Describe la aplicación de los fasores al análisis de los circuitos de ca

1. TEORÍA DE CIRCUITOS
RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS CA
Jorge Luis Jaramillo
PIET EET UTPL septiembre 2011

2. Créditos
Esta presentación fue preparada estrictamente como material de apoyo a la jornada presencial
del curso de Teoría de Circuitos, del programa de Ingeniería en Electrónica y
Telecomunicaciones que se imparte en el Universidad Técnica Particular de Loja.
La secuencia de contenidos corresponde al plan docente de la asignatura, y, para la elaboración
se han utilizado aportes propios del docente, y, una serie de materiales y recursos disponibles
gratuitamente en la web.

3. Resolución de circuitos ca
• Fasores
• Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito ca.
• Aplicación de los fasores al análisis de circuito de ca.
• Discusión y análisis

4. Resolución de circuitos ca
•Fasores

5. Fasores
La expresión matemática para describir a una
onda senoidal, esta dada por:
x(ωt) = Xm*sen(ωt + θ)
En dónde,
x(t), puede representar v(t) ó i(t).
Xm, es la amplitud o valor máximo
, es la frecuencia angular
t, es el argumento de la función seno
Θ, es la fase
Introducción

6. Fasores
La expresión x(ωt) = Xm*sen(ωt + θ), utilizando identidades trigonométricas, puede ser
presentada como:
x(t) = Xm*sen(ωt + θ)
x(t) = Xm*(senωt*cosθ + cosωt*senθ)
x(t) = A senωt + B cosωt
En dónde,
A = Xm*cosθ
B = Xm*senθ
Entonces:
2 2 1 B
XM A B tan
A
Introducción

7. Fasores
Por otra parte, la ecuación de Euler liga las funciones temporales senoidales con los números
complejos:
ejωt = cosωt + jsenωt,
En donde:
R(ejωt) = cosωt
Im(ejωt) = senωt
Así por ejemplo, si la función que describe el voltaje puede expresarse como:
v(t) = Vmejωt,
entonces ésta magnitud puede ser representada trigonométricamente como:
v(t) = Vmcosωt + jVmsenωt
y, la intensidad de corriente podrá ser expresada como:
i(t) = Imej(ωt + φ)
Introducción

8. Fasores
Al analizar la expresión compleja del voltaje o del
amperaje, es posible afirmar que el factor ejωt
puede ser “eliminado” y centrar la atención en la
magnitud y en la fase. Esta representación
compleja se denomina fasor.
En términos generales, se conoce como fasor a un
vector giratorio que puede ser empleado para
representar a una función sinusoidal.
Introducción

9. Resolución de circuitos ca
•Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito ca.

10. Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito ca
De acuerdo a la Ley de Ohm, en el
circuito se cumple que:
v(t) = Ri(t)
Lo que, expresado en magnitudes
complejas, equivale a:
Vme j ( t v)
RIme j ( t i)
Resistor

11. Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito ca
Al analizar la expresión:
Vme j ( t v)
RIme j ( t i)
Se puede afirmar que θv = θi, lo que
significa que la corriente y el voltaje para
este circuito están en fase.
Resistor

12. Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito ca
En la bobina se cumple que:
di (t )
v(t ) L
dt
Lo que, expresado en magnitudes
complejas, equivale a:
Vme j v
j LI me j i
Que también puede ser representada
como:
Vme j v
LI me j ( i 90 )
Inductor

13. Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito ca
Al analizar la expresión:
Vme j v
LI me j ( i 90 )
Se puede afirmar que θv = θi +90o, lo que
significa que la corriente y el voltaje están
fuera de fase en 90º. Se dice que el
voltaje adelanta a la corriente en 90º, o,
que la corriente esta atrasada respecto al
voltaje en 90º.
Inductor

14. Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito ca
En el capacitor se cumple que:
dv (t )
i (t ) C
dt
Lo que, expresado en magnitudes
complejas, equivale a:
I me j i
j CVme j v
Que también puede ser representado
como:
I me j i
CVme j ( v 90)
Capacitor

15. Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito ca
Al analizar la expresión:
I me j i
CVme j ( v 90)
Se puede afirmar que θi = θv +90o, lo que
significa que la corriente y el voltaje están
fuera de fase en 90º. Se dice que la
corriente adelanta al voltaje en 90º, o, que
el voltaje esta atrasado de la corriente en
90º.
Capacitor

16. Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito ca
Resumen

17. Resolución de circuitos ca
•Aplicación de los fasores al análisis de los circuitos de ca.

18. Aplicación de los fasores a la resolución de circuitos de ca
La impedancia se define como la razón entre el voltaje fasorial y la corriente
fasorial, y, se simboliza con la letra Z.
La impedancia es una cantidad compleja cuya dimensión esta dada en ohm. La
impedancia no es un fasor
Un inductor se representa en el dominio del tiempo por su inductancia L, y, en el
dominio de la frecuencia por su impedancia jωL.
Un capacitor tiene una capacitancia C en el dominio del tiempo, y, una impedancia
1/jωc en el dominio de la frecuencia
Las impendancias se tratan como resistencias, pero sin olvidar que son magnitudes
complejas.
Impedancia

19. Aplicación de los fasores a la resolución de circuitos de ca
Resolver el circuito RL planteado, a través del uso de fasores.

20. Aplicación de los fasores a la resolución de circuitos de ca
Al plantear la LKV a la malla, se obtiene:
di (t )
L R i (t ) Vm cos t
dt
Al reemplazar el voltaje y el amperaje
por los fasores respectivos, se obtiene:
d
L Ie j t
RIe j t
Ve j t
dt
O, lo que se lo mismo:
j LIe j t
RIe j t
Ve j t

21. Aplicación de los fasores a la resolución de circuitos de ca
i (t )
1.5k 1k
AC 1 1
H F
40sen(3000t )V 3 6
Imagen tomada del sitio web de la
Biblioteca de la Universidad de la Rioja

22. DISCUSIÓN Y ANÁLISIS