factor de seguridad probabilista

1. 17022
Estabilidad
L
a práctica común en geotecnia para analizar la seguridad de
una cimentación frente al hundimiento, consiste en la compara-
ción entre la presión máxima que admite éste (qu
) y la presión
que actúa sobre el cimiento (qp
). De esta forma se obtiene un número
que cuantifica de forma explícita la seguridad del diseño. Este método
para obtener el factor de seguridad parece sugerir implícitamente que
conocemos con suficiente precisión las características resistentes del
terreno y que, sin embargo, albergamos dudas razonables sobre la
magnitud de las cargas. Así, se exige que la relación entre ambas debe
ser superior a un cierto valor que permita que aún en los casos más
desfavorables las cargas no superen a las resistencias. Obtenemos en-
tonces lo que podríamos denominar factor de seguridad al hundimien-
to por incremento de cargas (FSic
) puesto que dicho factor de seguri-
dad equivale a multiplicar las cargas por esa cantidad.
(1)
Sin embargo, es bastante común que las incertidumbres en el dise-
ño geotécnico graviten en torno a la resistencia del suelo, de forma que
parece interesante utilizar una definición alternativa que tenga en cuen-
ta este enfoque. Esta definición alternativa consiste en reducir de for-
ma recurrente los parámetros resistentes del terreno por un cierto va-
lor hasta que la resistencia obtenida se iguale con la carga actuante.
Cuando esto suceda habremos obtenido el factor de seguridad al hun-
dimiento por reducción de resistencia (FSrr
), puesto que dicho factor
equivale a dividir las resistencias por ese valor.
(2)
Si recurrimos al criterio de rotura de Mohr-Coulomb para evaluar la
resistencia del terreno, la expresión del FSrr
sería la siguiente:
(3)
La primera de las definiciones es propia de los cálculos clásicos de
portancia, puesto que en ellos se utilizan formulaciones explícitas,
mientras que la segunda es la que se implementa en los códigos nu-
méricos. La pregunta que surge entonces es, ¿son comparables am-
bas definiciones? Y en caso de serlo, ¿existe relación funcional entre
ellas?. La intención de este artículo es contestar a estas preguntas de
forma que el profesional geotécnico disponga de la herramienta que le
permita pasar de un valor a otro con facilidad.
Factor de seguridad por reducción de resistencia
en portancia
La fórmula más frecuente para la determinación de la carga de hundi-
miento es la expresión de Brinch-Hansen. Según este método la pre-
sión vertical de hundimiento es la suma de tres términos que represen-
tan la contribución a la capacidad portante de la cohesión del terreno
(c), de la sobrecarga existente a nivel de la cimentación (q) y del peso
propio del suelo por encima de la superficie de falla que el modelo su-
pone. En la Fig.1 se muestra un esquema con la superficie de falla su-
puesta y las relaciones geométricas más relevantes. La expresión de la
capacidad portante para el caso de falla generalizada en una zapata in-
finita con carga vertical centrada es la siguiente:
(4)
Donde:
qu = capacidad portante.
c = cohesión.
q = sobrecarga a nivel de cimentación.
γ = peso específico efectivo del terreno.
B = ancho de la zapata.
Ni = factores de carga adimensionales y dependientes únicamente
del ángulo de fricción cuyas expresiones son las siguientes:
(5)
(6)
(7)
Según se ha explicado anteriormente, el cálculo del FSrr
hace nece-
sario reducir las constantes c y tg(φ) por un cierto valor que origine que
la carga de hundimiento calculada según la expresión 4 sea igual que
la presión actuante sobre la cimentación. Para conseguirlo, es necesa-
rio en primer lugar transformar las expresiones de los factores de car-
ga para que dependan de la tg(φ) y así poder introducir el FSrr
. A par-
tir de las identidades trigonométricas adecuadas se puede transformar
la ecuación 5 quedando el resto de factores de carga como función de
la misma según las expresiones 6 y 7:
La metodología propuesta en este artículo permite comparar el factor de seguridad
al hundimiento de una cimentación en un terreno definido con dos criterios
distintos, asegurando que la probabilidad de rotura para valores equivalentes
obtenidos sea la misma . Esto permite asegurar que el factor de seguridad no
es un valor único, sino que está asociado a una definición y que, por lo tanto,
los informes técnicos deben incorporar información de cómo se ha obtenido.
Factores de seguridad
en problemas de portancia
Palabras clave: CARGA, CIMENTACIÓN,
FACTOR DE SEGURIDAD, HUNDIMIENTO,
PORTANCIA, RESISTENCIA, ROTURA.
Alejandro GANCEDO. Vocal del COIG.
Pedro VARONA. ITASCA CONSULTORES, S.L.
Ⅵ [Fig. 1] .- Superficie de falla supuesta en el modelo Brinch-Hansen.
(Fuente: Guía de cimentaciones en obras de carretera,(Mº de Fomento).

2. 17023
Estabilidad
(8)
En este momento podemos introducir el FSrr
obteniendo lo que po-
dríamos denominar factores de carga reducidos (Ni
red
).
(9)
(10)
(11)
Relación funcional entre FSic
y FSrr
Una vez obtenidas las expresiones de los factores de carga como fun-
ciones de los parámetros resistentes reducidos, es posible expresar la
capacidad portante de un terreno en términos de ambas definiciones
de factor de seguridad FSic
y FSrr
. para ganar compacidad en las
ecuaciones expresaremos la capacidad portante de forma adimensio-
nal normalizándola por la cohesión.
(12)
(13)
Donde:
Por lo tanto, la relación funcional buscada entre el factor de seguridad
por incremento de carga y el factor de seguridad por reducción de re-
sistencia queda como sigue:
(14)
(15)
La expresión inversa, es decir FSrr
= f(FSic
), no se puede expresar de
forma explícita, si bien su resolución es muy sencilla utilizando una sim-
ple hoja de cálculo mediante el uso de la herramienta Solver de Excel
®
.
Para ilustrar la relación entre ambas definiciones de seguridad se ha
resuelto un caso simplificado en el que se ha prescindido del efecto de
la sobrecarga (ecuación 3.5). La Fig. 2 muestra los resultados obteni-
dos considerando la relación ω = γB/2c =1.
(16)
Si bien la relación entre FSrr
y FSic
depende de μ y de ω, el efecto
de ω es despreciable, tal y como se ilustra en la Fig. 3. Otro factor a
destacar es que ambas definiciones de factor de seguridad coinciden
para terrenos puramente cohesivos, debido a que en esta situación los
factores de carga toman el mismo valor en ambos casos.
También cabe señalar que ambas definiciones coinciden para el va-
lor de FS =1, puesto que si según el método de incremento de carga
el valor del factor de seguridad es la unidad, significa que la carga ac-
tuante es igual que la resistencia y por lo tanto según el método de re-
ducción de resistencia no es necesario minorar las propiedades.
Por último, es destacable que para ángulos de rozamiento interno
habituales en suelos, en torno a 20º o 30º, el FSrr
que corresponde al
FSic
habitual en cimentaciones (=3), es aproximadamente 1,5 que resul-
ta ser el estándar en el cálculo de estabilidad de taludes. La justificación
radica en que el cálculo del factor de seguridad de taludes en equilibrio
límite se realiza mediante la técnica de reducción de resistencia.
Efecto de la dispersión en los parámetros resistentes
sobre FSic
y FSrr
En los puntos anteriores se ha desarrollado una expresión que permite
intercambiar entre dos definiciones diferentes de factor de seguridad.
Ⅵ [Figura 3].- Pendiente media (FSic / FSrr) vs ω = γB/2..
Ⅵ [Figura 2].- Relación FSic
vs FSrr
para ω=γB/2c=1

3. Pero, ¿es lícito hacerlo?. Ya se ha señalado en la introducción que el
FSic
está enfocado por definición a valorar el margen de seguridad que
presenta el diseño frente a la variabilidad de las acciones, mientras que
la definición del FSrr
lo hace útil para introducir en el cálculo la dispersión
en los parámetros resistentes. En este punto daremos una visión some-
ra del efecto que tiene dicha dispersión sobre el FSrr
y para ilustrarlo
nada mejor que recurrir a un ejemplo sencillo y de fácil comprensión.
Partamos de un cimiento sin sobrecarga y sin tener en cuenta el
efecto del peso propio del terreno (μ = 0 y ω = 0). En esta situación la
capacidad portante del terreno seria:
(17)
El siguiente paso será sustituir los parámetros resistentes por varia-
bles aleatorias con una cierta distribución que en nuestro caso será la
distribución normal truncada (Tablas I y II).
A continuación se analizan 42 casos, con 10000 simulaciones de
Montecarlo cada uno, con los pares (N1
;N3
), (N1
;N4
), (N1
;N5
), (N2
;N3
),
(N2
;N4
), (N2
;N5
); 7 por cada par (Ni
;Nj
) y con cargas de prueba (qp
)
tales que:
(18)
Valores del FSic
que se corresponden con los equivalentes del FSrr
según la expresión 15 para (μ = 0, ω = 0, cm
= 20 kPa, φm = 25º). El
resultado de estas simulaciones se grafica en la Fig. 4, mientras que
en la Fig. 5 se muestran las funciones de distribución del FSic
= 3 y
FSrr
= 1.66, para el caso concreto de coeficiente variación (c) = 40% y
coeficiente variación (tg(φ)) = 10%.
El gráfico de la Fig. 5 responde directamente a la pregunta plantea-
da en el inicio de este epígrafe, puesto que como se puede compro-
bar, ambas definiciones presentan la misma probabilidad de rotura para
valores del factor de seguridad igual a 1, de forma que utilizando las
expresiones 14 o 15, FSic
y FSrr
resultan intercambiables.
Sin embargo, el cálculo probabilista introduce algunas reflexiones
que parecen interesantes. Supongamos que un calculista diseña de
forma determinista las dimensiones de una cimentación de forma que
se obtenga un factor de seguridad al hundimiento según la definición
de incremento de carga (FSic
) de 3 que es el que suelen recomendar
las normativas. Si dicho calculista conoce bien el terreno sobre el que
realiza los cálculos y no tiene demasiada incertidumbre en las cargas
que actúan, puede tener la tentación o la presión de optimizar el di-
seño del cimiento y exigir un menor factor de seguridad, suponga-
mos 2,5.
El salto cualitativo no parece ser excesivo, de 3 a 2,5 según el
FSic
y de 1,66 a 1,51 según el FSrr
. Sin embargo, cuando se mira des-
de la óptica probabilista el salto puede resultar muy importante. Así, si
tomamos como ejemplo las simulaciones con coeficiente de variación
para tg(φ) del 15 % y del 20% para la cohesión, puede comprobarse
en la Fig. 4 como la probabilidad de rotura pasa del 0,07% al 0,4%,
que quizás sea inasumible en función de la importancia de la estruc-
tura diseñada.
Conclusión
La metodología propuesta permite comparar el factor de seguridad al
hundimiento de un terreno definido con dos criterios distintos, asegu-
rando que la probabilidad de rotura para valores equivalentes obteni-
dos mediante las expresiones 14 o 15 sea la misma.
La asunción de la afirmación anterior permite asegurar que el factor
de seguridad no es un valor único, sino que está asociado a una defi-
nición y que, por lo tanto, los informes técnicos deben incorporar infor-
mación de cómo se ha obtenido.
En el buen juicio y la experiencia del calculista está valorar qué de-
finición de factor de seguridad desea utilizar puesto que, como ya se
ha señalado en varias ocasiones, cada una de ellas está concebida
para contemplar variabilidades sobre parámetros de distinta naturale-
za, todo ello con independencia de que mantengan relación funcional.
Por último, el ejemplo probabilístico propuesto constituye un toque
de atención sobre los riesgos inherentes a los diseños optimistas rea-
lizados de forma determinista puesto que en ellos resultan obscureci-
dos los efectos de la variabilidad natural de las resistencias.
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Estabilidad
Ⅵ [TABLA I].- Estadísticos distribuciones del ángulo de fricción interno.
Ⅵ [TABLA II].- Estadísticos distribuciones de la cohesión.
Ⅵ [Figura 4].- Probabilidad de fallo vs Factor de seguridad.
Ⅵ [Figura 5].- Función de distribución (caso [cov(c)=40%; cov(tg(φ)=10%]
- [FSic
medio=3; FSrr
medio=1.66]).
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