Conceptos básicos de flujo potencial, Función de corriente y función potencial de velocidad.

1. • Fluido ideal (no viscoso)
• Fluido incompresible (flujo solenoidal)
• Flujo irrotacional
• Movimiento bidimensional.
0
v
∇ ⋅ =
0 ; 0
v
ω = ∇× =
FLUJO POTENCIAL
Hipótesis para establecer el flujo potencial:
; potencial de velocidades.
Se cumple se puede decir que la velocidad deriva de un potencial según:
0
v
∇× =
v ϕ
= ∇
, ,
v
x y z
ϕ ϕ ϕ
 
∂ ∂ ∂
=  
∂ ∂ ∂
 
ϕ
u v w
x y z
ϕ ϕ ϕ
∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂
componentes de la velocidad:
es decir vorticidad cero.
en el caso bidimensional y se cumple
0
w =
2 2
0
v u
x y x y x y
ϕ ϕ
∂ ∂ ∂ ∂
− = − =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
0
z
ω =

2. 1
ϕ
2
ϕ
v
3
ϕ
Las líneas de potencial de velocidad constante se llaman líneas
de velocidad: son perpendiculares al vector velocidad en cada
punto.
v cte
ϕ ϕ ϕ
= ∇ ∇ ⊥ =
Si además el movimiento es solenoidadal
0
v
∇ ⋅ =
div( ) 0
ϕ
∇ =
2
0
ϕ
∇ =
⇒ ⇒
ϕ
(ecuación de Laplace: armónica)

3. 2 2
0
u v
x y y x x y
ψ ψ
∂ ∂ ∂ ∂
+ = − =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
función ψ se llama función de corriente
(Potencial de corriente)
;
u v
y x
ψ ψ
∂ ∂
= = −
∂ ∂
donde se cumple la ecuación (1) porque las
derivadas cruzadas son iguales:
Las componentes de la velocidad se pueden tener de la derivación de una
función escalar según:
movimiento plano: (flujo solenoidal).
0 con 0 ó 0
u v w
w
x y z
∂ ∂ ∂
+ = = =
∂ ∂ ∂
Función de corriente:
3
1 2
1 2 3
0 ó 0 ó 0
i
i
u u
u u
v
x x x x
∂ ∂
∂ ∂
= ∇⋅ = + + =
∂ ∂ ∂ ∂
En fluidos incompresibles se cumple:
(1)
2 2
2 2
0
v u
x y x y
ψ ψ
∂ ∂ ∂ ∂
− = + =
∂ ∂ ∂ ∂
Si además es irrotacional: se cumple
es decir
2
0
ψ
∇ =
0
v
∇× =
ψ es función armónica

4. ψ es constante a lo largo de las líneas de corriente
0 0
dx dy d
x y
ψ ψ
ψ
∂ ∂
+ = → =
∂ ∂
i j vi uj v
x y
ψ ψ
ψ ψ
∂ ∂
∇ = + = − + → ∇ ⊥
∂ ∂
El flujo transcurre entre líneas de potencial de corriente constante.
Los valores mayores de ψ quedan a la izquierda del movimiento.
v ui vj
= +
vi uj
− +
k v ψ
× = ∇

5. La relación entre los dos potenciales se tiene a través de lo que se conoce
como condiciones de Cauchy-Riemann:
u
x y
v
y x
ϕ ψ
ϕ ψ
∂ ∂ 
= = 
∂ ∂ 

∂ ∂ 
= = −

∂ ∂ 
componentes de la velocidad en función de la derivación
de los potenciales y
ϕ ψ
ψ1
ψ2
C
v
2 1
ψ ψ
Φ = −
2 2 2
2 1 1 1 1
d dl v dl
ψ ψ ψ ψ
− = = ∇ ⋅ = ×
∫ ∫ ∫
La diferencia de valores de dos líneas de corriente representan la cantidad
de fluido que atraviesa una línea transversal (C) en la unidad de tiempo
(Flujo de volumen):

6. • Flujo uniforme:
• Flujo en las proximidades de un rincón:
• Fuente o sumidero:
• Vórtice:
1 1 1
u x c
ϕ = + 1 2 2
u x c
ψ = +
2 2
1 2
( )
2
c
x x
ϕ = − 1 2
cx x A
ψ = +
log
c r
ϕ = c
ψ θ
=
c
ϕ θ
= − log
c r
ψ =
Ejemplos de flujos potenciales:

7. Ejemplos de flujo potencial