Reporte del.Equipo Cuatro

Tecnológico Nacional de México
Instituto Tecnológico de la Laguna
Unidad IV
Proyecto Integrador.
Ecuaciones Diferenciales.
Clave oficial: ACF0905 Hora: 10:00 - 11:00
M.C. J. Agustín Flores Ávila.
Equipo 4
Enrique Mejía Gámez N.C. 18130663
Luis Gerardo Villa Puentes N.C.18130673
Christian Eduardo Castañeda Valverde N.C. 18130711
Torreón Coahuila a 22 de mayo de 2020

2
Torreón Coah. México
AGRADECIMIENTO
Sin más que hablar de esta unidad, damos paso a dar un agradecimiento especial
al M.C. J. Agustín Flores Ávila, pues como en cada Unidad del curso presente, ha
mostrado especial interés en sus alumnos de Ingeniería Eléctrica para que el
aprendizaje sea eficiente, estando en toda la disposición de ayudar a aquellos que
muestran interés por aprender, por su materia y por trabajar, pues todo esfuerzo es
base del éxito.
Reconociendo que el contenido ofrecido para impartir la materia ha sido
“completísimo”, pues para lograr comprender cada ejercicio se ha dado el tiempo
de dar su explicación paso a paso, aún y si fuese para un chavo de secundaria, su
comprensión es demasiado sencilla, lo que hace aumentar nuestro cariño por las
matemáticas y en su defecto, por la carrera. A lo largo de este curso nos ha
mostrado una nueva forma de aprendizaje, donde sabemos que apoya a aquellos
que denotan algo diferente al resto, donde se interesa por sus alumnos y que estén
al corriente a diferencia de otros casos (sin dar nombres).
También lamentamos en su modo el tiempo que hemos tardado en atender las
actividades propuestas, pero siempre estando al corriente de la forma más eficaz
posible, pues valoramos el trabajo y tiempo que nos proporciona, aprovechando al
máximo su atención. Nos fascina el hecho de que, a pesar de esta contingencia,
usted no se ha detenido “a ver que pasa”, por el contrario, nos ha mostrado que aún
y las situaciones que se nos pongan en frente, hay que afrontar cada una de ellas
de todos los modos posibles, todo siendo por no estancarse y quedarse en donde
estamos, sino por aprender y “salir” diferente a como entramos al curso.
Sin más que decir, le reiteramos nuestros agradecimientos, estando en toda nuestra
disposición de atender todo lo que venga con las mejores ganas de aprender.

3
MARCO TEÓRICO
Las ecuaciones diferenciales lineales de segundo son expresiones matemáticas
que tienen una representación física en circuitos eléctricos y mecánica. Abordando
el enfoque mecánico de estas ecuaciones podemos deducir que representan un
sistema mecánico traslacional (masa-resorte-amortiguador). Las leyes físicas que
nos sustentan estas ecuaciones son las siguientes:
El Principio de D’Alembert
En un sistema mecánico traslacional, la fuerza externa aplicada se distribuye entre
cada uno de sus componentes según su propia ley.
De acuerdo con este principio, la fuerza aplicada a nuestro sistema se distribuirá en
el resorte, en la masa, y en el amortiguador.
𝐹𝑎 = 𝐹 𝑀 + 𝐹𝐾 + 𝐹𝐷
Segunda Ley de Newton para la masa.
Cuando se ve desde un marco de referencia inercial, la aceleración de un objeto es
directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él e inversamente
proporcional a su masa:
𝑎 ∝
∑ 𝐹
𝑚
Si se elige una constante de proporcionalidad 1, se relaciona masa, aceleración y
fuerza a través del siguiente enunciado matemático de la segunda ley de Newton:
∑ 𝐹 = 𝑚𝑎
Ley de Hooke
Que concisamente nos dice que FK=kx; la fuerza en el resorte es proporcional a la
longitud que se extiende o comprime el resorte.
Ley de los amortiguadores
Que concisamente nos dice que FD=Dv; la fuerza aplicada es proporcional a la
velocidad con la que se desplaza el amortiguador.
Adecuando las ecuaciones de la aceleración y la velocidad para su forma en el
Cálculo infinitesimal tenemos:
𝑚
𝑑2
𝑑𝑡2
𝑥(𝑡) + 𝐷
𝑑
𝑑𝑡
𝑥(𝑡) + 𝐾𝑥(𝑡) = 𝐹𝑎

4
Vibración forzada no amortiguada
Se considera que la vibración forzada no amortiguada es uno de los tipos más
importantes de movimiento vibratorio en el campo de la ingeniería. Sus principios
pueden utilizarse para describir el movimiento de muchos tipos de máquinas y
estructuras.
Fuerza periódica
El bloque y resorte que se muestran en la siguiente figura constituyen un modelo
conveniente para representar las características vibratorias de un sistema sometido
a una fuerza periódica 𝐹 = 𝐹0sin⁡( 𝜔0 𝑡). Esta fuerza tiene una amplitud de F0 y una
frecuencia forzada ω0.
Al aplicar la ecuación de movimiento, tenemos:
𝑚𝑥′′
+ 𝑘𝑥 = 𝐹0sen⁡( 𝜔0 𝑡)
Esta ecuación es una ecuación diferencial de segundo grado no homogénea. La
solución general consta de una solución complementaria y una particular.
La solución complementaria se determina al establecer el término del lado derecho
de la ecuación igual a cero y resolver la ecuación homogénea resultante.
𝑋𝑐 = 𝐶𝑠𝑒𝑛(𝜔 𝑛 𝑡 + 𝜙)
Donde ωn es la frecuencia natural, 𝜔 𝑛 = √𝑘/𝑚
Como el movimiento es periódico, la solución particular puede determinarse si se
supone una solución de la forma.

5
𝑋 𝑝 = 𝑋⁡𝑠𝑒𝑛(𝜔0 𝑡)
Donde X es una constante. Si calculamos la segunda derivada con respecto al
tiempo y sustituimos en la ecuación diferencial obtenemos:
−𝑋𝜔0
2
𝑠𝑒𝑛(𝜔0 𝑡) +
𝑘
𝑚
(𝑋𝑠𝑒𝑛(𝜔0 𝑡)) =
𝐹0
𝑚
𝑠𝑒𝑛(𝜔0 𝑡)
Al factorizar 𝑠𝑒𝑛(𝜔0 𝑡) y resolver para X obtenemos
𝑋 =
𝐹0/𝑚
(𝑘/𝑚) − 𝜔0
2
=
𝐹0/𝑘
1 − (𝜔0/𝜔 𝑛)2
Sustituimos en la ecuación de la solución particular y obtenemos:
𝑋 𝑝 =
𝐹0/𝑘
1 − (𝜔0/𝜔 𝑛)2
⁡𝑠𝑒𝑛(𝜔0 𝑡)
La solución general es, por consiguiente, la suma de dos funciones seno de
frecuencias diferentes.
𝑥(𝑡) = 𝑋𝑐 + 𝑋 𝑝 = 𝐶𝑠𝑒𝑛(𝜔 𝑛 𝑡 + 𝜙) +
𝐹0/𝑘
1 − (𝜔0/𝜔 𝑛)2
⁡𝑠𝑒𝑛(𝜔0 𝑡)
La solución complementaria Xc define la vibración libre, la cual depende de la
frecuencia natural 𝜔 𝑛 = √𝑘/𝑚 y las constantes C y φ.
La solución particular Xp describe la vibración forzada del bloque provocada por la
fuerza aplicada 𝐹0sen⁡( 𝜔0 𝑡). Como todos los sistemas vibratorios se someten a
fricción, la vibración libre, Xc, se amortiguará al paso del tiempo. Por eso la vibración
libre se conoce como transitoria y la vibración forzada se conoce como de estado
continuo, puesto que es la única vibración que permanece.

6
Resuelva la siguiente ecuación diferencial mediante Laplace dadas las diferentes
condiciones iniciales.
X’’ + 9x = f(t)
a) Diga qué tipo de problema modela.
-Modela un sistema masa-resorte con masa unitaria y resorte con k=9 al
que se le aplica una fuerza unitaria positiva durante 2 segundos en el
momento que estará por aplicársele dicha fuerza.
b) Interprete las condiciones iniciales.
Nos indica el momento en el que “partimos” de una posición en otra, en
este caso, como no existe una diferencia de condiciones, podemos decir
que el momento del que hablamos es justo el instante en el que está por
aplicársele una fuerza.
c) Justifique el proceso de resolución.
𝑥´´ + 9𝑥 = 𝑢(𝑡) − 𝑢(𝑡 − 2)
𝐿(𝑥´´ + 9𝑥 = 𝑢(𝑡) − 𝑢(𝑡 − 2)) = 𝑋(𝑠)(𝑠2
+ 9) − 𝑠 − 1 =
1
𝑠
−
𝑒−2𝑠
𝑠
𝑋(𝑠) =
𝑠
𝑠3 + 9𝑠
−
𝑒−2𝑠
𝑠3 + 9𝑠
+
𝑠2
𝑠3 + 9𝑠
+
1
𝑠3 + 9𝑠
d) Que estrategias empleó, y porqué, para determinar la inversa.
Hemos empleado el método de la Transformada de Laplace, la cual nos
lleva a un sistema que está “desfasado” en el tiempo 2 unidades. Lo que
hicimos fue utilizar nuestro conocimiento del álgebra elemental para poder
“moldear” una función que fuera fácilmente transformable mediante la
inversa, al encontrar ciertas fórmulas que no podemos emplear, recurrimos
al uso de las propiedades de la transformada inversa.
Por último, y para corroborar nuestros resultados, hemos colocado nuestra
función en MathCad.
X t( )
1
3
sin 3t( ) cos 3t( )
2
9
sin
3
2
t











2







 t( )
2
9
sin
3
2
t 2( )











2







 t 2( )

7
e) Análisis del sistema mediante el estudio de la función respuesta junto con
su gráfica.
a) La posición de la masa para tres valores diferentes del tiempo.
b) Si es oscilatorio determine:
1. Amplitud máxima y mínima.
Máxima: 2.12
Mínima: 1.89818
2. Frecuencia angular en “ω” en rad/seg.
ω= 3.1315 rad/ seg
3. Frecuencia “f” en c.p.s.
F=0.4984 c.p.s.
4. Periodo “T”.
T= 2.0064
5. Primer cero para t≠0.
Podemos considerarlo como 0.
X t( )
1
3
sin 3t( ) cos 3t( )
2
9
sin
3
2
t











2







 t( )
2
9
sin
3
2
t 2( )











2







 t 2( )
0 5 10
2
1
1
2
X t( )
t
X 0.682312( ) 5.56 10
5


8
6. Quinto cero en cualquier sentido.
7. Numero de ciclos en 10 segundos.
4.98 ciclos.
8. Posición en estado estacionario.
Dado que se trata de una función oscilante, conforme el tiempo tiende a infinito su
posición es indeterminada
9. Verifique el teorema del valor inicial.
10.Verifique el teorema del valor final.
f) ¿existe otra alternativa para resolverla aparte de Laplace?
Quizás mediante el método del cálculo de variables, pero nosotros
deducimos que mediante la Transformada, nuestra solución la
obtendríamos mediante un proceso más “económico”.
X 4.811( ) 1.091 10
3


9
-Modela un sistema masa-resorte con masa unitaria y resorte con k=9 al
que se le aplica una fuerza unitaria positiva durante (
𝜋
3
) segundos que parte
del reposo con una velocidad positiva hasta el momento del equilibrio
unitario.
b) Interprete las condiciones iniciales.
Nos muestra un sistema en el que comienza del reposo y llega al instante
del equilibrio, dada la diferencia de condiciones que se sustituyen en cada
variable de nuestro sistema.
𝑥´´ + 9𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑡)(𝑢(𝑡) − 𝑢 (𝑡 −
𝜋
3
))
𝐿𝑥´´ + 9𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑡) (𝑢(𝑡) − 𝑢 (𝑡 −
𝜋
3
)) = 𝑋(𝑠)(𝑠2
+ 9) − 1 =
3 + 3𝑒−
𝜋𝑠
3
(𝑠2 + 9)
⁡
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑋(𝑠) =
3 + 3𝑒−
𝜋𝑠
3 + 𝑠2
+ 9
(𝑠2 + 9)2
d) Que estrategias empleó, y porqué, para determinar la inversa.
Del mismo modo que en el ejercicio pasado, nuestra “arma” principal y
fundamental fue el álgebra elemental, lo que nos ayuda a generar una función que
fuese “acomodada” para poder emplear la Transformada inversa de Laplace con
un defasamiento de
𝜋
3
. El uso de las propiedades también fue importante, ya que
hemos llegado a un punto en el que no encontramos una fórmula que aplicáramos
directamente. Por último, nos vimos en la necesidad de emplear MathCad. Tanto
por corroboración como por necesidad.
X t( )
1
18
sin 3t( )
1
6
cos 3t( ) t

3












 t

3







7
18
sin 3t( )
1
6
t cos 3t( )





 t( )

10
su gráfica.
a) La posición de la masa para tres valores diferentes del tiempo.
b) Si es oscilatorio determine:
1. Amplitud máxima y mínima.
Máxima: 0.778
Mínima: 0.752
2. Frecuencia angular en “ω” en rad/seg.
ω= 2.9962 rad/ seg
3. Frecuencia “f” en c.p.s.
F=0.47687 c.p.s.
4. Periodo “T”.
T= 2.097
5. Primer cero para t≠0.
6. Quinto cero en cualquier sentido.
X 1.208( ) 2.236 10
5

X 5.4( ) 3.645 10
3


11
7. Numero de ciclos en 10 segundos.
4.76 ciclos.
8. Posición en estado estacionario.
9. Verifique el teorema del valor inicial.
10.Verifique el teorema del valor final.
f) ¿existe otra alternativa para resolverla aparte de Laplace?
Volvemos a mencionar el cálculo de diversas variables, pero volvemos a la
justificación que quizás la Transformada de Laplace haya sido el camino
más “económico” para poder llegar a nuestra función solución.

12
Sistema masa resorte con masa unitaria y constante de resorte k=9 que se le aplica
una fuerza periódica linealmente decreciente cada dos segundos.
b) Interprete las condiciones iniciales
Con fines de simplicidad del problema, las condiciones iniciales son nulas. Es un
sistema que parte del reposo desde el punto de equilibrio.
ℒ{𝑥′′
+ 9𝑥} = ℒ{𝑓(𝑡)}
∫ (2 − 𝑡)𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
2
0
= ∫ 2𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
2
0
− ∫ 𝑡𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
2
0
= [−
2
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
] {
2
0
− [−
𝑡
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
−
𝑒−𝑠𝑡
𝑠2
] {
2
0
= [−
2
𝑠
𝑒−2𝑠
+
2
𝑠
] − [−
2
𝑠
𝑒−2𝑠
−
𝑒−2𝑠
𝑠2
+
1
𝑠2
] =
𝑒−2𝑠
𝑠2
−
1
𝑠2
+
2
𝑠
ℒ{𝑓(𝑡)} =
1
1 − 𝑒−2𝑠
(
𝑒−2𝑠
+ 2𝑠 − 1
𝑠2
) = −
𝑒−2𝑠
+ 2𝑠 − 1
𝑠2(𝑒−2𝑠 − 1)
𝑠2
𝐹(𝑠) + 9𝐹(𝑠) = −
𝑒−2𝑠
+ 2𝑠 − 1
𝑠2(𝑒−2𝑠 − 1)
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎⁡𝑑𝑒⁡𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒⁡𝑝𝑎𝑟𝑎⁡𝑢𝑛𝑎⁡𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛⁡𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑎
1
1 − 𝑒−𝑠𝑇
∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
𝑇
0

13
𝐹(𝑠) = −
𝑒−2𝑠
+ 2𝑠 − 1
𝑠2(𝑒−2𝑠 − 1)(𝑠2 + 9)
=
1
𝑠2(𝑠2 + 9)
(−
𝑒−2𝑠
+ 2𝑠 − 1
𝑒−2𝑠 − 1
)
Enfocándonos en el factor: (−
𝑒−2𝑠+2𝑠−1
𝑒−2𝑠−1
)
(−
𝑒−2𝑠
+ 2𝑠 − 1
𝑒−2𝑠 − 1
) =
2𝑠
1 − 𝑒−2𝑠
− 1
∑ 𝑎𝑟 𝑛
= 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2
+ ⋯ 𝑎𝑟 𝑛
=
𝑎
1 − 𝑟
∞
𝑛=0
; 𝑠𝑖⁡|𝑟| < 1
2𝑠
1 − 𝑒−2𝑠
= 2𝑠 + 2𝑠𝑒−2𝑠
+ 2𝑠𝑒−4𝑠
+ 2𝑠𝑒−6𝑠
+ ⋯ 2𝑠𝑒−2𝑛𝑠
∑ 2𝑠𝑒−2𝑛𝑠
∞
𝑛=0
=
2𝑠
1 − 𝑒−2𝑠
Entonces:
𝐹(𝑠) =
1
𝑠2(𝑠2 + 9)
(∑ 2𝑠𝑒−2𝑛𝑠
∞
𝑛=0
− 1)
𝐹(𝑠) = [
2𝑠
𝑠2(𝑠2 + 9)
∑ 𝑒−2𝑛𝑠
∞
𝑛=0
] −
1
𝑠2(𝑠2 + 9)
= [
2
𝑠(𝑠2 + 9)
∞
𝑛=0
] −
1
𝑠2(𝑠2 + 9)
ℒ−1[𝐹(𝑠)] = ℒ−1
[
2
𝑠(𝑠2 + 9)
∞
𝑛=0
] − ℒ−1
[
1
𝑠2(𝑠2 + 9)
]
ℒ−1
[
2
𝑠(𝑠2 + 9)
] =
2
9
−
2cos⁡(3𝑡)
9
ℒ−1
[
1
𝑠2(𝑠2 + 9)
] =
𝑡
9
−
sin⁡(3𝑡)
27
ℒ−1[𝐹(𝑠)] = ∑ [(
2
9
−
2
9
cos(3(𝑡 − 2𝑛))) 𝑢(𝑡 − 2𝑛)]
∞
𝑛=0
+ [
sin(3𝑡)
27
−
𝑡
9
] 𝑢(𝑡)
𝑥(𝑡) = ∑ [(
2
9
−
2
9
cos(3(𝑡 − 2𝑛))) 𝑢(𝑡 − 2𝑛)]
∞
𝑛=0
+ [
sin(3𝑡)
27
−
𝑡
9
] 𝑢(𝑡)

14
d) Qué estrategia empleó, y por qué, para determinar la inversa
ℒ−1[𝐹(𝑠)] = ℒ−1
[
2
𝑠(𝑠2 + 9)
∞
𝑛=0
] − ℒ−1
[
1
𝑠2(𝑠2 + 9)
]
Para la inversa de
2
𝑠(𝑠2+9)
∑ 𝑒−2𝑛𝑠∞
𝑛=0 se utilizó la propiedad siguiente:
𝑆𝑖⁡ℒ−1{𝐹(𝑠)} = 𝑓(𝑡), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠⁡ℒ−1{𝑒−𝑎𝑠
𝐹(𝑠)} = 𝑓(𝑡 − 𝑎)𝑢(𝑡 − 𝑎)
Donde la inversa de F(s) tiene una fórmula directa:
ℒ−1
[
2
𝑠(𝑠2 + 9)
] = 2 (
2 (sin (
3
2
𝑡) ⁡)
2
9
) =
4
9
(sin (
3
2
𝑡) ⁡)
2
Para hacerlo coincidir con el resultado dado en MathCad:
Se hace uso de la siguiente identidad trigonométrica
Así:
El cociente
2𝑠
1−𝑒−2𝑠 tiene la forma de una serie geométrica convergente, con una razón
r=e-2s, y un término inicial igual a 2s. Por lo tanto, se puede poner en notación de
sumatoria como:⁡∑ 2𝑠𝑒−2𝑛𝑠∞
𝑛=0
Igualmente esto se puede comprobar realizando la división algebraica entre el
numerador y denominador.
Entonces la inversa queda de la siguiente forma:

15
⁡∑ [(
2
9
−
2
9
cos(3(𝑡 − 2𝑛))) 𝑢(𝑡 − 2𝑛)]
∞
𝑛=0
La inversa ℒ−1
[
1
𝑠2(𝑠2+9)
] no cuenta con una fórmula directa, y se hizo uso de la
propiedad siguiente:
ℒ−1
[
1
𝑠2 + 9
] =
sin⁡(3𝑡)
3
La doble integral de la propiedad se realizó en MathCad, por simplicidad y
aprovechamiento de sus funciones:
Así la Laplace inversa total quedó de la siguiente manera
𝑥(𝑡) = ∑ [(
2
9
−
2
9
cos(3(𝑡 − 2𝑛))) 𝑢(𝑡 − 2𝑛)]
∞
𝑛=0
+ [
sin(3𝑡)
27
−
𝑡
9
] 𝑢(𝑡)

16
su gráfica
Posición de la masa para tres valores diferentes del tiempo
Haciendo uso de la función “trace” de MathCad, encontramos:
x(1.4)=0.14333
x(23.2)=0.8158
x(41.7)=0.18278

17
1. Amplitud máxima y mínima
Amp. Máxima = 1.66
Amp. Mínima = -1.44
2. Frecuencia angular “ω” en rad/seg
Tomando como periodo T=43.5 seg
𝜔 =
2𝜋
𝑇
=
2𝜋
43.5
= 0.1444⁡𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
3. Frecuencia angular “f” en c.p.s
𝑓 =
1
𝑇
=
1
43.5
= 0.02298⁡𝐻𝑧
4. Periodo T
𝑇 = 43.5⁡𝑠𝑒𝑔

18
5. Primer cero para t diferente de 0
6. Quinto cero
7. Número de ciclos en 10 segundos
(0.02298⁡𝐻𝑧)(10⁡𝑠𝑒𝑔) = 0.2298⁡𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠
8. Posición en estado estacionario
9. Verifique el teorema del valor inicial
En Laplace

19
En el tiempo
10.Verifique el teorema del valor final
Una vez más, dado que se trata de una función oscilante, conforme el tiempo tiende
a infinito su posición es indeterminada

20
Conclusión
Para dar por terminado esta unidad número 4, hemos de recordar la importancia de
lo aprendido tanto en la misma como en la pasada; La Transformada y la inversa de
Laplace, donde sabemos que nos facilita la obtención o el acomodo de una
Ecuación Diferencial que nos valdría un procedimiento y resolución más
complicados, además de poder declarar la misma función de acuerdo al tiempo.
Hemos aprendido a obtener la Transformada de Laplace, junto con sus propiedades
y aplicaciones, involucrando el impulso unitario y mostrándolo básicamente como el
momento en el que está por aplicársele alguna fuerza. Mientras que en esta unidad
4, hemos logrado, del mismo modo, involucrar ahora la Transformada Inversa,
demostrar y comprender que NO todas las Transformadas pueden revertirse, tal
cual como un proceso que vemos en la vida cotidiana; donde existen elementos que
podemos modificarlos y regresarlos a su estado anterior (como el caso del agua,
que de hielo se convierte en agua, de agua a vapor…) y aquellos que no pueden
volver, (ejemplificándolo con la madera de un árbol, que lo transformamos en una
decoración pero no podemos regresarla a su estado natural).
Así también, sucede con las Ecuaciones Diferenciales, donde lo interesante es
comprender cuáles transformadas son las que podemos revertir y cuáles no,
además también de involucrar sus condiciones iniciales y las propiedades que la
componen, dando el caso que no exista alguna fórmula directa para la resolución.
Esta Unidad ha sido bastante interesante, de mucho trabajo y de APRENDIZAJE,
pues a pesar que cada quien vaya a su ritmo, hemos logrado visualizar el objetivo
principal de esta unidad; LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE.

21
REFERENCIAS
Hibbeler, R.C. Ingeniería mecánica-Dinámica, decimosegunda edición, Pearson
Educación, México. 2010.
Serway, A. Raymond, Jewett, W. John. Física para ciencias e ingeniería. Volumen
1, séptima edición.
Flores Ávila, J. Agustín. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

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