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1. Ecuaciones Cuadráticas
Demetrio Ccesa Rayme

2. Ecuaciones Cuadráticas

3. Ecuaciones Cuadráticas
¿Qué es una ecuación cuadrática?
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o
incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo
grado. Un ejemplo
3x2-16x+5=0
Solución de una Ecuación Cuadrática
ax2+bx+c=0
• Factorización
• Formula General

4. Factorización
• Factor Común Monomio
)(2
baxxbxax 
• Diferencia de Cuadrados
))((22
axaxax 
• Método del Aspa Simple
010116 2
 xx
2
-5
3x
2x
4x
-15x
-11x
)52)(23(10116 2
 xxxx

5. Ejemplos
032
 xx
0)3( xx
0x
3
0)3(


x
x
042
 xx
0)4( xx
0x
4
0)4(


x
x

6. Ejemplos
0492
x
0)7)(7(  xx
7
07


x
x
7
0)7(


x
x
0492
x
492
x
49x
7x

7. 0232
 xx
-2
-1
x
x
-2x
-x
-3x
0)1)(2(232
 xxxx
0)1(0)2(  xx
2x 1x
Factorización

8. 09124 2
 xx
3
3
2x
2x
6x
6x
12x
0)32)(32(9124 2
 xxxx
0)32(0)32(  xx
2
3
x
2
3
x

9. Formula General

10. Ejemplos por la Formula General
0642 2
 xx
a
acbb
x
2
42



11. 0642 2
 xx
a
acbb
x
2
42



12. 0372 2
 xx
a
acbb
x
2
42


a b c

13. 01072
 xx
01072
 xx
a
acbb
x
2
42


a b c

14. 012
 xx
a
acbb
x
2
42


a b c
22

15. x3+
1-x
3
=2-x3+3x+
1-x
1 22
Ecuaciones Cuadráticas

16. 45
27
43
25





x
x
x
x
)27)(43()45)(25(  xxxx
8286218102025 22
 xxxxxx
8342183025 22
 xxxx
08342183025 22
 xxxx
044 2
 xx
0)1(4 xx
0x
1
0)1(


x
x

17. 2
2
3
3
2



 xx
2
)2)(3(
)3(3)2(2



xx
xx
)2)(3(29342  xxxx
6329342 2
 xxxxx
655 2
 xxx
5560 2
 xxx
01142
 xx
a
acbb
x
2
42


1.2
)11.1.4(164 
x
2
604
x
2
)15)(.4(4

05562
 xxx
2
1524
x
152 x

18. x
1
-=
1+x
1-x
-1
1
-x
4
3-x
-
2
3-x
x
1
-=
1+x
1-xx
1
-x
x3-x
)(1
4
)3()(2


x
1
-=
1-xx
1+x
-x
x-x
)(1
4
362


x
1
-=
1+xx
-x
2
)(2
4
3

x
1
-=
x
-x
2
1
4
3
 x
1
-=
x
-x
)1(4
)3(2

)1(4)3(2  xxx
2232
 xxx
022
 xx
211  xx
0)1)(2(  xx
2
02


x
x
1
0)1(


x
x

19. 4-)2-(x=
2
2)+(x2)-(x
-
3
2+x
-x2)-(x 2
3-x
x-2
+
3
4+4x
=
3
4+x
+2
)2-(x=1)-(xx)-(3+
3
2-x
-)3-(x 22
3
2x
-
9
2
=x-x
2

20. 2
15
3
133
2
12








x
x
x
x
x
x
3-
x
3
-2x=
x
5
-3x+
x
3-x
3-x
x-2
3
4+4x
=
3
4+x
2 
x
1
=
2-x
1+x
+2
1
+x
3

21. Inecuaciones Cuadráticas
• Se encuentra la solución a la ecuación cuadrática
• Se colocan los valores sobre la recta numérica
• Se colocan los signos (+) y (-) alternadamente,
comenzando del lado derecho con el signo (+), sobre los
intervalos q se han generado
• Si la inecuación P(x) >0 la solución son los intervalos
positivos (+)
• Si la inecuación P(x) <0 la solución son los intervalos
negativos (-)

22. Método de los Puntos Críticos
• Se soluciona la inecuación cuadrática
como si fuera una ecuación
Ax2 + Bx +C > 0
Ax2 + Bx +C < 0
• Se encuentran las soluciones de la
Ecuación Cuadráticas
– Factorización
– Formula General

23. • Se colocan los puntos críticos sobre la recta
numérica
• Contando desde la derecha se coloca
alternadamente (+) y (-)
• Solución
– Si el Polinomio P(x)> 0 la respuesta son los intervalos
positivos
– Si el Polinomio P(x)< 0 la respuesta son los intervalos
negativos
X1 X2
X1 X2
++ -

24. Inecuaciones Cuadráticas
01522
 xx
01522
 xx
5
-3
x
x
5x
-3x
2x
0)3)(5(  xx
-5 3
++ -
35
0)3(0)5(


xx
xx
 3,5x

25. 4)1()3( 22
 xx
Inecuaciones Cuadráticas
41296 22
 xxxx
41082 2
 xx
0682 2
 xx
0342
 xx
-1
-3
x
x
- x
- 3x
- 4x
0)3)(1(  xx
1 3
++ -
31
0)3(0)1(


xx
xx
 ,31, Ux

26. Sistema de Inecuaciones





2434
173)2()1(
2
222
xxx
xxxx
173)2()1( 222
 xxxx 2434 2
 xxx
173)44(12 222
 xxxxxx
1734412 222
 xxxxxx
17336 2
 xxx
023 2
 xx
0)1)(23(  xx
0274 2
 xx
0)2)(14(  xx
-1
x=<-1,-1/4]
-1/4
++ -
-1/4 2
++ -
-1 2/3
2/3 2

27. 222
)3()2()1(  xxx
Inecuaciones Cuadráticas






53)12(
034
22
2
xxx
xx
133)13()15( 222
 xxx






13)12(
067
22
2
xxx
xx