesquiera y en el caso general de trabajar en tres dimensiones):
basta calcular el determinante:
El nuevo vector r x v tiene su dirección perpendicular a los vectores r y v, y su sentido se obtiene por
"la regla del tornillo" (esto es, imaginando el avance de un tornillo
que girase de r a v por el camino más corto), o bien por la regla de la
mano derecha.
Observa cómo se ha representado este tipo de producto (mediante la
x, si bien hay otro símbolo). Está claro, que el producto vectorial NO
es conmutativo.
5.1. Un ejemplo de producto vectorial: EL
MOMENTO.
Una de las condiciones para el equilibrio
estático de un cuerpo exige que todas las
fuerzas que actúan sobre éste, estén
compensadas. Dicho en el lenguaje
matemático:
Sin embargo, esta condición de equilibrio no es suficiente en
muchas ocasiones, ya que el cuerpo al que esto se le aplica, podría
girar (sin trasladarse). En estos casos se suele hablar de una 2ª
condición de equilibrio que está
directamente relacionada con lo
que se denomina MOMENTO de
las fuerzas (recuerda que las
fuerzas son magnitudes físicas
de carácter vectorial).
Se define el momento de un
vector respecto de un punto (O) como el producto vectorial
siendo el vector r el denominado vector de posición, esto es, un
vector cuyo origen es el punto O y su extremo, es el origen del vector
F. En el tema que le dedicaremos a la dinámica, haremos uso de
esta expresión y de estas condiciones de equilibrio.
kv+jv+iv=v
kr+jr+ir=r
zyx
zyx
!!!!
!!!!
k)vr-vr(+j)vr-vr(+i)vr-vr(=
vvv
rrr
kji
=vxr
xyyxzxxzyzzy
zyx
zyx
!!!
"""
!!
=
0=F
!
Σ
Fxr=M
!!!

10. Nociones de Cálculo Vectorial. Tema 1.
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6. COSENOS DIRECTORES.
Muy frecuentemente en física, se suele trabajar en el espacio, por lo que las magnitudes vectoriales han
de poseer tres componentes. Determinar la dirección de un vector en el plano es tarea fácil si se poseen
elementales conocimientos de trigonometría. Sin embargo, esta misma tarea, en el espacio, suele resultar
un tanto diferente.
Por lo pronto, para determinar la dirección en el espacio, será necesario referirla a los tres ejes
coordenados, midiendo un ángulo con respecto a cada uno (α para con respecto al eje OX; β para con
respecto al eje OY, y γ para el eje OZ).
Aunque no es complicado deducirlo, la relación que mantienen las
componentes de un vector a, en el espacio, con esos ángulos vine regida
por funciones coseno, del siguiente modo:
a cada uno de los cuales, se los denomina cosenos directores.
Como resumen de lo aprendido y desarrollado en este tema, vamos ahora a hacer algunos ejercicios.
PROBLEMAS
1. Deducir si los siguientes vectores son o no perpendiculares:
2. Deducir el valor de x para que los vectores A (5,1,-2) y B (2,x,6) sean perpendiculares.
3. ¿Para qué valores de x el vector A (3x
2
, 2x, -(x+5)) es perpendicular al vector B (2,1,4)?
4. El vector B (1,-2,3) está aplicado en el punto P (2,1,2). Calcular su momento respecto al origen de coordenadas.
¿Cuánto vale su módulo?
5. Los vectores A (-3,2,1), B (2,-4,0) y C (4,-1,8) son concurrentes en el punto P (3,1,2). Calcular el momento (M) de
cada uno de los vectores respecto al origen de coordenadas, el momento de la resultante de los tres y demostrar si
se cumple que MR = MA + MB + MC (Teorema de Varignon)
6. Calcular el vector unitario del vector resultante de multiplicar vectorialmente los vectores S(1,0,-2) y P(0,1,-1).
7. A partir de los siguientes datos: A(4,-2,3); A x B(-9,6,16), y sabiendo que el vector B está contenido en el plano XY,
encontrar las componentes del vector B.
)a+a+a(
a
=
)a+a+a(
a
=
)a+a+a(
a
=
2
z
2
y
2
x
z
2
z
2
y
2
x
y
2
z
2
y
2
x
x
γ
β
α
cos
cos
cos
! ! ! !
! ! ! !
A = 3i + 4j + k
B = 4i - 5j + 8k

11. Nociones de Cálculo Vectorial. Tema 1.
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8. Hallar el ángulo que han de formar dos vectores cualesquiera para que el producto escalar y el módulo del producto
vectorial sean iguales.
9. Un cubo de 2 metros de arista tiene sus caras paralelas a los planos de coordenadas, teniendo un vértice en el
origen. Un insecto situado en ese origen se mueve a lo largo de tres aristas hasta llegar al vértice opuesto. Escribir el
vector desplazamiento del insecto usando los vectores unitarios y calcular el módulo de ese vector desplazamiento.
10. Calcular el vector unitario del vector resultante de multiplicar vectorialmente S(1,0,-2) y P(0,1,-1). ¿Qué ángulo
formará ese vector unitario con los ejes coordenados?
11. Dados dos vectores A y B de componentes (1,2,3) y (3,2,1), respectivamente, hallar el vector de módulo unidad que
sea perpendicular a ambos.
12. El vector F(-2,6) tiene su punto de aplicación en el punto P(4,7). Determina el momento de F respecto del punto
A(8,2)
13. Dado el vector a = 2i – 3j + k que está aplicado en el punto (0,0,0), calcula su momento respecto del punto P(-2,1,0)
14. Calcula el ángulo formado por los vectores a = 2i + 2j – k y b = 6i – 3j + 2k
15. Un avión vuela a 1000 km/h hacia el norte. Si sopla viento del suroeste (45º) con una rapidez de 200 km/h, calcula:
(a) la velocidad total del avión (exprésala en forma vectorial); (b) el ángulo que se desvía del rumbo.
16. En física, la fuerza (F) que actúa sobre una carga eléctrica (q) en movimiento con velocidad V en el interior de un
campo magnético (B) viene definida por la expresión
donde q es un escalar (número medido en culombios, C) mientras B y V son vectores. Se pide:
a. Si en un determinado momento la carga q = +1 C y B = -i + 2j; V = 2i - 3j + k, ¿Cuál es la expresión vectorial de F?
Determina también el módulo de F y su dirección respecto a los ejes coordenados.
b. ¿Qué ángulo forman entre sí los vectores B y V anteriores?
c. Demostrar que el vector F anteriormente obtenido es perpendicular a B.
d. Obtener la expresión vectorial de un vector cualquiera con la misma dirección que V pero de sentido contrario a
éste.
)(· BVqF
!!!
∧=