Trabajo final del Equipo No. 3 del curso de Ecuaciones Diferenciales en el Instituto Tecnológico de la Laguna en Torreón, Coah. Mex. Prof. J. Agustín Flores Avila .

1. 1
Equipo Nº 3:
Alejandra Covarrubias Morales. 11130405
Héctor Omar Bonilla Villa. 11130140
José Brian Lira Fernández. 11130402
Materia: Ecuaciones Diferenciales.
5º Semestre.
Carrera: Ingeniería Mecatrónica.
Maestra: M.C. J. Agustín Flores Ávila.
Trabajo Final.
Torreón, Coahuila.
Lunes, 3 Junio de 2013.
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LA LAGUNA.

2. 2
INDICE.
Contenido: Pág.
1.-Prólogo. 3
2.-Introducción: ¿Cómo funciona el sistema de suspensión de un automóvil? 4
Componentes de la suspensión. 5
3.-Planteamiento del problema. 6
4.-Justificación. 7
5.-Enunciado del problema. 7
6.-Marco Teórico. 8
6.1.-Física. 8
6.1.1.-Segunda Ley de Newton. 8
6.1.2.-Principio de D'Alembert. 8
6.1.3.-Ley de Hooke. 9
6.1.4.-Ley de los amortiguadores. 9
6.2.-Matemática. 10
6.2.1.-Definición de Ecuaciones diferenciales. 10
6.2.2.-Clasificación de las ecuaciones diferenciales. 10
6.2.3.-Usos. 11
6.2.4.-Transformada de Laplace. 11
6.2.5.-Función escalón unitario. 12
6.2.6.-Función periódica. 12
6.2.7.-Función gamma. 12
6.2.8.-Convolución. 12
7.-Resolución del problema. 12
Resolución del problema. 13
Resolución del problema. 14
Resolución del problema. 15
Resolución del problema. 16
Resolución del problema. 17
Resolución del problema. 18
Resolución del problema. 19

3. 3
1.- Prólogo.
El presente trabajo es el producto de una ardua e interesante investigación y desde luego
del gran desarrollo de las matemáticas en la ingeniería.
Dicho trabajo está integrado fundamentalmente en 3 partes:
1º. La investigación sobre el planteamiento de un problema real en la ingeniería, para
reconocer y comprender las necesidades básicas de la sociedad y así poder
establecer los diferentes criterios de solución de dichos problemas.
2º. La investigación y la comprensión de las bases teóricas Físicas y Matemáticas, que
serán fundamentales para la resolución de un problema.
3º. La resolución matemática de un problema, aplicando los métodos matemáticos
vistos en el curso, además de la interpretación de dichos resultados.
Nosotros comprobaremos que los problemas reales pueden ser modelados o
representados mediante un sistema masa resorte amortiguador y pueden ser resueltos con
la ayuda de las ecuaciones diferenciales y de la Transformad de Laplace.
Como se verá más adelante nos daremos cuenta de que se trata de una señal de diente de
sierra en el cual se nos proporcionan valores para el resorte, la masa y el amortiguador.

4. 4
2.- Introducción:
¿Cómo funciona un sistema de suspensión del automóvil?
Cuando se habla de suspensión, nos estamos refiriendo a un sistema en el cual, un objeto se
mantiene suspendido en el aire apoyado o suspendido sobre una unión elástica con otro
objeto que sirve de apoyo sobre el suelo.
Todos sabemos que un cuerpo suspendido adquiere movimiento si sobre él se realiza una
fuerza, habremos podido darnos cuenta que la velocidad que adquiere el cuerpo en un
tiempo determinado dependerá de la masa (peso) del cuerpo, así tenemos que nos cuesta
mucho esfuerzo poner en movimiento un cuerpo pesado como un automóvil, empujándolo,
mientras que con muy poco esfuerzo podemos poner en movimiento empujando una
bicicleta. Este fenómeno de oponer resistencia al movimiento de acuerdo a la masa se
conoce como inercia.
El esquema siguiente muestra un cuerpo pesado que representa el peso del automóvil
suspendido por un elemento elástico (resorte) que se apoya sobre otro cuerpo más ligero
que representa los neumáticos.
Si ahora aplicamos una fuerza vertical de corta duración al apoyo para levantarlo, tal y
como sucede cuando un cuerpo en movimiento encuentra una protuberancia del camino, el
apoyo, de poca inercia reacciona con facilidad y se mueve en dirección vertical copiando el
perfil de la protuberancia. Pero no pasa lo mismo con el cuerpo pesado, este último ofrece
una mayor resistencia al movimiento debido a su elevada inercia, por lo que la subida del
apoyo se produce principalmente a expensas de la contracción del resorte, reduciendo
notablemente el efecto de subida del cuerpo pesado, no obstante el cuerpo pesado
siempre se moverá alguna cantidad.
Componentes de la suspensión.
Un sistema de suspensión moderno de un vehículo de carretera tiene los componentes
siguientes:
1. El neumático
2. El mecanismo de soporte

5. 5
3. El amortiguador
4. La barra estabilizadora
5. Los soportes elásticos de la carrocería
6. El asiento de los pasajeros
El neumático.
El sistema de suspensión en el automóvil comienza en el contacto del neumático con el
camino. La propia elasticidad del caucho relleno de aire proporciona un enlace muy elástico
capaz de moverse por un camino sin apenas transmitir las oscilaciones de pequeña
magnitud al resto del vehículo. La presión de inflado repercute mucho en la capacidad del
neumático de evitar la transmisión de ondulaciones al vehículo. Una presión excesiva
endurece el neumático y esta rigidez dificulta la absorción y se empeora la suspensión.
El mecanismo de soporte.
Siempre, el elemento que soporta las ruedas se conecta a la carrocería a través de un
mecanismo muy elástico que permite el movimiento relativo de las ruedas y la carrocería,
tal y como se representa esquemáticamente en el sistema de suspensión elemental tratado
arriba como un resorte.
Muelles.
Resorte de acero espiral.
Muelle de hojas superpuestas.
Bolsas de aire.
Barra de torsión.
Amortiguador.
El amortiguador es un dispositivo colocado entre el cuerpo suspendido y el apoyo, en
paralelo con el resorte, que produce una cierta resistencia al movimiento mutuo. Esta
resistencia ha sido calculada y probada para influir poco en el fenómeno de movimiento
mutuo cuando se produce la perturbación, pero que amortigua rápidamente la posibilidad
de la oscilación natural del sistema elástico después.
Barra estabilizadora.
Este elemento es esencialmente una barra de acero elástica en forma de U alargada
conectada en un extremo, al mecanismo de suspensión de un lado del vehículo, y en el otro
extremo al otro lado del mecanismo de suspensión de la otra rueda, representada de color
naranja en la figura de abajo.
Esta barra torciéndose, transfiere parte de la carga adicional aplicada a la suspensión del un
lado, a la suspensión del otro lado, cuando el vehículo hace un giro, reduciendo
notablemente la inclinación de la carrocería. [1]

6. 6
3.-Planteamiento del problema.
Sistema de suspensión del automóvil.
Equipo (Función).
Sistema de Suspensión Rígida usada por Volkswagen:
Su función es la de suspender y absorber los movimientos bruscos que se producirían en la
carrocería, por efecto de las irregularidades que presenta el camino, proporcionando una
marcha suave, estable y segura.
Para lograr dicha finalidad estos componentes deben ir entre el bastidor (carrocería) y los
ejes donde van las ruedas. [2]
Otras funciones.
*Reducción de fuerzas causadas por irregularidades del terreno.
*Control de la dirección del vehículo.
*Mantenimiento de la adherencia de los neumáticos a la carretera.
*Mantenimiento de una correcta alineación de las ruedas.
*Soporte de la carga del vehículo.
*Mantenimiento de la altura óptima del automóvil. [3]
Empresa.
Volkswagen.
En alemán ‘automóvil del pueblo’, es un fabricante de automóviles con sede
en Wolfsburgo, Alemania. Forma parte del Grupo Volkswagen, el mayor
fabricante de automóviles de Europa. Se fundó el 28 de mayo de 1937 por el
alemán Ferdinand Porsche. [4]
Modelo:Jetta 2013.
Desperfecto.
 Quisiera comentar que mi auto Jetta 2013 ha sufrido 2 colisiones debido a que he
tenido que frenar de emergencia y en ambos caso el auto se amarro. – Anónimo. [5]
 El nuevo Jetta tiene una vibración en punto muerto. – Anónimo. [6]
 Cuando paso por un bache, se golpea muy fuerte como si no trajera llanta y se siente
el golpe, como si trajera solamente el rin. –Anónimo. [7]
 Periódico Excélsior: 7 de abril.- La mañana de este domingo dos personas perdieron la
vida después de verse involucradas en accidentes automovilísticos registrados en
distintos puntos de la Ciudad de México. [8]

7. 7
 Le fallaron los frenos a un Jetta. [9]
4.- Justificación.
Desgaste de piezas.
Holguras en articulaciones,
Fugas de líquido en los amortiguadores.
Se tiene que estar checando continuamente para ver si no hay problemas con el
sistema de suspensión.
5.- Enunciado del problema.
Se tiene un sistema masa-resorte-amortiguador con los valores: M=4, D=4 y K=1
A este sistema se le aplica fuerza como la mostrada en la figura. Considerando que x(0)=0 y
x´(0)=1, determine:
M=4, D=4, K=1
a) Desplazamiento máximo en amplitud y en tiempo.
b) El tiempo para llegar a cero, considerando a 0 como el 5% de amplitud máxima.
c) Clasifique el sistema:
d) La posición de la masa en los instantes en que t=1/4, 1/3, ½ del tiempo que tarda para
llegar a cero.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2
G(t)
Tiempo
Fuerza

8. 8
6.- Marco Teórico.
6.1.- Física.
6.1.1.-Segunda Ley de Newton.
La Segunda Ley de Newton establece lo siguiente:
Esta ley explica qué ocurre si sobre un cuerpo en movimiento (cuya masa no tiene por qué
ser constante) actúa una fuerza neta: la fuerza modificará el estado de movimiento,
cambiando la velocidad en módulo o dirección. En concreto, los cambios experimentados
en el momento lineal de un cuerpo son proporcionales a la fuerza motriz y se desarrollan en
la dirección de esta; las fuerzas son causas que producen aceleraciones en los cuerpos.
Consecuentemente, hay relación entre la causa y el efecto, la fuerza y la aceleración están
relacionadas. Dicho sintéticamente, la fuerza se define simplemente en función del
momento en que se aplica a un objeto, con lo que dos fuerzas serán iguales si causan la
misma tasa de cambio en el momento del objeto. [10][11]
6.1.2.-Principio de D'Alembert.
El principio de D'Alembert es realmente una generalización de la segunda ley de Newton en
una forma aplicable a sistemas con ligaduras, ya que incorpora el hecho de que las fuerzas
de ligadura no realizan trabajo en un movimiento compatible.
Debe señalarse que el principio de D'Alembert es peculiarmente útil en la mecánica de
sólidos donde puede usarse para plantear las ecuaciones de movimiento y cálculo
de reacciones usando un campo de desplazamientos virtuales que sea diferenciable. En ese
caso el cálculo mediante el principio de D'Alembert, que también se llama en ese
contexto principio de los trabajos virtuales es ventajoso sobre el enfoque más simple de
la mecánica newtoniana.
El principio de D'Alembert establece que para todas las fuerzas externas a un sistema:
Donde la suma se extiende sobre todas las partículas del sistema, siendo:
, momentum de la partícula i-ésima.
, fuerza externa sobre la partícula i-ésima.
“La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre
él e inversamente proporcional a su masa”.

9. 9
, Cualquier campo vectorial de desplazamientos virtuales sobre el conjunto de
partículas que sea compatible con los enlaces y restricciones de movimiento
existentes. [12]
6.1.3.-Ley de Hooke.
En física, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente
formulada para casos del estiramiento longitudinal, establece que el
alargamiento unitario que experimenta un material elástico es
directamente proporcional a la fuerza aplicada F:
Donde es el alargamiento, L es la longitud original, E es el módulo de
Young, A la sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elásticos
hasta un límite denominado límite elástico.
La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la
ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida en el resorte con
la elongación o alargamiento producido:
Donde k es la constante elástica del resorte y es su elongación o variación que
experimenta su longitud. [13][14]
6.1.4.-Ley de los amortiguares.
En el mundo real esto no es posible. En todo proceso físico hay pérdidas por el motivo que
sea, no existe el movimiento continuo (a excepción de las ideas de Einstein al respecto), y
en este caso se producen por el amortiguamiento de este movimiento vibratorio armónico
simple:
El amortiguamiento se comporta como una fuerza proporcional a la velocidad, como lo son
las fuerzas de rozamiento con fluidos (aire, agua...) y por ello la fórmula es la misma. c es un
coeficiente de rozamiento viscoso.
F=c*v = c*x'
(Cuando el cono está parado no se mueve, por lo que o no hay fuerza o está compensada),
la ecuación se hace:

10. 10
Se pueden presentar tres posibles casos:
Movimiento sobreamortiguado, movimiento críticamente amortiguado y movimiento
subamortiguado. [15]
6.2.- Matemática:
Ecuaciones Diferenciales:
6.2.1.-Definición:
Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene derivadas o diferenciales; de una
o más variables dependientes, respecto a una o más variables independientes. [16]
6.2.2.-Clasificación:
a) Tipo:
Ecuaciones diferenciales ordinarias:aquellas que contienen derivadas respecto a una sola
variable independiente.
Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o
más variables.
b) Según el orden:
El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la
ecuación.
c) Según el grado.
Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando
la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.
d) Linealidad.
Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma:
-
-
, es decir:
*Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
*En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable
independiente.
*Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación. [17]

11. 11
6.2.3.-Usos:
Para el modelado de problemas matemáticos, físicos, químicos, eléctricos, etc..
Leyes de movimiento de Newton, en circuitos eléctricos (Ley de Kirchoff), mezclas
químicas, flujo de calor, crecimiento y decaimiento, en cohetes, en geometría, deflexión de
vigas, crecimiento biológico, oferta y demanda, entre muchos otros. [18]
6.2.4.-La Transformada de Laplace.
La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas
transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la
transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una
integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra
variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones
Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED
con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes.
Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su
mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en
la ED es una función seccionada.
Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación
diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a
la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora
consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión
como transformada.
La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, o en
análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la
función F(s), definida por:
Siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino una
distribución con una singularidad en 0, la definición es:
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión
unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:
La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a,

12. 12
donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
es llamado el operador de la transformada de Laplace. [19]
[20]

13. 13
7.-Resolución del problema.
Se tiene un sistema masa resorte amortiguador M=4 D=4 K=1.
A este sistema se le aplica una fuerza como la mostrada en la figura, considerando que
x(0)=0 y x'(0)=1.
Determine :
A) El desplazamiento maximo en amplitud y en tiempo.
B) Tiempo para llegar a 0, considerando el 0 como el 5% de la amplitud maxima.
C) Clasifique el sistema.
D) La posicion de la masa en los instantes en los que T= 1/4 , 1/3 , 1/2 del tiempo que tarda
para llegar a 0.
Ecuación de un sistema masa resorte amortiguador: Mx'' + Dx' + Kx = f(t)
Fuerza expresada en escalones:
Otra forma de expresar la fuerza:
M 4 D 4 K 1
g t( ) t( ) t( ) t 1( )( )[ ] 2 t( ) t 1( ) t 2( )( )[ ][ ]
f t( ) t 0 t 1if
2 t( ) 1 tif
1 0 1 2
1
0.5
0.5
1
1
g t( )
1 2
t

14. 14
Sustituimos M, D, K y f(x) en la ecuación del sistema masa resorte amortiguador:
Mx'' + Dx' + Kx = f(t)
4x''+4x'+x=[(t)(Φ(t)-Φ(t-1))+(2-t)(Φ(t-1)-Φ(t-2))]
Aplicando la Transformada de Laplace:
L{4x''+4x'+x=[(t)(Φ(t)-Φ(t-1))+(2-t)(Φ(t-1)-Φ(t-2))]}
Aplicando las siguientes fórmulas de Laplace:
Calculando la Transformada de Laplace de f(t):
Otras formas de representar f(t):
1 0 1 2
1
0.5
0.5
1
1
f t( )
1 2
t
f t( ) t( ) t( ) t 1( )( )[ ] 2 t( ) t 1( ) t 2( )( )[ ][ ]
L x´´( ) s
2
x s( ) sx 0( ) x´ 0( )
L x´( ) sx s( ) x 0( )
L x( ) x s( )
F s( ) f t( ) laplace
e
s
1
2
s
2
e
2s
e
s
1
2
s
2

15. 15
NOTA: Calculados en Wolfram Alpha.
Sustituyendo las Transformadas de Laplace:
- )+
Sustituyendo las condiciones iniciales y desarrollando álgebra, despejamos para x(s):
x(0)=0 y x'(0)=1.
-1)+
-4+
Ecuación sin la señal de entrada:
Obtener h(t):
e
2s
2e
s
1
s
2
2e
s
s 1( )
s
2
e
s
2s 1( )
s
2
1
s
2
2e
2s
s
2e
s
s
4 s(
2
x s( ) sx 0( ) x´ 0( ) 4 sx s( ) x 0( )( ) x s( )
e
s
1
2
s
2
4 s(
2
x s( ) 4 sx s( )( ) x s( )
e
s
1
2
s
2
4s
2
x s( ) 4sx s( ) x s( )
e
s
1
2
s
2
x s( ) 4s
2
4s 1
e
s
1
2
s
2
4
H s( )
1
M s
D
2M
2
K
M
D
2
4M
2
1
4 s
1
2
2
h t( ) H s( ) invlaplace
t e
t
2
4
h t( )
t e
t
2
4

16. 16
Utilizando la Transformada inversa de Laplace.
Calcular x(t).
0 5 10 15
1
0.5
h t( )
t
x s( ) 4s
2
4s 1
e
s
1
2
s
2
4
x s( )
e
2s
2e
s
1
s
2
4s
2
4s 1
4
4s
2
4s 1
x1 s( )
e
2s
s
2
4s
2
4s 1
x1 t( ) t 2( ) 4 e
t 2( )
2
t 2( ) e
t 2( )
2
4 t 2( )
x2 s( )
2e
s
s
2
4s
2
4s 1
x2 t( ) t 1( ) 4 e
t 1( )
2
t 1( ) e
t 1( )
2
4 2( ) t 1( )
x3 t( )
1
s 4 s
2
4 s 1
invlaplace 1
t e
t
2
2
e
1
2
t

17. 17
Obtener x(t).
a)
b)
c)
Entonces el sistema es sub-amortiguado.
x t( )
4
4s
2
4s 1
invlaplace 4 t e
t
2
x4 t( ) 4 t e
t
2
t( )
x t( ) x1 t( ) x2 t( ) x3 t( ) x4 t( )
x t( ) t 2( ) t 4 e
1
t
2
e
1
t
2
t 2( ) 6 t 1( ) 2 t 8 e
1
2
t
2
2 e
1
2
t
2
t 1( ) 10
t e
t
2
2
e
1
2
t
x t( ) x t( ) t( )
x t( ) t( ) e
t
2
t 1( ) 2 t 8 e
1
2
t
2
2 e
1
2
t
2
t 1( ) 10
t e
t
2
2
t 2( ) t 4 e
1
t
2
e
1
t
2
t(
x 0( ) 0
0 2 4 6
2
4
0.157
3.142
x t( )
2.003 5.52
t
dx t( )
t
x t( )
d
d
t1 3
tm root dx t1( ) t1( ) 2.003 Desp x tm 3.142
Desp0 Desp 0.05 0.157
t_cero 5.52
D
2M
0.5
1

18. 18
d)
velocidad y aceleración:
tiempo_medio
1
2
t_cero
x tiempo_medio( ) 2.896
tiempo_tercio
1
3
t_cero
x tiempo_tercio( ) 3.128
tiempo_cuarto
1
4
t_cero
x tiempo_cuarto( ) 2.917
v t( )
t
x t( )
d
d
v 0( ) 1

19. 19
a t( )
2
t
x t( )
d
d
2
0 5 10
4
2a t( )
t
4