Elementos de matemática amado

UNIVERSIDAD TECNICA DE COMERCIALIZACION Y DESARROLLO (UTCD
ADMINISTRACION DE EMPRESAS
ELEMENTOS DE LA MATEMATICA
Elementos de Matemática:
Teoría de conjuntos
Es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos.
Conjunto: es una colección de objetos cuyas propiedades o características están claramente definidas.
Cada objeto que forma parte de un conjunto se llama elemento.
Un conjunto esta bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto
Los objetivos que determinan un conjunto se denominan elementos del conjunto. Los conjuntos
pueden demostrarse con letras mayúsculas como A, B, C y los elementos con letras minúsculas como
a, b, c o con números separados por comas y encerrados entre dos llaves
Ejemplos:
A= {a, e, i, o, u} conjunto A formado por vocales
B= {1, 2, 3} Conjunto B formado por números impares los tres primeros
Los elementos de un conjunto tienen carácter individual, tienen cualidades que permiten
diferenciarlos cada elemento es único, no hay elementos duplicados o repetido.
CONJUNTO ESCRITO POR EXTENSION
Se enumeran todos los elementos que lo forman
Ejemplo:
A= {a, e, i, o, u}
Si el conjunto tiene infinito elementos se nombran algunos de ellos y se escriben a continuación 3
puntos suspensivos…
Ejemplo:
B= {1, 2, 3, 4…}
CONJUNTO ESCRITO POR COMPRENSION
Cuando se enumeran las propiedades o características comunes de sus elementos
Ejemplo:
A= {x/x es una vocal}
B= {x/x es un numero par menor a 10}
Se lee: B es igual a x tal que x es un número par menor a 10
Profesor: Lic. Antonio Brizuela Gonzalia
Alumno: Amado Gimènez

CONJUNTO UNIVERSO
· Es el conjunto que tiene a todos los elementos del discurso.
· Es un termino relativo se le denota por la letra “U”.
· Es un conjunto finito de elementos, tal que cualquiera de su subconjunto queda determinado
por una propiedad que depende únicamente de los elementos de “U” y solo a ellos.
Ejemplo:
U= {Animales}
A= {Aves} B= {Peces} C= {conejos} D= {Monos}
A B C D U
CONJUNTO UNITARIO
Aves
Peces
Conejos
Es todo conjunto que esta formado por un solo y único elemento
Ejemplos:
A= {5}
B= {números pares entre 6 y 10}
C= {La capital de Perú} = lima
D= {x/2 x = 6}= {3}
Monos

CONJUNTO VACIO
Es aquel que no posee ningún elemento y se representa por Ø
Ejemplo:
A= {los perros que vuelan} A= { } o A= {Ø} o A= {0}
SUBCONJUNTO
Un conjunto es subconjunto de otro, cuando tiene todos sus elementos incluidos en otro.
Decimos que A está INCLUIDO o es Subconjunto de B cundo todos los elementos de A esta en B.
Ejemplos:
A= {2, 3, 4, 5} decimos que A C B, o A es subconjunto B
B= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
C= {1, 2, 3}
B= {2, 3, 4, 5}
Decimos que C ¢ B, se lee C no es subconjunto de B
SUBCONJUNTO INCLUSION
Se dice que “S” esta incluido en el conjunto C si y solo si todos los elementos de S pertenece a C
Ejemplo:
C= {frutas}
S= {frutas cítricas}
C C S
El conjunto S esta incluido o es el subconjunto C

IDENTIDAD DE CONJUNTOS
Deben cumplir dos (2) exigencia
1) Tener los mismos elementos
2) Tener la misma convergencia, es decir, que la cohesión, ordenación y cualquier norma de
agrupamiento se da en ambos conjuntos al mimo nivel. Por tanto han de ser dos conjuntos
indistinguibles uno del otro.
Para presentar dos conjuntos idénticos podemos usar el signo ><
Así A >< B, A es idéntico a B y viceversa
Ejemplo:
2 automóviles idénticos recién salidos de fábrica
IDENTIDAD
Es la totalidad de características y particularidades de un conjunto, incluido sus elementos, etc., es
decir todo aquello que lo hacen especifico y diferente de otros.
Definir un conjunto por extensión
A = {las cinco letras del alfabeto} B = {Vocales del alfabeto} C = {satélite natural de la tierra}
A = {a, b, c, d, e} B = {a, e, i, o, u} C = {luna}
CONJUNTO FINITOS
Conjunto finito cuado se puede nombrar todos los elementos
Ejemplos:
A = {los meses del año}
A = {ene., feb, mar., abri., may., jun., jul., ago., sep., oct., nov., dic.,}
CONJUNTO INFINITO
Conjunto infinito nunca se podrá nombrar el último elemento
Ejemplo:
B = {los números naturales}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…}

NOTACION CIENTIFICA
La matemática se apoya en un lenguaje símbolo formal que sigue una serie de convenciones propias.
Los símbolos representan un concepto, una operación, una entidad matemática, según ciertas reglas.
Estos símbolos no deben considerarse abreviaturas, sino entidades con valor propio y autónomo.
Operación Notación Se lee
Pertenencia X Є A X pertenece a A
No pertenencia X Ï A X no pertenece a A
La pertenencia E o la no pertenencia E se utiliza cuando se relaciona un elemento con un conjunto =
es decir ¿el elemento pertenece o no al conjunto?
Inclusión A C B A es subconjunto de B
Subconjunto A É B A esta contenido en B
A Ê B A contiene a B
A Í B A contiene a B
A Ë B A no es subconjunto B
Cuando se relacionan conjuntos se habla de si es subconjunto o esta contenido en B
unían U A unión B
U
Intercepción ∩ El conjunto inter. al conj. en
Suma Σ
Infinito ∞
Aproximado
Idéntico equivale ≡
Tal que / X, tal que y
Menor o igual ≤
Mayor o igual ≥
Por tanto X por lo tanto y
Vació Ø
igual = X igual a y
Mayor que >
Menor que <
CONJNTO DE NUMEROS NATURALES

Es el conjunto de los símbolos que se utilizan para representar los números cardinales (principales y
se designan con la letra N
Es un conjunto infinito porque no tiene último término.
LOS “N” SE UTILIZAN PARA:
Contar o medir 2 sillas 2 metro
es decir, para expresar
cantidades, en este caso se
denominan
Los números naturales N se
pueden representar mediante
una recta numérica
Se usa para describir la
posición o el orden de un
determinado elemento en
relación con otros en secuencia
ordenado, se llaman:
Cardinales Ordinales
Ej.: vivo en el tercer piso
Z- U Z+
0 1 2 3 4 5
Nacen en el 0 y crecen de 1 en 1
Los números que
parten del 0 y van
hacia la derecha se
llaman enteros
positivos Z+
Si al conjunto de
enteros positivos le
unimos el 0 el
resultado son: números
naturales
La diferencia entre Z+
y N es que el E no tiene
el 0
Z+ U0 = N
Z = Z+ + Z -+ 0
¿Como se lee?
N = {1, 2, 3, 4, 5…} conjunto de los numeras naturales, excluido el cero
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…} Conjunto de números naturales incluido el cero
CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS “Z”

Está formado por los números naturales y los números negativos
Se simboliza con la letra Z
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS ENTEROS:
Es un conjunto infinito
No tiene ni primero ni último elemento.
Cada número tiene su opuesto ej.: +2 es opuesto de -2
Si un número está a la derecha de otro en la recta numérica, entonces es mayor que el.
Ejemplo:
Z = {-2-1 0, 1, 2} Conjunto de números enteros
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5…} Conjunto de los números enteros positivos
Z- = {…-4, -3, -2, -1} Conjunto de los números enteros negativos
El 0 es el único número entero que no es positivo ni negativo
El 0 es vació no es un numero.
CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES
Está formado por los números enteros y los números fraccionarios
Se simboliza con la letra Q
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS RACIONALES:
Es un conjunto infinito.
No tiene ni primero ni último elemento
Todo número racional ya sea entero o fraccionario se puede expresar con infinitas fracciones
equivalentes.
Fracción pedazo de algo. Si se divide en 10 partes = décimo
100 partes = centésimo
1000 partes = milésimo
1000000 partes = cienmillonésima
Entre el 0 y el 1
Hay tantos números según se fracciones.
La fracción depende de la precisión que se requiera
Un número racional puede representarse por una fracción 3 = 12/4
CONJUNTO DE NUMEROS IRRACIONALES “Q’ “

Tipo de números que no se pueden expresar de manera sencilla como el cociente de los números
Ejemplo: 2 = 1,4141135624 y π = 3,1415926536 е = 2,718
Se caracterizan por poseer cifras decimales que no se repiten nunca “no periódica” por ello no pueden
ser expresados en forma de dos enteros.
Algunos números irracionales son identificados mediante símbolos.
CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES “R”
Es el conjunto de los números (racionales e irracionales) que puedan medir longitudes, junto con sus
inversiones aditivos y el cero.
Se designan con la letra R
PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES
Son todos los números que corresponden a los puntos de la recta.
Son todos los números que pueden expresarse con decimales finitos o infinitos
INTERVALO DE NUMEROS REALES
Es un subconjunto de R, que tiene la siguiente propiedad
“Dado dos números a y b en el intervalo
Todos los nº comprendidos entre a y b, también pertenecen al intervalo
Gráficamente, un intervalo se identifica en la recta real con un segmento o una semirrecta, con o sin
sus extremos, o con toda la recta real.
Ejemplo:
{X/X ≤ x ≤ 8} {Es un intervalo, que se representa en la recta real como un segmento con extremos 2 y 8
{X/X < - 5}{En un intervalo que se representa en la recta real como una semirrecta con origen en -5 sin contar
este extremo.
Para los intervalos se utiliza una notación específica, y se clasifica además en intervalos cerrados, abiertos,
semiabiertos.
INTERVALO CERRADO {A, B} INTERVALO CERRADO
Con a y b números reales (a, b) = {x/a < x < b}
(a, b) = {x/a ≤ x ≤ b}
En este caso a y b son elementos (a, b) En este caso a y b no son elementos de (a, b)
APLICION DE LOS CONJUNTOS

UNION DE CONJUNTOS:
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o
a B o a ambos.
Se denota (se le conoce) A U B y se lee “A en unión con B”
Ejemplo:
Si A = {1, 2, a, b. c}
B = {2, 3, a, b, c, d}
Entonces A U B = {1, 2, 3, a, b, c, d}
Tomando los conjuntos A y B de un universo U, se llama unión o reunión de A y B o un subconjunto
formado por lo elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B; es decir. Son todos los
elementos que pertenecen a A, solamente a B o simultáneamente a A y B.
Ejemplo:
A U B = {x/x Є A o x Є B}
Se lee A unión B es el conjunto formado por los elementos x tales x pertenece a A o pertenece B
A U B = {x/x Є A y x Є B}
Se lee A unión B: es la conjunto formado por lo elementos x tales que x pertenece a A y x pertenece a B
Ejemplos:
A = {números pares N menor a 10}
A = {2, 4, 6, 8}
B = {números impares N menor a 10}
B = {1, 3, 5, 7, 9}
C = {números N menor a 5}
C = {0, 1, 2, 3, 4}
Se pide A U B B U C
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B U C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de
A ={mango, curuela, uva, naranja, manzana, sandia}
todos los elementos de A con todos los elementos de
B = {durazno, melón, mango, sandia, plátano}
B si repetir ninguno y se denota como A U B es:
A U B = {mango, ciruela, uva, naranja manzana,
A U B = {x/x Є A o x Є B} sandia, durazno, melón, plátano}
LA NOTACION TAL QUE
Los números que se repiten en ambos
conjuntos, se escriben una sola vez en la
unión
A B
U

Con frecuencia en teoría de conjunto se requiere definir por comprensión a valores indeterminado que siempre
representamos por las 3 ultimas letras del alfabeto X, Y, Z
Sin embargo para resolver el valor de la incógnita siempre será necesario un dado que permita conocer la
incógnita
Ejemplo: Si x + 3 = 10 Por que x = 10 -3
X = 7 X = 7
Si puedo conocer el valor de x gracias a la primera expresión x + 3 = 10
Así también en conjunto se pude representar por x una incógnita, y para conocer su valor se utiliza la barra tal
que /
Ejemplo:
M = {x/x son dedos de la mano}
M = {pulgar medio, anular, meñique, índice}
M = {x/x es N y 2 ≤ x < 5}
Se lee: M = x tal que x es numero natural y x es mayor o igual a 2 y menor que 5
Solución: x =?
Números naturales
0 1 2 3 4 5
M = {2, 3 ,4} porque x es numero natural, mayor o igual a 2 es decir 2 y x es menor a 5 es decir después del 2
hasta antes de alcanzar el 5 tenemos = 3 y 4
Entonces x = 2, 3, 4
INTERCEPCION DE CONJUNTOS
Z+
∞
Números naturales desde el 1 al 5 incluido el 0

Se define la intersección de los conjuntos A y B a: Conjunto de elementos que son comunes a A y B
Se denota por A ∩ B y se lee: A intersección en B
También se define que A ∩ B: es el conjunto formado por todos los elementos que están simultáneamente en
A y B, es decir:
A ∩ B = {x/x Є A y x Є B}
A ∩ B = x es tal que el elemento x pertenece a A y pertenece a B
Hay intersección cuando hay elementos comunes, es decir, el elemento de un conjunto también está en el otro.
Ejemplo:
B = {1, 3, 5, 7, 9}
C = {0, 1, 2, 3, 4}
Se pide B ∩ C = {1,3} son los elemento comunes que están en ambos conjuntos si no hay elementos comunes
= {Ø} vació
La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y se
denota como A ∩ B esto es:
A ∩ B {x/x Є A y x Є B}
A = {mango, curuela, uva, naranja, manzana, sandia}
A ∩ B = {uva, naranja, sandia}
A ∩ B
U
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
A B
U

Si tenemos dos conjuntos y queremos hallar la diferencia a A con B el resultado es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B se representa A – B, y se lee A menos B
Simbólicamente se expresa
A – B = {x/x Є A y x Є B}
La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el
conjunto de los elementos que pertenecen a Ay no pertenecen a
B y se denota A – B. Esto es: A – B = {x/x Є A y Ï B}
DIAGRAMA DE VENN
Grafico
UA
A - B
A B
Ejemplo:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {4, 5, 6, 7, 8}
A – B = {1, 2, 3} porque 4 y 5 se encuentra en A y en B
Y porque A es el que esta primero 1, 2, 3 son elemento de
A que no están en B
B – A = {6, 7, 8}
Ejemplo.
A = {mango, curuela, uva, naranja, manzana, sandia}
A – B = {mango, ciruela, naranja}
B – A = {durazno, melón, plátano}
Se puede obtener como: A – B ≠ B - A
El diagrama de Venn se deduce las
siguientes expresiones
A – B = A ∩ B’
A – B = Ø, si y solo si A C B
A – B = B – A si y solo si A = B
A – B = A, si y solo si A ∩ B = Ø
(A – B) C A
A – Ø = A
Los conjuntos A – B, A ∩ B, B – A son
mutuamente ajenos (su intersección es el
conj. Vació)

Son ilustraciones usadas y consistentes en curvas cerradas.
Se utiliza para mostrar la relación lógica o matemático entre conjuntos representando cada conjunto mediante
un ovalo a circulo.
La forma en que los círculos se interponen o se sobreponen entre si muestra todas las posibilidad lógicas entre
los conjuntos que representan.
Con los diagramas de Venn es posible representar las relaciones de intersección, por sus líneas, que a la vez
son límites, el cual se superponen
El conjunto de los elementos que pertenecen simultáneamente a otros dos conjuntos es la intersección de
ambos.
INCLUSION DE SUBCONCJUNTO
6
2
4
12
10
9
Si todos los elementos de un conjunto parte de los elementos de otro se dice que la primera es un subconjunto
del segundo o que esta incluido en el 2do. En los diagramas de Venn, todas las regiones de supervisión posible
deben ser representadas. Y cunado hay regiones que no contienen elementos (regiones vacías) la situación se
inicia anulándolas (con un color de fondo distinto)
A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
B = {1, 2, 3, 6}
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
A = {x/x es divisor natural de 12}
B = {x/x es divisor natural de 6}
A B U
U = {x/x es N ≤ 12}
DISYUNCION
5
15
13
9
13
8
9
16
7
B9
14
A9
U9
A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
B = {1, 3, 5, 15}
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,
13, 14, 15, 16}
A = {x/x es divisor natural de 12}
B = {x/x es divisor natural de 12}
U = {x/x es natural menor o igual que
≥16}
123 6
12
4
8
11
9
7
10
5

Cuando los conjuntos no tienen elementos comunes la región de superposición queda vacío
A B A = {2, 4, 6, 8}
1,
5,
3,
7,
8
8
AUB {Φ}
2,
4,
6,
8
Los siguientes diagramas muestran 4 operaciones básicas con conjuntos usando el código de colores del
semáforo
B
A A∩B AUB A - B = A
Como se desprende de las igualdades con las dos primeras operaciones (negación y conjunción) es posible
hacer las otras disyunción y sustracción.
DIAGRAMA DE VENN Y CANTIDAD DE DEFINICIONES
Los siguientes diagramas muestran la cantidad de regiones en que queda dividido el conjunto universal con
una o dos y tres definiciones
|
B = {1, 3, 5, 7, 9}
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1}
A = {X/X es par y de una cifra}
B = {X/X es impar y de cada cifra}
U = {X/X es natural ≤ que 10}
A
B B
A A
A
A
B
A
B
A

10/05/14
PRIMER TRBAJO PRACTICO DE MATEMATICAS
TEORIA DE CONJUNTOS
a) v pertenece al conjunto M
v Ì M
b) El conjunto T contiene como subconjunto al conjunto H
T Ì H
c) Entre los elementos del conjunto G no esta el Nº 2
2 Ï G
d) El conjunto Z no es un subconjunto del Conjunto A
Z Ë A
e) El conjunto X no contiene al conjunto A
X ÏA
f) El conjunto H es un subconjunto del conjunto K
H Ì k

COMPLETA LAS EXTENSIONES Î o Ï
2 Ï {1, 3, 5, 7,}
5 Є {2, 4, 5, 6}
3 Є {X/X N/2< x < 6}
2 Ï {4, 5, 6, 7}
8 Ï {x Є E N/8 < x <10}
0Ï Ø
América = {X/X es el nombre de un país}
América Ï{X/X es el nombre de un país}
12/8 Ï Ln
8 Ï {X/X es IN8< X <10}
3 Î {X/X Z+ 2 £ X<6}
Z+  Z- = {F}
Q  Q’ = R
N  Z- = {F}
Z+  N = N
Z+ = 1, 2
N = 0, 1, 2 N
DEFINIR POR COMPRENSION
C = {5, 7, 9, 11}
C = {X/X es numeró impar £5 x £11}
M = {2, 4, 6, 8}
M = {X/X es número pares 2£ x £8}
L = {p }
L = {X/X es numero irracional}
L = {XϵQ’/X = π}

DEFINIR POR EXTENSION
a) A = {X Є Z/X2 = 4}
A = X2 = 4
X = 4
X = 2
A = {±2}
b) B = {X Є Z/X - 2 = 5}
X = 5 + 2 = 7
X = 7
B = {7}
c) T = {X/X es una cifra del numero 2324}
T = {,2 3 4}
d) C = {XÎZ/x es positivo y negativo}
C = {XÎ Z/X = 0}
e) R = {XÎZ x2 = 9}
R = X2 = 9
X = 3
R = {±3}
f) Q = {X/X es una letra de la palabra calcular}
Q = {c, a, l, u, r}
g) {X/X es una letra de la palabra correcto}
{c, o, r, e, t}

¿CUALES DE LOS SIGUIENTES CONJUNTOS SON VACIOS, UNITARIOS, FINITOS O INFINITOS?
a) A = {X/X es día de la semana}
A = INFINITO
b) B = {vocales de la palabra vals}
B = {a} UNITARIO
c) C = {1, 3, 5, 7, 9…}
C = INFINITO
d) D = {X/X es un habitante de la luna}
D = {Ø} VACIO
e) E = { X Î lN /X< 15}
E = {Ø} VACIO
F) F = { X Î lN /5< X > 5}
F = {Ø} VACIO
G) H = { X Î lN /3X = 6}
H = XÎlN/3X =6
X =
6
3
= 2
X = 2 FINITO
i) I = {X/X es presidente del mar mediterráneo}
I = {Ø}
j) J = {X/X es el numero de pelos de todos los eslovacos que viven actualmente}
J = {¥} INFINITO
A = {X ÎIN/X>1} INFINITO
R = ¥
B = {X ÎQ/3<X<4} FINITO

C = {X Î2/-3 £ X £ 9} FINITO
c.b
a
+
16.b
a
+
a2
c
36.16
9
+
16.16
9
+
92
36
6x4
3
4x4
+ 3
9
+ 6
24
3
16
+ 3
9
= 6
+ 6
89
SUPRESION DE SIGNOS DE AGRUPACION
- 5m - {8n - [-13m +15 - (- m - 2n) - 21m] +10m} -10
{ [ ] }
{ }
m n m m n m m
- - - - + + + - + -
5 8 13 15 2 21 10 10
m n m m n m m
- - + - - - + - -
5 8 13 15 2 21 10 10
m n m m n m m
- - - + + + - + +
5 8 13 15 2 21 10 10
m m m m m n n
- - + - + - + + +
5 13 21 10 8 2 15 10
m n
- - +
28 6 25
2)
{ [ ( ) ] }
{ [ ] }
{ }
a b a a b a b a a
- - + - - + + - - -
3 5 3 4 2 5 2 6
a b a a b a b a a
- - + - - - + - - -
3 5 3 4 2 5 2 6
a b a a b a b a a
- - + - - - + - - -
3 5 3 4 2 5 2 6
a b a a b a b a a
+ - + + + - + + +
3 5 3 4 2 5 2 6
a a a a a a b b b
+ + + + - + + - +
3 3 2 2 5 4 5 6
+
a
6 6
DIVIDIR

1) (x4 – x2 – 2x -–1) ¸ (x2 – x –1) =
2x-8+3x2 ¸ x+2
Primer paso ordenar
3x2+2x - 8 ¸ x+2
-3x 2 - 6x 3x - 4
-4x - 8
+4x +8
(0)
2) x4 – x2 – 2x – 1 x2 – x –1
- x 4 +x 3 +x 2
x3 -2x -x2 + x +1
-x 3 –x 2 + x
- x2 – x - 1
. x 2 +x +1
(0)
3) (x6 + 6x3 - 2x5 - 7x2 - 4x + 6) ¸ (x4 - 3x2 + 2) =
x6 – 2x5 + 6x3 – 7x2 - 4x + 6 x4 - 3x2 + 2
-x 6 + 3x 4 - 2x 2 x2 – 2x +3.
-2x5 + 3x4 + 6x3 - 9x2 - 4x
2x 5 - 6x 3 + 4x
+ 3x4 - 9x2 + 6
- 3x 4 +9x 2 6
(0)
3ax+5 – 19ax+3+-10ax+4- 8ax+2 + 5ax+1 a2 – 3a + 5
CA
3x 2 = 3x
x
-4x = -4
x
CA
-x 4 = - x2
x2
x 3 = x
x2
x 2
= 1
x2
CA
x 6 = x 6-4 = 2 = x2
x4
3x 4
= - 2x
x4
3x 4 = 3
x4

3a x+5 – 10a x+4 +19a x+3 - 8a x+2 + 5a x+1 a2 – 3a + 5
- (-) (+)
+3a x+5 - 9a x+4 -15a x+3 3ax+3-ax+2- 5x+2
- a x+4 + 4ax+3 - 8a x+2
- (+) (-) (+)
- a x+4 +3 a x+3 -5a x+2
- ax+3 - 3ax+2 5ax+1
- (+) (-)
- a x+3 + 3a x+2 +5a x+2
-
( 0 )
3 a5 + 10a3b2+64a2b3-21a4b+32ab4 ¸ a3-4ab2-5a2b
3a5 -21a4b +10a3b2+64a2b3+32ab4 a3 -5a2b - 4ab2
- (-) (+) ( +)
+3a 5 -15a 4 b -12a 3 b 2 3 a2-6ab -8b2
-6a4b - 22a3b2 +64a2b3+32ab4
- (+) (-) (-)
-6a 4 b +30a 3 b 2 +24a 2 b 3
-8a3b2 + 40a2b3+32ab4
- (+) (-) (-)
-8a 3 b 2 +40a 2 b 3 +32ab 4
(0)
x6+6x3-2x5-7x2-4x+6 ¸ x4-3x2+5
x6-2x5 +6x3 -7x2 -4x + 6 x4-3x2+2
- (-) (+) (-)
+x 6 -3x 4 +2x 2 x2-2x +3
-2x5+3x4+6x3 -9x2 -4x + 6
- (+) (-) (+)
- 2x 5 +6x 3 -4x
+3x4 -9x2 + 6
- (-) (+) (-)
+ 3x 4 -9x 2 +6
(0)
3ax+5-10ax+4+19ax+3 -8ax+2+5ax+1 a2-3a+5
C.A.
3a x+5 = +3ax+5-2 = +3ax+3
a2
-a x+4 = -ax+4-2 = -ax+2
a2
-5a x+1 = - 5ax+1-2 = 5ax+2
a2
3 a 5 = 3 a5-3
a3
- 6a 4 b = -6a4-3b = -6ab
a3
-8a 3 b 2 = -8a3-3b2 = -8b2
a3
C.A
x 6 = x6-4 = x2
x4
- 2x 5 = -2x5-4 = -2x
x4
+ 3x 4 = 3
x4
- 10x 2 = -10x2-4 =-10x2
x4
C.A
3a x+5 = 3ax+5-2 = 3ax+3
a2
- a x+4 = -ax+4-2 = -ax+2
a2
a x+3 = ax+3-2 = ax+1
a2

- (-) (-) (-)
+3a x+5 + 9a x+4 +15a x+3 3ax+3-ax+2 +ax+1
- ax+4 + 4 ax+3 - 8ax+2 +5ax+1
- (+) (-) (+)
-a x+2 + 3a x+3 – 5a x+2
ax+3 - 3ax+2+5ax+1
- (-) (+) (-)
a x+3 - 3a x+2 + 5a x+1
(0)

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