1. Tema 2
“Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones"
Lic. Ana Laksmy Gamarra Carrasco
Universidad Privada Antenor Orrego
Febrero del 2013

2. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Introducción
Todo programa de Computación Algebraica pretende ser
eficiente en la parte de simplificación de expresiones
algebraicas. Más es difícil obtener una perfección, porque a
veces el concepto de simplicidad es algo subjetivo.
En esta sección, se introduce los comandos que simplifican,
factorizan o expanden una expresión algebraica. Mostraremos
aún como resolver ecuaciones, sistemas de ecuaciones y la
definición de una función.

3. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Sustitución
En una expresión algebraica las variables: x, y, ... podemos
sustituir x por expr1, y por expr2, etc., haciendo uso del
comando:
subs(x=expr1,y=expr2,...,expresión)

4. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Sustitución
En una expresión algebraica las variables: x, y, ... podemos
sustituir x por expr1, y por expr2, etc., haciendo uso del
comando:
subs(x=expr1,y=expr2,...,expresión)
Ejemplo
En la expresión algebraica E = x2 + y2 + z2, inicialmente
sustituir x por −2. Luego observe que acontece cuando
sustituimos x por a, y por b y atribuimos el resultado a E.
Finalmente, sustituimos a, b y z por los valores numéricos −1,
3, −2, respectivamente.

5. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Figure: Sustituciones

6. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Simplificación
La simplificación es fundamental en la representación de
muchos resultados. Para eso, el Maple posee comandos:

7. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Simplificación
La simplificación es fundamental en la representación de
muchos resultados. Para eso, el Maple posee comandos:
1 simplify(expresión,opciones)
2 combine(expresión,opciones)
donde opciones puede ser usado para hacer suposiciones
acerca de las variables que intervienen.

8. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ejemplo
Simplificar cada expresión:
1 Expr1 = x2−1
x−1
2 Expr2 = x6+3x5−3x4−42x3−153x2+3x+11
x6−4x5−15x4+56x3+15x2−4x−1
3 Expr3 =
1
x2 + 1
y2
1
x2 − 1
y2
+
1
x2 − 1
y2
1
x2 + 1
y2

9. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Figure: Simplificación

10. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ejemplo
Usamos el comando combine para escribir un producto de
funciones trigonométricas como una suma de funciones:

11. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ejemplo
Usamos el comando combine para escribir un producto de
funciones trigonométricas como una suma de funciones:
1 cos(a) cos(b)
2 sin(a) sin(b)
3 sin(a) cos(b)
4 cos(a) sin(b)

12. Introducción al Maple
Figure: Combine

13. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Expansión
Una simplificación puede ocurrir no sólo en el sentido de
disminuir el tamaño de una expresión. En algunos casos, es
necesario efectuar productos, y , con eso el tamaño de la
expresión puede aumentar significativamente. El comando de
uso general para expander es:
expand(expresión)

14. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ejemplo
Expander el producto:
1 (x − 3)(x − 4)
2 (x − 2)(2x + 5)
3 3(2a + b)
4 (a + b)2
5 (a − b)2
6 (a + b)3
7 (a − b)3
8 (a + b)6
9 (a − b)6
10 (a − b)(a2 + ab + b2)

15. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Figure: Expansión

16. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ejemplo
Con una función trigonométrica F, el comando expand puede
desarrollar expresiones del tipo F(x + y), F(x − y) o F(nx),
usaremos las conocidas fórmulas:

17. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ejemplo
Con una función trigonométrica F, el comando expand puede
desarrollar expresiones del tipo F(x + y), F(x − y) o F(nx),
usaremos las conocidas fórmulas:
1 cos(x + y)
2 cos(x − y)
3 cos(2x)
4 cos(3x)
5 tan(5x)
6 sin(2x)

18. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Figure: Expansión

19. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ejercicio
Usando los comandos simplify, expand y subs obtener el
resultado de la expresión:
y =
cos(6x) + cos(4x)
sin(6x) − sin(4x)

20. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Figure: Ejercicio

21. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Factorización
El comando factor(expresión,opciones) puede ser usado
para factorizar la expresión dada. Si no fuera conocida ninguna
información adicional a través del parámetro opciones, el
Maple entenderá que la factorización deseada es para
resultados con coeficientes enteros.

22. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ejemplo
Factorizar:
1 x2 − 4
2 x4 − 16
3 x5 + x + 1
4 x3 − 27
5 x3 + 27

23. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Figure: Ejemplo

24. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Factorización de expresiones racionales
El comando factor actúa en el numerador y denominador de
una función racional, como sigue:
factor
P(x)
Q(x)
factor
P(x)
Q(x)
factor
P(x)
Q(x)

25. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Factorización de expresiones racionales
El comando factor actúa en el numerador y denominador de
una función racional, como sigue:
factor
P(x)
Q(x)
factor
P(x)
Q(x)
factor
P(x)
Q(x)
Ejemplo
Factorizar las expresiones siguientes:
1 x2+x−2
x2−5x+6
2 x4+4x3+10x2+12x+5
x4−14x3+67x2−120x+50

26. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Figure: Ejemplo

27. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ejercicio
Factorizar:
1 x2 − 2
2 x3 − 5

28. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Figure: Ejercicio

29. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ejercicio
Factorizar:
1 8t3 + 125
2 10p2 + 3p − 18
3 5 + (2x + 3)2 − (3x + 2)(x + 1)
4 x4 − 16y4
5 x6 − 8y6

30. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Figure: Ejercicio

31. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ejercicio
Factorizar las expresiones racionales siguientes:
1 4w−2
1−2w
2 x2−10xy+4y2
x2−5xy+4y2
3 x3+6x2+12x+8
x3+4x2+4x
4 x2+10x+25
x2−25
5 x3+2x2−x−2
x2−1

32. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Figure: Ejercicio

33. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones.
El comando para resolver una ecuación es:
solve(ecuación=0)
El comando solve encuentra soluciones enteras, irracionales o
complejas.

34. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ejemplo
Resolver:
1 x2 + 4x − 45 = 0
2 x2 + 4x + 2 = 0
3 x2 + 4x + 5 = 0

35. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Figure: Ecuaciones

36. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ejercicios
Resolver:
1 2x = 16
2 22x − 52x + 6 = 0
3 log3(5x + 4) − log3(x) − log3(x − 2) = 1
4 (x + 6) + (x + 1) = (7x + 4)

37. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Figure: Ecuaciones

38. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Inecuaciones
Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones.
El comando para resolver una inecuación es:
solve(inecuación>0)
Una inecuación puede ser resuelta de manera semejante que
una ecuación. Normalmente, la respuesta es dada en forma de
intervalo de R.

39. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Inecuaciones
Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones.
El comando para resolver una inecuación es:
solve(inecuación>0)
Una inecuación puede ser resuelta de manera semejante que
una ecuación. Normalmente, la respuesta es dada en forma de
intervalo de R.
1 El intervalo cerrado [a, b] es representado por
RealRange(a,b)
2 El intervalo abierto (a, b) es representado por
RealRange(Open(a),Open(b))

40. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ejemplo
Resolver:
1 x2 − 5x + 6 > 0
2 | x + 5 |≤ 4
3 3(x − 5) − 4(4 − 3x) ≥ 2(7 − x) − 3(x − 5)
4 x2−10x+9
x2−12x+35
> 0

41. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Figure: Inecuaciones

42. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ejercicio
Resolver:
1 1
4 s − 3 ≤ 1
8 (3 + 2s)
2 2(4 − 3
5q) < 5
3
(x2−1)(x+3)(x−2)
(x−5)(x+7) > 0
4 x−2
x+3 < x+1
x
5 x
x−1 + x−1
x < 2x
x+1

43. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Figure: Ejercicio

44. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Sistemas de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones puede ser resuelto de forma
semejante a las ecuaciones, basta con escribir las ecuaciones
del sistema en forma de conjunto. Si fuera necesario, podemos
escribir también las variables en forma de conjunto y
proporcionar el comando de resolución como segundo
parámetro. Por ejemplo:
solve(ecuación1,ecuación2,...)

45. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ejemplo
Resolver los sistemas lineales siguientes:
1
3x + 5y = 1
2x + 4y = −9
2
xy = 16
log2 x = log2 y + 2
3



x2 + y2 + z2 = 1
xy + yz + zx = 0
x − y + 2z = −1

46. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Figure: Ejemplo

47. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ejercicio
Resolver los sistemas lineales siguientes:
1
2(x+1)+3y=1
3(x+2)-3y=5
2
5y+3x=15
4(x-1)-3y=20
3
-2(x+5)+3y=6
-5(-x+3)-4y=10

48. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Funciones
Existen dos maneras de definir una función f(x) en Maple:
1 Como el operador seta:
f := x → expresión en la variable x
2 Como un comando unapply
f := unapply(expresión, x)

49. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Funciones
Existen dos maneras de definir una función f(x) en Maple:
1 Como el operador seta:
f := x → expresión en la variable x
2 Como un comando unapply
f := unapply(expresión, x)
Ejemplo
Definir la función f(x) = x2 y calcular: f(−3).

50. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Figure: Ejemplo

51. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ejercicio
1 Si f(x) = x2 + 1, calcule f(3), f(
√
3), f(1
5)
2 Si f(x) = 2x
x2+1
, calcule f(1), f(0), f(−2)
3 Si h(t) =
√
t2 + 2t + 4, calcule h(−4), h(0), h(2)
4 Si g(x) = (x + 2)
3
2 , calcule g(−1), g(0), g(10)
5 Si g(x) = (3x − 1)
−3
2 , calcule g(1), g(5), g(12)

52. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Funciones definidas por varias sentencias
Las funciones definidas por varias sentencias pueden ser
definidas con el comando:
piecewise(cond1, f1, cond2, f2, ..., condN, fN, f − otros)piecewise(cond1, f1, cond2, f2, ..., condN, fN, f − otros)piecewise(cond1, f1, cond2, f2, ..., condN, fN, f − otros)
donde: f1, f2, ..., fN, f − otros son expresiones algebraicas y
cond1, cond2, ..., condN son expresiones lógicas.

53. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ejemplo
Definir la función: f(x) =
2x − 3 , si x > 5
6 − 3x , si x < 5
Encuentre: f(0), f(7) y f(−2).

54. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ejemplo
Definir la función: f(x) =
2x − 3 , si x > 5
6 − 3x , si x < 5
Encuentre: f(0), f(7) y f(−2).
Ejemplo
Definir la función: g(x) =



4x + 3 , si −2 < x < 0
1 + x2 , si 0 < x < 2
7 , si x > 2
Evalúe cada uno de los siguientes valores: g(1), g(3), g(−1) y
g(0).

55. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Figure: Ejemplo

56. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ejercicio
Sean las funciones f y g definidas por:
f(x) =
x2 − 5x , si x < −2
| x − 2 | −2x , si x ≥ −2
g(x) =
2x − 4 , si x > −2
x2 + 3x , si x ≤ −2
Hallar: f(0) + g(0), f(1)f(−3), f(
√
2) y f(−4)
g(−1) .

57. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Composición de funciones
La composición de funciones se realiza con el operador @. Por
ejemplo, f@g es la composición f ◦ g. La composición de f
consigo misma, n veces, puede ser abreviada por f@@n.
La función inversa de f es una función f@@(−1), mas el Maple
solo consigue calcularla en pocos casos (ln(x), exp(x),
funciones trigonométricas o hiperbólicas).

58. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ejemplo
Dadas las funciones f(x) = 4x + 1 y g(x) = x2 − x, calcular:
1 f ◦ g
2 g ◦ f
3 f ◦ f ◦ f ◦ f
4 f ◦ f ◦ g ◦ g ◦ g

59. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Figure: Ejemplo

60. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ejemplo
Calcular la composición (f ◦ f ◦ ... ◦ f), 10 veces de
f(x) =
√
1 + x consigo misma.

61. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Figure: Ejemplo

62. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ejercicio
Hallar las funciones compuestas indicadas:
1 Sean f(x) = 2x2 − 1, g(x) = 4x3 − 3x, x ∈ R, probar que
fog = gof.
2 Hallar (fogoh)(x) si f(x) = x2 + 2x + 1, g(x) = x − 2, h(x)=
x-3.
3 Dadas las funciones f(x) = x
1+x2 y g(x) = 1 − x
determinar las composiciones fog y gof.

63. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Racionalización de denominadores
El comando que racionalize una expresión con radicales en el
denominador se define como:
rationalize(expresión)rationalize(expresión)rationalize(expresión)
Ejemplo
Racionalizar el denominador de 2−
√
5
3+
√
5
.

64. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Figure: Ejemplo

65. Expresiones algebraicas, ecuaciones y funciones
Ejercicios
1 Simplifique y factorice: (a2−b2)3+(b2−c2)3+(c2−a2)3
(a−b)3+(b−c)3+(c−a)3
2 Muestre que: 3
2 + 10
9
√
3 + 3
2 − 10
9
√
3 es un número
entero.
3 Resolver la ecuación:
5
(x − 2)(x − 32) − 4
(x − 1)(x − 33) = 1
4 Determine todas las raíces complejas de la ecuación:
x8 − 13x7 + x6 − 10x4 + 2x2 − 5x + 25 = 0