MODELACION.pdf

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES MAQUINAS DE C.A. I (ELT-260)
Ing. Víctor Hugo Choque Cruz 1
MANDO
Los estudios de operación y planificación en SEP están basados en simulaciones del
modelo del sistema real. Los modelos son equivalentes matemáticos de los elementos del
sistema que permiten prever su comportamiento mediante abstracciones matemáticas. Cada
elemento del sistema es único, pero un solo elemento puede tener muchos modelos que
varían en complejidad dependiendo del tipo de estudio que se desee hacer.
El objetivo principal de este capítulo es identificar factores importantes en el
modelamiento de los elementos del SEP, que son requeridos para lograr exactitud en las
simulaciones a realizar.
3.1 LINEAS DE TRANSMISION DE ENERGIA.
Debido a la facilidad de transformación que presenta la corriente alterna (CA) los SEP
a nivel mundial utilizan este tipo de corriente para transmitir potencia. El único inconveniente
de la CA con respecto a la DC es que genera fenómenos electromagnéticos como: auto
inductancia, capacitancia e inductancias mutuas en los conductores de las Líneas de
Transmisión lo cual dificulta el análisis.
En este capítulo se analizara las ecuaciones necesarias para caracterizar una línea
área de transmisión de energía mediante matrices de impedancias. Se explicara cada uno de
los fenómenos producidos por la CA y los altos voltajes de transmisión. Previo a este análisis
se estudiaran las características individuales de los conductores a utilizarse.
Las características de cada conductor, la disposición de estos en el espacio, los
voltajes a los que se transmite, el número de circuitos que puede estar
electromagnéticamente acoplados y las características del suelo, son los parámetros que
sirven para caracterizar una línea aérea de transmisión de Energía.
3.1.1. PROPIEDADES DE LOS CONDUCTORES
Cada elemento o aleación de elementos tiene características eléctricas definidas, en
esta sección se describe las propiedades que ayudaran a describir los parámetros de las
líneas de transmisión.
3.1.1.1. Resistencia eléctrica de un Conductor
La Resistencia eléctrica de un conductor que trabaja a 20ºC está dada por:
A
l
R 
  (3.1)
En donde:
 : Resistividad en m
 según.
l : Longitud del conductor en m según.
A : Sección transversal del conductor 2
m .
MODELADO DE LOS
ELEMENTOS DE UN SISTEMA
DE POTENCIA

La unidad circular mil (circ mil) suele ser muy utilizada para representar las secciones
de los conductores y es el área de un circulo que tiene un diámetro de una milésima de
pulgada.
La ecuación 3.1, brinda un valor exacto para conductores completamente sólidos y
formados de un solo material, pero los cables de las líneas de transmisión por lo general
están formadas por dos materiales conductores y además son el resultado de varios cables
retorcidos entre sí, por tanto será necesario considerar un error al aplicar la formula. La mejor
alternativa es tomar los valores dados por los fabricantes los cuales brindan información
tabulada de los conductores.
a. Factores que afectan la Resistencia Eléctrica de los Conductores
 Temperatura
La resistencia eléctrica de los materiales conductores varia con la temperatura, la
siguiente formula se aplica para hallar la resistencia del conductor a temperaturas diferentes a
los 20ºC.
 
)
(
1 1
2
1
2 T
T
R
R 

  ;
1
0
1
1
1
T



 (3.2)
En donde:
2
R : Resistencia en m
 a la temperatura 2
T del conductor.
R : Resistencia del conductor a 20ºC.
2
T : Temperatura de trabajo del conductor en ºC.
1
 : Constante de valor  
C
/º
1
00039
.
0 estimada para la temperatura de 20ºC.
0
 : Constante para la temperatura de 0ºC.
1
T : Equivalente a 20ºC.
 Efecto Skin
La transmisión en CA provoca variaciones de flujo que son más intensas en el centro de
los conductores, lo que conlleva a que la reactancia inductiva en el núcleo del conductor
aumente y que la corriente se vea forzada a circular por la periferia de los conductores, como
se muestra en la figura 3.1. Este fenómeno no se da en la transmisión con CD ya que no
existen variaciones de flujo. Lo dicho lleva a concluir que a mayor frecuencia mayor será la
variación del flujo, y por ende mayor la resistencia al paso de la corriente. [25]
Figura 3.1: Distribución de corriente en un conductor
El efecto skin tiene mayor incidencia en los conductores sólidos, su efecto en la
resistencia eléctrica se debe a que afecta al área efectiva por la que está circulando la

corriente. Por lo que para considerar cuantitativamente este efecto se analiza el siguiente
factor de reducción que afecta directamente a la sección del conductor:


2

En donde:
 : Frecuencia de Transmisión Hz
 : Permeabilidad magnética.
 : Resistividad del material
Si a la sección transversal de un conductor se la multiplica por este factor de reducción
se tiene el área o sección efectiva por donde circula la corriente.
3.1.1.2. Radio Medio Geométrico.
El RMG es un artificio que permite considerar el flujo en el interior de un cable sólido,
multifilar o en haz. Debido a que es difícil cuantificar la autoinducción de un circuito debido al
flujo interior, la aplicación de este concepto permite tratar al conductor solido o retorcido,
como tubos huecos cuyo radio es el radio medio geométrico (RMG) y cuyo valor es algo más
pequeño que el radio físico. Por el interior del tubo hueco (conductor equivalente) no circula
corriente alguna y tampoco existe flujo magnético dentro de él. El flujo magnéticos externo al
tubo entre el RMG y el radio r, contribuye a la autoinducción del circuito en una cantidad igual
a la del flujo interno. [28]
Figura 3.2: Líneas del flujo magnético dentro del conductor.
En la figura 3.3 no existe flujo en el interior del conductor ya que al ser hueco por el
interior de este no circula corriente, únicamente existe flujo y corriente en la periferia.
Figura 3.3: Representación del radio medio geométrico.
Para el caso de los conductores solidos se ha determinado que el RMG es 0.778
veces el radio físico, para los conductores multifilares es difícil llegar a establecer
matemáticamente este valor pero se han establecido con buena exactitud los valores de RMG
de algunos cables, los fabricantes de cables brindan este valor para cada tipo de conductor.

Para fases múltiples o en haz a más de contar con el RMG de cada cable es
necesario calcular el radio equivalente del haz formado que viene a constituirse en “el radio
de un conductor único por fase que tendría el mismo gradiente unitario máximo que la
configuración reala de conductores que forman el haz” y se puede determinar de la siguiente
manera:
n
n
i
eq D
D
D
RMG
RMG 1
13
12 ..........


 (3.3)
n
n
i
eq D
D
D
r
r 1
13
12 ..........


 (3.4)
En donde:
i
RMG : Radio Medio Geométrico de cada uno de los conductores que forman el haz.
eq
RMG : Radio Medio Geométrico equivalente del haz.
eq
r : Radio equivalente del haz.
n : Número de conductores que forman el haz.
i
r : Radio geométrico de los conductores que forman el haz.
n
D1 : Separación entre el conductor 1 y el resto de conductores.
3.1.1.3. Auto inductancia y Reactancia Inductiva de un Circuito Eléctrico.
El principal efecto de la corriente alterna en un circuito es que origina un flujo
magnético que cambia en el tiempo y el cual induce una fuerza electromotriz (fem) en el
mismo. En la figura 3.4 se presenta un circuito monofásico, el mismo que ayuda a
comprender este fenómeno. Una corriente ingresa por (a) y regresa por (b) creando un campo
magnético a su alrededor cuyas líneas de fuerza son curvas cerradas que rodean a los
conductores, se puede observar el flujo interno representado por i
 y el flujo externo
representado por e
 en cada conductor, B representa la densidad de flujo magnético. [26]
Figura 3.4: Conductores por los que circulan corrientes en diferentes sentidos.
Si la corriente varía senoidalmente la f.e.m. inducida en el conductor es una caída de
voltaje x
i , en donde x es la reactancia del conductor, al tratarse de un circuito monofásico
(una sola espira), el flujo magnético por unidad de intensidad es por definición, el coeficiente
de autoinducción.

i
i
L e
i 




 ; e
i 

 
 (3.5)
En donde:
L : Coeficiente de autoinducción en Henrios (H)
 : Flujo magnético concatenante.
i : Corriente que produce el flujo en Amperios (A).
A continuación se analizara la Inductancia presente en el circuito debido al flujo externo.
La figura 3.5 detalla los fenómenos electromagnéticos en un circuito monofásico
Figura 3.5: Flujo magnético en un circuito monofásico.
Se obtiene las expresiones de Maxwell a partir de la figura:
e
e H
x
i '
2 

  ;
e
e
x
i
H



2
' ;
e
r
e
x
i
u
u
B



2
' 0
(3.6)
En donde:
i : Corriente eléctrica.
e
H' : Campo eléctrico externo
e
B' : Densidad de campo magnético en el exterior del conductor.
0
u : Permeabilidad del vacío.
r
u : Permeabilidad del material.
e
x : Radio de integración.
e
'
 : Flujo externo debido a un conductor.
e
 : Flujo externo debido a los dos conductores1
Se han realizado las siguientes aproximaciones: para H se ha supuesto que la
distribución de i es uniforme en toda la sección del conductor, para B’ se ha supuesto que r
u
tiene el mismo valor para el aire y para el conductor.
1
HAYT William, Teoria Electromagnetica, McGraw-Hill 5ta edición, 2003.

Se calcula el flujo externo, por unidad de longitud a partir de las ecuaciones 3.6.
r
d
ui
dx
x
ui
e
d
r e
e ln
2
2
'


 

  
r
d
ui
e ln

 
i
e
e
i
L
L
i
L 





r
d
ui
Le ln

 (3.7)
En donde:
e
L : Inductancia debido al flujo externo.
r : Radio interno del conductor.
d : Distancia entre conductores.
Si se hubiese considerado el RMG y no el radio físico r, la inductancia encontrada
seria la inductancia total del conductor debida al flujo interno y al flujo externo.
La reactancia inductiva viene dado por
L
f
XL 
 
2 (3.8)
En donde:
L : Inductancia debido al flujo externo y externo.
f : Frecuencia de la corriente.
d : Distancia entre conductores.
3.1.1.4. Capacitancia y Reactancia Capacitiva en un Circuito Eléctrico.
La capacidad depende de las dimensiones físicas de los elementos conductores y de
la permitividad del dieléctrico con esto se comprende que es independiente del potencial y de
la carga total debido a que el cociente es constante. Si la densidad de carga se incrementa
por un factor de N de la Ley de Gauss indica que la densidad de flujo eléctrico o la intensidad
de campo eléctrico también se incrementan por N, como lo hace la diferencia de potencial.
A la configuración de 2 conductores que están a diferente potencial, separados por un
dieléctrico que en este caso es el aire, se le puede considerar como un condensador.
En un circuito monofásico o trifásico de alto voltaje, puede existir capacitancia entre las
fases, entre una fase y tierra y entre neutro y tierra, ya que en un instante de tiempo los
conductores se encuentra a diferentes magnitudes de voltaje y están separadas entre sí por
un aislante natural que es el aire. Si se toma como ejemplo el mismo caso de la figura 3.6, y si
al conductor (a) se le aplica un voltaje +V, y al conductor (b) un voltaje negativo –V, aparece
una carga positiva +q en (a) y una negativa –q en (b), debido a la presencia de estas cargas
se originan un campo eléctrico cuyas líneas de fuerza se originan en (a) que viene a ser la
fuente y llegan hasta (b) que es el sumidero, si el voltaje varia en el tiempo por los
conductores circulara una corriente de intensidad i produciéndose una variación de la carga q
en la superficie de los mismos. La carga q almacenada en este circuito es directamente
proporcional a la diferencia de potencial entre dichos conductores. A la constante que permite
generar la igualdad se le denomina Capacidad eléctrica. [25]

V
Q
C
CV
Q
V
Q




(3.9)
En términos generales y recordando algunos conceptos de teoría electromagnética se
puede determinar Q por medio de una integral de superficie y el voltaje V puede ser
encontrado llevando una carga unitaria positiva de la superficie del conductor negativo al
positivo.








dl
E
dS
E
C S

(3.10)
Figura 3.6: Campo Eléctrico entre dos conductores
El campo eléctrico generado por la carga +q del conductor de longitud infinita está dado por:
l
E
o
L
A


2
 (3.11)
La carga –q crea un campo análogo.
Si se supone que los conductores son rectilíneos y de carga unitaria entonces se tiene que:
l
Q
E
o
A

2
 (3.12)
La diferencia de potencial entre fases es igual a la suma de los potenciales generados
por cada una de las cargas por lo tanto se tiene que:











 



r
a
Q
r
a
Q
dl
l
Q
dl
E
V
o
o
a
r o
a
2
ln
2
))
ln(
)
2
(ln(
2
2
2

















 



a
r
Q
r
a
Q
dl
l
Q
dl
E
V
o
o
a
r o
b
2
ln
2
))
ln(
)
2
ln(
(
2
2
2








































a
r
r
a
Q
a
r
Q
r
a
Q
V
V
V
o
o
o
b
a
ab
2
ln
2
ln
2
2
ln
2
2
ln
2 









r
a
Q
V
o
ab
2
ln

(3.13)
En este caso se supone una distribución uniforme de las cargas en la superficie de los
conductores, hecho que realidad no se cumple, esta suposición es válida si se considera que
la distancia a la que están separados los conductores (2a) es mucho mayor que el radio (r)
[26]















r
a
r
a
Q
Q
V
Q
C o
o
2
ln
2
ln


(3.14)
En donde:
C : Capacidad o capacitancia entre conductores en F/m.


36
10 9

 : Permitividad del dieléctrico (aire o vacío) F/m.
D : Distancia entre los centros de los conductores en m.
r : Radio geométrico de los conductores en m.
Para el caso de la figura 24 se halla la capacitancia de los conductores a y b a un punto neutro
para el cual la capacitancia es dos veces la encontrada entre a y b.
Figura 3.7: Capacidad entre dos conductores.
La capacidad al conductor neutro se calcula análogamente, con el argumento de que
este conductor no necesariamente tiene potencial 0, con lo cual la capacidad al neutro queda
establecida por:
r
a
V
Q
Cn
2
ln
2
2
0


 (3.16)
La reactancia capacitiva viene dada por:
fC
XC

2
1
 (3.17)
3.1.2. LINEAS AEREAS DE TRANSMISION DE ENERGIA.
Una buena parte del transporte de energía en el mundo se hace a través de líneas
aéreas trifásicas debido a que resultan menos costosas que las líneas subterráneas.
El material de común uso en líneas de transmisión es el aluminio y el acero, el primero
debido a su baja resistencia eléctrica y el segundo por su alta resistencia mecánica.

3.1.2.1. Configuración de dos Circuitos en L/T.
a. Líneas Aéreas Simples y en haz.
Para medios y altos voltajes (voltajes menores que 230KV) se utiliza un conductor por
fase el mismo que está formado por cables multifilares de los materiales ya mencionados, y
para extra altos voltajes (Voltajes mayores a los 230KV) se utiliza múltiples conductores por
fase llamándose a esta configuración en haz. La configuración es haz consiste en circunscribir
un número de conductores de iguales características dentro de una circunferencia.
Figura 3.8: Configuración de líneas de transmisión aéreas. [28]
b. Líneas Aéreas Transpuestas.
Cuando circula una corriente alterna por un conductor se provoca un campo magnético
alrededor de la línea, este campo pierde fuerza a medida que se aleja del conductor. Como se
puede observar en la figura 26 a, la fase que resulta más afectada por los campos magnéticos
de las otras fases es la fase B ya que se encuentra en el centro.
La transformación permite que las tres fases sean afectadas electromagnéticamente
en igual proporción a lo largo de toda la línea. Esta consiste en un reordenamiento de la
posición de las fases cada tercio de la longitud de la línea como se observa en la figura 26 b.
Otra forma de organizar las fases en el espacio para evitar la transposición, seria
ordenarlos en un triángulo equilátero como se muestra en la figura 26 c, este proceso no es
factible ya que las torres tendrían un diseño complejo y costoso. [28]

Figura 3.9: Transposición L/T aéreas.
3.1.2.2. Calculo de Parámetros de Líneas Aéreas de Transmisión de Energía.
El cálculo de parámetros de líneas de transmisión consiste en la determinación de la
matriz de impedancias que representa al sistema en la que están considerados las
características propias de los conductores y las características del sistema formado como:
impedancias mutuas, capacitancias entre conductores y las capacitancias entre conductores y
tierra.
En los párrafos anteriores, se abordó el problema electromagnético de las líneas
aéreas de transmisión de forma muy general, se explicaron los parámetros existentes
basándose en un sistema monofásico que podría fácilmente ser resuelto por la teoría de
circuitos. Cuando se trata de un sistema trifásico es realmente en donde se presenta el
problema debido a las múltiples concatenaciones electromagnéticas y los efectos propios de
los conductores. Los efectos mencionados conllevan a la necesidad de representar al sistema
con una matriz de impedancias en la cual todos los elementos tienen un significado e
importancia que no es conveniente omitir.
a. Matriz de Impedancias Naturales.
En la figura 3.10 se puede observar las múltiples concatenaciones en forma de
impedancias, estas concatenaciones se originan debido a los efectos electromagnéticos que
producen las corrientes existentes en el sistema.
Figura 3.10: Acoplamiento magnético en líneas de transmisión.

Si el sistema anterior está sólidamente puesto a tierra, como es el caso de las líneas
de transmisión, entonces el conductor de neutro o hilo de guarda tendrá el mismo voltaje que
la tierra puede ser considerada como otro conductor neutro que tendrá una impedancia
propia. Para el análisis que a continuación se indica la tierra es la referencia para todos los
cálculos y se considera que es un elemento infinito, de resistividad constante y cuyo plano
superior es uniforme y equipotencial. La matriz que representa al sistema de la figura 3.10 es:

















gg
gn
gc
gb
ga
ng
nn
nc
nb
na
cg
cn
cc
cb
ca
bg
bn
bc
bb
ba
ag
an
ac
ab
aa
abcng
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z ; j
x
r
Z L

 (3.18)
Si se toma a la tierra como otro conductor neutro entonces se tiene:

















1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
c
n
b
n
a
n
nn
nn
nc
nb
na
cn
cn
cc
cb
ca
cn
cn
bc
bb
ba
an
an
ac
ab
aa
abcng
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z (3.19)
En donde:
xx
Z : Elementos diagonal, impedancias propias de cada conductor en m
/
 .
xy
Z : Elementos fuera de la diagonal, impedancias mutuas entre conductores en m
/

El método aceptado para resolver el problema de encontrar los elementos de la matriz
de impedancias primitiva, es el propuesto por Jhon Carson, el cual se basa en el método de
las imágenes, tomando como referencia el plano equipotencial de la tierra.
Figura 3.11: Método de las imágenes.
Aplicado este método, la auto impedancia o impedancia propia de cada conductor del
sistema queda establecida como:














 G
Q
R
S
G
X
j
G
P
r
z ii
i
ij
ij
i
ii
i
ii 

 4
ln
2
4
Y la impedancia mutua entre conductores del sistema:













 G
Q
D
S
G
j
G
P
z ij
ij
ij
ij
ii
ij 

 4
ln
2
4
Ecuaciones Adicionales
milla
GMR
R
G
X
i
i
i /
ln
2 

 















ij
ij
ij
ij
ij
ij
k
k
k
P
2
ln
6728
.
0
)
cos(
16
)
cos(
2
3
1
8
2



)
cos(
2
3
1
2
ln
2
1
0386
.
0 ij
ij
ij
ij k
k
Q 







f
S
k ij
ij 


 4
10
565
.
8
Dónde:
ii
z : Auto impedancia del conductor i en m
/
 , siendo ii
z elementos de la diagonal en la
matriz de impedancia Z en m
/
 .
ij
z : Impedancia mutua entre el conductor i y j en m
/
 , siendo ij
z elementos de la matriz de
impedancias Z en m
/
 .
i
r : Resistencia del conductor i en m
/
 .
i
X : Reactancia del conductor i en m
/
 .
 : Frecuencia angular en s
rad  .
m
G 


 7
10
1609347
.
0 .
1
R : Radio del conductor en pies.
f : Frecuencia 50 Hz.
i
X : Reactancia del conductor i.
 : Resistividad valor generalmente aceptado m


100 .
1
GMR : Radio Medio Geométrico del conductor i en m
Las ecuaciones antes expuestas permiten encontrar la matriz primitiva de impedancias
de un sistema de n conductores, lo que obviamente dará una ecuación nxn. A continuación se
muestra la conformación de una matriz de un sistema trifásico con n neutros.

































nmnm
nmn
nmc
nmb
nma
nm
n
n
a
c
n
b
n
a
n
cnm
cn
cc
cb
ca
bnm
bn
bc
bb
ba
anm
an
ac
ab
aa
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
Z
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
cond.
n
sistema
primitiva (3.20)
La misma que puede subdividirse en submatrices para su análisis, así como se indica.
   
   






nm
nj
in
ij
abcn
z
z
z
z
Z (3.21)
b. Matriz Reducida de Impedancias o Matriz de Impedancia de Fase.
Para simplificar el análisis, la matriz de impedancias primitiva necesita ser reducida a
una matriz 3x3, en la que los efectos del neutro o del hilo de guarda y la tierra están
inmiscuidos dentro de las impedancias propias y mutuas de las fases, este método
únicamente es válido en sistemas de transmisión cuyo neutro o hilo de guarda tiene múltiples
puestas a tierra, o en sistemas que están sólidamente puesto a tierra.
Figura 3.12: Reducción de Kron.
El método comúnmente aceptado para realizar esta reducción es el de “Kron”, al
aplicar este método a la matriz de impedancias se obtiene la matriz de impedancias de fase.
       
nj
nm
in
ij
ABC z
z
z
z
Z 



1
(3.22)
A partir de la ecuación anterior la matriz de impedancia de fases quedaría estructurada
de la siguiente manera para un sistema con múltiples neutros o hilos de guarda.











CC
CB
CA
BC
BB
BA
AC
AB
AA
ABC
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z (3.23)
En donde:
ij
z : Impedancia en m
/
 .
c. Matriz de Capacitancias de una Línea de Transmisión.
De igual forma como existe inductancia mutua entre la líneas también existe
capacitancia mutua, a continuación se estudiara como se efectúa el cálculo de esta
capacitancia para líneas de transmisión con neutro.

Figura 3.13: Capacitancia en un sistema de transmisión.
Como se aprecia en la figura 3.13, entre cada conductor existe una capacitancia,
incluso entre cada conductor y tierra, al igual que para representar la impedancia mutua ahora
se puede encontrar una matriz de capacitancias como la siguiente:

















gm
gn
gc
gb
ga
ng
nn
nc
nb
na
cg
cn
cc
cb
ca
bg
bn
bc
bb
ba
ag
an
ac
ab
aa
abcn
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C (3.24)
La matriz puede ser encontrada, mediante el método de las imágenes, en la que se
considera que la tierra es una superficie uniforme, equipotencial e infinita, y la cual sirve como
referencia, para todos los cálculos a efectuarse.
Como es de su conocimiento:
abc
abc
abc
abc
abc
abc
abc
abc
abc
abc
abc
abc
abc
abc
V
C
V
P
Q
Q
P
V
C
Q
V
V
C
Q









1
(3.25)
En donde:
abc
P : Inversa de la matriz de capacitancia.
abc
Q : Matriz de cargas concentradas en cada una de las fases.
En base a la figura 3.13 es posible obtener las siguientes expresiones:


















































m
n
c
b
a
mm
mn
mc
mb
ma
nm
nn
nc
nb
na
cm
cn
cc
cb
ca
cm
bn
bc
bb
ba
am
an
ac
ab
aa
m
n
c
b
a
Q
Q
Q
Q
Q
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
V
V
V
V
V
(3.26)

2
2
9
10
9
ln
2
1
ln
2
1
c
Nm
x
k
S
Sij
K
P
r
S
K
P
ij
ij
I
ii
ii





(3.27)
En donde:
x
V : Voltaje de los conductores.
xx
P : Potencial propio de los conductores.
xx
Q : Carga de cada conductor.
xy
P : Inverso de la capacidad de los conductores
ij
S : Distancia de los conductores a las imágenes.
Sij : Distancia de conductor a conductor.
r : Radio del conductor.
k : Permitividad eléctrica del aire.
Si a la ecuación matricial 30 se le organiza en submatrices se tiene:




















nm
abc
nm
abc
Q
Q
N
M
L
K
V
V
(3.28)
Tomando en cuenta que en los sistemas de transmisión el neutro esta sólidamente
puesto a tierra, se tiene:
         
       
wv
abc
mn
abc
abc
Q
N
Q
M
Q
L
Q
K
V








0
(3.29)
Resolviendo el sistema planteado, se tiene:
        
 
      
M
N
L
K
P
Q
M
N
L
K
V
abc
abc
abc
1
1
'







(3.30)
 











cc
cb
ca
bc
bb
ba
ac
ab
aa
abc
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
'
'
'
'
'
'
'
'
'
' (3.31)
   



















cc
cb
ca
bc
bb
ba
ac
ab
aa
abc
abc
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
P
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
1
(3.32)

Como se puede observar a través de este cálculo los efectos capacitivos de los
conductores de guarda se han introducido en las fases. Se ha formado un equivalente
trifásico sin neutros para un sistema trifásico con hilos de guarda.
A partir de esta última matriz se puede obtener la matriz de admitancias shunt del
sistema. Como es de conocimiento la admitancia es el inverso de la reactancia capacitiva por
ende:
fC
X
Y
c
shunt

2
1
1

     
C
f
Y shunt 
 
2 (3.33)
d. Matriz de Impedancia de Secuencias.
Aun con las simplificaciones realizadas en todo el proceso, resulta tedioso realizar el
cálculo de voltajes y corrientes incluso para una red pequeña. La matriz de impedancias de
secuencia reduce enormemente el análisis, ya que traduce el sistema trifásico de transmisión
balanceado o desbalanceado en tres sistemas monofásicos balanceados.
Para obtener la matriz de impedancias de secuencia es necesario, contar con la matriz
de impedancias de fase o la matriz de capacitancias, y aplicar el siguiente algoritmo:
     
s
abc
s A
z
A
Z 


1
012 (3.34)
  240
/
1
a
120
/
1
1
1
1
1
1
2
2
2












 a
a
a
a
a
As (3.35)
En donde los términos de la matriz de impedancias de secuencia conservan la misma
magnitud de la matriz de impedancias de fase, Km
/
 o milla
/
 (ohms por kilómetro) para
el caso de la matriz de impedancias de fase inductiva, y Km
S / o Km
S / (Siemens por metro)
para el caso de la matriz de impedancias de fase capacitiva.
El resultado de aplicar este algoritmo a la matriz de impedancias de fases conllevara a
tener la matriz de impedancias d secuencia la cual queda estructurada de la siguiente
manera:
 











22
20
20
12
11
10
02
01
00
012
z
z
z
z
z
z
z
z
z
Z (3.36)
En donde:
00
z : Impedancia de secuencia 0.
11
z : Impedancia de secuencia positiva.
22
z : Impedancia de secuencia negativa.
nm
z : Representa las impedancias mutuas del sistema.
En las líneas de transmisión el valor de impedancia de secuencia positiva posee el
mismo valor que el valor de impedancia de secuencias negativa ya que la línea es un
elemento pasivo el cual presentara siempre el mismo valor de impedancia
independientemente de cómo estén rotando los fasores.

El valor de secuencia cero posee un valor diferente y por lo general más alto, ya que
representa la resistencia que presenta el sistema cuando las corrientes están desbalanceadas
y empieza a circular la corriente a tierra. Se puede apreciar lo expuesto en las siguientes
ecuaciones.


























i
ij
i
ij
ii
nm
in
ij
ii
RMG
D
j
r
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
ln
12134
.
0
3
2
22
11
22
11
2
00
En donde:
ii
z : Elementos de la matriz de impedancias primitiva.
ij
D : Distancia entre los conductores ij.
i
RMG : Radio Medio Geométrico del conductor i.
3.1.2.3. Equivalente  de las Líneas de Transmisión.
Gracias a la matriz de impedancias de secuencias, se puede representar una línea de
transmisión que trabaja en condiciones normales y balanceadas de carga, con el siguiente
equivalente monofásico:
Figura 3.14: Equivalente  de secuencia positiva de una línea de transmisión [28]
En donde:
Z(+): Impedancia de secuencia positiva en ohm.
Y : Suceptancia de la línea (inverso de la capacidad de la línea) en Siemens.
En caso que el sistema sea desbalanceado el sistema de transmisión se representara
con los equivalentes de las tres secuencias como se indica en la figura 3.14.
A este esquema se le denomina equivalente  de las líneas de transmisión con
parámetros concentrados debido a la impedancia de toda la línea está concentrada en sus
extremos y en el centro del diagrama.
El circuito indicado brinda resultados satisfactorios y es utilizado en la mayoría de
programas computacionales para el cálculo de flujos de potencia. La suceptancia o
admitancia shunt suele menospreciarse en el cálculo de cortocircuitos, o cuando la línea no
supera los 40 km.
3.2. TRANSFORMADORES DE POTENCIA.
Los transformadores de potencia permiten originar varios niveles de voltaje a través
del sistema, por razones económicas, técnicas y de eficiencia no es correcto transportar la
energía a grandes distancias en un nivel de voltaje bajo, por otro lado, razones físicas y de
aislamiento impiden construir alternadores que puedan generar voltajes arriba de los 22 KV.

Si se transmitieran grandes potencias a niveles de voltaje de las decenas de kilovoltios las
corrientes serían muy altas al igual que las pérdidas de potencia. También se debe considerar
que sería imposible entrar con niveles de voltaje altos a la ciudad y peor aún servir a los
usuarios. Las razones mencionadas hacen que el uso de los transformadores en los SEP sea
imprescindible.
Se define al transformador como un dispositivo electromagnético que permite
transformar la magnitud la magnitud de voltaje a través de inducción magnética.
Figura 3.15: Niveles de voltaje en un SEP [28]
Cabe señalar que los transformadores son utilizados en muchos campos de acción en
los que no necesariamente los circuitos acoplados están a diferente voltaje (transformadores
de aislamiento).
3.2.1 CARACTERISTICAS DE LOS TRANSFORMADORES.
Como se ha mencionado un transformador es un circuito magnético acoplado, por
ende una parte de las características eléctricas se derivan de la ley de inducción
electromagnética, y otras de las características constructivas de los elementos.
3.2.1.1. Potencia Nominal (Capacidad)
La potencia nominal de un transformador depende de los niveles de corriente y voltaje que
puedan tolerar sus elementos, y por ende de las características eléctricas de los materiales
con los cuales se construye.
 Devanados.- Dependiendo del material y de la sección transversal de los devanados es
posible obtener la magnitud máxima de corriente que pueda circular a través de estos.
 Refrigeración.- Son muchos los mecanismos por los cuales se puede refrigerar los
devanados de los transformadores y de esta manera forzar a que circule una mayor cantidad
corriente. Se pueden citar los siguientes mecanismos de refrigeración: aceite refrigerante,
ventiladores instalados en la coraza de los transformadores, radiadores, circulación forzada
de aceite refrigerante, ventiladores instalados en la coraza de los transformadores,
radiadores, circulación forzada de aceite refrigerante a través de bombas etc.
 Niveles de aislamiento.- El nivel de aislamiento lo dan los materiales aislantes con los
cuales se evita que exista arco entre los devanados y la coraza del transformador, o que
evitan el contacto entre espira y espira.
Como se mencionó las características constructivas están relacionadas con los niveles de
corriente y voltaje que puede manejar un transformador, y por tanto también están
relacionados con la capacidad del transformador.
*
I
V
S 
 (3.37)
En donde:
S : Capacidad del transformador.

I : Corriente nominal del transformador.
V : Voltaje nominal del transformador.
3.2.1.2. Perdidas en un Transformador
En un transformador la frecuencia está directamente relacionada con las pérdidas que
se producen en el núcleo. Los transformadores de potencia son diseñados de tal manera de
sacar el mejor rendimiento, por ende las pérdidas son un factor muy crítico a considerar. Las
pérdidas se pueden subdividir en:
a. Perdidas por Histéresis.
La corriente alterna que circula por los devanados del transformador produce un flujo
alterno. A medida que el flujo varia, existe una reorientación de los electrones de las chapas
magnéticas dando lugar a imanes internos que se alinean en un sentido y otro a medida que
varía el flujo. Las pérdidas por histéresis se pueden calcular a partir de: [27]
H
m
x
h
H G
f
B
k
P 



(3.38)
En donde:
h
k : Coeficiente de histéresis, depende del material, y es proporcional a la superficie del ciclo
de histéresis.
x : Factor de Steimentz. El ciclo de histéresis de un material ferromagnético no sigue
ninguna ley matemática, pero tiene un área proporcional a la inducción máxima elevada a la
x (1.7< x <2 para el acero al silicio empleado actualmente).
m
B : Inducción máxima.
H
G : Peso del material magnético.
f : Frecuencia.
b. Perdidas por Corrientes de Eddy.
El flujo magnético variable que circula por el núcleo ferromagnético dan lugar a
voltajes inducidos en el hierro y estas a su vez producen corrientes parasitas. Las pérdidas
por corrientes de Eddy se pueden calcular a partir de: [27]
V
t
f
B
k
P m
F
F 



 2
2
2
(
3.39)
En donde:
F
k : Coeficiente de Foucault, depende del material, y es proporcional a la conductividad del
hierro.
t : Espesor de la lámina.
V : Volumen del material ferromagnético.
m
B : Inducción máxima.
f : Frecuencia.
Como se puede observar en los dos tipos de pérdidas que se pueden encontrar en
núcleo dependen directamente de la frecuencia. Por ende al aumentar la frecuencia en la

alimentación de un transformador que está diseñado para un nivel de frecuencia dada,
aumentaran las perdidas.
3.2.1.3. Grupo Vectorial o Grupo de Conexión.
El grupo vectorial se refiere al tipo de conexión que tiene los devanados del primario y
el secundario, y al desfase de las señales de salida con respecto a las de entrada que
produce la conexión escogida.
Se utiliza la siguiente nomenclatura para definir el grupo de conexión.
k
xn
Xn 2
1
En donde:
X : Conexión del primario puede ser en delta (D) o en (Y) o en (Z)
1
n : Indica que el primario esta aterrizado.
x : Conexión del secundario puede ser en delta (d) o en (y) o en (z)
2
n : Indica que el secundario esta aterrizado.
k : Veces 30 grados que el secundario retrasa al primario.
3.2.2. RESISTENCIA Y REACTANCIA EQUIVALENTE DE UN TRANSFORMADOR.
Debido a que las pérdidas en el núcleo son pequeñas la rama en paralelo del circuito
equivalente del transformador suele omitirse, dando lugar a una representación simple del
transformador, en la que las resistencia y reactancia de los devanados están referidos a un
solo nivel de voltaje.
3.2.2.1. Impedancia de Secuencia Positiva.
Es la resistencia y reactancia que ofrece el transformador ante un flujo de corrientes
simétricas, trifásicas y balanceadas se secuencia positiva. Como se había mencionado ante
los elementos pasivos de los sistemas de potencia como son las líneas y los transformadores
presentan el mismo valor de impedancia a la circulación de corrientes de secuencia positiva o
negativa, por lo tanto el valor de impedancia de secuencia positiva es igual al valor de
secuencia negativa. [26]
A menudo el valor de Zeq mostrado en la figura 3.16 esta expresado en tanto por
ciento denominándose Porcentaje de Impedancia k
U , y es equivalente al porcentaje de
voltaje que se requiere para vencer la caída en la resistencia o reactancia cuando circula
corriente nominal y es equivalente a la impedancia de secuencia positiva.
La reactancia del 3% significa que la caída de voltaje sobre la reactancia al circular por
esta la corriente nominal es del 3% del voltaje nominal.
Resistencia y Reactancia del
Devanado Primario
Resistencia y Reactancia del
Devanado Secundario
Resistencia y Reactancia para
representar las perdidas en el
Nucleo
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
'
'


















n
n
X
X
n
n
R
R

Figura 3.16: Circuito equivalente de un transformador. [26]
De la figura se tiene:
2
'
R : Representa la resistencia del secundario referida al primario.
2
'
X : Representa la reactancia del secundario referida al primario.
K
U : Porcentaje de impedancia.
R
U : Porcentaje de resistencia.
x
U : Porcentaje de reactancia.
1
n : Numero de Vueltas del lado primario.
2
n : Numero de Vueltas del lado secundario.
a. Determinación del Porcentaje de Impedancia K
U .
El valor de K
U también suele ser llamado voltaje de cortocircuito ya que es útil para
calcular la corriente que atraviesa el transformador en caso de sufrir cortocircuito con voltaje
nominal aplicado al primario.
Llamándose K
I a la corriente de cortocircuito cuando el voltaje aplicado es el nominal, se
tiene:
e
N
K
Z
V
I  (3.40)
Si se multiplica al numerador y denominador por 100 N
I , se obtiene
k
N
n
e
n
N
n
N
e
N
k
U
I
V
Z
I
I
I
I
Z
V
I
100
100
100
100
100




  100
% 

k
N
k
I
V
U (3.41)
En la práctica para obtener la impedancia equivalente de un transformador se realiza a
través de la prueba de cortocircuito, en la cual se cortocircuitan los devanados de bajo voltaje
y se incrementa el voltaje en el lado de alto voltaje hasta obtener corriente nominal. Si se
toma a la corriente nominal como corriente de cortocircuito entonces se tiene:
x
r
K
N
N
K
U
U
U
V
Ze
I
U
2
2
100





cc
cc
e
I
V
Z  
N
cc
e
I
V
Z  (3.42)
Si se reemplaza la ecuación 3.42 en la ecuación 3.41 se obtiene:
100
100 



N
cc
N
e
N
k
V
V
V
Z
I
U  100


N
cc
k
V
V
U (3.43)
cc
V : Voltaje aplicado en la prueba de cortocircuito para que circule corriente nominal.
Cabe señalar que con el dato k
U no se tiene claro que porcentaje de impedancia es
reactiva y cuanto es resistiva, es por esta razón que el software Power Factory solicita un
valor adicional, que puede ser las perdidas activas en el cobre, voltaje de cortocircuito
considerando únicamente la resistencia o una relación entre la reactancia y la resistencia
equivalente de un transformador. Además Power Factory permite considerar todas las
pérdidas que produce un transformador para lo cual debe realizarse las pruebas de
cortocircuito y circuito abierto en los transformadores antes de ingresar los datos.
3.2.2.2. Impedancia de Secuencia 0.
Recordando algunos conceptos, la impedancia de secuencia cero es la impedancia
que ofrece un circuito trifásico a un flujo de corrientes simétricas de secuencia cero (en fase).
El método para obtener el valor de la impedancia de secuencia cero de un
transformador, se realiza inyectando corrientes de secuencia cero al mismo. Esto se puede
lograr conectando los devanados en serie o en paralelo y excitado con una sola de las fases
al transformador, como se indica en la figura 3.17.
Figura 3.17: Prueba para determinar 0
Z , en un transformador conectado en Yd o Dy. [26]
Si la prueba se la desarrolla desde el lado de la delta entonces se necesario abrir una
esquina y cortocircuitar el lado con47ectado en Y como se indica en la figura 3.18.
Figura 3.18: Prueba para determinar 0
Z [26]
Los valores encontrados pueden ser referidos a cualquiera de los lados del
transformador, e igual que para el caso de la secuencia positiva la impedancia de secuencia
cero puede ser expresada como porcentaje, para encontrar este valor que se denominara ko
U
se procede de igual forma que para encontrar k
U .

100
0
0 

N
N
k
V
Z
I
U (3.44)
En donde:
0
k
U : Voltaje de cortocircuito de secuencia 0.
N
V : Voltaje Nominal.
N
I : Corriente Nominal.
Al igual que para el caso de k
U es necesario determinar qué porcentaje de 0
k
U es
resistivo y que porcentaje es reactivo.
3.2.3. TIPOS DE TRANSFORMADORES
3.2.3.1. Trasformadores con Tap.
La relación de transformación de un transformador puede ser cambiada con la ayuda
de tapas dispuestos en el lado de bajo voltaje o en lado de alto voltaje, un tap no es más que
un terminal conectado en una posición diferente a la nominal a lo largo de los devanados, con
esto se consigue escoger un número mayor o menor de espiras y de esta manera cambiar la
relación de transformación.
Estos transformadores tienen la cualidad de controlar el flujo de reactivos a través de
un red, cabe señalar que los transformadores no generan reactivos y por ende para mejorar el
voltaje en una barra redirigen los reactivos pudiendo ocasionar, caídas de voltaje en otras
zonas.
a. Transformador con cambiador automático de Taps.
Denominado por sus siglas en ingles ULTC (Under load tao changing), tiene la
capacidad de variar el tap del transformador bajo condiciones de carga, es utilizando en
sistemas en los cuales las condiciones de carga cambian continuamente. Los valores entre
los cuales pueden cambiar la relación de transformación están entre el  10% a  15%.[28]
b. Transformador con cambiador de Tomas.
Denominado por su nombre en inglés Off Load Tap Changing, únicamente permite
cambiar la relación de transformación cuando el transformador se encuentra sin carga, es
usado en sistemas en los cuales las condiciones de carga permanecen estables o varían
ocasionalmente.
3.2.3.2. Transformadores de Tres Devanados.
Los transformadores tridevandos son comunes en las estaciones de generación, son
transformadores que permiten obtener tres niveles de voltaje debido a los tres juegos de
devanados ensamblados en el núcleo. La función de estos transformadores es acoplar el
voltaje adecuado para la alimentación de los servicios auxiliares de la planta como son
sistemas de bombas, motores, etc.
En subestaciones de transmisión los transformadores de tres devanados se utilizan
para colocar compensación reactiva, la compensación a colocarse puede ser estática o
dinámica y se coloca en el terciario.
El transformador tridevando tiene la característica de reducir las corrientes de tercer
armónico en la red, ya que ofrece un camino extra para la circulación de este tipo de
armónico.

Al igual que en los transformadores de dos devanados los niveles de voltaje dependen
del aislamiento, pero la potencia nominal del primario del transformador está repartida entre
los devanados secundario y terciario.
Los voltajes de cortocircuito están referidos a la mínima potencia del devanado de alto
voltaje y medio voltaje.
3.2.3.3. Transformador con Cambiador de Angulo o Fase.
Este transformador está provisto de tapas que pueden cambiar xal ángulo de
desfasamiento del secundario con respecto al primario en varios pasos. Este tipo de
transformadores son utilizados para ejercer control sobre el flujo de potencia activa.
3.2.4 MODELOS MATEMATICOS PARA EL ANALISIS DE TRANSFORMADORES.
3.2.4.1. Modelación del Transformador de dos Devanados con o sin Tap.
Una forma aproximada de representar a los transformadores es omitiendo las pérdidas
que existe en el núcleo, en pocas palabras la reactancia G
X y resistencia G
R se asume
despreciables. Con los niveles de voltaje al igual que las impedancias en p.u. se puede
deducir al modelo de admitancias o  del transformador.
A partir del siguiente grafico se determina las ecuaciones para definir el modelo  de
los transformadores ene l sistema p.u. el número de vueltas del primario (n1) y del secundario
es igual a 1 al igual que el tap en posición nominal en el primario o secundario también es 1.
Figura 3.19: Diagrama aproximado del transformador con o sin tap. [27]
Tomado en cuenta el voltaje neto que se induce del primario al secundario se tiene:
2
1
2
1
n
n
E
E

2
2
2
2
1
1
1
1
n
Z
I
V
n
Z
I
V 


2
2
1
2
1
1
1
2
1
2 Z
I
n
V
n
Z
I
n
V
n 

 (3.45)
1
2
2
1
I
I
n
n

 
1
2
2
1
n
I
n
I


2
1
1
2
n
I
n
I 
 (3.46)
Reemplazando la Ecuación 3.45 en la ecuación 3.46.
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
n
Z
I
n
V
n
V
n
n
Z
I 



)
( 2
1
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1 V
n
V
n
Z
n
Z
n
n
I 


2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
2
2
2
1
2
2
1 V
Z
n
Z
n
n
n
V
Z
n
Z
n
n
I



















1
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
2
1
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1 )
(
Z
n
Z
n
n
n
Z
n
Z
n
n
V
Z
n
Z
n
n
n
V
V
I (3.47)
1
2
2
2
2
1
1
Z
n
Z
n
y

 (3.48)
Reemplazando la ecuación 3.48 en la ecuación 3.47.
1
1
2
2
2
1
2
1
1 )
(
)
( yV
n
n
n
V
V
y
n
n
I 


 (3.49)
2
2
1
2
1
1
2
2
2
1
2 yV
n
n
N
V
yV
n
n
n
I 


2
2
1
1
1
2
2
1
2 )
(
)
( yV
n
n
n
V
V
y
n
n
I 


 (3.50)
De lo expuesto se puede deducir el equivalente  del transformador. Si el tap (t) está
en posición nominal o no existe entonces es igual a 1.
Figura 3.20: Modelo  del transformador con o sin tap. [27]
3.2.4.2. Modelo del Transformador Cambiador de Fase.
No es posible definir un circuito equivalente para este tipo de transformadores, pero si
es posible establecer un modelo matemático como el siguiente:
Figura 3.21: Diagrama del transformador cambiador de fase. [27]
Por definición se tiene que:


 n
v
v
q
p
s
s
q
p
jb
a
v
v


(3.51)

En donde:
 : Angulo de desfase entre la barra p y la barra q
n : Relación de transformación.
Asumiendo un transformador ideal, se pueden formular las siguientes ecuaciones:



 s
q
p
p i
v
i
v
  













 )
( s
p
q
p i
v
v
i
(3.52)
s
s
s
p i
jb
a
i



1
(3.53)
)
( q
s
s
s
e
p v
v
jb
a
Y
i 



)
( s
q
s
s
e
p v
v
jb
a
Y
i 


(3.54)
Se sustituye el valor de q
v tomando de la ecuación 60.











 s
p
s
s
s
s
e
p v
v
jb
a
jb
a
Y
i
1
)
)
(
(
2
2 s
s
s
q
s
s
e
p v
jb
a
v
b
a
Y
i 



(3.55)
Se sustituye el valor de p
i encontrando en la ecuación 3.53 y a continuación se tiene:
)
)
(( p
s
s
s
s
s
e
s v
v
jb
a
jb
a
Y
i 



(3.56)
Combinando las ecuaciones encontradas se tiene que:






























s
p
e
s
s
e
s
s
e
s
s
e
s
p
v
v
Y
jb
a
Y
jb
a
Y
b
a
Y
i
i 2
2
(3.57)
La matriz de admitancia encontrada no es simétrica, esto quiere decir que la
admitancia de transferencia no es la misma del nodo s al p.
3.2.4.3. Transformador de Tres Devanados

Para el transformador de tres devanados es necesario omitir las reactancias de
magnetización, con lo cual es posible especificar el siguiente esquema equivalente del
transformador.
Figura 3.22: Equivalente del transformador de tres devanados. [27]
Los valores de impedancias de estos transformadores pueden ser conseguidos a partir
de pruebas normalizadas de cortocircuito en las que se obtiene:
ps
Z : Impedancia de dispersión medida en el primario con el secundario cortocircuitado y el
terciario abierto.
pt
Z : Impedancia de dispersión medida en el primario con el terciario cortocircuitado y el
secundario abierto.
st
Z : Impedancia de dispersión medida en el secundario con el terciario cortocircuitado y el
primario abierto.
Refiriendo las impedancias a un mismo nivel de voltaje es posible encontrar los
valores para el circuito equivalente a partir de:
t
s
st
t
p
pt
s
p
ps
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z






(3.58)
A partir de las ecuaciones anteriores se obtiene que:
)
(
2
1
)
(
2
1
)
(
2
1
ps
st
pt
t
pt
st
ps
s
st
pt
ps
p
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z









(3.59)
En transformadores de gran potencia la impedancia s
Z puede ser muy pequeña e incluso
negativa.
3.3. MAQUINAS SINCRONAS
Las maquinas síncronas son sin duda alguna, los elementos más importantes dentro
de los sistemas eléctricos. De entre los papales que pueden desempeñar se destaca como:
generador sincrónico, motor sincrónico, compensador sincrónico. Estas máquinas se
caracterizan porque el rotor gira a la misma velocidad que el flujo magnético existente en el
entrehierro.

Esta sección pretende detallar las principales características de los generadores
sincrónicos y el comportamiento bajo condiciones de carga. En capítulos posteriores se
analizara el comportamiento bajo condiciones transitorias.
3.3.1. GENERADORES SINCRONICOS.
La función principal del generador sincrónico es convertir la energía mecánica en
energía eléctrica. Es posible generar una señal adecuada de voltaje a una frecuencia definida
manteniendo la velocidad de rotación constante, por tanto es necesario que el generador este
acoplado a una turbina la misma que se encargara de regular el flujo de energía primaria para
mantener la velocidad constante.
El generador es un elemento electromecánico y dinámico por ende su estudio aparte
de estar relacionado con señales eléctricas también está relacionado con señales mecánicas.
En esta sección se estudiara los modelos matemáticos simplificados para el análisis
de los generadores sincrónicos para lo cual será necesario asumir como verdaderas las
siguientes hipótesis.
 Los devanados del estator están distribuidos a lo largo de las ranuras en la medida de
que los efectos mutuos con el rotor sean considerados.
 Las ranuras del estator no originan una variación apreciable de las inductancias del rotor
en cualquier posición que este se encuentre.
 La histéresis magnética es insignificante.
 Los efectos de la saturación magnética son insignificantes.
3.3.1.1. Clasificación de los Generadores Sincrónicos.
De acuerdo a su diseño se pueden encontrar dos tipos de generadores sincrónicos:
 Generador Sincrónico de Rotor Cilíndrico.
 Generador de Rotor de Polos Salientes.
3.3.1.2. Generador Sincrónico de Rotor Cilíndrico.
Figura 3.23: Generador de rotor cilíndrico
Este tipo de generador se caracteriza por que los devanados se encuentran
uniformemente distribuidos en un rotor cilíndrico elaborado de acero solido forjado en el cual
está elaboradas pequeñas hendiduras en las que se encaminan y sostienen a los
conductores.
Este tipo de generadores pueden trabajar a grandes velocidades y son utilizados en
centrales térmicas de vapor o de gas. Dependiendo de la velocidad que suele ser de 800 a
3600 rpm el rotor tiene cuatro y dos polos respectivamente.

a. Modelación del Generador de Rotor Cilíndrico
El esquema simplificado a partir del cual se puede deducir las ecuaciones del generador
de rotor cilíndrico es el mostrado en la figura 70, la resistencia interna del generador suele ser
omitida ya que compara con la reactancia tiene un valor muy pequeño. Cabe señalar que en
este modelo simplificado las impedancias obedecen al análisis de componentes simétricas2
.
Figura 3.24: Diagrama fasorial del generador de rotor cilíndrico. [28]
Del grafico se puede deducir que:
d
d
eq x
j
x
j
r
Z 






 






 I
x
j
V
E d
En donde:
E : Voltaje interno del generador (en el entrehierro)
 : Angulo de desfase entre el voltaje interno y el voltaje terminal.
I : Corriente en el estator.
 : Angulo de desfase entre el voltaje Terminal y la corriente en el estator.
eq
Z : Impedancia equivalente del generador.
d
x : Reactancia en eje directo del generador.
De las ecuaciones anteriores se tiene que:
*
VI
S 
Si se asume una dirección contraria del flujo, ósea de la barra hacia el generador entonces se
tiene:
0
;
*













 


d
x
j
E
V
V
S
 






 E
V
x
jV
S
d
d
d x
jV
x
jVE
Qj
P
2







 
2
FITZGERALD A.E., KINGSLEY, UMAN Jr., Maquinas Eléctricas, Sexta Edición, Mc Graw Hill
Interamericana 2005.

d
d x
jV
jsen
x
jVE
Qj
P
2
))
(
)
(cos( 




 


sen
x
VE
P
d

(3.60)
d
d x
V
x
VE
Q
2
cos 
 
(3.61)
En donde:
S : Potencia aparente nominal en p.u.
Q : Potencia reactiva en p.u.
P : Potencia activa en p.u.
r : Representa la reactancia eje directo.
E : Voltaje existente en el entrehierro en p.u.
V : Voltaje terminal del generador en p.u.
d
x : Representa la reactancia de eje directo del generador en p.u.
 : Angulo de desfase entre el voltaje interno E y el voltaje terminal V.
 : Es el ángulo de desfasamiento entre el voltaje terminal V y la corriente.
3.3.1.3. Rotor de polos salientes.
Los devanados de este tipo de rotor se encuentran distribuidos en polos salientes que
están preparados mecánicamente para brindar soporte de los devanados.
Figura 3.25: Generador de rotor de polos salientes. [28]
Este tipo de generadores se caracterizan por trabajas a bajas velocidades y por lo
tanto en su rotor tienen distribuidos un numero de mayor de polos que en la maquina síncrona
de rotor cilíndrico. Este tipo de maquina es utilizada en centrales hidráulicas en las que el flujo
de agua puede hacer rotar a la turbina en velocidades que van desde los 200 rpm hasta los
1800 rpm.

a. Representación Fasorial del Generador Síncrono de Rotor de Polos Salientes.
A partir del siguiente diagrama resulta conveniente formular las ecuaciones de
potencia para este tipo de generador, teniendo en cuenta que las corrientes de eje directo y
de eje en cuadratura están desfasadas 90º.
Figura 3.26: Diagrama fasorial del generador de Polos Salientes.
A partir del grafico se deduce las ecuaciones para P y Q en el generador de polos salientes.

 



 I
jx
V
E d
q
)
(
Vsen
I
x q
q 




d
q
x
Vsen
I
)
(
)
cos(
V
E
I
x d
d 

90
)
cos(



 

d
d
x
V
E
I
q
d I
I
I 

2
2
q
d I
I
I 

*
VI
S 
*
)
( q
d I
I
V
S 

))
)
90
(
( 
 




 q
d I
I
V
S














 



q
d x
Vsen
x
V
E
V
S )
90
(
cos




 








q
d
d x
sen
V
x
V
j
x
EV
j
S
2
2
)
(
cos
)
(
q
d
d x
sen
V
x
sen
V
sen
x
EV
P





cos
cos 2
2

















d
q
d x
x
sen
V
sen
x
EV
P
1
1
cos
2














d
q
d x
x
sen
V
sen
x
EV
P
1
1
2
2
2


q
d
d x
sen
V
x
V
x
EV
Q



2
2
2
2
cos
cos 


q
d
d x
V
x
V
x
EV
Q
)
cos
1
(
cos
cos
2
2
2
2







d
d
q
d x
V
x
x
V
x
EV
Q
2
2
2 1
1
cos
cos 










 

q
d
q
d
q
d x
V
x
x
V
x
x
V
x
EV
Q
2
2
2
2
1
1
2
1
1
cos
2
cos 




















 

(3.62)
En donde:
q
E = Voltaje en cuadratura del generador (En el entrehierro)
q
x = Reactancia en eje directo del generador
d
I = Corriente en el eje directo
q
I = Corriente en el eje de cuadratura
3.3.1.2 Capacidad de los generadores Sincrónicos.
La capacidad para brindar potencia activa y reactiva depende de las características de
los elementos con los cuales está construido y de las condiciones de operación con respecto
al sistema. Si bien es cierto los fabricantes ya proveen una zona de operación calculada a
partir de los parámetros de diseño, es necesario recalcularla considerando los límites del
sistema y de la planta de generación. 3
a. Restricciones Mecánicas.
La potencia activa que es capaz de suministrar un generador depende directamente de
la potencia que le suministre la turbina, por ende un primer factor a considerarse es la
capacidad mecánica de la turbina para aprovechar y manejar la energía primaria.
b. Potencia Mínima.
Las centrales con turbinas hidroeléctricas no tienen mayor inconveniente con este
valor, aunque cabe señalar que la capacidad de regulación dependerá de la
En cambio las centrales térmicas se tiene una restricción relacionada con el mínimo
flujo de vapor que puede ser administrado en la planta para mantener la sustancia en
condiciones aptas de densidad, humedad etc.
3
KUNDUR, P. “Power System Stability and Control” EPRI. Mc Graw-Hill. 2001.

c. Potencia Máxima
La potencia máxima que es capaz de suministrar la turbina al generador esta
relacionada con el máximo esfuerzo mecánico que puedan soportar las partes mecánicas
para mantener estabilidad cinética.
Si bien es cierto rebasar los valores nominales por instantes pequeños de tiempo
no afecta radicalmente a la turbina se apuesta con la vida útil de las piezas que la componen.
d. Restricciones Eléctricas
d.1. Límites Térmicos
Los conductores y el aislamiento con los que se fabrica los devanados del rotor y el
estator pueden soportar una determinada temperatura a partir de la cual pueden
producirse daños por sobrecalentamiento. Este daños por implican envejecimiento del
aislamiento o deterioro de devanados.
Debido a esta característica existe un límite de corriente bajo el cual la máquina
opera en condiciones normales y en equilibrio térmico con su entorno.
La potencia expresada en función del voltaje y la corriente obedece a la siguiente formula:
*
VI
S 
)
(cos 
 jsen
I
V
Qj
P 




cos
I
V
P 

(3.63)

Isen
V
Q 

(3.64)
De las anteriores ecuaciones se deduce que la potencia activa como reactiva
dependerá directamente de la corriente ya que el voltaje se mantendrá constante si el
generador está conectado a una barra infinita.
d.2. Límite Térmico del Devanado de Armadura
La corriente máxima que puede circular por los devanados del estator está determinada
por las pérdidas Joule de las bobinas. Como se mencionó juegan un papel importante las
características de los materiales con los cuales se fabrican los devanados y su aislamiento
ya que definen los límites operacionales por temperatura.
Adicionalmente los mecanismos de enfriamiento de la máquina harán posible que
una mayor cantidad de corriente circule por los devanados. Los fabricantes definen los
valores máximos de corriente que pueden circular por los devanados considerando la
máxima temperatura que puede soportar el aislamiento.
La potencia activa y reactiva están relacionadas mediante el triángulo de potencia, en el
cual:
Figura 3.27: Triángulo de potencias.

Por ende se concluye que la zona en la que el generador entrega potencia aparente es
una circunferencia con centro en el origen.
d.3. Límite Térmico del Devanado de Rotor.
Los generadores de gran capacidad poseen el devanado de campo en el rotor, por
este devanado circula la corriente que combinada con el movimiento del rotor crean el campo
magnético rotatorio encargado de inducir el voltaje en los devanados del estator.
La corriente de campo denominada a partir de ahora f
I origina calentamiento o pérdida
de potencia dado por
2
f
f I
R , este calentamiento impone un segundo límite dado por la
máxima corriente que puede circular por el devanado de campo. A partir del siguiente grafico
es posible deducir las ecuaciones que permiten graficar este límite.
Figura 3.28: Diagrama fasorial del generador. [28]
Del gráfico se deduce las ecuaciones para encontrar el límite térmico debido al
devanado del rotor.
)
cos(
)
( 
 
 I
x
sen
i
x d
fd
ad
)
(
)
cos( 
 sen
I
x
V
i
x d
fd
ad 


d
fd
ad
x
sen
i
x
I
)
(
)
cos(

 

d
fd
ad
x
V
i
x
sen
I



)
cos(
)
(


(3.65)
De las ecuaciones 3.63 y 3.64 se tiene que:

cos


 I
V
P

sen
I
V
Q 


Reemplazando 
cos

I , 
sen
I  en P y Q respectivamente se tiene:
d
fd
ad
x
sen
i
x
V
P
)
(


d
t
d
fd
ad
x
V
x
i
x
V
Q
2
)
cos(




Reorganizando las ecuaciones, se tiene que este límite tiene la forma de una

circunferencia en
d
t
x
V
2
.
d
t
d
fd
ad
d
fd
ad
x
V
x
i
x
V
x
i
x
V
sen
Q
P
S
2
)
cos(
)
( 







 









 



 

(3.66)
Dependiendo del valor de fd
i se tiene un límite por máxima corriente de campo y limite
por mínima corriente de campo.
Para calcular el valor de la corriente que circule por el devanado de campo se necesita
el valor de ad
x (inductancia mutua de excitación a inducido), por tanto se opta por calcular el
valor del voltaje interno )
( 

E que es directamente proporcional al valor de )
( fd
ad
fd i
x
E
i 
 .
d
t
d
d x
V
x
E
V
x
E
V
sen
Q
P
S
2
)
cos(
)
( 







 









 



 

(3.67)
La ecuación 3.67 muestra que el límite debido a la corriente de campo o excitación es
una circunferencia con centro en
d
t
x
V
2
 y con radio
d
x
E
V 
. Se ha expresado el grado de
excitación en término de )
(E por tanto se debe encontrar el valor correspondiente de
potencia activa para cada valor de )
(E con el siguiente procedimiento:
Partiendo de la figura 3.26, q
E es un vector que tiene la misma dirección que )
( 

E ,
por tanto brinda el valor del ángulo  .

 



 I
jx
V
E q
q ;

cos
3 


V
P
I
Con el valor de  es posible encontrar el valor de E a partir de:











d
q
d x
x
sen
V
sen
x
VE
P
1
1
2
2
2




sen
V
x
x
x
sen
V
P
E
d
q
q





















1
1
2
2
2
(3.68)
Una vez encontrado el valor de E se procede a calcular los valor de P y Q que podrá
entregar el generador en diferentes ángulos  , hasta el ángulo máximo que para el caso de
la máquina de rotor cilíndrico es 90°
, y que para el caso del generador de rotor de polos
salientes es necesario derivar la ecuación de potencia con respecto al ángulo  , e igualar
a 0, tal y como se muestra a continuación.
























d
q
d x
x
sen
V
sen
x
VE
P 1
1
2
2
2




0
1
1
2
cos
cos 2














d
q
d x
x
V
x
VE
P



m
x
VE
d
 ; n
x
x
V
d
q










1
1
2

 2
cos
cos n
m 

2
2
)
2
cos
(
)
cos
( 
 n
m 


 2
cos
cos 2
2
2
2
n
m  ;
2
1
)
2
cos(
cos2 





2
cos
2
1
)
2
cos( 2
2
2
n
m 





 
0
2
)
2
cos(
2
2
cos
2
2
2
2



m
m
n 

)
2
cos( 

t
0
2
2
2
2
2
2



m
t
m
t
n
2
2
2
4
2
2
2
4
4
2
n
m
n
m
m
t



2
2
2
4
2
4
8
n
m
n
m
m
m
t



2
2
2
2
4
8
n
n
m
m
m
t



)
2
cos( 

t
)
(
cos
2
1 1
t



(3.69)
d.5. Límite por Máxima Corriente de Campo.
La corriente que circula por el rotor produce calentamiento en los devanados, este límite
está asociado con el máximo valor de corriente que puede circular para no producir daño en
el devanado de campo y en su aislamiento. Su zona viene dada por la ecuación 3.67.
Los fabricantes de generadores en lugar de expresar el valor máximo de la corriente
de campo señalan en los datos de placa el valor del factor de potencia nominal, que es el
mínimo factor de potencia con el cual la máquina puede operar con voltaje y corriente

nominal sin exceder la temperatura máxima de las bobinas del campo.
d.6. Límite por Mínima Corriente de Campo
Dependiendo de la fuente que proporciona el voltaje DC al devanado de campo, o del
mecanismo regulador, es posible llevar la corriente a un valor mínimo a partir del cual el
próximo paso de excitación será 0. Su zona viene dada por la ecuación 3.67.
d.7. Limite por Margen de Estabilidad.
Como se puede observar en la Figura 3.29, de un generador de rotor cilíndrico, la
potencia que puede entregar depende directamente del voltaje interno, para cada valor de
voltaje interno el generador adquiere una nueva curva. Además se puede observar que
es posible entregar máxima potencia cuando el ángulo entre el voltaje interno del
generador E y el voltaje terminal V es 90°
, valor a partir del cual empieza a descender la
potencia, por tanto se podría considerar este punto de operación como un punto crítico.
El mantener un margen de estabilidad sugiere que el generador trabaje a un valor
de potencia menor que el entregado cuando el ángulo  es 90°
, ya que de
trabajarse en el punto crítico cualquier aumento en la carga podría desestabilizar al
generador.
La figura 3 . 2 9 considera un sistema de transferencia de potencia ideal entre el
generador y la turbina. Para este caso la potencia de operación del generador es igual a la
potencia mecánica.
Figura 3.29: Margen de Estabilidad. [28]
El valor de potencia al cual se debe operar el generador considerando un margen de
estabilidad está dado por la siguiente fórmula:
ME
Pn
E
P
P n
ME 


 max
max
0 )
(
(3.70)
En donde:
ME
P 
0 : Potencia de operación considerando margen de estabilidad.
)
(
max n
E
P : Potencia máxima a un determinado valor de E.
max
Pn : Potencia nominal máxima que puede entregar el generador.
ME : Margen de estabilidad en %.
Para graficar esta zona es necesario calcular el valor de ME
E 
0 al cual se produce la

potencia ME
P 
0 , y luego calcular el ángulo  en función de ME
E 
0 y ME
P 
0 .
El procedimiento para encontrar este límite inicia calculando el valor de E para cada
curva de potencia del generador. A partir de este valor se encuentra el ángulo  en el
que el generador proporciona máxima potencia con la siguiente fórmula:























d
q
d x
x
sen
V
sen
x
VE
P 1
1
2
2
2




(3.71)
3.3.1.3. Reactancias de Secuencia de los Generadores Sincrónicos
Las reactancias de secuencia son aquellas que presenta el generador ante
señales de corriente de secuencia positiva, negativa y cero. Cabe señalar que la resistencia
tiene un valor muy pequeño comparada con la reactancia por lo que suele ser despreciada.
a. Reactancias de Secuencia Positiva.
a.1. Reactancia Subtransitoria Saturada ( d
x '
' , q
x '
' )
Usada para representar la reactancia que ofrece el generador en el instante en el que
está ocurriendo una falla aguas abajo de sus terminales, tiene un valor pequeño lo que
obviamente hace deducir que los primeros picos de corriente tendrán un valor elevado. Las
corrientes de falla encontradas en función de estas reactancias son usadas para determinar la
calibración de relés de protección
a.2. Reactancia Transitoria ( d
x' , q
x' )
La reactancia transitoria es utilizada para representar la reactancia que presenta el
generador un instante después de la falla por lo que deberá considerarse para estudios de
estabilidad.
a.3.Reactancia Eje Directo ( d
x )
Es la reactancia que presenta el generador ante condiciones normales de trabajo, es
decir con carga simétrica balanceada y con corrientes de secuencia positiva.
a.4.Reactancia Eje en Cuadratura ( q
x )
La reactancia de eje en cuadratura difiere de la reactancia de eje directo en los
generadores de polos salientes. Debido a la existencia de los polos existen corrientes que se
inducen directamente d
I (corrientes en fase con el eje directo) y corrientes que se inducen a
90º de las d
I llamadas corrientes en q
I . A la reactancia que el generador presenta a las
corrientes en cuadratura se le denomina reactancia de eje cuadratura. Las Reactancias d
x y
q
x representan al generador de polos salientes en condiciones normales de funcionamiento.
“Los valores de reactancia no saturada son usados para calcular las corrientes de falla
debido a que el voltaje se reduce por debajo de la saturación durante fallas cercanas a la
unidad. Puesto que los generadores típicos son operados ligeramente saturados, la corriente
de falla sostenida (estado estable) será menor que la corriente de carga máxima, a menos
que los reguladores de voltaje refuercen el campo durante una falla sostenida”. 4
4
Tutorial IEEE de Protección de Generadores Sincrónicos, The Power Engineering Education Committee. (Power
System Relaying. ANSI/IEEE C37.102-1987).

b. Reactancia de Secuencia Negativa ( 2
x )
El valor de 2
x es el valor de reactancia que presenta el generador ante un flujo de
corriente de secuencia negativa en la armadura, esta corriente produce un campo magnético
rotatorio que gira a velocidad sincrónica en dirección opuesta al rotor e induce voltajes y
corrientes que gira al doble de frecuencia de la nominal en los devanados del rotor. El
promedio de la reactancia subtransitoria de eje directo bajo los polos y entre los polos da una
buena aproximación de la reactancia de secuencia negativa. En una máquina de polos
salientes, la secuencia negativa es el promedio de la reactancia subtransitoria de eje directo y
eje en cuadratura 2
/
)
'
'
'
'
(
2 q
d x
x
x 
 , pero en una maquina con rotor cilíndrico d
x
x '
'
2  .
c. Impedancia de Secuencia Cero ( o
x )
El valor de 0
x es el valor de reactancia que presenta el generador ante un flujo de
corriente en fase en la armadura. Este caso puede suscitarse cuando ha existido una falla
monofásica en uno de los terminales de un generador conectado en Yn, todo lal corriente
producto de la falla se introduce por el neutro, y se reparte por cada uno de los devanados de
armadura del generador.
d. Resistencia del Estator.
El valor de la resistencia del estator suele ser menospreciada. Si se considera este
valor influirá en los valores pico de las corrientes producidas por un evento transitorio.
3.3.1.4. Constantes de Tiempo de los Generadores Sincrónicos.
Al inicio de esta sección se mencionó que los generadores son máquinas
electromecánicas que responden eléctrica y mecánicamente a un estímulo de cualquier
índole. Las constantes de tiempo de las maquinas sincrónicas se refieren a la característica
que posee la máquina de recuperarse de un evento transitorio.
Generalmente los eventos transitorios originan diferentes tipos de respuesta eléctrica y
mecánicas que dependen de las características constructivas de la máquina. La mayoría de
estas constantes con calculadas a partir de oscilogramas obtenidos después de haber
sometido a la maquina a varias pruebas.
a. Constante de Tiempo Transitorio de Cortocircuito de eje Directo ( d
T' )
Esta constante es obtenida a través de una prueba de cortocircuito en los terminales
del generador, y representa el tiempo en segundos para que la envolvente de la componente
de corriente alterna transitoria de cortocircuito decrezca a 0.368 veces su valor inicial.
b. Constante de Tiempo Subtransitorio de Cortocircuito de eje Directo ( d
T '
' )
Al igual que d
T' es obtenida de la prueba de cortocircuito en los terminales del
generador y representa el tiempo en segundos para que la envolvente de la corriente alterna
subtransitoria de cortocircuito decrezca a 0.368 veces su valor inicial.
c. Constantes de Tiempo Transitorio de Circuito Abierto de Eje Directo ( 0
'd
T )
Para determinar esta constante es necesario un ensayo de recuperación de voltaje en
el que se registra el voltaje terminal durante el transitorio que se origina luego de una apertura
trifásica. Esta prueba se realiza con la maquina girando a velocidad de sincronismo e
inicialmente en cortocircuito. Se define a 0
'd
T como el tiempo en segundos, para que el
voltaje diferencial decrezca a 0.368 veces su valor inicial.

d. Constantes de Tiempo Transitorio de Circuito Abierto de Eje Directo ( 0
'
' d
T )
Al igual que la anterior se determina a partir del ensayo de recuperación de voltaje y
representa el tiempo en segundos, para que la envolvente de la componente subtransitoria
del voltaje diferencial decrezca a 0.368 veces su valor inicial.
e. Constantes de Tiempo Transitorio y Subtransitorio de Circuito Abierto de Eje en Cuadratura
( 0
'q
T 0
'
' q
T )
Estas constantes se determinan a partir de la prueba de desconexión de bajo voltaje
aplicado en la armadura a un deslizamiento muy bajo, generalmente y debido a su
complejidad esta prueba puede ser realizada en fábrica.
f. Constantes de Tiempo Transitorio de Circuito Abierto de Eje en Cuadratura ( q
T' 0
'
' q
T )
Los valores para estas constantes pueden ser determinadas a partir de:
q
q
qo
q
x
x
T
T
'
'
' 

(3.72)
q
q
qo
q
x
x
T
T
'
'
'
'
'
'
' 

(3.73)
En donde:
q
x '
' : Reactancia subtransitoria de eje en cuadratura.
q
x' : Reactancia transitoria de eje en cuadratura.
q
x : Reactancia sincrónica de eje en cuadratura.
qo
T' : Constantes de tiempo transitorio de circuito abierto de eje en cuadratura.
qo
T '
' : Constantes de tiempo subtransitorio de circuito abierto de eje en cuadratura.
g. Constantes de Inercia (H).
La constante de inercia depende de las masas de los rotores de la turbina y del generador. A
mayor masa la constante de inercia tiene un valor más alto. La constante H está dada en segundos y es
determinada a través de una prueba de rechazo de carga.
S
J
H
m
2
2
1 

(3.74)
En donde:
J : Momento de inercia combinado entre el generador y la turbina en 2
m
Kg 
m
 : Velocidad angular del rotor en rad/s mecánicos.
S : Potencia del generador en VA.
3.3.1.5. Comportamiento Dinámico del Generador Sincrónico.

Los generadores sincrónicos están acoplados a una maquina motriz que puede ser una turbina
tipo hidráulica, térmica o un grupo electrógeno. Estos mecanismos proporcionan el torque mecánico
necesario para sacar a la máquina del reposo y llevarla a una nueva posición de equilibrio. Cuando el
generador sincrónico esta alimentado a una carga la corriente en la armadura crea un flujo magnético que
gira a velocidad sincrónica en el entrehierro. El flujo magnético producido reacciona con el flujo creado por
la corriente de campo dando como lugar a un flujo magnético resultante que produce un par
electromagnético o torque eléctrico que se debe a la tendencia a alinearse que existe entre los dos
campos magnéticos.
El generador sincrónico está sujeto a dos fuerzas, por un lado se encuentra el torque mecánico
que ejerce la turbina al rotor del generador y contraponiéndose a este se halla un torque electromagnético
debido al nivel de corriente que circula por el devanado del estator. Cuando los dos torques tienen igual
magnitud la maquina se mantiene en estado estacionario. Cualquier aumento en la carga o cualquier
variación en la potencia que entrega la turbina al generador se traduce a una desaceleración o
aceleración del generador.
Por lo mencionado anteriormente se deduce las ecuaciones que definen la respuesta dinámica
de un generador y que están definidas en el siguiente análisis a través del cual se determina la ecuación
de oscilación.
En un generador sincrónico en condiciones estables de operación se cumple que:
0

 e
m T
T
(3.75)
En donde:
m
T : Torque mecánico en N.m
e
T : Torque electromagnético en N.m
La aparición de un desbalance en la ecuación provocado por variación de potencia en
la turbina, o por un cambio en la carga que aumente o disminuya el torque electromagnético
produce un torque de aceleración que actúa sobre la masa combinada del rotor y el
generador.
a
e
m T
T
T 

(3.76)
En donde:
a
T : Torque de aceleración en N.m
El torque de aceleración en función de cantidades susceptibles de medición está dado
por:

J
Ta 
(3.77)
dm
r
J 
 2
(3.78)
dt
dw


(3.79)
En donde:

J : Momento de inercia combinada del rotor del generador y la turbina 2
m
Kg 
r : Radio del rotor.
 : Aceleración angular.
w : Velocidad angular rad/s mecánicos.
m : Masa del rotor.
El momento de inercia puede ser expresado en función de la constante de inercia H en
p.u., como se definió anteriormente H representa la energía cinética en watt-segundo
evaluada a velocidad nominal y dividida por los VA base.
base
om
VA
w
J
H
2
2
1 

(3.80)
 
pu
MVA
enrgia
H
s
MW
en
nominal
velocidad
a
almacenada 

(3.81)
En donde:
om
w : La velocidad nominal en rad/s (mecánicos)
Si se sustituye el valor de J en la ecuación de oscilación se tiene que:
e
m
m
base
om
T
T
dt
dw
VA
w
H


2
2
(3.82)
El torque base está dado por:
om
base
b
w
VA
T 
(3.83)
Por lo tanto la ecuación en valores en p.u. están dados por:
om
base
e
m
om
m
w
VA
T
T
w
w
dt
d
H
/
2










 e
m
r t
t
w
dt
d
H 

)
(
2
(3.84)
o
r
f
om
f
m
om
m
r
w
w
p
w
p
w
w
w
w 


/
/
(3.85)
En donde:
r
w : Velocidad angular del rotor en radianes eléctricos por segundo.
o
w : Velocidad sincrónica en radianes eléctricos por segundo.
f
P : Numero de polos de campo.
m
t : Torque eléctrico en p.u.

e
t : Torque eléctrico en p.u.
r
w : Velocidad del rotor en p.u.
Si  representa la posición angular del rotor e radianes eléctricos con respecto a una
referencia rotando a velocidad sincrónica y o
 es el valor en s
0

t , se puede escribir que:
o
o
r t
w
t
w 
 


(3.86)
Si se deriva el ángulo con respecto al tiempo se tiene que:
r
o
r w
w
w
dt
d





dt
w
d
dt
dw
dt
d r
r 


2
2

dt
w
d
w
dt
w
d
w
dt
d r
o
r
o
)
(
2
2




(3.87)
Si se sustituye la ecuación 98 en la ecuación 95 se tiene:
e
m
o
t
t
dt
d
w
H


2
2
2 
(3.88)
Cuando existe variación en la velocidad de un sistema existe también una variación en
la frecuencia de las cantidades eléctricas. Cuando la frecuencia se ve reducida por una
disminución de velocidad la carga neta del sistema también se ve reducida por lo que
también el torque eléctrico ( e
T ) se ve reducido. Este hecho es representado en la ecuación de
oscilación como el producto de la constante ( D
K ) y la variación de la velocidad del sistema
con respecto a su valor nominal, por lo que ( D
K ) viene a representar el torque de
amortiguamiento en fase con la variación de la velocidad.
La magnitud del torque de amortiguamiento que está definida por la constante D
K
también está asociada con la disipación total de energía por lo que cumple un papel
importante en la amortiguación de las oscilaciones del rotor. Resumiendo, la magnitud de D
K
se debe a factores mecánicos y eléctricos entre los cuales se encuentran el efecto de los
rodamientos, la fricción del aire, la carga mecánica, efecto de los devanados de
amortiguamiento, disminución o aumento de las cargas lineales y no lineales.
Por lo tanto la ecuación de oscilación para un generador despreciando las perdidas
mecánicas queda escrita en la siguiente forma.
r
D
e
m
o
w
K
T
T
dt
d
w
H




2
2
2 
(3.89)
De los análisis realizados y aproximado la ecuación 98 se tiene que:
r
o w
w
dt
d





(3.90)
3.3.1.6. Constantes Típicas de los Generadores Sincrónicos.
Unidades Hidraulicas Unidades Hidraulicas
Xd 0.6 - 1.5 1.0 - 2.3
Xq 0.4 - 1.0 1.0 - 2.3
X'd 0.2 - 0.5 0.15 - 0.4
X'q _ 0.3 - 1
X''d 0.15 - 0.35 0.12 - 0.25
X''q 0.2 - 0.45 0.12 - 0.25
T'do 1.5 - 9s 3 - 10s
T'qo _ 0.5 - 2.0s
T''do 0.01 - 0.05 0.02 - 0.05
T''qo 0.01 - 0.09 0.02 - 0.05s
Xd 0.1 - 0.2 0.1 - 0.2
Ra 0.002 - 0.02 0.0015 - 0.005
Reactancia de fuga del estator
Resistencia del estator
Reactancia Sincronica
Reactancia Transitoria
Parametro
Reactancia subtransitoria
Constante de tiempo transitorio
Constante de tiempo subtransitorio
Tabla 3.1: Constantes típicas de generadores síncronos
5
Los valores de reactancia están en p.u. en base a la potencia y voltaje propios de los
generadores.
3.3.1.7. Sistemas de Control en Generadores Sincrónicos.
Los sistemas de control de voltaje y de potencia deben permitir al generador operar dentro
de valores confiables basándose en las siguientes premisas:
 El voltaje en los terminales de todos los equipos eléctricos como transformadores,
motores, etc., debe estar dentro de límites aceptables.
 Todos los equipos se diseñan en base a un voltaje nominal a partir del cual se define un
rango de voltajes de operación bajo los cuales los elementos no sufrirán daño. Si se aplica
un voltaje fuera de los limites por un tiempo prolongado se puede afectar la vida útil de
cualquier equipo u afectar su desempeño.
 La frecuencia eléctrica del sistema está ligada a la velocidad de rotación de las maquinas
sincrónicas por ende se debe mantener el sistema sin aceleración.
 Las piezas mecánicas de los generadores y turbinas están diseñadas para trabajar en
rangos definidos de frecuencia y potencia, si se viola estos rangos se disminuye la vida útil
de los elementos.
a. Regulador de Voltaje.
La función básica de los sistemas de excitación es proveer una corriente adecuada al
devanado de campo para mantener el voltaje en los terminales del generador en un valor
constante.
Como es de conocimiento el nivel de excitación determina el valor del voltaje interno
del generador y por ende el punto de operación de las curvas de capacidad, si bien es cierto
el punto de operación obedece a los requerimientos del sistema los valores de potencia activa
y reactiva que puede entregar un generador al sistema dependen directamente del voltaje
interno.
5
KUNDUR P., “Power System Stability and Control” EPRI. Mc Graw- Hill. 2001

En el desarrollo de las secciones posteriores se observara que el voltaje interno de
una maquina influye directamente en la estabilidad del sistema. Los reguladores actúan ante
cualquier variación de voltaje en los terminales del generador.
En base a lo escrito se puede destacar que los objetivos básicos del control del
sistema de excitación son:
 Mantener el voltaje terminal del generador en condiciones preestablecidas de operación.
 Proveer el generador de la excitación adecuada para la producción o absorción de
reactivos.
 Responder con valores de excitación adecuados que permitan mejorar la estabilidad del
sistema.
b. Variables del Regulador de Voltaje.
A través de las variables eléctricas voltaje, frecuencia y corriente que puede ser
medidas en la barra de generación se puede tener información importante de las condiciones
de operación del generador, si bien es cierto estas señales necesitan un tratamiento
matemático importante para obtener un nivel de respuesta por parte de los sistemas de
control se hace imprescindibles entender que el sistema de regulación actuara cuando en
alguna de las señales exista una desviación de un punto preestablecido de operación.
A continuación se observa cómo se procesan las señales para determinar la actuación
del sistema de regulación de excitación:
Figura 3.30: Regulador de Voltaje. [28]
En donde:
Excitatriz.- Provee la potencia DC a los devanados de campo del generador. Este valor viene
a constituirse en el grado o nivel de excitación. Hay que tomar en cuenta que la excitatriz
entra también en un proceso de regulación en el que pueden intervenir varias constantes,
como tiempo de respuesta, limites etc.
Regulador Automático de Voltaje (AVR).- Procesa y evalúa las señales de entrada para
determinar la magnitud en que se deben cambiar los parámetros (voltaje y/o corriente (de la
excitatriz.
Voltaje Terminal ( t
V ).- A través de transformadores de potencial, rectificadores y filtros se
monitorea el voltaje terminal del generador, la señal resultante es comparada con una
referencia que representa el valor deseado de voltaje terminal. En caso de existir una
variación esta se alimentada al AVR para tomar las acciones pertinentes.
Voltaje Terminal ( e
V ).- Es el voltaje de excitación que debe suministrarse a la máquina para
mantener el voltaje terminal constante.
Límites.- Los límites están relacionados con el máximo y mínimo valor de excitación que
debe tener la máquina para no exceder su límite térmico y por ende su capacidad de
generación de reactivos.

Estabilizador de sistemas de potencia.- Provee información adicional que permitirá al
regulador de voltaje tomar decisiones que permitan reducir las oscilaciones del sistema de
potencia. Las señales que normalmente son procesadas por PSS son: desviaciones de la
velocidad nominal del rotor, potencia de aceleración y desviación de frecuencia.
Límites y dispositivos de protección.- Incluye valores preestablecidos con los que se limita
el limita el nivel de excitación que debe tener el generador con la finalidad de salvaguardar su
vida útil. Estos valores pueden incluir máximo o mínimo nivel de excitación, límite de corriente
de campo, límites de voltaje terminal, valores máximos para sobreexcitación u sub excitación.
c. Regulador de Velocidad.
Para que el sistema se encuentre en estado estable es necesario que el torque
eléctrico que ejerce la carga sea igual al torque mecánico que ingresa al rotor del generador a
través de las turbinas (aceleración igual a 0). En una central Hidroeléctrica o Termoeléctrica
es posible mantener el flujo de agua o de vapor constante con lo que mantendría constante el
torque mecánico, pero la carga a la que abastecen los generadores están continuamente
cambiando lo que origina desequilibrio entre el torque mecánico y eléctrico por ende existe
aceleración o desaceleración en todo instante. Para equilibrar el sistema es necesaria que la
inyección de energía primaria (flujo de agua o de vapor) sea controlada para tratar de
equilibrar el torque mecánico con el torque eléctrico en cada instante.
Por lo mencionado anteriormente se puede entender que cualquier cambio del torque
eléctrico o mecánico origina aceleración o desaceleración en un generador. Las señales que
indica en qué proporción ha cambiado la aceleración son la velocidad del rotor y la frecuencia
del sistema, estas señales determinaran el accionar del regulador de velocidad sobre la
potencia mecánica que ingresa al generador.
Se resume el accionar del regulador de velocidad en la siguiente gráfica:.
Figura 3.31: Regulador de Velocidad. [28]
En donde:
Turbina.- Se encarga de convertir la energía cinética en energía mecánica rotativa. La
potencia mecánica resultante es comunicada al rotor del generador a través de un eje
mecánico.
Regulador de Velocidad.- Procesa y evaluar las señales de entrada para determinar en qué
magnitud se deben cambiar la posición de las válvulas de tal manera de lograr inyectar el
flujo de materia necesario para producir la potencia mecánica que equilibre a la potencia
eléctrica.

Velocidad del rotor ( w ).- La velocidad del rotor es censada a cada instante para ser
comparada con un referencia ( ref
w ) cuyo valor depende de la velocidad necesaria para
producir frecuencia nominal.
Posición de las válvulas ( v
P ).- Es el valor mediante el cual se comunica a las válvulas la
posición de deben mantener de tal manera que la turbina logre proporcionar al generador la
potencia mecánica ( m
P ) necesaria para mantener el equilibrio con la potencia eléctrica.
Los sistemas de control que permiten mantener el equilibrio entre la generación y
carga ( 0

 e
m P
P ; 0

 m
e T
T ) concentran su accionar en la apertura o cierre de válvulas para
regular la cantidad de energía cinética que entra a las turbinas del generador.
Para el caso de centrales hidroeléctricas la cantidad a controlar es el caudal de agua,
y se lo hace base del control de compuertas, válvulas, posición de inyectores, etc. Para el
caso de centrales térmicas, es posible ejercer control sobre la cantidad de combustible que
ingresa a los calderos y también sobre válvulas que permiten controlar la cantidad de vapor
que ingresa al rotor de las turbinas.
d. Estabilizador de Sistema de Potencia o Power System Stabilizer (PSS).
La función básica del PSS es añadir amortiguamiento a las oscilaciones del rotor a
través del control de excitación. PSS monitorea las señales que informan del estado dinámico
del sistema (velocidad del rotor, frecuencia, voltaje terminal, potencia, etc.) y modula el error
entre el voltaje de referencia del generador y el voltaje del regulador automático de voltaje
(AVR) para lograr producir un torque de amortiguación en fase con la velocidad del generador
para de esa forma compensar el atraso de fase del conjunto generador, excitación y carga. La
utilización de PSS permite extender los límites de estabilidad y mejorar la operación de los
sistemas eléctricos de potencia.
Cuando la operación del sistema se maneja cerca de los límites de estabilidad,
cualquier perturbación puede producir oscilaciones electromecánicas con poca amortiguación
que oscilan entre 0,1 y 2,5 Hz, estas limitan la capacidad de transmisión de las líneas y
eventualmente producen perdida de sincronismo en el sistema. La mejor forma de reducir
esas amortiguaciones es utilizando un PSS.
Figura 3.32: Estabilizador de Sistema de Potencia. [28]
3.4. MODELACION DE LA CARGA.
Para análisis de funcionamiento dinámico, la variación transitoria y de estado estable
de P y Q debido a los cambios en el voltaje de los buses y en la frecuencia, deben ser
modelados. La modelación exacta de la carga es difícil debido a la naturaleza compleja y

cambiante de la carga y la dificultad de obtener datos exactos de sus características. Por lo
tanto, estudios de sensitividad se recomiendan para determinare el impacto de las
características de la carga en los resultados del estudio de interés. Esto ayuda a guiar la
selección de la carga en los resultados del estudio de interés. Esto ayuda a guiar la selección
de un modelo de carga conservativo o enfocar la atención en las mejoras de debe tener el
modelo de la carga.
Para la mayoría de propósitos de análisis de sistemas de potencia, la carga se refiere
a la potencia real y reactiva entregada a los sistemas de subtransmision, o distribución en los
buses representados en el modelo de la red. Sumando a esto, la variedad de artefactos de
carga que en la actualidad se conectan al sistema, la carga incluye la intervención de
alimentadores de distribución, transformadores, capacitares en paralelo, etc., y estos pueden
incluir artefactos de control de voltaje, incluyendo transformadores con cambio de tap
automático, etc.
Para análisis de estabilidad de ángulo, se pueden utilizar diferentes niveles de detalle,
dependiendo de la disponibilidad de la información y la sensibilidad de los resultados al
detalle del modelo de carga. A continuación se describen algunos de los modelos:
3.4.1. Modelo Estático.
Este modelo es el más simple y representa los componentes de potencia activa y
reactiva en cada bus por medio de una combinación de componentes de impedancia
constante, corriente constante, y potencia constante, con un factor simple de sensitividad a la
frecuencia, como lo muestran las siguientes expresiones:
































n
Np
n
Np
Np
P
V
V
a
V
V
a
V
V
a
f
M
P
P
0
0
2
0
1
0 ......
)
1
(
2
1
(3.91)
































n
Np
n
Np
Np
P
V
V
b
V
V
b
V
V
b
f
M
Q
Q
0
0
2
0
1
0 ......
)
1
(
2
1
(3.92)
Donde:
P : Potencia activa de la carga.
Q : Potencia reactiva de la carga.
V : Voltaje de la barra en donde está conectada la carga.
f
 : Desviación de la frecuencia de la barra.
q
p
n
n M
M
Nq
Np ,
,
, : son los parámetros del modelo de la carga
El subíndice 0 denota estado estable o cantidad nominal.
Existen expresiones comúnmente usadas en SEP, estas se obtienen a partir de las
anteriores eliminando en ellas la dependencia de la carga con la frecuencia y llevando la
dependencia con el voltaje a un solo índice.
p
N
V
V
P
P 








0
0
q
N
V
V
Q
Q 








0
0
(3.93)

Los coeficientes p
N y q
N pueden tomar valores reales positivos, pero existen casos
especiales que consideran al modelo como la representación de una carga de impedancia
constante, corriente constante o potencia constante, en este caso los valores para estos
exponentes son iguales a 2, 1 y 0 respectivamente. Típicamente, para cargas agregadas, p
N
está en el rango de 1 a 2 y q
N en el rango 2 a 4. A continuación se muestra la forma
linealizada de estos modelos:
0
0
V
V
P
N
P p



0
0
V
V
Q
N
Q q



(3.94)
p
N y q
N representan las sensibilidades potencia – voltaje de la carga es decir son los
diferenciales:
dV
dP
Np 
dV
dQ
Nq 
(3.95)
Es de aclarar que los modelos de carga estática son válidos solo para rangos
pequeños de variación de voltaje. Si estos modelos se usan en simulaciones con grandes
cambios de voltaje se introducen grandes errores como resultado del comportamiento no
lineal del sistema.
Por ejemplo, estos modelos deben usarse con mucho cuidado en estudios de
estabilidad transitoria.
3.4.2. Modelo de carga dinámica.
Los modelos de carga dinámica se utilizan debido a la existencia de grandes
cantidades de cargas motorizadas en los SEP. (Normalmente los motores consumen del 40 al
70% de la potencia de un sistema, por lo que las características dinámicas atribuidas a la
carga se deben al comportamiento dinámico de los motores). [28]
En la Figura 3.33 se puede observar el modelo equivalente del motor de inducción (se
encuentra en mayor número entre toda la carga motorizada) con las cantidades del rotor
referidas al estator. Este equivalente y la ecuación de movimiento representan los efectos
dinámicos de la carga.
Figura 3.33. Circuito equivalente de un motor de inducción
Los parámetros de la figura 3.33 son:
1
R : Resistencia del estator.
1
X : Reactancia del estator.

2
'
X : Reactancia del rotor referida al estator.
s
R /
'2 : Carga mecánica y resistencia del rotor referida al estator.
0
X : Reactancia de magnetización.
s : Deslizamiento.
3.4.3. Modelo detallado.
Para estudios particulares se puede necesitar de una modelación exacta de ciertos tipos
de carga. Esto puede incluir la representación de un alimentador promedio y la impedancia
del transformador como un elemento en serie entre el bus de la red y el bus donde los
modelos de carga están conectados. Para análisis de largo plazo, el ajuste automático de los
taps de los transformadores puede ser representado por modelos simplificados. Diferentes
componentes de carga con diferentes características pueden ser conectadas a la carga del
bus para representar la composición de la carga.
La información para la modelación puede ser adquirida de diferentes formas, ninguna es
completamente satisfactoria, pero todas contribuyen al conocimiento de las características de
la carga:

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