1. EXPRESIONES EXPONENCIALES
Introducción
Una célula se reproduce partiéndose en dos; dos células se reproducen
partiéndose en 4; 4 células se reproducen partiéndose en 8; 8 células se
reproducen partiéndose en 16. Matemáticamente este hecho lo podemos
expresar así: en la primera reproducción obtenemos 21 células; en la
segunda reproducción obtenemos 22 células; en la tercera reproducción
obtendremos 23 células; en la cuarta reproducción obtendremos 24
células. En la reproducción x obtendríamos 2x células. Es ahí donde nace
la función exponencial.
Definición.
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le
hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de
base a y exponente x.
Propiedades
Sean a y b reales positivos, entonces:
1. ax . ay = a x+y
2. ax/ay = ax-y
3. (ax)y = ax.y
4. (a.b)x = ax.bx
5. [a/b]x= ax/bx
6.[a/b]-x = [b/a]x
EXPRESIONES LOGARITMICAS
Observemos que pasa cuando tomamos como base 10 y desarrollamos
la expresión exponencial 10x
101 = 10 El exponente al que elevamos la base es 1
102 = 100 El exponente al que elevamos la base es 2
103 = 1000 El exponente al que elevamos la base es 3
104 = 10000 El exponente al que elevamos la base es 4
105 = 100000 El exponente al que elevamos la base es 5

2. 106 = 1000000 El exponente al que elevamos la base es 6
Se define logaritmo de un número el exponente al que hay que elevar la
base para obtener el número. Así por ejemplo, si tomamos como base
10:
Logaritmo en base 100 de 10 es 2, porque 2 es el exponente al que hay
que elevar 10 para que me de 100
Logaritmo en base 10 de 10000 es 4, porque 4 es el exponente al que
hay que elevar 10 para que me de 10000
Logaritmo en base 10 de 1000000 es 6, porque 6 es el exponente al que
hay que elevar 10 para que me de 1000000
El logaritmo se denota loga B = C Se lee logaritmo en base a de B es
igual a C. Significa que aC = B, es decir, la base se eleva al logaritmo y
da el número.
Observamos pues que las funciones exponenciales y las logarítmicas van
relacionadas, dependiendo la una de la otra.
Entonces:
y = logax a y= x
Las bases mas usadas.
Se puede usar cualquier base para trabajar con expresiones
exponenciales y logarítmicas, pero las mas usadas son: la base 10 o
logaritmo decimal y la base e (llamado número Euler = 2.7182……) o
logaritmo natural. Los logaritmos decimales se denotan por log, así por
ejemplo, log375 es el logaritmo en base 10 de 375 y corresponde al
exponente que hay que elevar el 10 para que me de 375. Los logaritmos
naturales se denotan como ln, así por ejemplo, ln62 se lee logaritmo
natural de 62 y representa el exponente al que hay que elevar e para
que me de 62
Propiedades de los logaritmos
1. loga(ab) = alogab=b Por definición.
2. logaa = 1 Por definición
3. loga1 = 0 Todo número elevado a la 0 da 1
4. loga(x.y) = logax + logay (Logaritmo de un producto).

3. 5. loga (x/y) = logax - logay (Logaritmo de una división).
6. Loga(xn) = n . logax (Logaritmo de un número elevado a un exponente).
7. logbx = logax/logab, b≠1. (Cambia de la base b a la base a)
8. logax = logay x=y
Observe que no hay una fórmula para expresar, logaritmo de una suma log(a+b), no tiene
propiedad que permita resolverla
Operaciones con exponenciales
Ejemplo 1 con expresiones exponenciales: Simplificar
a. 5x.5x+2 = 5x+x+2= 52x+2 Se suman los exponentes
b. 2x.82x+1 = 2x(23)2x+1 = 2x.26x+3 = 27x+3
Resuelva los siguientes ejercicios de expresiones exponenciales
1. Simplificar 2x + 1 / 2-x
2. Simplificar (1 + 3x) / 2x + 1 / 6x
3. Simplificar ex(3e-x) + e-x
4. Simplificar (2e2x – 2) / 2ex * e2x / (ex + 1 )
Operaciones con logaritmos
Ejemplo 2 utilizar las propiedades con expresiones logarítmicas:
a. Desarrollar la expresión log(x2 / y3z4) = logx2 – log(y3z4) = logx2 – logy3 – logz4 =
= 2logx – 3logy – 4logz
b. Simplificar ln 5x – ln (6x+1) = ln (5x / (6x+1))
c. Transforme log3 8 a log10 log38 = log8 / log3
Resuelva los siguientes ejercicios de expresiones logarítmicas
5. Si loga 2 = 0.3016 loga 7 = 0.8451 Encuentre el valor de loga14
6. Exprese en forma mas simple ln(x+y) + ln(x-y) – 2lnx
7. Encuentre el valor de log38.log825/ln39 Para esto, transforme la operación en ln
8. Escriba como una ecuación logarítmica y4 = 25x3
Solución de ecuaciones exponenciales

4. Una ecuación exponencial es aquella en la cual la incógnita se ubica en el exponente
Ejemplo 3 de resolución de ecuaciones exponenciales:
a. 33(x+1) = 32(x+2) Como es la misma base, los exponentes tienen que ser iguales, así:
3(x+1) = 2(x+2) Se resuelve esta ecuación para x
b. 5(x + 1) + 5x = 750 Solución: 5x5 + 5x = 750 5x(5+1) = 750 5x = 750/6
5x = 125 5x = 55 x05
Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales
9. 3(x + 1) + 2.3(2 - x) - 29 = 0
10. 27x-1 = 9x-2
Solución de ecuaciones logarítmicas
En una ecuación logarítmica la incógnita está dentro del logaritmo
Ejemplo 4 Resolver para x las ecuaciones logarítmicas
a. log232 = x Solución: log225 = x x=5
b. log3x = 4 Solución: 34 = x
c. logx16 = 4 Solución: x4 =16 4lnx = 16 lnx = 4 x = antiln 4
d. log(x+1) – log2x = log1 Solución: log(x+1 / 2x) = log1 x+1 / 2x = 1
e. log3(2x+3) – log3x = 2 Solución: log3(2x+3 / x) =2 2x+3 / x = 32
f. 5x-2 = 22x+1 Solución: ln(5x+2) = ln(22x+1) (x+2)ln5 = (2x+1)ln2
g. Log(x+1) – log(x-2) = log(x+3) Solución log(x+1 / x-2) = log(x+3)
x+1 / x-2 = x+3
Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas
11. Log(x-3) = ln(x-3)
12. Log(5x-1) – log(x-3) = 2
13. 2log2 (2x-1) -2log2x =log23
14. Ln(x+4)+ lnx = ln(x+1)
15. 125x/3 = 54x+1
16. (logx)2 = log x2

5. 17. Loga(x+1) = 1 + logax
18. Log3(x-4) = 2