Algebra boole

Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Extensión Porlamar-Sede Genovés
Ingeniería de Sistemas
Realizado por:
Doc. Méndez Domingo
Dayliana Marcano
Sección 4 “A”

Desarrollo
Álgebra de Boole (también llamada álgebra booleana), en informática y matemática es una
estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O, NO y SI (AND, OR,
NOT, IF)[cita requerida], así como el conjunto de operaciones unión, intersección y
complemento.
Definición
Dado un conjunto: formado cuando menos por los elementos: en el que se ha
definido:
 Una operación unaria interna, que llamaremos complemento:
En esta operación definimos una aplicación que, a cada elemento a de B, le asigna un b de
B.
Para todo elemento a en B, se cumple que existe un único b en B, tal que b es el
complemento de a.
 La operación binaria interna, que llamaremos suma:
por la que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna
un c de B.
Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es
el resultado de sumar a con b.
 La operación binaria interna, que llamaremos producto:

Con lo que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna
un c de B.
el resultado del producto a y b.
Dada la definición del álgebra de Boole como una estructura algebraica genérica, según el
caso concreto de que se trate, la simbología y los nombres de las operaciones pueden variar.
Axiomas necesarios
Diremos que este conjunto y las operaciones así definidas: son un álgebra
de boole, si cumple las siguientes axiomas:
 1a: La ley asociativa de la suma:
 1b: La ley asociativa del producto:
 2a: Existencia del elemento neutro para la suma:
 2b: Existencia del elemento neutro para el producto:
 3a: La ley conmutativa de la suma:
 3b: La ley conmutativa del producto:
 4a: Ley distributiva de la suma respecto al producto:
 4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma:

 5a: Existe elemento complemento para la suma:
 5b: Existe elemento complemento para el producto:
Teoremas fundamentales
Partiendo de los cinco axiomas anteriores, se pueden deducir y demostrar los siguientes
teoremas fundamentales:
 6a: Ley de idempotencia para la suma:
 6b: Ley de idempotencia para el producto:
 7a: Ley de absorción para la suma:
 7b: Ley de absorción para el producto:
 8a: Ley de identidad para la suma:
 8b: Ley de identidad para el producto:
 9: Ley de involución:
 10: Ley del complemento:

 11: Leyes de De Morgan:
Orden en el álgebra de Boole
Sea: un álgebra de Boole, sean a, b dos elementos del conjunto, podremos
decir entonces que a antecede a b y lo denotamos:
si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
1.
2.
3.
4.
Estas cuatro condiciones se consideran equivalentes y el cumplimiento de una de ellas
implica necesariamente el cumplimiento de las demás. Definiendo un conjunto
parcialmente ordenado.
Si se cumple que:
Para los valoras a, b de , que cumple que a antecede a b, o que b antedede a a, se dice
que a y b son comparables.
Si se cumple que:
Para los valores a, b de , que cumples qua a no antecede a b, y que b no antedede a a, se
dice que a y b son no comparables.
Principio de dualidad
El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le
corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores suma con los de
producto, y de los con los .

Otras formas de notación del álgebra de Boole
En Lógica binaria se suele emplear la notación , común en la tecnología
digital, siendo la forma más usual y la más cómoda de representar.
Por ejemplo las leyes de De Morgan se representan así:
Cuando el álgebra de Boole se emplea en electrónica, suele emplearse la misma
denominación que para las puerta lógica AND (Y), OR (O) y NOT (NO), ampliándose en
ocasiones con X-OR (O exclusiva) y su negadas NAND (NO Y), NOR(NO O) y X-NOR
(equivalencia). las variables pueden representarse con letras mayúsculas o minúsculas, y
pueden tomar los valores {0, 1}
Empleando esta notación las leyes de De Morgan se representan:
En su aplicación a la lógica se emplea la notación y las variables pueden tomar los
valores {F, V}, falso o verdadero, equivalentes a {0, 1}
Con la notación lógica las leyes de De Morgan serían así:
Adición Producto
1
2
3
4
5
6
7
8
9

En el formato de Teoría de conjuntos el Álgebra de Boole toma el aspecto:
En esta notación las leyes de De Morgan serían así:
Otra forma en la álgebra de conjuntos del Álgebra de Boole, las leyes de De Morgan serían
así:
Desde el punto de vista práctico existe una forma simplificada de representar expresiones
booleanas. Se emplean apóstrofos (') para indicar la negación, la operación suma (+) se
representa de la forma normal en álgebra, y para el producto no se emplea ningún signo, las
variables se representan, normalmente con una letra mayúscula, la sucesión de dos
variables indica el producto entre ellas, no una variable nombrada con dos letras.
La representación de las leyes de De Morgan con este sistema quedaría así, con letra
minúsculas para las variables:
y así, empleando letras mayúsculas para representar las variables:
Todas estas formas de representación son correctas, se utilizan de hecho, y pueden verse al
consultar bibliografía. La utilización de una u otra notación no modifica el álgebra de
Boole, solo su aspecto, y depende de la rama de las matemáticas o la tecnología en la que se
esté utilizando para emplear una u otra notación.
Estructuras algebraicas que son álgebra de Boole
Hay numerosos casos de distintos análisis de estructuras algebraicas que corresponden al
álgebra de Boole, aunque en apariencia son muy diferentes, su estructura es la misma.
Vamos a ver algunos de ellos, con el propósito de hacer palpable las similitudes en la
estructura y los distintos ámbitos de aplicación y distinta terminología para referirse a las
operaciones o a las variables.

Lógica binaria
Artículo principal: Lógica binaria
Artículo principal: Sistema digital
Artículo principal: Sistema binario
Artículo principal: Tabla de verdad
Artículo principal: Sistema combinacional
Artículo principal: Formas canónicas (álgebra de Boole)
Artículo principal: Circuito de conmutación
Una serie de temas, aparentemente tan distintos, tiene dos cosas en común, la lógica binaria
basada en los ceros y los unos y el álgebra de Boole, posiblemente la forma más conocida
de este álgebra, que en ocasiones da lugar a la interpretación que el álgebra de Boole es la
lógica binaria exclusivamente, así el conjunto en este caso está formado por dos
elementos {0,1}, o {F, V}, o {no, sí}, dos valores contrapuestos, que son las dos posibles
alternativas entre dos situaciones posibles, aquí, sin perdida de la generalidad, tomaremos
el conjunto: {0,1} como ya hemos dicho:
Donde:
 La operación unaria interna, que llamaremos negación:
La operación unaria interna negación, definimos una aplicación que a cada
elemento a de {0,1}, le asigna un b de {0,1}.
Para todo elemento a en {0.1}, se cumple que existe un único b en {0,1}, tal que b es la
negación de a. Como se ve en la tabla.
 La operación binaria interna, que llamaremos suma:
Con la operación suma definimos una aplicación que, a cada par ordenado
(a, b) de B por B, le asigna un c de B.

Para todo par ordenado (a,b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es
el resultado de sumar a con b.
 la operación binaria interna, que llamaremos producto:
Con la operación producto definimos una aplicación que, a cada par ordenado
(a, b) de B por B, le asigna un c de B.
el resultado del producto a y b. Como se puede ver en la tabla.
Partiendo de álgebra de Boole, dadas dos variables binarias: a, b, que
cumplen alguna de estas condiciones:
entonces a es menor o igual que b. Dados los valores binarios 0 y 1, podemos ver:
1.
2.
3.
4.
Estas cuatro condiciones son equivalentes y el cumplimiento de una de ellas supone el
cumplimiento de las otras, en este caso es sencillo comprobarlas todas. Luego podemos
decir que 0 antecede a 1 y lo denotamos:
Si además sabemos que 0 y 1 son valores distintos:

El valor binario 0 es menor que el valor binario 1.
Álgebra de conjuntos
Artículo principal: Álgebra de conjuntos
Artículo principal: Teoría de conjuntos
Artículo principal: Conjunto potencia
Artículo principal: Diagrama de Venn
Partiendo de un conjunto U, cualesquiera, llamamos conjunto potencia de U, al conjunto de
todos los subconjuntos posibles de U y lo denotamos .
A título de ejemplo podemos considerar:
Que tiene como conjunto potencia:
Donde podemos definir:
Y como es obvio:
 La operación unaria interna, que llamaremos complemento:

En esta operación definimos una aplicación que, a cada elemento A de P(U), le asigna un B
de P(U).
Para todo elemento A en P(U), se cumple que existe un único B en P(U), tal que B es el
complemento A.
Definiendo el complemento de un conjunto así:
B es el complemento de A, si se cumple que para todo x que pertenezca a B, x pertenece a
U y x no pertenece a A.
 La primera operación binaria la llamaremos unión:
Con esta operación binaria interna definimos una aplicación que, a cada par ordenado (A,
B) de P(U) por P(U), le asigna un C de P(U).

Para todo par ordenado (A,B) en P(U) por P(U), se cumple que existe un único C en P(U),
tal que C es la unión A y B.
Definiendo la unión de dos conjuntos como:
El conjunto C es la unión de A y B, si para todo elemento x de C, se cumple que x es
elemento de A o de B
 La segunda operación binaria la llamaremos intersección:
Con lo que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (A, B) de P(U) por P(U), le
asigna un C de P(U).
Para todo par ordenado (A,B) en P(U) por P(U), se cumple que existe un único C en P(U),
tal que C es la intersección A y B.
Definiendo la intersección de dos conjuntos como:
El conjunto C es la intersección de A y B, si para todo elemento x de C, se cumple que x es
elemento de A y de B.
Axiomas
Con lo que podemos plantear: , para un U conocido, como álgebra de
Boole si cumple las siguientes axiomas:
 1a: La ley asociativa de la unión:

 1b: La ley asociativa de la intersección:
 2a: Existencia del elemento neutro para la unión:
 2b: Existencia del elemento neutro para la intersección:
 3a: La ley conmutativa de la unión:
 3b: La ley conmutativa de la intersección:
 4a: Ley distributiva de la unión respecto de la intersección:
 4b: Ley distributiva de la intersección respecto a la unión:
 5a: Existe elemento complementario para la unión:
 5b: Existe elemento complementario para la intersección:
Concluyendo que es un álgebra de boole.
Partiendo de estos axiomas se puede demostrar los siguientes teoremas:

 6a: Ley de idempotencia para la unión:
 6b: Ley de idempotencia para la intersección:
 7a: Ley de absorción para la unión:
 7b: Ley de absorción para la intersección:
 8a: Ley de identidad para la unión:
 8b: Ley de identidad para la intersección:
 10: Ley del complemento:
Dado álgebra de Boole, podemos comprobar:
1.
2.

3.
4.
Para los conjuntos A y B que cumplen estas propiedades, podemos decir que A antecede a
B, que en el caso de conjuntos se diría A es igual o un subconjunto de B y lo denotamos:
Entendiéndose que A es igual o un subconjunto de B cuando:
El conjunto A es igual o un subconjunto de B, si para todo elemento x que pertenezca a A,
x pertenece a B.
También se puede comprobar:
Para todo A de las partes de U, si se cumple que: la unión de A y U es U, la intersección de
A y U es A, la unión del complemento de A y U es U, la intersección de A y el
complemento de U es el conjunto vacío, entonces A es igual o un subconjunto de U.
Esta conclusión forma parte de la definición de las partes de U, pero se puede llegar a ella
por el cumplimiento de una de las cuatro condiciones expuestas, como ya se mencionó, las
cuatro condiciones son equivalentes y el cumplimiento de una de ellas implica el
cumplimiento de las demás.
Aplicando el mismo razonamiento podemos ver:

Siendo B un conjunto de las partes de U, llegando a la conclusión de que el conjunto vacío
es igual o un subconjunto de B.
Lógica proposicional o de predicados
Artículo principal: Lógica proposicional
Artículo principal: Proposición
Artículo principal: Cálculo lógico
Artículo principal: Lógica matemática
Artículo principal: Lógica de primer orden
Una proposición, o un predicado, es un valor de verdad que puede expresarse de forma
verbal o con expresiones o relaciones matemática o lógica, por ejemplo:
 'Hoy es miércoles.'
 'El edificio es alto.'
 'El perro está ladrando.'
Son proposiciones expresadas verbalmente, y también lo son:
 'x = 3'
 'mcd(a, b) = 2n + 1'
Dado que cada una de ellas puede ser verdadera o falsa, las proposiciones suelen designarse
con letra:
 p= 'Llueve'
 q= 'Llueve mucho'
 r= 'Llevo paraguas'
 s= 'La calle está mojada'
Las afirmaciones verdadero y falso también son proposiciones, designaremos con: al
conjunto de proposiciones, a fin de ver que la lógica de proposiciones es un álgebra de
Boole, además consideraremos:
 La operación unaria interna, que llamaremos negación:

La operación unaria interna negación, definimos una aplicación que a cada proposición a,
le asigna otra poposición b.
Para toda proposición a, se cumple que existe una única proposición b, tal que b es la
negación de a.
 La primera operación binaria interna, que llamaremos disyunción:
Con la operación disyunción, definimos una aplicación que a cada par ordenado (a, b) de B
por B, le asigna un c de B.
Para todo par ordenado (a,b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es
el resultado de la disyunción de a y b.
 La segunda operación binaria interna, que llamaremos conjunción:
Con la operación conjunción definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B
por B, le asigna un c de B.
el resultado de la conjunción de a y b.
Axiomas
Así es un álgebra de Boole al cumple los siguientes axiomas:
 1a: La ley asociativa de la disyunción:

 1b: La ley asociativa de la conjunción:
 2a: Existencia del elemento neutro para la disyunción:
 2b: Existencia del elemento neutro para la conjunción:
 3a: La ley conmutativa de la disyunción:
 3b: La ley conmutativa de la conjunción:
 4a: Ley distributiva de la disyunción respecto a la conjunción:
 4b: Ley distributiva de la conjunción respecto al disyunción:
 5a: Existe elemento complementario para la disyunción:
 5b: Existe elemento complementario para la conjunción:
Luego es álgebra de boole.
Partiendo de estos axiomas se puede demostrar los siguientes teoremas:
 6a: Ley de idempotencia para la disyunción:

 6b: Ley de idempotencia para la conjunción:
 7a: Ley de absorción para la disyunción:
 7b: Ley de absorción para la conjunción:
 8a: Ley de identidad para la disyunción:
 8b: Ley de identidad para la conjunción:
 10: Ley de complemento:
Sabiendo que es álgebra de Boole, se puede comprobar que:
1.
2.
3.
4.
Para las proposiciones: a, b que cumplen alguna de estas condiciones se puede afirmar que
a antecede a b. Que en el caso de proposiciones o predicados se dice que a es tanto o más
fuerte que b, o que b es más débil que a, y lo representamos:

Así por ejemplo dadas las proposiciones:
 a= Llueve mucho
 b= Llueve
podemos ver:

Si: llueve mucho o llueve entonces llueve.
Si se da la circunstancia de cualesquiera de dos, que llueve mucho o llueve, claramente
llueve en cualquier caso.

Si: llueve mucho y llueve entonces llueve mucho.
Si afirmamos que llueve mucho y que llueve, y se cumplen las dos circunstancias entonces
es que llueve mucho.

Si: no llueve mucho o llueve es verdadero.
No llueve mucho indica que puede que llueva poco o que no llueva, si no llueve mucho o
llueve abarca todas las posibilidades, desde tiempo seco a muy lluvioso, luego la afirmación
es verdadera en todo caso.

Si: llueve mucho y no llueve es falso.
Si afirmamos que llueve mucho y simultáneamente que no llueve, la afirmación es
claramente falsa.
La afirmación más restrictiva es la más fuerte y la menos restrictiva la más débil, en este
caso:
La proposición llueve mucho es tanto o más fuerte que llueve, la afirmación llueve mucho
es un caso particular o el mismo caso de llueve.

Operaciones en álgebra de Boole
Artículo principal: Conectiva lógica
Artículo principal: Operación matemática
El álgebra de Boole se basa en un conjunto en el que se han definidos tres operaciones
internas: una unaria y dos binarias, como ya hemos visto, siendo cómoda esta definición.
Estrictamente hablando solo son necesarias dos, la
unaria y una de las binarias, así, por ejemplo, en la
lógica binaria con la negación y el producto podemos
definir la suma.
Con la ley de De Morgan:
Esta expresión resulta más compleja, pero partiendo de
la negación y el producto binarios define la suma
binaria.
En la imagen de la derecha podemos ver un circuito en
paralelo de dos pulsadores a y b, que corresponde a la
suma binaria de a y b, y su equivalente en un circuito en
serie de a y b, los dos dan como resultado la misma
tabla de verdad, y por tanto son equivalentes, lo
artificioso el circuito serie para obtener el mismo resultado que en un circuito paralelo deja
ver lo conveniente de considerar esa función, la posibilidad de obtener la suma de dos
variables binarias mediante la negación y el producto señalan que, de forma primaria, el
álgebra de Boole se basa solo en dos operaciones, y que cualquier expresión en la que
intervenga la suma puede transformarse en otra equivalente en la que solo intervienen la
negación y el producto.
En el caso de la teoría de conjuntos con el complemento y la intersección podemos definir
la unión:
De una forma similar al álgebra binaria, o cualquier otra álgebra de Boole, La definición
del álgebra con solo dos operaciones complica las expresiones, pero permite determinar
ciertas relaciones muy útiles, así como otras operaciones distintas.
En el álgebra de Boole definido en un conjunto las operaciones son internas, dado que
parte de elemento de , para obtener un resultado en .
Sin perdida de la generalidad, y dado los distintos formas que puede adoptar el álgebra de
Boole consideraremos la lógica proposicional con las proposiciones: a, c, b, etc. Que

pueden tomar los valores verdadero: V o falso: F. Y las conectivas lógicas sobre esas
proposiciones que dan como resultado otras proposiciones lógicas, cada proposición: a, b,
c, etc. Define un conjunto A, B, C, etc. Que podemos representar de forma gráfica en un
diagrama de Venn.
Operaciones nularias
Una operación nularia es la que devuelve un valor sin necesidad de argumentos, podemos
ver tautología y contradicción
La tautología presenta el valor verdadero sin
necesidad de argumentos o independientemente
de las variables sobre la que se calcule. En teoría
de conjuntos corresponde al conjunto universal.
En lógica proposicional corresponde al valor:
verdadero:
En un circuito de conmutación corresponde a una conexión fija o puente cerrado.
La contradicción, por el contrario, presenta
siempre el valor falso, sin necesitar argumentos o
independientemente de los argumentos
presentados. En teoría de conjuntos corresponde
al conjunto vacío.
En lógica proposicional corresponde al valor:
falso:

En un circuito de conmutación, corresponde a la no conexión o puente abierto.
Operaciones unarias
Una operación unaria es la que solo necesita un argumento para presentar un resultado,
podemos ver dos operaciones unarias: identidad
y negación.
La operación identidad de una proposición
presenta el valor de la variación.
Esta operación se puede hacer con el
dispositivo electrónico Buffer amplificador.
En un circuito de conmutación corresponde a un interruptor normalmente abierto:
Interruptor NA.

La operación negación lógica de una variable
presenta el valor contrario del argumento, o
los casos contrarios de los recogidos en el
argumento.
Esta operación se hace con la Puerta NOT.
En un circuito de conmutación corresponde a un interruptor normalmente cerrado:
Interruptor NC.
Operaciones binarias
La operación binaria es la que necesita dos argumentos, de hecho es la forma más
generalizada de operación, normalmente cuando nos referimos a operaciones, nos referimos
a operaciones binarias, en el álgebra de Boole podemos ver las siguientes operaciones
binarias:

La conjunción lógica presenta
resultado verdadero solo cuando sus
dos argumentos son verdaderos.
Normalmente representado:
La conjunción lógica de proposiciones es equivalente a la intersección de conjuntos en
teoría de conjuntos, o a la puerta lógica AND:
en circuitos de conmutación sería un circuito en serie de interruptores.
La Negación alternativa presenta
resultado verdadero en todos los casos
excepto cuando sus dos argumentos
son verdaderos. Esta operación es la
negación de la conjunción.
La conjunción lógica de proposiciones
es equivalente a la puerta lógica NAND.

La disyunción lógica acepta dos
argumentos presentando como
resultado verdadero si uno u otro de
los argumentos es verdadero.
La disyunción puede expresarse:
La operación disyunción lógica de
proposiciones, es equivalente a la unión de conjuntos en teoría de conjuntos, a la puerta
lógica OR:
y al circuito en paralelo en circuitos de conmutación

La negación conjunta presenta
resultado verdadero solo cuando sus
dos argumentos son falsos. Esta
operación es la negación de la
disyunción.
La negación conjunta de proposiciones
es equivalente a la puerta lógica NOR.
La condicional material presenta
resultado falso si el primer
argumento es verdadero y el segundo
falso, en el resto de los casos
presenta resultado verdadero, esta
operación no es conmutativa y puede
expresarse:
A esta operación también se llama implicación: a implica b:
si a es verdadero b es verdadero.
si a es falso y b es verdadero, la implicación es falsa.
si a es falsa, la implicación es verdadera independientemente el valor de b.
A esta operación le corresponde un conjunto de puertas lógicas complejas:

La negación condicional material
presenta resultado verdadero si el
primer argumento es verdadero y el
segundo falso, en el resto de los
casos presenta resultado falso, esta
operación no es conmutativa y es la
negación de la condicional material,
también suele llamarse diferencia de
a y b, puede expresarse:

La Condicional material inversa es la
operación que presenta resultado
falso si el primer argumento es falso
y el segundo verdadero, en el resto de
los casos presenta resultado
verdadero, esta operación no es
conmutativa y es el resultado de
permutar a y b en la condicional
material, puede expresarse:
La negación condicional material
inverso presenta resultado verdadero
si el primer argumento es falso y el
segundo verdadero, en el resto de los
casos presenta resultado falso, esta
operación no es conmutativa y es la
negación de la condicional inverso,
también suele llamarse diferencia: b -
a, puede expresarse:

La bicondicional presenta resultado
verdadero si los dos argumentos son
iguales, esto es: si a y b son
verdaderos o si a y b son falsos.
Le corresponde la Puerta XNOR.

La disyunción exclusiva presenta
resultado verdadero si los dos
argumentos son dispares, esto es si de
los dos argumentos uno es verdadero
y otro falso, es la negación de la
bicondicional:
Esta operación también se llama o
exclusivo, uno o el otro pero no los dos, le corresponde la puerta lógica: XOR.
Fórmula de Boole bien formada
Artículo principal: Gramática formal
Artículo principal: Lenguaje formal
Artículo principal: Semántica formal
Artículo principal: Fórmula bien formada
Partiendo de un conjunto: y donde a, b, c, d, ... son variables o constantes que pueden
tomar valores del conjunto , donde se han definido las siguientes operaciones internas:

podemos decir que son fórmulas bien formadas: fbf:
1: Una variable o constante:
2: La negación de una variable o constante:
3: La operación binaria entre dos variables o constantes:
4: El resultado de sustituir en una fórmula bien formada, una variable o constante por una
fórmula bien formada:
La aplicación repetida de estos criterios dará siempre una fórmula bien formada.
ejemplo:
Se podrán emplear tantos paréntesis como sean necesarios para evitar ambigüedades,
evitando siempre la utilización superflua de paréntesis.
Jerarquía de los operadores
Al evaluar una expresión booleana, deben realizarse las operaciones de acuerdo con su
nivel jerárquico, realizando primero la de mayor jerarquía. Si existen paréntesis, deben
resolverse primero los más internos y trabajar hacia fuera. En ausencia de paréntesis, la
jerarquía de las operaciones es, de mayor a menor, la siguiente:
1.
2.
3.

Si se tienen varias operaciones con la misma jerarquía, éstas pueden ser evaluadas de
derecha a izquierda o de izquierda a derecha, el resultado será el mismo.
Como ejemplo, considérese la evaluación de las siguientes expresiones booleanas:

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