Perspectivas diversas en ponencia c babbage 2010

Notas del editor

1. Haremos aquí una síntesis de los conceptos fundamentales del grupo de didactas franceses, que representan el marco teórico implícito del curso que es nuestro objeto de estudio y fundamentan nuestro análisis Otros autores que consideraremos son los que investigan los conceptos que se ponen en juego en el área específica de la geometría, y aportan fundamentos al trabajo en geometría dinámica, como la clásica teoría de Dina y Pierre Van Hiele sobre los niveles en la evolución del razonamiento geométrico, y los recientes aportes de Efraim Fischbein y Raymond Duval Dentro de la comunidad de investigadores que se interesan por los problemas relacionados con la Educación Matemática, se destaca en los últimos años un grupo que trabaja en el marco de los Institutos de Investigación sobre la Educación Matemática que fueron creados en Francia a partir de la reforma educativa de los años 60. Son en su mayoría matemáticos, que se centran en una reflexión teórica sobre el objeto y los métodos de investigación específicos en Didáctica de la Matemática como parte del quehacer matemático, sin subordinarse a teorías psicológicas o pedagógicas generales. De la misma manera que ocurre con los fenómenos económicos o sociales, consideran que un hecho didáctico no puede ser explicado por el estudio separado de cada uno de sus componentes, y que el comportamiento de estos queda modificado por su inclusión en el sistema. En ese marco consideramos al software de geometría dinámica.
2. El objeto de esta ciencia es el sistema didáctico . Se trata de un objeto cognoscible, en el sentido que la actividad científica pretende conocer el mundo. “ El didacta de las matemáticas se interesa en el juego que se realiza – tal como lo puede observar, y luego reconstruir, en nuestras clases concretas – entre un docente, los alumnos y el saber matemático” Yves Chevallard describe el sistema did á ctico en sentido estricto formado esencialmente por tres subsistemas: Docente , Alumno y Saber Ense ñ ado . Adem á s est á el mundo exterior a la escuela, en el que se encuentran la sociedad en general, los padres, los matem á ticos, etc. Entre los dos, debe considerarse un subsistema adicional, la Noosfera , que, integrado al anterior, constituye con é l el sistema did á ctico en sentido amplio. Esta es la esfera donde se piensa – seg ú n modalidades muy diferentes – el funcionamiento did á ctico. Constituida por investigadores, dise ñ adores del curriculum, formadores de profesores, dise ñ adores de textos y materiales curriculares, asociaciones de profesores, padres de alumnos, pol í ticos, directores y administradores de institutos de ense ñ anza). Es el verdadero tamiz por donde se opera la interacci ó n entre el sistema did á ctico y el entorno social. Pero adem á s, el entorno social, cultural, tecnol ó gico y cient í fico influye y condiciona el funcionamiento del sistema did á ctico.
3. Los contenidos que se transmiten en la escuela son una selecci ó n del conocimiento cient í fico. Una selecci ó n que no implica un simple recorte, sino tambi é n una transformaci ó n del saber original. A ese proceso que responde al paso del saber sabio al saber ense ñ ado Chevallard lo llama “ transposici ó n did á ctica ” .
4. Modelo normativo (centrado en el contenido) La pedagog í a es el arte de comunicar, de “ hacer pasar ” un saber. Este modelo conduce a menudo a estudiar “ tipos ” de problemas: confrontado a un nuevo problema, el alumno busca si ya ha resuelto uno del mismo tipo. Modelo incitativo (centrado en el alumno) Se basa en los intereses de los alumnos, sus motivaciones, sus propias necesidades, su entorno. El docente escucha al alumno, suscita su curiosidad, le ayuda a utilizar fuentes de informaci ó n, responde a sus preguntas, lo remite a herramientas de aprendizaje. Modelo apropiativo Se propone partir de los conocimientos previos de los alumnos, cuestionarlos para mejorarlos, modificarlos o construir nuevos. El docente propone y organiza una serie de situaciones con distintos obst á culos. Organiza la comunicaci ó n de la clase, propone, en el momento adecuado, los elementos convencionales del saber.
5. Leer hasta cita La teoría de situaciones es una teoría constructivista, en la que el aprendizaje se produce mediante la resolución de problemas. Como teoría de resolución de problemas, asigna un papel crucial al resolutor. Para que el alumno “construya” el conocimiento, es necesario que se interese personalmente por la resolución del problema planteado en la situación didáctica. Leer cita
6. La teoría de los Van Hiele postula una secuencia de “estadios” para explicar la evolución del razonamiento geométrico, que debemos considerar a la hora de diseñar situaciones didácticas con nuevas (o tradicionales) herramientas.
7. En psicología cognitiva se distingue claramente entre conceptos e imágenes, y se las considera como dos categorías mentales diferentes. Existe una tercera categoría de representaciones mentales que posee simultáneamente ambas categorías o propiedades: las figuras geométricas . Una figura geométrica es una entidad abstracta e ideal, una representación general de una categoría de objetos. Un punto, una línea, un plano, un círculo, no tienen consistencia material, color o densidad. Matemáticamente hablando, se caracterizan por su generalidad, abstracción y perfección absoluta. En consecuencia, son conceptos. Pero no son conceptos puros, porque poseen, además, propiedades espaciales: forma, localización, magnitud. Es decir, tienen un componente sensorial. “ En esta simbiosis, el aspecto figural es fuente de invenci ó n, mientras el aspecto conceptual garantiza el rigor y la consistencia l ó gica de las operaciones. ” Esta distinción es fundamental a la hora de pensar en las posibilidades de la geometría dinámica, que permite rescatar el aspecto figural (y no el simple dibujo, en el sentido que distingue Laborde) para la invención y conjetura, sin descartar el rigor de la demostración formal en el momento que se haga necesaria y que el nivel de pensamiento de los alumnos lo permita.
8. Identifica cuatro tipos de lo que llama aprehensi ó n cognitiva: 1. aprehensi ó n perceptual: es lo que se reconoce al primer golpe de vista, por ejemplo, sub-figuras que no son necesariamente relevantes para la construcci ó n de la figura geom é trica aprehensión secuencial: es la que se usa al construir una figura o al describir su construcción. En este caso, la figura no depende de la percepción sino de las restricciones matemáticas y técnicas (regla y compás o software mediante) aprehensión discursiva: el reconocimiento perceptual depende de enunciados discursivos, porque las propiedades matemáticas representadas en un dibujo no son determinadas solamente por la aprehensión perceptual, se requiere que algo sea dado a través del discurso. aprehensión operativa: comprende la operación sobre la figura, tanto mental como físicamente, que puede llevar a la solución de un problema. En un trabajo posterior El razonamiento geom é trico encierra tres clases de procesos cognitivos, que responden a funciones epistemol ó gicas espec í ficas:
9. procesos de visualizaci ó n , por ejemplo, la representaci ó n visual de enunciados geom é tricos, o la exploraci ó n heur í stica de una situaci ó n geom é trica compleja. procesos de construcci ó n (usando herramientas) procesos de razonamiento , en especial procesos discursivos para la ampliaci ó n del conocimiento, la explicaci ó n y la prueba. En la figura, cada flecha representa el modo en que un proceso cognitivo puede apoyar a otro en una actividad geom é trica. La flecha se dibuj ó punteada porque, como se explic ó anteriormente, la visualizaci ó n no siempre ayuda al razonamiento. Las flechas curvas ilustran que el razonamiento se puede desarrollar de modo independiente de los procesos de construcci ó n y visualizaci ó n. Sin embargo, Duval dice que “ esos tres tipos de procesos cognitivos est á n estrechamente conectados y su sinergia es cognitivamente necesaria para la habilidad en geometr í a ”
10. Para Duval lo que distingue la argumentaci ó n de la demostraci ó n son los v í nculos de organizaci ó n. Para que un razonamiento sea considerado una demostraci ó n, debe ser un razonamiento v á lido. En cambio, la argumentaci ó n no obedece a v í nculos de validez sino a v í nculos de pertinencia. La demostraci ó n tiene como objetivo la verdad, mientras que la argumentaci ó n busca lo cre í ble y el convencimiento de los dem á s o de s í mismos. La “ l ó gica ” de la argumentaci ó n depende m á s de las leyes de coherencia que de las leyes l ó gicas propiamente dichas. La argumentaci ó n es el tipo de razonamiento que se halla intr í nsecamente ligado al uso del lenguaje com ú n. Y por esto pareciera ser la forma natural de razonamiento. Se pone en movimiento de manera espont á nea en todas las situaciones donde un parecer, una opini ó n o una elecci ó n se pueden poner en duda y requieren una justificaci ó n. Una argumentaci ó n puede presentar distintos niveles de organizaci ó n que van desde la simple yuxtaposici ó n de razones, con o sin el uso de conectivos argumentativos, hasta una elaboraci ó n que reproduce las formas de organizaci ó n de algunos razonamientos l ó gicamente codificados. Duval hace una distinci ó n entre la argumentaci ó n que se pone en juego en matem á ticas, de tipo heur í stica, hecha para progresar en un problema, muy diferente de la argumentaci ó n ret ó rica, conducida para convencer al interlocutor o a s í mismo
11. Michel de Villiers: los paquetes de software geom é trico fueron dise ñ ados con la intenci ó n espec í fica de poner a disposici ó n del alumno un ambiente de tipo micromundo para la exploraci ó n experimental de la geometr í a plana. Probablemente el mejor aporte de la geometr í a din á mica es su potencial para alentar la experimentaci ó n y la “ investigaci ó n ” de tipo orientada de los alumnos en geometr í a. En esta aproximaci ó n investigativa, los estudiantes son inducidos tempranamente al arte de formular problemas y se les da suficiente oportunidad para la exploraci ó n, la conjetura, la refutaci ó n, la reformulaci ó n y la explicaci ó n. El disponer de software para geometr í a din á mica no s ó lo promueve la verificaci ó n de conjeturas verdaderas, sino que es ú til para la construcci ó n de contraejemplos de conjeturas falsas. Sin embargo, el desarrollo de la geometr í a din á mica, dice Duval, tambi é n ha necesitado de un cambio radical en el enfoque de la demostraci ó n. Tradicionalmente, la aproximaci ó n t í pica a la geometr í a hab í a sido siempre creando dudas en las mentes de los alumnos sobre la validez de sus observaciones emp í ricas, y por ello intentando crear una necesidad de la demostraci ó n deductiva. Pero esta estrategia no es exitosa cuando las conjeturas geom é tricas han sido minuciosamente investigadas a trav é s de su variaci ó n continua con software din á mico. Cuando los alumnos son capaces de producir numerosas configuraciones correspondientes f á cil y r á pidamente, entonces simplemente no tienen (o tienen muy poca) necesidad de una mayor convicci ó n / verificaci ó n. El lenguaje del profesor es particularmente crucial en esta fase introductoria de la demostración. De Villiers sugiere que en lugar de decir lo usual: “ No podemos estar seguros que este resultado es verdadero para todas las variaciones posibles, y por tanto tenemos que demostrarlo (deductivamente) para estar absolutamente seguros.” ... los alumnos encontrarán mucho más significativa la demostración si el profesor dice: “ Sabemos ahora que este resultado es verdadero de nuestra investigación experimental. Sin embargo veamos ahora si podemos explicar por qué es verdadero en términos de otros resultados geométricos ya conocidos. En otras palabras, cómo es consecuencia lógica de estos otros resultados.” [2] Dadas las finas diferencias conceptuales que el término verdadero puede tener, en contraste con el lenguaje común donde se lo asimila a términos menos cargados de sentido como el simple correcto , nos atrevemos a reformular esta frase retraduciendo a De Villiers: Esto es correcto en cada uno de los resultados de nuestra investigación experimental. Sin embargo, para explicar por qué es verdadero tendríamos que apelar a otros resultados geométricos ya conocidos. De un intercambio entre las posiciones de Duval y De Villiers, y los aportes de Liliana Saidón, podríamos decir que lo que permiten estos recursos dinámicos es enriquecer y potenciar las tareas de argumentación entre los alumnos, que habitualmente ocupan un lugar menor en la clase. Mediante una pregunta que comienza por Cómo hacen para... se intenta disparar una discusión grupal en la que los alumnos argumentan con eventual intervención del docente, dejándole al utilitario el rol de contralor neutro, al brindar automáticamente los resultados de las pruebas. Al delegar en el utilitario las tareas simples, (rapidez y precisión de dibujo, trazado, marcado, cálculo), los alumnos pueden concentrarse los desafíos de más alto nivel. Y de esta manera, es posible promover el entusiasmo de lo lúdico en un clima en que se “hace matemática”. [1] de Villiers Michel, El futuro de la geometría en la escuela secundaria. Universidad de Durban-Westville, Sudáfrica En: http://www.uaq.mx/matematicas/redm/art/a0203.html [Consulta: julio 2002] [2] de Villiers Michel, op cit.