ANGULOS

1. ANGULOS
TEORIA
PROLEMAS RESUELTOS Y
PROPUESTOS
ABRAHAM GARCIA ROCA
agarciar@correo.ulima.edu.pe

2. β αO
A
B
ANGULO.-Es la abertura formado por dos rayos
divergentes que tienen un extremo común que se
denomina vértice.
ELEMENTOS DE UN ANGULO:

3. α
0º < α < 180º0º < α < 180º
0º < β < 90º0º < β < 90ºβ
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA
a) ÁNGULO CONVEXO
a.1) ÁNGULO AGUDO

4. θ = 90ºθ = 90º
α
90º < α < 180º90º < α < 180º
θ
a.2) ÁNGULO RECTO
a.3) ÁNGULO OBTUSO

5. α + β = 90ºα + β = 90º
θ + δ = 180ºθ + δ = 180º
δθ
α
β
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA
a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

6. α
β δ ε
φ
α α
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN
a) ÁNGULOS ADYACENTES b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Son congruentes
Puede formar más ángulosUn lado común

7. 01. Ángulos alternos internos:
m ∠3 = m ∠5; m ∠4 = m ∠6
02. Ángulos alternos externos:
m ∠1 = m ∠7; m ∠2 = m
∠8
03. Ángulos conjugados internos:
m ∠3+m ∠6=m ∠4+m ∠5=180°
04. Ángulos conjugados externos:
m ∠1+m ∠8=m ∠2+m ∠7=180°
05. Ángulos correspondientes:
m ∠1 = m ∠5; m ∠4 = m ∠8
m ∠2 = m ∠6; m ∠3 = m ∠7
ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
Y UNA RECTA SECANTE
1 2
34
5 6
78

8. α + β + θ = x + yα + β + θ = x + y
α
β
θ
x
y
01.-Ángulos que se forman por una línea poligonal entre
dos rectas paralelas.
PROPIEDADES DE LOS ANGULOS

9. α
β
θ
δ
ε
α + β + θ + δ + ε = 180°α + β + θ + δ + ε = 180°
02.- ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS

10. α + β = 180°α + β = 180°
α β
03.- ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES

12. El complemento de la diferencia entre el suplemento
y el complemento de un ángulo “X” es igual al
duplo del complemento del ángulo “X”. Calcule la
medida del ángulo “X”.
90 - { ( ) - ( ) } = ( )180° - X 90° - X 90° - X2
90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X
90° - 90° = 180° - 2X
2X = 180° X = 90°X = 90°
RESOLUCIÓN
Problema Nº 01
La estructura según el enunciado:
Desarrollando se obtiene:
Luego se reduce a:

13. La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el
complemento del primer ángulo es el doble de la
medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia
de las medidas de dichos ángulos.
Sean los ángulos: α y β
α + β = 80°Dato: β = 80° - α ( 1 )
( 90° - α ) = 2β ( 2 )
Reemplazando (1) en (2):
( 90° - α ) = 2 ( 80° - α )
90° - α = 160° -2α
β = 10°
α = 70°
α - β = 70°-10°
= 60°
Problema Nº 02
RESOLUCIÓN
Dato:
Diferencia de las medidas
Resolviendo

14. La suma de sus complementos de dos ángulos es
130° y la diferencia de sus suplementos de los
mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos
ángulos.
Sean los ángulos: α y β
( 90° - α ) ( 90° - β ) = 130°+
β + α = 50° ( 1 )
( 180° - α ) ( 180° - β ) = 10°-
β - α = 10° ( 2 )
Resolviendo: (1) y (2)
β + α = 50°
β - α = 10°
(+)
2β = 60°
β = 30°
α = 20°
Problema Nº 03
RESOLUCIÓN
Del enunciado:
Del enunciado:

15. Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC
(AOB<BOC), se traza la bisectriz OM del ángulo
AOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20°
respectivamente. Calcule la medida del ángulo
AOB.
A B
O
C
M
α
α
60°
20°X
De la figura:
α = 60° - 20°
Luego:
X = 40° - 20°
α = 40°
X = 20°X = 20°
Problema Nº 04
RESOLUCIÓN

16. La diferencia de las medidas de dos ángulos
adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del
ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con
el lado OB.
A
O
B
C
θ
θ
X
(θ- X)
( θ + X) (θ - X)= 30º
2X=30º
X = 15°X = 15°
Problema Nº 05
RESOLUCIÓN
M
Construcción de la gráfica según
el enunciado
Del enunciado:
AOB - OBC = 30°
-
Luego se reemplaza por lo que
Se observa en la gráfica

17. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y
COD tal que la m∠AOC = m∠BOD = 90°. Calcule
la medida del ángulo formado por las bisectrices
de los ángulos AOB y COD.
A
C
B
D
M
N
αα
β
β
θ
X
De la figura:
2α + θ = 90°
θ + 2β = 90°
( + )
2α + 2θ + 2β = 180°
α + θ + β = 90°
X = α + θ + βX = α + θ + β
X = 90°X = 90°
Problema Nº 06
RESOLUCIÓN
Construcción de la gráfica según el enunciado

18. Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X”
80°
30°
α
α
θ
θ
X
m
n
Problema Nº 07

19. 2α + 2θ = 80° + 30°
Por la propiedad
Propiedad del cuadrilátero
cóncavo
α + θ = 55° (1)
80° = α + θ + X (2)
Reemplazando (1) en (2)
80° = 55° + X
X = 25°X = 25°
80°
30°
α
α
θ
θ
X
m
n
RESOLUCIÓN

20. Si m // n . Calcular la medida del ángulo “X”
5α
4α 65°
X
m
n
Problema Nº 08

21. 5α
4α 65°
X
m
n
Por la propiedad:
4α + 5α = 90°
α = 10°α = 10°
Ángulo exterior del triángulo
40° 65°
X = 40° + 65°
X = 105°X = 105°
RESOLUCIÓN

22. Si m // n . Calcule la medida del ángulo ”X”
α
2α
x
m
n
θ
2θ
Problema Nº 01

23. 3α + 3θ = 180°
α + θ = 60°α + θ = 60°
Ángulos entre líneas poligonales
X = α + θ X = 60°X = 60°
RESOLUCIÓN
α
2α
x
m
n
θ
2θ
x
Ángulos conjugados
internos

25. PROBLEMA 01.- Si L1 // L2 . Calcule la m ∠ x
A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°
x
α
α
β
β
4x
3x
L1
L2

26. m
n
30°
X
PROBLEMA 02.- Si m // n . Calcule la m ∠ x
A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°

27. PROBLEMA 03.- Si m // n . Calcule la m ∠ α
A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45°
3α
3α
3α
α
m
n

28. PROBLEMA 04.- Si m // n . Calcule el valor de “x”
A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°
40°
95°
α
α
2x
m
n

29. PROBLEMA 05.- Calcule la m ∠ x
A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120°
3α
6α
x

30. α
4θ
4α
θ
X
m
n
PROBLEMA 06.- Si m // n . Calcule la m ∠ x
A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°

31. A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45°
PROBLEMA 07.- Si. Calcule la m ∠ x
88°
24°
x
α
α
θ
θ
m
n

32. PROBLEMA 08.- Si m // n . Calcule la m ∠ x
20°
30°
X
m
n
A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°

33. PROBLEMA 09.-Si m//n y θ- α = 80°. Calcule la m∠x
A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°
θ
θ
x
α
α
m
n

34. PROBLEMA 10.- Si m // n . Calcule la m ∠ x
A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°
x
x
x
m
n

35. PROBLEMA 11.- Si m // n . Calcule la m ∠ α
A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60°
180°-2α
α
2α
m
n

36. PROBLEMA 12.- Si m // n . Calcule la m ∠ x
A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50°
α
α
θ
θ
x
80°
m
n

37. PROBLEMA 13.- Si m // n . Calcule la m ∠ x
A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°
80°
α
α
β
β
m
n
x

38. REPUESTAS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS
1. 20º 8. 50º
2. 30º 9. 80º
3. 45º 10. 30º
4. 10º 11. 60º
5. 120º 12. 40º
6. 36º 13. 50º
7. 32º