1. La computadora
como herramienta en
la resolución de
problemas en
ingeniería
La importancia de saber
Matemáticas en el uso de las TIC’s
07/05/18 M. C. J. Agustín Flores Avila1
2. Estructura
Medios, Métodos, Modelos y Sistemas Aplicados
a la Educación Superior Tecnológica
Pensamiento Complejo y Metacognición
Tecnológico Nacional de México
Instituto Tecnológico de la Laguna
07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila2
3. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila3
Expositor
Nombre.- J. Agustín Flores Avila
Dirección.- Brezo No. 119 Col. Bellavista
Ciudad.- Gómez Palacio, Dgo. C:P: 35050
Tel. 01 – 871 – 267 – 23 - 21
C. E. nitsuga47gpd@yahoo.com.mx
Instituto Tecnológico de la Laguna
Torreón, Coah. Mex.
4. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila4
Objetivo
Que al alumno tome conciencia de los riesgos y
las consecuencias que puede tener el no saber
matemáticas al emplear un asistente matemático
como apoyo en la resolución de un problema en
ingeniería.
5. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila5
Grupo meta
Dirigido a:
Alumnos que estén cursando una carrera de
ingeniería en cualquier especialidad.
Alumnos que estén cursando un posgrado en
cualquier especialidad.
Egresados de ingeniería que estén realizando
algún proyecto de desarrollo.
Profesores de ingeniería.
6. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila6
Aforismo
To much education is not good
To much machine is not good.
7. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila7
Los asistentes matemáticos
Tutoriales.
Microambientes
Herramienta de validación.
Graficador.
Hoja de Cálculo
Herramienta de Cálculo.
8. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila8
Los asistentes matemáticos
1. Herramienta de validación.
2. Herramienta de Cálculo.
9. ¿Qué significa validar un
resultado?.
Verificar numéricamente que el resultado satisface
la “ecuación” que estamos resolviendo
07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila9
10. ¿Por qué es importante
validar un resultado?.
Porque partimos del supuesto de que nuestra
ecuación es el modelo matemático de un “sistema”
y al resolver la ecuación estamos en posibilidad de
conocer su funcionamiento y así conocer su
comportamiento futuro y tomar las previsiones
necesarias si ese comportamiento no es el
deseado.
07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila10
11. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila11
Problema de Desigualdades
La compañía Flores Ávila y Asc., productora de
equipo electrónico necesita ensamblar 2,000
equipos por semana sujeto a la restricción de
gastar menos de $ 20,000.00 semanales por
concepto de mano de obra. Si el costo de mano
de obra por ensamblar una unidad durante la
jornada diurna es de $ 8.00 y en la jornada
nocturna sube a $ 12.00, determine la cantidad
mínima de aparatos que deben ser
ensamblados durante la jornada diurna.
12. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila12
Modelo matemático
Sean:
“X” el número de equipos ensamblados en la
jornada diurna y que sabemos tienen un costo de
ensamblado de $ 8.00 cada uno.
“Y” el número de equipos ensamblados en la
jornada nocturna y que tienen un costo de
ensamblado de $ 12.00 cada uno.
Sabemos que X + Y = 2000
13. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila13
Modelo matemático
el problema nos dice que:
8.00X + 12.00Y < 20,000.00
Como:
X + Y = 2000
Entonces:
Y = 2,000 – X
14. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila14
Modelo matemático
Por lo tanto:
8.00X + 12.00(2,000 – X) < 20,000.00
15. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila15
Solución
Si resolvemos la desigualdad encontramos que
el número mínimo de equipos a ensamblar
durante el díe es:
X < 1,000
DESIGUALDAD.xmcd
16. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila16
Ecuación Diferencial
Determine la solución de la ecuación diferencial.
(xy2
– 4x)dx = (x2
y + 9y)dy
Sujeta a que pase por el punto:
A 2 17,( )
17. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila17
Problema
“Encuentre la función que satisface que en todo
punto sobre su curva la pendiente es igual al
cociente de la abscisa por la diferencia del
cuadrado de la ordenada menos cuatro sobre la
ordenada por la suma del cuadrado de la abscisa
más nueve y que pasa por el punto: ”A 2 17,( )
dy
dx
x y
2
⋅ 4x−
x
2
y⋅ 9y+
x y
2
4−( )⋅
y x
2
9+( )⋅
18. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila18
Solución
La función solución de nuestra ecuación diferencial que
está modelando el problema citado es:
f x( ) x
2
13+:=
19. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila19
Validación de la solución
Validando la solución de nuestra ecuación diferencial:
VALIDANDO UNA ECUACION DIFERENCIAL.xmcd
20. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila20
Sistema mecánico traslacional
Sea el sistema mecánico traslacional formado por
una masa con “m = 2” y un resorte con “k = 8” que
parte del reposo dos unidades por debajo del
punto de equilibrio. Determine la posición x(t) de la
masa en todo instante.
22. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila22
Leyes Físicas
1ª Ley:
"Todo cuerpo permanece en su estado de
reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a
menos que se vea obligado a alterar este
estado por fuerzas aplicadas a él".
2ª Ley:
"La variación del momento lineal con el tiempo
es proporcional a la fuerza aplicada, y su
dirección es la de esta fuerza". ( F = ma = mx’’)
23. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila23
Leyes Físicas
3ª Ley.
"A cada acción se opone siempre una reacción
igual y de sentido contrario".
Ley de Hooke
La fuerza que oponen los resortes a la
deformación es inversamente proporcional a la
distancia.
24. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila24
Leyes Físicas
Principio de D’Alembert
“La fuerza externa aplicada a un sistema
traslacional se distribuye en cada uno de sus
componentes según su propia ley determinando
un sistema en equilibrio (equilibrio dinámico)”.
1
n
k
Fs( )k∑
=
Fe
25. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila25
Modelo matemático
FM + FR = 0
FM = ma = 2x’’
FR = kx = 8x
2x’’ + 8x = 0
x(0) = -2
x’(0) = 0
26. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila26
Solución
Si resolvemos la ecuación diferencial que modela
nuestro problema, encontramos que la posición de
la masa en todo instantes está dada por:
x(t) = -2Cos(2t)
27. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila27
Validando la solución
x(t) = -2Cos(2t)
MASA-RESORTE.xmcd
28. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila28
Problema
Determine la posición en todo instante de la masa
m = 2 que está unida a un resorte con k = 18, si
partiendo del reposo desde el punto de equilibrio se
le aplica una señal de excitación dada por la
función:
29. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila29
Señal de entrada f(t)
Función periódica con período T = 2π y frecuencia
angular ωo = 1.
f t( ) t 0 t≤ π<if
t 2π− π t≤ 2π≤if
f t T−( ) t 2π>if
:=
30. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila30
Gráfica de f(t)
Gráfica de la señal de entrada
3.142− 0 3.142 6.283 9.425 12.56615.708 18.85 21.991 25.133
2−
2
3.5
3.5−
f t( )
8ππ− t
31. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila31
Modelo matemático
FM + FR = f(t)
FM = ma = 2x’’
FR = kx = 18x
2x’’ + 18x = f(t)
x(0) = 0
x’(0) = 0
32. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila32
Solución
2x’’ + 18x = f(t)
x(0) = 0
x’(0) = 0
SERIE DE FOURIER.xmcd
33. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila33
Solución
2x’’ + 18x = g(t)
x(0) = 0
x’(0) = 0
g t( )
1
∞
n
B n( ) sin n t⋅( )⋅( )
∑
=
Φ t( )⋅
34. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila34
Solución
Resolvemos la ecuación diferencial empleando la
Transformada de Laplace.
LAPLACE.xmcd
35. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila35
Solución
La posición x(t) en todo instante de la masa está
dada por la función:
x t( )
1
20
n
B n( )
n sin 3t( )⋅ 3 sin n t⋅( )⋅−
6 n
2
9−( )⋅
⋅ Φ t( )⋅
∑
=
:=
36. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila36
Solución
La gráfica que nos da la posición de la masa en
todo instante es:
2− 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0.2−
0.2
0.3
0.3−
x t( )
202− t
37. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila37
Análisis de la solución
La gráfica que nos da la posición de la masa en
todo instante es:
x t( )
1
20
n
B n( )
n sin 3t( )⋅ 3 sin n t⋅( )⋅−
6 n
2
9−( )⋅
⋅ Φ t( )⋅
∑
=
:=
38. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila38
Análisis de la solución
Análisis a los armónicos:
x t( )
1
20
n
B n( )
n sin 3t( )⋅ 3 sin n t⋅( )⋅−
6 n
2
9−( )⋅
⋅ Φ t( )⋅
∑
=
:=
39. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila39
Análisis de la solución
Análisis a los armónicos:
ANALISIS DE ARMONICOS.xmcd
40. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila40
Conclusión
Ya tomamos nota de lo que sucede si al resolver
un problema de ingeniería NO sabemos
matemáticas
41. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila41
Bibliografía
1. Quintero R., Ursini, S: Desde el enfoque tutorial
hacia el uso constructivista de la computadora en el
aula; Reporte de investigación; Cinvestav, México.
1988.
2. Koyré, Alexandre: Estudios de Historia del
Pensamiento Científico. México: Edit. Siglo XXI.
3. Cheng, K. D: Analysis of Linear System. Tokio,
Japan: Edit. Addison-Wesley, 1959.
4. Symon, R. Keith: Mecánica. Madrid, España: Edit.
Aguilar, 1968.
42. 07/05/18M. C. J. Agustín Flores Avila42
Bibliografía
5. Zill, Dennis G: Ecuaciones Diferenciales con
Aplicaciones. México: Gpo. Edit. Iberoamérica,1982.
6. Hsu, Hwei P: Análisis de Fourier. México: Edit.
Addison-Wesley Iberoamericana., 1987. 4ª Edición,
1973.
7. Courant, R. & Robbins, R: ¿Qué es la Matemática?.
New Rochelle, N. Y. Aguilar Ediciones. 1979.
8. Beisser, A. Conceptos de Física Moderna. Madrid,
España. Ediciones del Castillo, S. A., 1965.
9. Polya, George: Mathematical Methods In Science.
New York: Leon Bowden Edit., 1976.