Portafolio de álgebra

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI
FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES
ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO
ÁLGEBRA
Tema: PORTAFOLIO
Alumno: Diego Vizcaíno
Tutor: Msc. Óscar Lomas
TULCÁN - ECUADOR
AÑO: 2013

TABLA DE CONTENIDOS
 CONJUNTO DE NUMEROS REALES Y LA RECTA NUMÉRICA
 OPERACIONES CON NÉROS REALES Y PROPIEDADES
 EXPONENTES Y RADICALES. RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
 FRACCIONES ALGEBRAICAS
 FACTORIZACIÓN
 ECUACIONES LINEALES GRÁFICAS PROBLEMAS. DESPEJE DE FÓRMULAS.
 DEPRECIACIÓN.
 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES GRÁFICAS PROBLEMAS
 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO GRÁFICAS PROBLEMAS
 REACTIVO DE ÁLGEBRA
 PRUEBAS

CONJUNTO DE NUMEROS REALES Y LA RECTA NUMÉRICA
DEBER DE ÁLGEBRA

OPERACIONES Y PROPIEDADES
PROPIEDADES DE NÚMEROS REALES, OPERACIONES

EXPONENTES Y RADICALES RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES

OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Realizar ejercicios sobre expresiones algebraicas de suma, resta, multiplicación y división de
monomios, binomios y polinomios, preparar un documento.

ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS. DESPEJE DE FÓRMULAS
ÁLGEBRA
Tema: Ejercicios de Ecuaciones Lineales
TULCÁN - ECUADOR
AÑO: 2013

El siguiente enlace proporciona información detallada de la resolución de este tipo de
ejercicios:
http://matematicatuya.com/NIVELACION/ECUACIONES/S2.html

DEPRECIACIÓN
TABLA DE
DEPRECIACIÓN DE BIENES
Tipo de
Bien Marca
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Año
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(1
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por
Depre
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Constru
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180
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180
00 5,00 15,5 139500 125550
4050
0
5445
0
Maquin
aria
Máquina
de coser 10 2006
100
0 120 10,00 7,5 750 660 250 340
Equipo
de
Cómput
o
Laptop
Sony 3 2011
150
0 150 33,33 2,5 1250 1125 250 375
Constru
cción
Apartam
ento 20 2005
195
000
150
00 5,00 8,5 82875 76500
1121
25
1185
00
Maquin
aria
Copiador
a Epson 10 2007
250
0 300 10,00 6,5 1625 1430 875 1070
Equipo
de
Cómput
o
Mini
laptop 3 2012
160
0 150 33,33 1,5 800 725 800 875
Constru
cción
Casa de
playa 20 2000
450
00
400
0 5,00 13,5 30375 27675
1462
5
1732
5
Constru
cción Hotel 20 1998
450
000
500
00 5,00 15,5 348750 310000
1012
50
1400
00
Maquin
aria
Molino
eléctrico 10 2007 700 65 10,00 6,5 455 412,75 245
287,2
5
Constru
cción
Mini
departa
mento 20 1995
195
000
150
00 5,00 18,5 180375 166500
1462
5
2850
0
Maquin
aria
Taladro
Hyu 10 2004 800 100 10,00 9,5 760 665 40 135

N
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1
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1
8
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8/20
13 5618 15,39
Edifi
cios
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000,
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00 0
5847,
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52,7
2
935
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3
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1/20
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13 1313 3,60
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culo
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00,0
0
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0 0
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45,2
4
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50,2
7
2
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1
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8/20
13 1498 4,10
Mue
bles
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00,0
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100
0 0
2192,
92
2436,
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7,08
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3,42
5
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1
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13 2849 7,81
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2075,
47
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3
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Cris
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13 1313 3,60
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0
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na F
1
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9/20
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8/20
13 3252 8,91
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0
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0 0
2121,
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9
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13 4634 12,70
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00,0
0
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6734,
46
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65,5
4
875
17,2
6
1
1
Pat
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1
9
01/0
1/20
12
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8/20
13 583 1,60
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puto
180
0,00 180 0
1014,
24
1126,
93
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673,
07
1
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Dia
na
V F
2
1
17/0
8/20
09
06/0
8/20
13 1450 3,97
Vehí
culos
250
00,0
0
250
0 0
5663,
79
6293,
10
193
36,2
1
187
06,9
0
1
8
Tan
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2
0
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5/20
12
06/0
8/20
13 451 1,24
Maq
uinar
ia
175
00,0
0
175
0 0
1274
6,67
1416
2,97
475
3,33
333
7,03

TABLA DE
DEPRECIACIÓN DE BIENES
Tipo
de
Bien Marca
Añ
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Año
de
Com
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de
2013
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Toyot
a 5 2012
200
00 2000 20,00 1,5 6000 5400 14000 14600
Vehíc
ulo Nissan 5 2011
150
00 2000 20,00 2,5 7500 6500 7500 8500
Vehíc
ulo Mazda 5 2010
300
00 2000 20,00 3,5 21000 19600 9000 10400
Vehíc
ulo
Chevr
olet 5 2013
400
00 2000 20,00 0,5 4000 3800 36000 36200

GRÁFICAS Y EJERCICIOS
ÁLGEBRA
Tema: Ejercicios de Sistemas de Ecuaciones
TULCÁN - ECUADOR
AÑO: 2013

Sistemas de ecuaciones
Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es
encontrar una solución común a ambas.
La solución de un sistema es un par de números x 1, y1 , tales que reemplazando x por x1 e y
por y1, se satisfacen a la vez ambas ecuaciones.
solución: x = 2, y = 3
Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones
1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma
expresión, el sistema resultante es equivalente.
x = 2, y = 3
2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un
número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.
NOTA:
El siguiente enlace muestra más teoría de sistemas de ecuaciones lineales, gráficas y ejercicios.
http://www.amolasmates.es/pdf/cidead/3_eso/apuntes/teoria%20sistemas%20de%20ecuacio
nes.pdf

ÁLGEBRA
Tema: Gráficas de Sistemas de Ecuaciones
TULCÁN - ECUADOR
AÑO: 2013

ÁLGEBRA
Tema: Ejercicios de Ecuaciones Cuadráticas
TULCÁN - ECUADOR
AÑO: 2013

ECUACIONES CUADRÁTICAS
También llamadas ecuaciones de segundo grado, es un tipo de ecuación particular en
la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado.
Es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente,
la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en
la forma canónica:
ax^2 + bx + c = 0,
donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b
el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.
Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en
x^n,
Es de la forma:
ax^{2n}+bx+c=0 ,
Con n un número natural y a distinto de cero.
La ecuación cuadrática es de gran importancia en diversos campos, ya que junto con
las ecuaciones lineales, permiten modelar un gran número de relaciones y leyes.
Soluciones de una ecuación cuadrática:
Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2
+ bx + c, donde a, b, y c
son números reales.
Ejemplo:
9x2
+ 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10
3x2
- 9x a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2
+ 10 a = -6, b = 0, c = 10
Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones
cuadráticas:
1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática
Factorización Simple:
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de
binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.
Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8
(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2
]
( x + ) (x - ) = 0
(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2
4 · -2 = -8

x + 4 = 0 x – 2 = 0
x + 4 = 0 x – 2 = 0
x = 0 – 4 x = 0 + 2
x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.
Completando el Cuadrado:
En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la
constante de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la
siguiente forma:
4x2
+ 12x – 8 = 0
4 4 4 4
x2
+ 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.
Ejemplo:
x2
+ 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.]
x2
+ 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]
x2
+ 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]
x2
+ 2x + 1 = 8 + 1
x2
+ 2x + 1 = 9
( ) ( ) = 9 Hay que factorizar.
Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

( x + 1) (x + 1) = 9
(x + 1)2
= 9
(x + 1) = ±
x + 1 = ± 3
x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]
x = -1 + 3 x = -1 – 3
x = 2 x = -4
Fórmula resolvente:
El procedimiento consiste en realizar modificaciones algebraicas en la ecuación
general de la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 hasta que la X quede
despejada. La solución de una ecuación de segundo grado es la llamada fórmula
resolvente.
La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo + y otra con el signo - antes de la
raíz.
Solucionar una ecuación de segundo grado se limita entonces, a identificar las letras a,
b y c y sustituir sus valores en la fórmula resolvente.
Es de hacer notar que, utilizar la fórmula resolvente es un procedimiento que debe
realizarse con cuidado y requiere extraer la raíz cuadrada de un número, bien sea con
calculadora o cualquier proceso manual.
Existen procedimientos particulares, sólo aplicables a ciertos casos, en los cuales se
pueden hallar las raíces de forma más fácil y rápida. Tienen que ver con las técnicas
de factorización.
La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no
necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas
por la fórmula general:

,
donde el símbolo "±" indica que los dos valores
Reales e imaginarias:
Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones:
 Dos raíces reales distintas
 Una raíz real (o dos raíces iguales)
 Dos raíces imaginarias distintas
El criterio que establece la diferencia entre estos casos es el signo del discriminante.
Se define al discriminante D como:
b^2 - 4ac ,
 Si el discriminante es positivo, entonces la raíz cuadrada es un número real y
se generan dos raíces reales distintas
 Si el discriminante es cero, la raíz es cero, y ambas raíces resultan el mismo
número.
 Si el discriminante es negativo, la raíz cuadrada es imaginaria, produciéndose
dos raíces imaginarias o compleja
EJERCICIOS
1) Resolver: − 5x2
+ 13x + 6 = 0
Se identifican las letras, cuidando que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayor a
menor. Con esta condición tenemos: a = − 5; b = 13; c = 6.
Se aplica la fórmula:
Como la raíz buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289), se tiene entonces que:

Según esto, tendremos dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra usando el signo −.
Llamaremos X1 y X2 a las dos soluciones, que serán:
Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella producen una identidad. Al
procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se le
denomina verficación.
Probando con x = 3. Resulta: −5 • (3)2 + 13 • (3) + 6 = −45 + 39 + 6 = 0, tal como se esperaba en el
segundo miembro.
Probando con , se tiene
Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 3 y son las raíces de − 5x2
+
13x + 6 = 0.
Problema 3
Halle el área y perímetro del triángulo rectángulo mostrado. Las dimensiones están en
metros
Como es un triángulo rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras: "El cuadrado de la hipotenusa es
igual a la suma de los cuadrados de los catetos" (c2
= a2
+ b2
). La hipotenusa es el lado mayor (2x − 5) y
los otros dos son los catetos, se plantea entonces la ecuación:
(x + 3)2
+ (x − 4)2
= (2x − 5)2
Desarrollando cada binomio al cuadrado, se tiene:

x2
+ 2 • 3 • x + 32
+ x2
− 2 • 4 • x + 42
= (2x)2
− 2 • (2x) • 5 + 52
= x2
+ 6x + 9 + x2
− 8x + 16 = 4x2
− 20x +
25
Reagrupando:
x2
+ 6x + 9 + x2
− 8x + 16 − 4x2
+ 20x − 25 = 0
Finalmente:
−2x2
+ 18x = 0
Es la ecuación a resolver
Las raíces de la ecuación son x1 = 0 y x2 = 9.
La solución x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sería −4 m, lo cual no es posible. La solución es
entonces, x = 9. De esta manera, el triángulo queda con catetos 12 metros y 5 metros y con hipotenusa
13 metros.
El área de un triángulo es base por altura dividido 2; la base y la altura son los dos catetos que están a
90° , por lo tanto el área es
El perímetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m.

GRÁFICAS Y PROBLEMAS
ÁLGEBRA
Tema: Gráficas de Ecuaciones Cuadráticas
TULCÁN - ECUADOR
AÑO: 2013

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Cuando nos referimos a las ecuaciones de primer grado las representábamos por
medio de una recta:
Ejemplo:
Tienes la ecuación si das un valor a x obtienes otro para y, este valor
lo llevábamos al eje de coordenadas y fijábamos un punto.
Dábamos otro valor a x y obteníamos el correspondiente a y .Con estos dos valores
conseguíamos el segundo punto.
Al unir los dos puntos determinábamos la recta. Todos los puntos de la recta son
respuestas de la ecuación.
En el caso de las ecuaciones de 2º grado su representación gráfica es muy diferente.
Supongamos una ecuación de 2º grado (el exponente de x debe ser 2):
Vamos a dar valores a la variable independiente x y conseguiremos que la variable
dependiente y tome los suyos:
En primer lugar damos a x el valor 3, luego 2, después 0, seguidamente – 2 y por fin,
– 3. La variable dependiente y recibirá los valores: 9,4,0, 4 y 9
Podemos escribir:
Colocamos en el eje de coordenadas los puntos:
y luego, unimos esos puntos tal como lo ves en la figura:
13.82 Representa gráficamente la ecuación de 2º grado:

Respuesta:
Solución
Dando valores a x : 2, 1, 0, -1 y -2 obtenemos los de y en la ecuación de 2º
grado:
Fijados los puntos, los unimos y obtendremos la parábola.
¿Por qué los puntos no los unimos con rectas?
Porque si en la ecuación de 2º grado diéramos a x los valores que
indicamos a continuación los correspondientes al eje y serían:

Estos valores obtenidos los llevamos al eje de coordenadas para crear los puntos y
obtendríamos algo parecido a:
Por la colocación de los puntos, sin necesidad de unirlos puedes ver el resultado.
Vértice de la parábola
Si te has fijado bien, en todas las figuras referidas a la parábola has visto, por un
lado, el eje de coordenadas y por otro, la parábola.

Llamamos vértice de la parábola al punto común de la parábola con el eje vertical
de la misma o su eje de simetría.
No se trata del eje vertical o de ordenadas de un eje de coordenadas.
Nos referimos al eje de la parábola.
El eje de la parábola es un eje de simetría que divide a la parábola en dos curvas
iguales. Cada una de estas curvas se llaman ramas o brazos de la parábola.
¿Qué es un eje de simetría en una parábola?
Es una línea de modo que si doblásemos el papel por dicha línea, las ramas de la
parábola coincidirían.
Todas las figuras que has visto hasta ahora, el vértice lo tienen en el punto (0.0).
En todos los casos que vamos estudiando, el eje de la parábola coincide con el eje
coordenadas, pero esto no es siempre así como veremos más adelante.
Vamos a dibujar una parábola cuyo vértice se encuentre en el punto (0,1).
En primer lugar debemos conocer la ecuación de 2º grado, supongamos que se trata
de:
El vértice se hallará en el punto (0,1). Veamos porqué.
Si a "x" le das el valor cero en esta ecuación, comprobarás que el valor de y es 1.
Luego, parax=0; y=1.
Fijamos este punto (color rojo) en el eje de coordenadas.
El resto de los puntos (en color verde), y obtenemos la parábola:

En el caso de que representásemos gráficamente la ecuación:
Para x=0 y=-2 La parábola sería:
En el caso de que la ecuación fuese el vértice estaría situado en el
punto (0,2):
Si a x le das el valor 0 en la ecuación propuesta, y valdrá 2.
13.82(a) Representa gráficamente la ecuación:

13.83 Representa gráficamente la ecuación:
Respuesta:
Solución
Los puntos que hemos tomado han sido:
El vértice de la parábola lo tenemos en el punto (0,-1)
¿Qué sucede con las coordenadas del vértice en el caso de la representación
gráfica de una ecuación de 2º grado del tipo
Cuando la ecuación de 2º grado es del tipo el vértice se traslada hacia
laderecha tantas unidades como vale m.
En el caso de se traslada hacia la izquierda tantas unidades como
vale m.

Ejemplo:
En este caso a vale 1.
Llevamos algunos de estos valores sobre el eje de coordenadas
Cuando x = 2; el valor de y = 0. Este es el punto común de la parábola y su eje.
Si doblásemos el papel por el eje de la parábola, las dos ramas o brazos coincidirían.
13.84 ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola correspondiente a la
ecuación
Respuesta: el punto (1,0)
ecuación
Respuesta: el punto (-3,0)

ecuación
Respuesta: el punto (0,7)
ecuación
Respuesta: el punto (0,-7).

REACTIVO DE ÁLGEBRA
REACTIVO DE ÁLGEBRA
Diego Vizcaíno Primero “B”
El resultado de factorar X2
+10x+21, es:
a) (x+3)2
(x+7)
b) (x+3)(x+7)2
c) (x+3)(x+7)
d) d)(x+3)(X-7)(x+7)
Despejar V0 de la expresión: d=V0t+(1/2)at2
a) V0= (d/t)-2at2
b) V0= (d-(1/2)at2
)/t
c) V0= d-t-(1/2)at2
d) V0= d-t+(1/2)at2
Determinar el valor de la siguiente expresión: ((x+3x2
)/x)+x3
; para x=2.
a) 14
b) 15
c) -14
d) 5
Resolver la siguiente ecuación: (x-1)/6-(x-3)/2=-1
a) -7
b) 7
c) -17
d) 27
Resolver los siguiente problemas:
Perdí un tercio de las ovejas y llegué con 24. ¿Cuántas ovejas tenía?
a) 135
b) 5
c) 36
d) 97
En una tienda, de un producto me rebajaron el 15% y pagué $ 51. ¿Cuánto costaba el
producto?
a) $ 66
b) $85
c) $ 36
d) $ 60

Un equipo de cómputo fue adquirido en $ 1800. Su valor de rescate es $ 180. Calcular el
valor que se ha depreciado a un año 6 meses de ser adquirido. Se compró en Ecuador en
enero del año 2011.
a) $ 900
b) $ 800
c) $ 810
d) $ 910
Un edificio nuevo, construido en el año 2009, es donado. Como condición se pide que su
valor de rescate sea cero. A los 5 años de haber sido donado, se pone en venta. El edificio
está en Ecuador y costó en su construcción $ 350 000. ¿En cuánto debe ser vendido el bien
inmueble?
a) $ 35 000
b) $ 262 500
c) $ 300 000
d) $325 000
Al comprar un par de zapatos pagué $ 95 (incluido impuestos). Si el impuesto que me
cobraron fue del 15% sobre el valor original. ¿Cuál es el valor de los zapatos sin impuestos?
a) $ 82.61
b) $ 80.00
c) $ 110.00
d) 85.23
Si por 2 autos se paga en total $ 50 000(incluido impuestos). Si se paga el 20% de impuestos
sobre el valor original. ¿Cuál es el valor de cada auto sin impuestos?
a) $ 20 000.00
b) $ 20 833.33
c) $ 22 500.25
d) $ 25 380.12

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