1. CAPITULO 4
METODOS DE RESOLUCION DE CIRCUITOS
4.1.- Análisis de circuitos resistivos puros.
4.1.1.- Funciones de la red.
4.1.2.- Divisores de voltaje y corriente.
4.2.- Transformaciones en los circuitos eléctricos y redes
equivalentes.
4.3.- Método de las mallas y de los nudos.
4.4.- Impedancia y admitancia operacional.
BIBLIOGRAFIA:
[1] Cap 3: Circuitos resistivos simples. [3] Cap 2: Leyes experimentales y
Cap 4: Técnicas de análisis de circuitos simples.
circuitos. Cap 3: Circuitos resistivos simples
[2] Cap 2: Kirchhoff’s Current and Voltage [8] Cap 3: Métodos de análisis de
Laws and Series-Parallel Resistive circuitos(I).
circuits. Cap 4. Métodos de análisis de
Cap 4: Node and Loop Analysis. circuitos (II).
LKV y
E n los inicios del análisis de los circuitos eléctricos, se podían plantear todas las
LKC que permitían determinar todas las corrientes y voltajes de un circuito. En
teoría este método es absolutamente correcto, sin embargo en la práctica es poco eficiente
ya que con un circuito de sólo seis ramas y cuatro nodos se obtienen 12 ecuaciones con 12
incógnitas (3 LKV, 3 LKC y 6 relaciones corriente-voltaje). Las 12 incógnitas son los 6
voltajes y 6 corrientes de rama.
En estas condiciones apareció el método de las mallas el que trabaja con corrientes
ficticias permitiendo así una disminución en el número de ecuaciones. Por ejemplo, para el
caso anterior las ecuaciones disminuyen de 12 a 3 en las cuales las únicas incógnitas son las
corrientes. A partir de éstas se pueden determinar todas las variables buscadas. Luego se
agregó el método de los nodos y con el desarrollo de los computadores, este método se
popularizó puesto que es más práctico computacionalmente.
En este capítulo se analizarán principalmente redes que contienen solamente
resistores y fuentes. Debido a la relación corriente-voltaje en los resistores, las ecuaciones
TEORIA DE REDES I.- 74

2. Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.
que resultan del planteamiento de las Leyes de Kirchhoff serán ecuaciones algebraicas. Es
decir que en los sistemas de ecuaciones que se obtengan, no tendremos ni integrales ni
derivadas de modo que el modelo matemático que caracteriza este tipo de circuitos será un
sistema de ecuaciones algebraico, donde las incógnitas serán las variables que se desean
calcular, ya sean corrientes o voltajes, los cuales repiten la forma de onda del estímulo.
El método de Impedancia y Admitancia Operacional permitirá ampliar lo estudiado
en los circuitos resistivos a circuitos que contengan condensadores e inductores. Es un
método que facilita el manejo de las ecuaciones integro-diferenciales que se obtienen en el
análisis de estos circuitos, debido a las relaciones corriente-voltaje en los condensadores e
inductores.
4.1 Circuitos resistivos puros.
R1 i3
i1 a
+ i2
eo
R2
R3
b
Figura 4.1-1: Red resistiva pura.
La corriente en un circuito que tenga una sola fuente, dicha corriente la impone la
fuente.
1
eo = Req ⋅ i1 ⇒ i1 = eo ⋅
Req
′ RR R1 (R2 + R3 ) + R2 R3
Req = R1 + Req
′ Req = 2 3 Req =
R2 + R3 R2 + R3
R2 + R3 R2
i1 = eo ⋅ U ab = i1 ⋅ Req
′ i3 = eo
R2 R3 + R1 (R2 + R3 ) R2 R3 + R1 (R2 + R3 )
R2 R3
U ab = eo ;
R2 R3 + R1 (R2 + R3 )
si consideramos que el estímulo es eo y la respuesta del circuito Uab, la relación es:
respuesta U ab R2 R3
= =
estímulo eo R2 R3 + R1 ( R2 + R3 )
Conclusión:
La relación entre las variables de un circuito resistivo es constante, o sea que sólo
depende del valor de los componentes y de su configuración.
TEORIA DE REDES I 75

3. Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.
En los circuitos resistivos puros, la frecuencia de la onda de respuesta es igual a la
frecuencia de la onda del estímulo, o sea, la red sólo depende del valor de la resistencia y
de la configuración.
4.1.1.- Funciones de la red.
Definición de los coeficientes de transferencia.
Función de la red:
f2
Es la relación entre la respuesta y el estímulo: =H,
f1
donde H es la función de la red. Esta sólo depende de los elementos que componen la red,
de su configuración y no del estímulo que alimenta la red.
Si el estímulo varía, la respuesta varía pero H permanece constante.
- Función de la red de entrada:
Cuando estímulo y respuesta están ubicados en el mismo par de terminales puede
llamarse resistencia propia (si está en Ω ) o conductancia propia (si está en mhos υ)
eo
Ejemplo: La resistencia propia de la red anterior sería: HR=
i1
- Función de la red de transferencia:
Cuando la respuesta y el estímulo no están en el mismo par de terminales, la función
de la red es de transferencia. En este caso se puede medir en Ω , siemens o
adimensional. En los primeros casos se le llama función de la red. En el último ganancia o
atenuación según si el valor es mayor o menor que uno.
U ab
Ejemplo: si > 1, esta es una ganancia de voltaje, en el caso contrario es un atenuación de voltaje.
eo
- Función de la red de salida:
Cuando se analizan las respuestas y estímulos en los pares de terminales de salida.
Analizar cuáles son las diferentes funciones de la red calculadas en el ejercicio
anterior.
TEORIA DE REDES I 76

4. Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.
4.1.2.- Divisores de voltaje y corriente.
U1 U2 U3
+
Conexión en serie: ......
+
R1 R2 R3 Rn Un
En un circuito serie la
corriente es la misma en todos eo
sus elementos, por lo que la
I
corrientes por R1, R2, ...Rn es
la misma. Figura 4.1-2
Por Ley de Ohm, el voltaje en cada resistencia depende del valor de la misma. Sin
embargo existe un método, llamado divisor de voltaje, que permite determinar
directamente cuál es el valor del voltaje en cualquiera de las resistencias de un circuito
serie:
Rn
Un = eo
R1 + R 2 + R 3+.. + Rn
Conexión Paralelo: i .......
i1 i2 i3 in
En un circuito paralelo el +
voltaje es el mismo en todos los U
elementos.
Existe un método para G1 G2 G3 Gn
determinar la corriente en una
conductancia cualquiera del
Figura 4.1-3
circuito paralelo denominado
divisor de corriente. Este se
expresa:
Gn
in = i
G1 + G 2 + G 3+.. + Gn
TEORIA DE REDES I 77

5. Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.
Demostración del divisor de voltaje:
Por LKV: -eo + R1·I + R2·I + R3·I +..+ Rn·I = 0 por lo que eo
I =
∑ R
por otra parte, como Un = Rn·I reemplazando queda: Un = e o Rn qed.
∑R
Demostración del divisor de corriente:
i
Por LKC: -i + U·G1 + U·G2 + U·G3+ ... + U·Gn = 0 por lo que U =
∑G
Gn
por otra parte, como in = Gn·U reemplazando queda: in = i qed.
∑G
EJERCICIO:
Utilizando divisores de corriente y voltaje, determinar las variables i y V del
circuito que se presenta a continuación:
Re q 2 20 20 · 6 20
V = VT · = 100 · = 100 · = 60V
Re q1 + Re q 2 80
+ 20 200 i 40
15
6
V VT 6
IT = T = = 100 = 3A IT + +
Re qT Re q1 + Re q 2 200
V
1 40 25
1 100v -
i = I T · 40 = 3 * = 1 A
1 1 3
+
20 40
TEORIA DE REDES I 78

6. Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.
4.2.- Transformaciones en los circuitos eléctricos y redes
equivalentes.
Introducción:
Las transformaciones son una característica de los circuitos eléctricos que permiten
la sustitución de una red por otra que no modifica los valores de las variables en el circuito.
O sea, en los terminales donde se realizó la sustitución, circula la misma corriente y existe
la misma ddp que para el circuito original.
El objetivo de las transformaciones es facilitar el análisis de un circuito
reemplazándolo por otro supuestamente más sencillo, o que va a permitir una
simplificación del circuito original. En muchos casos es necesario volver al circuito
original y aplicar en él los resultados encontrados. Para que el análisis del circuito sea
correcto, la transformación de un circuito eléctrico debe desembocar en un circuito
equivalente.
REDES EQUIVALENTES.
En general interesa conocer el voltaje y la corriente solo en una rama del circuito y no
todos los parámetros de la red. luego es conveniente utilizar técnicas que permitan transformar
una red compleja en una red más simple pero equivalente con la que se simplifica el análisis.
DEFINICION:
Las redes R1 y R2 son equivalentes respecto a la red arbitraria R, si al ser conectadas a
la red R no se alteran los valores de corriente y voltaje de las componentes de la red R.
Nótese que si se realizan mediciones externas a las redes R1 y R2, es decir en R, se
obtendrán idénticos resultados. Además R1 y R2 pueden contener componentes diferentes y
estructuras diferentes. No es posible efectuar comparaciones entre variables internas de R1 y
R2.
Finalmente, R1 y R2 pueden ser consideradas como cajas negras en el sentido que no
tiene mayor interés para el observador el contenido de las cajas. Lo que se puede comparar de
ambas redes serán las relaciones entre sus variables terminales, o sea el voltaje y la corriente
asociadas a la red arbitraria R.
i i
+ RED + RED
RED RED v
R1 v R2 R
- R -
Figura 4.2-1
TEORIA DE REDES I 79

7. Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.
Para la red R no hay cambios en sus terminales si sustituimos la red R1 por la red R2 o
inversamente, ya que éstas dos redes, R1 y R2, son equivalentes.
Resumen de las Características:
- La red R2 debe facilitar los cálculos con respecto a la red R1.
- Mediciones externas a ambas redes arrojan resultados iguales.
- Internamente la red R1 y la red R2 poseen componentes y topologías diferentes.
- No se pueden efectuar comparaciones entre variables internas de las redes 1 y 2.
A partir de este concepto se realizan las transformaciones delta-estrella, las
transformaciones de fuente y se basan los teoremas de Thevenin y Norton.
Las equivalencias se pueden presentar considerando diferentes conceptos:
a) Equivalencia debido a iguales características de terminales.
b) Equivalencia debido a valores iguales de las variables.
c) Equivalencia debido a la movilidad de las fuentes.
d) Equivalencia debido a transformaciones de fuentes.
e) Equivalencia con respecto a un instante de tiempo.
f) Redes equivalentes debido a aproximaciones numéricas.
g) Redes equivalentes debido al rango de operación.
Transformaciones delta-estrella:
Configuración estrella:
1 2
R1
1
R1
R2
R2
R1 R2 2
4 4 4
1 2
R3 R3
3
R3
3
3
Tipo Y Tipo T
Figura 4.2-2
Esta configuración posee 3 ramas y 4 nodos (no pueden haber fuentes en las ramas).
TEORIA DE REDES I 80

8. Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.
Configuración delta:
R12 R12
1 2
1 2 R13
R13 R23
R12 R23
R13 R23
3 3 3
1 2 3
Tipo Δ Tipo Π
Figura 4.2-3
Esta configuración posee 3 ramas y 3 nodos (no pueden haber fuentes en las ramas).
Una delta se puede transformar en una estrella e inversamente haciendo los siguientes
procedimientos: R12
- En el circuito original, configurar la delta (o la 1 2
estrella) dentro de los terminales de la estrella (o delta) que
se desea cambiar.
R1 R2
- Reemplazar los valores de las resistencias de una 4
R3
R13 R23
configuración por los valores de la otra según las siguientes
R3
ecuaciones:
3
Figura 4.2-4
- Transformación delta a estrella:
R12 ⋅ R13 R12 ⋅ R 23 R13 ⋅ R 23
R1 = R2 = R3 =
R12 + R 23 + R13 R12 + R 23 + R13 R12 + R 23 + R13
- Transformación estrella a delta:
R1R 2 + R 2 R 3 + R1R 3 R1R 2 + R 2 R 3 + R1R 3 R1R 2 + R 2 R 3 + R1R 3
R12 = R13 = R 23 =
R3 R2 R1
TEORIA DE REDES I 81

9. Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.
Transformaciones de fuentes:
Las fuentes independientes REALES se pueden transformar utilizando el siguiente
método:
Ri
a a
+
Rc Gi
Rc
Vo Io
Ic Ic
b b
Figura 4.2-5
- De fuente real de voltaje a fuente real de - De fuente real de corriente a fuente real de
corriente: voltaje:
Vo 1 Io 1
Io = Gi = Vo = Ri =
Ri Ri Gi Gi
Se supone que la corriente Ic es la misma para ambos circuitos si se cumplen las relaciones
anteriores.
EJERCICIO:
Hallar la corriente y el voltaje en las diferentes ramas del siguiente circuito empleando
transformaciones de fuente.
i1 2 3V 3
i3
+
+ 1A
2 1
6V i2 i4
NOTA: En el momento de transformar los circuitos se debe tener particular cuidado en los
terminales que están actuando, ya que éstos no se deben perder en el circuito equivalente
resultante.
TEORIA DE REDES I 82

10. Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.
EJERCICIOS:
Utilizando Divisores de Corriente y Voltaje y/o transformaciones, determinar las variables Io y Vo, señaladas
en los siguientes circuitos:
EJERCICIO 1
2•3 6
R1 = =
4Ω
2+3++ 8
3•3 9
2Ω 3Ω Donde: R 2 = =
2+3+3 8
2•3 6
4Α Ιο R3 = =
2+3+3 8
5Ω 3Ω 5Ω
Tal como queda el circuito se puede plantear que la corriente
que entrega la fuente se repartirá según un divisor de corriente
por las dos ramas en paralelo. Por lo que se puede utilizar este
Realizando una transformación de delta a estrella el método y plantear que:
circuito queda:
1
4Ω R1
Io = 4 • 5 + R2 = 1.926 A
1 1
+
R3 R2
5 + R2 5 + R3
4Α Ιο
5Ω
5Ω
EJERCICIO 2
5Ω 8Ω
En el circuito anterior, como las resistencias de 8
y 12 Ohm están en paralelo el circuito se puede
transformar al circuito que se muestra en la
figura 2b.-
+ 5Ω + 8Ω
La resistencia de 10Ω no influye en el hecho de
Vo
que el voltaje de la fuente se reparta como
20V 10Ω − divisor de voltaje en las resistencias de 2,5 y 2,4
12Ω 12Ω
Ohm.
Por esta razón, el voltaje Vo en la resistencia de
Circuito 2a.- 2,4 Ohm es el mismo que se indica en el circuito
2,5Ω 2a, por lo que se tiene que:
2 ,4
+ Vo = 20 • = 9,796
+ 2.4Ω 2,4 + 2,5
Vo
20V 10Ω −
Circuito 2b.-.
TEORIA DE REDES I 83

11. Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.
EJERCICIO 3:
R1 Io +
ib +
ib
Vs
Io Vs R2 R3
Ro
-
Circuito 3a.
haciendo una transformación de la fuente real de corriente se obtiene:
R1 Io +
Ro ib +
+ ib
Vs
Ro·Ie Vs R2 R3
LKV
-
circuito 3b.
Utilizando divisores de Voltaje y analizando el circuito 3b se tiene que:
1
Io = ib • R 3
1
R2 + R3
Pero por LKV en la primera parte de circuito se tiene que:
Ro • ib + Vs = Ro • Ie pero se tiene que Vs = Io • R 3
1
por lo que ib = ( Ro • Ie − Io • R 3) •
Ro
R3 ⎛ R 3 ⎞⎛ R 2 + R 3 ⎞
ib = Ie − Io • queda entonces: Io = ⎜ Ie − Io • ⎟⎜ ⎟
Ro ⎝ Ro ⎠⎝ R 3 ⎠
R 2Ro + R 3Ro
Por lo que Io = • Ie
R 2R 3 + R 32 + RoR 3
TEORIA DE REDES I 84

12. Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.
4.3.- Método de las mallas y de los nudos.
METODO DE LAS CORRIENTES DE MALLA:
El método de las corrientes de malla es uno de los que se aplica en circuitos de
estructura compleja, como frecuentemente aparecen en la práctica. Se basa en la
superposición de corrientes ficticias que en vez de circular por ramas específicas, lo hacen
por las mallas de circuito.
Una malla se define como cualquier lazo cerrado que no contiene otros lazos en su
interior (ver Capítulo 3: Topología de redes).
Al final, las corrientes de rama se obtienen con relativa sencillez a partir de las
corrientes de malla.
En la figura 4.3-1 se muestra el grafo de un
circuito de estructura compleja.
i1, i2, i3, i4, ... representan las corrientes que
circulan por las ramas, llamadas corrientes
I3 i7 I4 i8
de rama.
i6
i3 i4 I1, I2, I3, ... representan las corrientes que
circulan por las mallas, llamadas corrientes
i1 I1 i2 I2 de malla.
i5
Observe que hay menos cantidad de
corrientes de malla que corrientes de rama
Figura 4.3-1 por lo que disminuirá cualquier sistema de
ecuaciones.
Las mallas se han escogido de manera tal que cada una de ellas contiene al menos
una rama no contenida en otras mallas, para garantizar la independencia lineal de las
ecuaciones resultantes.
Los sentidos de las corrientes de malla se escogen arbitrariamente.
Cuando una rama pertenece a una sola malla, la corriente de ésta tiene el mismo
valor absoluto que la corriente de la malla. Su signo depende de la coincidencia de los
sentidos de ambas corrientes: cuando los sentidos coinciden, los signos son iguales, si no
los signos son contrarios. Acorde a esto en la figura sucede que i1 = I1 porque la rama 1
pertenece solo a la malla 1 y el sentido de las corrientes de rama y malla coinciden. Ahora
bien, i5 = -I2 porque la rama 5 solo pertenece a la malla 2 y los sentidos de ambas
corrientes son contrarios.
En el caso en que una rama pertenece a varias mallas, la corriente en la mismas es
igual a la suma algebraica de todas las corrientes de malla que contengan a dicha rama. Se
les da un signo positivo a las corrientes de malla cuyo sentido coincide con el de la
corriente de rama y signo negativo en el caso contrario.
TEORIA DE REDES I 85

13. Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.
De esta forma se tienen las siguientes expresiones para algunas corrientes de rama:
i2 = I1 + I2
i3 = I1 - I3
i4 = -I2 - I4
El método de las corrientes de malla se basa en la aplicación de las LKV en cada
una de las mallas escogidas. Para la fundamentación del método, se puede suponer que la
malla 1 está constituida como se muestra en la figura 4.3-2:
I3 Aplicando la LKV 1 se obtiene la
expresión (1).
i3 R3
+ i2 Sustituyendo las corrientes por sus
e3 valores respecto a las corrientes de
R1 R2 malla se obtienen las expresiones
+ + I2 siguientes:
e1 e2
i1
Figura 4.3-2
− e1 + e 2 − e 3 + R1 • i1 + R 2 • i 2 + R 3 • i 3 = 0 (1)
R1 • I 1 − R 2 • ( I 1 + I 2) + R 3 • ( I 1 − I 3) = e1 − e 2 + e 3
( R1 + R 2 + R 3) • I 1 + R 2 • I 2 − R 3 • I 3 = e1 − e 2 + e 3
Ecuaciones análogas se pueden obtener para el resto de las mallas del circuito. Si el
número de mallas es k, el sistema general de ecuaciones de corrientes de mallas puede
escribirse de la forma siguiente:
⎧ R11 • I 1 + R12 • I 2+...+ R1k • Ik = ∑ E1
⎪
⎪ R21 • I 1 + R 22 • I 2+...+ R2 k • Ik = ∑ E 2
⎪
⎨...
⎪...
⎪
⎪ Rk 1 • I 1 + Rk 2 • I 2+...+ Rkk • Ik = ∑ Ek
⎩
En el sistema de ecuaciones debe señalarse que:
TEORIA DE REDES I 86

14. Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.
I1, I2, ...Ik: son las distintas corrientes de malla y constituyen las incógnitas
del sistema de ecuaciones obtenido.
R11, R22, ...Rkk: son coeficientes que se denominan resistencias propias de la
malla en cuestión. Se obtienen sumando todas las resistencias que
existan en la malla de que se trate y siempre estarán precedidos por
el signo +.
R12, R13,... los restantes coeficientes se denominan resistencias mutuas entre
las mallas de que se trate y se obtienen sumando todas las
resistencias comunes a ambas mallas. Están precedidos por el signo
más si las dos corrientes de malla recorren la rama en el mismo
sentido (R12 = + R2) y por el signo menos en caso contrario (R13
= - R3).
En los circuitos lineales bilaterales se cumple que: Rik = Rki.
∑ E1, ∑ E 2 ... se denominan fem de la malla y se determinan sumando
algebraicamente los valores de los voltajes de todas las fuentes que
pertenecen a la malla en cuestión. Se le adjudica signo más a
aquellas fuentes cuya polaridad favorece el sentido establecido
para la corriente de malla en cuestión y menos a aquella cuya
polaridad se opone al sentido de dicha corriente de malla. En la
malla 1 las polaridades delas fem e1 y e3 favorecen el sentido de
circulación de la corriente, pero e2 se opone a este sentido por lo
que ΣE1=e1-e2+e3.
En una determinada red de m ramas y n nodos, el número (ne) de corrientes de malla
y de ecuaciones es:
ne = m - n -1;
ya que este es el número de veces que se puede plantear LKV, garantizando la
independencia lineal entre las ecuaciones. Este número coincide (volviendo al análisis
topológico) con la cantidad de eslabones de la red en cuestión para un árbol cualquiera de
la misma.
Comparando los métodos de las corrientes de rama con el de las corrientes de malla,
este último resulta más práctico ya que conlleva la resolución de menos ecuaciones
simultáneas: Para cualquier red de m ramas y n nodos el número de ecuaciones que se
obtienen en cada método es el siguiente:
Método de las Ramas: se resuelven m ecuaciones de las cuales n-1 se obtienen a
partir de plantear LKC y m-n+1 se obtienen de LKV.
Método de las Mallas: se obtienen m-n+1 incógnitas, siendo éste el número de
ecuaciones a resolver.
El sistema de ecuaciones puede ser planteado en forma matricial de la siguiente forma:
TEORIA DE REDES I 87

15. Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.
⎡ R11 R12 ... R1k ⎤ ⎡ I 1⎤ ⎡ ∑ E1⎤
⎢ R 21 R 22 ... R 2k ⎥ ⎢ I 2⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∑ E 2⎥
⎢ . . . . ⎥ •⎢ . ⎥ = ⎢ . ⎥
⎢ . . . . ⎥ ⎢ .⎥ ⎢ . ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ Rk 1 Rk 2 ... Rkk ⎦ ⎣ Ik ⎦ ⎢ ∑ Ek ⎥
⎣ ⎦
o de forma abreviada como:
[ R] • [ I ] = [ ∑ E ]
Para concluir la explicación teórica sobre este método, hay que señalar que es
recomendable que las posibles fuentes reales de corriente que tenga el circuito se
transformen en fuentes de voltaje.
Si el circuito posee fuentes ideales de corriente, es recomendable utilizar el método
de los Lazos que se describe a continuación.
METODO DE LOS LAZOS:
Este método difiere del anterior solamente en la selección de las trayectorias que se
tomarán para establecer las corrientes ficticias. En este método se puede tomar cualquier
trayectoria cerrada, o sea cualquier LAZO del circuito.
Sin embargo un problema surge aquí: ¿Cómo garantizar la independencia lineal de
las ecuaciones obtenidas?
Para esto hay que recurrir a los conceptos topológicos de árbol. Los pasos a seguir
son los siguientes:
1.- Construir el árbol topológico del circuito analizado.
2.- Seleccionar los lazos de manera que cada lazo contenga únicamente un eslabón.
3.- Plantear el sistema de ecuaciones de lazos trabajando con las corrientes de los lazos
seleccionados en el punto anterior.
NOTA: Habrán tantas corrientes de lazo como eslabones del circuito. Por otra parte, si
existe una Fuente ideal de corriente, ésta se encuentra en un eslabón (ver Capítulo 3:
Topología de circuitos), o sea pertenece a un sólo lazo. Por esta razón podremos afirmar
que el valor de la corriente del lazo correspondiente no es más que el valor de la fuente
ideal de corriente.
TEORIA DE REDES I 88

16. Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.
METODO DE LOS VOLTAJES DE NODO:
Este método puede aplicarse en el análisis de circuitos lineales de cualquier
configuración. Las incógnitas en este método son los voltajes de los distintos nodos con
respecto a otro, escogido como nodo de referencia, o sea como nodo cuyo potencial se
supone igual a cero. Asumir como nulo el potencial de un nodo no altera el
comportamiento de la red, ya que, como se sabe de la física, las diferencias de potenciales
no dependen de la referencia que se tome.
+ V5 En el grafo de la figura 4.3-2, el nodo 0 se ha
5 tomado como nodo de referencia. V1, V2,
V3,...representan los voltajes de nodo o sea,
la diferencia de potencial entre el nodo 1 y el
+ V3 + V4
nodo 0, entre el nodo 2 y el nodo 0, entre el
3 4 nodo 3 y el nodo 0,... respectivamente.
La polaridad positiva se supone en el nodo
+ V1 + V2
en cuestión y no en el de referencia.
1 2
- 0
Figura 4.3-3
A partir de los voltajes con respecto al nodo de referencia, pueden encontrarse las
tensiones en todas las ramas a partir de la LKV. En la trayectoria 1-2-0-1, por ejemplo,
designando V12 al voltaje entre los nodos 1 y 2, se plantea la siguiente LKV:
V12 + V2 - V1 = 0 ⇒ V12 = V1 - V2
Generalizando, cualquiera sea el voltaje entre dos nodos Vij, éste se obtiene a partir
de los voltajes de nodo mediante la igualdad:
Vij = Vi - Vj.
El método de los voltajes de nodo se basa en la aplicación de las LKC en cada nodo
excepto en el de referencia. Para la fundamentación del método, se puede suponer que el
nodo 1 está constituido como se muestra en la figura 4.3-4:
TEORIA DE REDES I 89

17. Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.
3 Aplicando una LKC en el nodo 1 y la Ley de
Ohm en cada conductancia se obtiene la
G3 expresión (2).
i3 Luego, sustituyendo los voltajes de rama por
i2 los voltajes de nodo se obtienen las
2 expresiones siguientes:
1
G2
i1 G1
0
Figura 4.3-4
−i1 + G1 •V 10 + i 2 + G 2 •V 12 + i 3 + G 3 •V 13 = 0 (2)
G1 •V 1 + G 2 • (V 1 − V 2) + G 3 • (V 1 − V 3) = i1 − i 2 − i 3
( G1 + G 2 + G 3) •V 1 − G 2 •V 2 − G 3 •V 3 = i1 − i 2 − i 3
Ecuaciones análogas se pueden obtener para los restantes nodos, excepto en el de referencia.
Simbolizando por n el número de nodos, se puede afirmar que en una red donde n-1=h, el sistema general de
los voltajes de nodo tiene la forma siguiente:
⎧G11 •V 1 − G12 •V −...− G1h •Vh = ∑ I 1
⎪
⎪− G 21 •V 1 + G 22 •V 2−...− G 2h •Vh = ∑ I 2
⎪
⎨.
⎪
.
⎪
⎪− Gh1 •V 1 − Gh2 •V 2−...+ Ghh •Vh = ∑ Ih
⎩
En este sistema de ecuaciones debe señalarse que:
V1, V2, ... representan los potenciales de los n-1 nodos del circuito (excluido
el de referencia). Estas son las incógnitas del sistema.
G11, G22, ... son los coeficientes denominados conductancias propias del nodo
en cuestión. Se calculan sumando todas las conductancias que
convergen al nodo de que se trate y siempre están precedidas por el
signo más.
G12,G13, ... Los restantes coeficientes se denominan conductancias mutuas
entre los nodos de que se trate y se obtienen sumando las
conductancias que se encuentran entre ambos nodos. Estos
coeficientes siempre están precedidos por el signo menos. En la
TEORIA DE REDES I 90

18. Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.
figura, la conductancia mutua entre los nodos 1 y 2 es G2 y aparece
con signo menos en la ecuación.
En los circuitos lineales bilaterales se tiene que Gij=Gji.
ΣI1, ΣI2, ... se determinan sumando algebraicamente los valores de corriente
que proporcionan las fuentes y que convergen al nodo en cuestión.
Se le adjudica signo más a las corrientes que convergen y signo
menos en el caso contrario. En el esquema, sólo la corriente y1
converge al nodo 1; es por eso que es la única que posee signo
positivo, las demás son negativas.
En una determinada red de n nodos, el número de ecuaciones del método de los
voltajes de nodo coincide con el número de ramas del árbol: nra= n -1.
En general es conveniente tomar como nodo de referencia el nodo hacia el cual
convergen más ramas, lo que permite conocer en forma directa la tensión de un mayor
número de ramas.
Si entre dos nodos existe una fuente ideal de voltaje, la tensión de esa rama es la que
proporciona dicha fuente.
Para aplicar el método de los nodos es recomendable transformar las fuentes reales
de voltaje a fuentes reales de corriente.
El sistema de ecuaciones de nodo puede ser planteado en forma matricial de la
siguiente forma:
⎡ G11 − G12 ... − G1h ⎤ ⎡ V 1⎤ ⎡ ∑ I 1⎤
⎢ − G 21 G 22 ... − G 2h⎥ ⎢V 2⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∑ I 2⎥
⎢ . . . . ⎥ •⎢ . ⎥ = ⎢ . ⎥
⎢ . . . . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ − Gh1 − Gh2 ... Ghh ⎦ ⎣ Vh ⎦ ⎣ ∑ Ih ⎦
Comparando los métodos de las mallas con el método de los nodos, siempre se
escogerá el método que implique menos ecuaciones para el sistema. Esto se hace
comparando el número de eslabones (Nº de ramas - Nº de nodos + 1) que representa la
cantidad de ecuaciones de malla, con el número de ramas del árbol (Nº de nodos - 1) que
representa el número de ecuaciones de nodo.
TEORIA DE REDES I 91

19. Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.
4.4.- Impedancia y admitancia operacional.
En este epígrafe vamos a estudiar una forma de aplicar los métodos de las mallas y
de los nodos en circuitos que contengan Resistores, inductores y condensadores.
En los circuitos que poseen inductores y condensadores, las ecuaciones obtenidas al
plantear LKV o LKC son integro-diferenciales. Veamos el siguiente ejemplo:
R1 L Apliquemos una LKV en cada malla:
1 t
+ R1 • i1 + ∫ i 3 • dt − Vs = 0
C0
i1 1 t
∫ i 3 • dt + L dt + R 2 • i 2 = 0
C di 2
Vs i2 R2 −
i3 C0
Figura 4.4-1
La resolución e incluso el planteamiento de este tipo de ecuaciones es complicado.
Hoy la computación permite resolver muy fácilmente este tipo de problemas. Sin embargo
es primordial ingresar correctamente los datos y por esta razón dominar el planteamiento de
las ecuaciones.
Definamos a D, operador diferencial como:
d( ) 1 t
D= y D −1
= = ∫ ( )dt
dt D o
De esta definición del operador diferencial, se pueden definir las impedancias y
admitancias operacionales según la siguiente tabla:
ELEMENTO IMPEDANCIA ADMITANCIA
OPERACIONAL OPERACIONAL
R ZR=R YR=G
L ZL(D)=LD 1
YL (D)= D-1
L
C 1 YC=CD
ZC(D)= D-1
C
TEORIA DE REDES I 92

20. Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.
Si aplicamos impedancias operacionales en el circuito que inicialmente analizamos,
obtendremos las siguientes ecuaciones:
1 −1
R1 • i1 + D • i 3 = Vs
C
1 −1
− D • i 3 + LD • i 2 + R 2 • i 2 = 0
C
Aplicando el método de las mallas en el mismo circuito y considerando las mallas que se
representan en la figura 4.4-2:
R1 L
+ i1 I2
I1 C
Vs i2 R2
i3
Figura 4.4-2
el sistema de ecuaciones obtenido es:
⎧ 1 −1 1 −1
⎪( R1 + C D ) I 1 − ( C D ) I 2 = Vs
⎨
⎪− ( 1 D −1 ) I 1 + ( 1 D −1 + LD + R 2) I 2 = 0
⎩ C C
EJERCICIOS:
EJERCICIO 1:
e5 R5 El sistema de ecuaciones de malla de este circuito queda:
+ i5
I3 ⎧( R1 + R2 + R3) • I 1 + R2 • I 2 − R3 • I 3 = e1 − e2
R3 R4 ⎪
i3 ⎨ R 2 • I 1 + ( R 2 + R 4 ) • I 2 + R 4 • I 3 = − e2 + e6
i2 i4 ⎪ R3 • I 1 + R4 • I 2 + ( R3 + R4 + R5) • I 3 = − e5
R1 ⎩
R2 +
+ I1 + I2 e6 Además se obtiene las corrientes de rama a partir de las
e1 e2
corrientes de malla como:
i1 i6
i1 = I 1 i4 = I 2 + I 3
i 2 = I1 + I 2 i5 = − I 3
i 3 = I1 − I 3 i6 = I 2
TEORIA DE REDES I 93

21. Capítulo 4: Métodos de resolución de circuitos.
EJERCICIO 2:
Para el siguiente circuito:
- Determinar la malla o lazo que falta. i1
- Plantear el sistema de ecuaciones. 1,2· i2 i3
- Hallar todas las corrientes de rama. Ι1
2Ω
5Ω 20Ω
Para disminuir el número de ecuaciones se i2 i5
i4
utilizará el método de los lazos ya que de esta
+
forma la corriente I1 tomará el valor de la fuente − Ι2 10Ω
controlada de corriente. El lazo que falta será el
lazo externo que rodea todo el circuito por lo que el 100V Ι3
sistema de ecuaciones queda:
SISTEMA DE ECUACIONES:
Z11: Z12: Z13: V1
7 · -5 · -2 · = Vx
I1 I2 I3
Z21: Z22: Z23: V2
-5 · 15 · 0 · = -100
I1 I2 I3
Z31: Z32: Z33: V3
-2 · 0 · +22 · = 100
I1 I2 I3
Además se tiene que: I1 = 1,2 · i2
e i2 = I3- I2
Resolviendo este sistema se obtiene I1= 2.7606A
I2= -3.1925A
I3= 5,4930A
CORRIENTES DE RAMA:
CORRIENTE EXPRESION EN FUNCION DE LAS VALOR FINAL
CORRIENTES DE MALLA (A)
i1 = I3-I1 = 2.7270
i2 = I3-I2 = 8.6855
i3 = I3 = 5.4930
i4 = I1-I2 = 5.9585
i5 = - I2 = 3.1925
TEORIA DE REDES I 94