Este documento presenta una introducción a los ángulos, incluyendo definiciones de términos como vértice y rayos, y clasificaciones de ángulos según su medida, suma y posición. También explica propiedades de ángulos entre rectas paralelas y perpendiculares, y propone 13 problemas sobre ángulos para resolver.
5. CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA
a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
α + β = 90º
α + β = 90º
α
β
b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
θ + δ = 180º
θ + δ = 180º
θ δ
6. CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN
a) ÁNGULOS ADYACENTES b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS
α δ ε
β φ
Un lado común Puede formar más ángulos
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
α α Son congruentes
7. ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
Y UNA RECTA SECANTE
1 2
4 3
5 6
8 7
01. Ángulos alternos internos: 04. Ángulos conjugados externos:
m ∠3 = m ∠5; m ∠4 = m ∠6 m ∠1+m ∠8=m ∠2+m ∠7=180°
02. Ángulos alternos externos: 05. Ángulos correspondientes:
m ∠1 = m ∠7; m ∠2 = m m ∠1 = m ∠5; m ∠4 = m ∠8
∠8 m ∠2 = m ∠6; m ∠3 = m ∠7
03. Ángulos conjugados internos:
m ∠3+m ∠6=m ∠4+m ∠5=180°
8. PROPIEDADES DE LOS ANGULOS
01.-Ángulos que se forman por una línea poligonal entre
dos rectas paralelas.
α
x
β
y
θ
α + β + θ = x + y
α + β + θ = x + y
12. Problema Nº 01
El complemento de la diferencia entre el suplemento
y el complemento de un ángulo “X” es igual al
duplo del complemento del ángulo “X”. Calcule la
medida del ángulo “X”.
RESOLUCIÓN
La estructura según el enunciado:
90 - { ( 180° - X ) - ( 90° - X )}= 2 ( 90° - X )
Desarrollando se obtiene:
90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X
90° - 90° = 180° - 2X
Luego se reduce a:
2X = 180° X = 90°
X = 90°
13. Problema Nº 02
La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el
complemento del primer ángulo es el doble de la
medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia
de las medidas de dichos ángulos.
RESOLUCIÓN
Sean los ángulos: α y β
Dato: α + β = 80° β = 80° - α (1)
Dato: ( 90° - α ) = 2β (2)
α = 70°
Resolviendo
Reemplazando (1) en (2): β = 10°
Diferencia de las medidas
( 90° - α ) = 2 ( 80° - α ) α - β = 70°-10°
90° - α = 160° -2α = 60°
14. Problema Nº 03
La suma de sus complementos de dos ángulos es
130° y la diferencia de sus suplementos de los
mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos
ángulos.
RESOLUCIÓN
Sean los ángulos: α y β
Del enunciado:
( 90° - α ) + ( 90° - β ) = 130° β + α = 50° (+)
β - α = 10°
β + α = 50° (1) 2β = 60°
Del enunciado:
( 180° - α ) - ( 180° - β ) = 10° β = 30°
β - α = 10° (2)
α = 20°
Resolviendo: (1) y (2)
15. Problema Nº 04
Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC
(AOB<BOC), se traza la bisectriz OM del ángulo
AOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20°
respectivamente. Calcule la medida del ángulo
AOB.
RESOLUCIÓN
De la figura:
A B α = 60° - 20°
M
α = 40°
X 20°
Luego:
α X = 40° - 20°
60°
α
X = 20°
X = 20°
O
C
16. Problema Nº 05
La diferencia de las medidas de dos ángulos
adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del
ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con
el lado OB.
RESOLUCIÓN Del enunciado:
Construcción de la gráfica según
el enunciado AOB - OBC = 30°
A Luego se reemplaza por lo que
M Seθ + X) - en la gráfica
( observa (θ - X) = 30º
B 2X=30º
θ X
θ (θ- X) X = 15°
X = 15°
O C
17. Problema Nº 06
Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y
COD tal que la m∠AOC = m∠BOD = 90°. Calcule
la medida del ángulo formado por las bisectrices
de los ángulos AOB y COD.
RESOLUCIÓN
Construcción de la gráfica según el enunciado
De la figura:
A M
B 2α + θ = 90°
(+)
θ + 2β = 90°
C 2α + 2θ + 2β = 180°
α α X
θ α + θ + β = 90°
β X=α+θ+β
β N
X = 90°
X = 90°
D
18. Problema Nº 07
Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X”
α m
α
80°
X
θ
θ
30° n
19. RESOLUCIÓN
α m
α
80°
X
θ
θ
30° n
Por la propiedad 80° = α + θ + X (2)
2α + 2θ = 80° + 30° Reemplazando (1) en (2)
α + θ = 55° (1)
80° = 55° + X
Propiedad del cuadrilátero
cóncavo X = 25°
X = 25°
20. Problema Nº 08
Si m // n . Calcular la medida del ángulo “X”
m 4α 65°
X
n
5α
21. RESOLUCIÓN
m 4α 65°
40° 65°
X
n
5α
Por la propiedad: Ángulo exterior del triángulo
4α + 5α = 90° X = 40° + 65°
α = 10° X = 105°
X = 105°
22. Si m // Problema Nº 01
n . Calcu
le la m
edida
del án
gu lo ”X”
m
x
2α θ
n
2θ
α
23. RESOLUCIÓN
m xx
2α θ
n
2θ
α
Ángulos conjugados Ángulos entre líneas poligonales
internos
3α + 3θ = 180°
α + θ = 60° X=α+θ X = 60°
X = 60°
24.
25. PROBLEMA 01.- Si L1 // L2 . Calcule la m ∠ x
L1
3x
α
α
x β
β
4x
L2
A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°
26. PROBLEMA 02.- Si m // n . Calcule la m ∠ x
X
n
m
30°
A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°
27. PROBLEMA 03.- Si m // n . Calcule la m ∠ α
m
3α α
3α
3α
n
A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45°
28. PROBLEMA 04.- Si m // n . Calcule el valor de “x”
α α
m
2x
°
95
°
40
n
A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°
