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EJERCICIOS RESUELTOS DE:
       ANÁLISIS DE CIRCUITOS I
               (Parte 1)



                  ELABORADO POR:


            RICARDO DOMÍNGUEZ GARCÍA
                     IET 701




             ACADEMIA DE MATEMÁTICAS
ESCUELA DE INGENIERÍA EN COMPUTACIÓN Y ELECTRÓNICA
           UNIVERSIDAD DE LA SALLE BAJIO
1.-LEY DE OHM: VOLTAJE, CORRIENTE Y RESISTENCIA

La ley de Ohm expresa la relación que existe entre voltaje (V), la corriente (I) y la
resistencia (R) en un circuito eléctrico de DC. Estableciendo la fórmula V=R*I.
Dichas relaciones establecen que:
Si se eleva V, aumentará I.
Si se reduce V, disminuirá I.
Si se aumenta R, disminuirá I.
Si se reduce R, aumentará I.

Ejercicio 1.1

De acuerdo al circuito, ¿cuánta corriente produciría un voltaje aplicado de 10 volts
a través de una resistencia de 5 ohms?
                                         1

                                  V1
                                  10 V               5Ω

                                         2


Solución:

Paso 1: Como la incógnita es la corriente, despejamos I
   V
I=
   R
Paso 2: Sustituimos los valores conocidos en la ecuación y obtenemos I.
   V 10volts
I= =           = 2amperes
   R 5ohms


Ejercicio 1.2

De acuerdo al diagrama, ¿cuál es la resistencia que, si se le aplica un voltaje de
60 volts, produciría una corriente de 3 amperes?
                                          1

                                  V1
                                  60 V                ?

                                          2


Solución
Paso 1: Como la incógnita es la resistencia, despejamos R
    V
R=
    I
Paso 2: Sustituimos los valores conocidos en la ecuación y obtenemos R.
   V     60volts
R= =             = 10ohms
    I 6amperes

Ejercicio 1.3

Si el foco del circuito del diagrama tiene una resistencia de 100 ohms y una
corriente de 1 ampere, ¿cuál será el voltaje producido por la fuente?
                                        1




                                  ?                 100 Ω

                                        2


Solución:

Paso 1: Como la incógnita en este caso es el voltaje, despejamos V.
V = RI
Paso 2: Sustituimos los valores conocidos en la ecuación y obtenemos I.
V = RI = 100ohms * 1ampere = 100Volts


2.-CIRCUITOS EN SERIE

2.1 RESISTENCIAS EN SERIE

Un circuito en serie está formado por un conjunto de cargas o resistencias por las
cuales fluye la corriente total de la fuente en una sola trayectoria y no hay
divisiones entre estas cargas, por lo que la corriente es la misma en cualquier
punto.

Para calcular ya sea la corriente o el voltaje en un circuito con cargas en serie,
primero se suman todas las cargas o resistencias para formar una resistencia total
o equivalente y a partir de ahí calcular las demás variables mediante la ley de
ohm. Por lo tanto la resistencia total de un circuito serie se calcula de la siguiente
forma:

Rtotal=R1+R2+R3+R4+R5+…Rn

Ejercicio 2.1.1


Calcular la corriente total que circula en el siguiente circuito con cargas en serie,
considerando que la fuente es de 90 volts.
3
                                        10 Ω             5Ω
                         V1
                         90 V                                         2Ω

                               6                     5           4

                                          20 Ω           8Ω



Solución:

Paso 1: primero sumamos todas las resistencias para obtener la equivalente
Rtotal = 10Ω + 5Ω + 2Ω + 8Ω + 20Ω
Rtotal = 45Ω

Paso 2: ahora como la incógnita es la corriente, despejamos I de la ecuación de la
ley de Ohm y sustituimos.
    V
 I=
    R
     90V    90V
 I=       =     = 2amperes
    Rtotal 45Ω

2.2 FUENTES DE DC EN SERIE

Las fuente de voltaje también pueden colocarse en serie, por lo tanto el voltaje
total en un circuito donde existen dos o más fuentes en serie es la suma de los
voltajes individuales de cada fuente.

Cuando las polaridades de las fuentes se encuentran hacia la misma dirección, su
voltaje se suma, cuando sus polaridades se encuentran en direcciones opuestas,
se restan.

Ejercicio 2.2.1

Para el siguiente circuito, calcular la corriente aportada por las dos fuentes en
serie.
                                                 2

                                   V1
                                   12 V
                                                              R1
                           1                                  1.0kΩ
                                   V2
                                   5V
                                                 3
Solución:

Paso 1: Primero debemos obtener el voltaje total del circuito, por lo cual debemos
sumar o restar las fuentes de voltajes. Por la disposición de las fuentes de dc
podemos deducir que se están sumando ya que sus polaridades apuntan hacia la
misma dirección (la parte positiva apunta hacia arriba, y la negativa hacia abajo).
Otra forma de saberlo es observando la parte donde se unen las dos fuentes, si
tienen polaridades distintas en la union, se suman, si son polaridades iguales, se
restan.

Por lo tanto, se suman:

Vtotal = 12V + 5V
Vtotal = 17V

Paso 2: Una vez obtenido el voltaje total, podemos despejar I de la ecuación de la
ley de Ohm y obtener la corriente total aportada por las dos fuentes.

   V Vtotal
I=   =
   R   1kΩ
   17V
I=     = 17mA
   1kΩ



Ejercicio 2.2.2

Obtener el valor de la resistencia del circuito para que circule una corriente de
2.5A si se tienen dos fuentes en serie con su valor respectivo, como se muestra
en el diagrama:
                                           2

                               V1
                               25 V

                                                         ?
                           1
                                      V2
                                               3


                                      5V
Solución:

Paso 1: Obtener el voltaje total. Podemos observar que en el punto donde se
unen las dos fuentes tienen la misma polaridad, es decir, el negativo de la fuente
uno esta unido con el negativo de la fuente dos. Por lo tanto se restan. Lo más
conveniente es siempre restarle a la fuente de mayor voltaje la de menor voltaje.

De esta forma el voltaje total queda de la siguiente forma:

Vtotal = 25V − 5V
Vtotal = 20V

Paso 2: Calcular la resistencia a partir de la ley de Ohm con los datos conocidos.

   V Vtotal
R=   =
   I     2.5 A
   20V
R=       = 8Ω
   2.5 A


Ejercicio 2.2.3

Calcular la corriente que circula por un circuito serie que tiene una resistencia de
carga de 1 omh y dos fuentes de voltaje directo dispuestas como se observa en el
circuito mostrado:


                           2
                                       R1           4

                        V1            1.0Ω                    V2
                        6V                                    6V



                                       1




Paso 1: Primero calcular el voltaje total del circuito. Para ello observamos la
disposición de las fuentes, se puede ver que las dos son del mismo valor, sin
embargo los puntos en donde se unen son del mismo polo, por lo tanto se están
restando. En consecuencia al restarlas tendremos 0V y por lo tanto no habrá
circulación de corriente.

Vtotal = 6V − 6V = 0V
    V 0V
I= =        = 0A
    R 1Ω
3.-CIRCUITOS EN PARALELO

Un circuito en paralelo es aquel en el que existen uno o más puntos donde la
corriente se divide y sigue trayectorias diferentes.

3.1 RESISTENCIAS EN PARALELO

Para las resistencias en paralelo se pueden observar tres reglas principales para
calcular la resistencia equivalente:

   •   Para un determinado número de resistencias en paralelo y del MISMO
       VALOR, la resistencia total se calcula dividendo el valor de una sola
       resistencia entre el número de ellas.

   •   La resistencia total de dos resistencias en paralelo de igual o distinto valor
       se puede calcular con la fórmula: Rt = (R1*R2) / R1+R2

   •   Para calcular la resistencia equivalente de cualquier número de resistencias
       con diferentes o igual valor se usa la siguiente fórmula:

                                             1
                        Rtotal =
                                   1   1   1   1         1
                                     +   +   +   + ... +
                                   R1 R 2 R3 R 4         Rn

Ejercicio 3.1.1

Encontrar la corriente que circula por el circuito mostrado, suponiendo que se tiene
una fuente de 12V.

                                                       1
             V1
             12 V
                          R1              R2            R3             R4
                          1.5kΩ           10kΩ          4.7kΩ          100kΩ


                  2


Solución:

Este ejemplo se puede resolver de dos formas, calculando la corriente que circula
por cada resistencia y sumándolas, o calculando la resistencia equivalente y
obtener la corriente total. Se procederá a resolverlo por los dos métodos para
demostrar que se obtienen los mismos resultados.
Método 1: calculando corrientes individuales

Paso 1: En un circuito en paralelo el voltaje se mantiene constante entre cada
división o rama, por lo que a partir del voltaje y resistencia se puede calcular la
corriente que circula por cada rama mediante la ley de ohm.

     V     12V
I1 =    =       = 8mA
     R1 1.5kΩ
     V     12V
I2 =     =      = 1.2mA
     R 2 10kΩ
     V      12V
I3 =    =        = 2.55mA
     R3 4.7 kΩ
     V      12V
I4 =     =       = 0.12mA
     R 4 100kΩ

Paso 2: Puesto que la corriente total es la suma de las corrientes individuales
obtenemos la corriente que circula en el circuito:

Itotal = I 1 + I 2 + I 3 + I 4
Itotal = 8mA + 1.2mA + 2.55mA + 0.12mA
Itotal = 11.87mA


Método 2: calculando la resistencia total

Paso 1: utilizando la suma de recíprocos calculamos la resistencia total.

                       1
Rtotal =
          1    1    1    1
             +   +    +
         R1 R 2 R3 R 4
                       1
Rtotal =                         = 1.01kΩ
            1      1       1   1
               +      +      +
         1.5kΩ 10kΩ 4.7 kΩ 100kΩ

Paso 2: Ahora utilizando la ley de Ohm calculamos la corriente total.

         V     12V
I=           =       = 11.88mA
       Rtotal 1.01kΩ


Como podemos observar de los dos métodos llegamos al mismo resultado.
Ejercicio 3.1.2

Calcular el voltaje que proporciona la fuente para que exista una corriente de 6
amperes que fluye por todo el circuito de acuerdo al diagrama.

                          1
                                                                   R2
                R5         R4       R3                     R1      1.0kΩ
                3.0kΩ      3.0kΩ    3.0kΩ          ?       1.0kΩ

                          2



Solución:

Paso 1: Calcular la resistencia equivalente. Observamos que cada par de
resistencias tiene un mismo valor. Por lo tanto podemos aplicar la fórmula de
producto/suma para calcular la resistencia equivalente de cada par o la fórmula
para resistencias del mismo valor.

Paso 2: Calcular el par del lado derecho de la fuente:

          R1R 2    1k *1k
Rder =           =        = 500Ω
         R1 + R 2 1k + 1k

Paso 3: Calcular el par del lado izquierdo de la fuente:

         3k
Rizq =      = 1kΩ
          3

Paso 4: Una vez que tenemos el circuito reducido a dos resistencias como se
observa en el diagrama, calculamos la resistencia equivalente:
                                             1



                                            Rizq       Rder
                                ?           1k Ω       500 Ω

                                             2


            RderRiaq    1k * 500
Rtotal =              =          = 333.3Ω
           Rder + Rizq 1k + 500
Paso 5: Una vez calculada la resistencia total, procedemos a obtener el voltaje de
la fuente mediante la ley de Ohm:
                                                  1


                                                             Rtotal
                                          1.99 KV            333.33 Ω
                                                  2



V = R * I = 333.33Ω * 6 A = 1.99 KVolts


4.-CIRCUITOS MIXTOS: SERIE Y PARALELO

Un circuito mixto es aquel que contiene elementos tanto en serie como en
paralelo, a través de los cuales fluye una corriente.

Ejercicio 4.1

Determinar el voltaje que provee la fuente en el siguiente circuito, si existe una
corriente circulando de 60mA:

                               2
                                           R2                  R4

                                          3.0kΩ
                                                                        4
                        R1                            3       16Ω
                        1.0kΩ                                             R5
                       1
                                                      R3                  75Ω
                           ?                          8.2Ω          5

                                                      7
                                                                    R6          R7
                                                      R8            82Ω         150Ω
                                                      160Ω
                                    R9       6

                                   51Ω
                               8   R10

                                   130Ω

Solución:

Paso 1: empezamos por reducir desde la parte más alejada de la fuente,
primeramente por los paralelos, en este caso empezamos por R6 y R7

         R6 * R7 82 *150
R 67 =           =         = 53.01Ω
         R 6 + R7 82 + 150
Paso 2: ahora que ha quedado en serie la resistencia equivalente de R6 y R7 se
suma con las resistencias en serie R4 y R5.

RA = R 4 + R5 + R67 = 16 + 75 + 53.01 = 144.01Ω

Paso 3: enseguida sumamos las resistencias en serie R3 y R8 para
posteriormente sumarlas en paralelo con RA.

RB = R3 + R8 = 8.2 + 160 = 168.2Ω

                                    2
                                                R2         3

                                               3.0kΩ
                             R1
                             1.0kΩ
                            1
                                                               RB        RA
                                ?



                                                               6
                                         R9

                                        51Ω
                                    8   R10

                                        130Ω
Paso 4: Ahora hacemos el paralelo entre las resistencias RA y RB:

        RA * RB 144.01 *168.2
RAB =          =               = 77.58Ω
        RA + RB 144.01 + 168.2

Paso 5: Realizamos el paralelo de R9 y R10:

       R9 * R10 51 *130
RC =           =         = 36.62Ω
       R9 + R10 51 + 130

Paso 6: Ahora que todas las resistencias están en serie, nos disponemos a
sumarlas para obtener la resistencia total equivalente:

RT = R1 + R 2 + RAB + RC
RT = 1K + 3K + 77.58 + 36.62 = 4114.2Ω
                                                       1



                                                 ?                  RT

                                                       2
Paso 7: Por último calculamos el voltaje de la fuente mediante la ley de Ohm.

V = RI
V = 4114.2 * 60mA = 246.85V

Ejercicio 4.2

Encontrar la corriente suministrada por la fuente de 45V en el circuito mostrado:
                                            R2

                                     3   3.3Ω                               2
                                                             R1
                                                             1.5Ω
                     R6              R3                                     R4            R5
                                                         1
                     820Ω            430Ω                                   6.2Ω          120Ω
                                                              V1
                                                              45 V
                                     4




Solución:

Paso 1: Resolvemos el paralelo de R6 y R3

         R 6 * R3 820 * 430
R 63 =           =          = 282.08Ω
         R6 + R3 820 + 430

Paso 2: Sumamos el paralelo anterior en serie con R2

RA = R63 + R 2 = 282.08 + 3.3 = 285.38Ω
                                                 10


                                                 R7
                            RA                   1.5Ω
                            285.38                                   R9            R10
                                                 9
                                                                     6.2Ω          120Ω
                                                      V2
                                                      45 V
                                                 11




Paso 3: Resolvemos el paralelo de R9 y R10

         R9 * R10 6.2 * 120
RB =             =          = 5.89Ω
         R9 + R10 6.2 + 120

Paso 4: Ahora vemos que RA y RB están en paralelo por lo que las sumamos de
esa forma.
       RA * RB 285.38 * 5.89
RAB =         =              = 5.77Ω
       RA + RB 285.38 + 5.89
10
                               R7
                               1.5Ω
                               9
                                                 RA            RB
                                   V2
                                   45 V
                                                 11




Paso 5: Ahora que tenemos las dos resistencias en serie, nos disponemos a
sumarlas y obtener la resistencia total equivalente:

RT = R7 + RAB = 1.5 + 5.77 = 7.27Ω

Paso 6: procedemos a obtener la corriente mediante la ley de Ohm.
                                             1

                                      V1
                                      45 V            7.27 Ω
                                             2



     V   45V
I=     =     = 6.18 A
     R 7.27Ω


5.- POTENCIA

5.1 POTENCIA EN CIRCUITOS SERIE Y PARALELO

La potencia de un elemento se expresa como el resultado de multiplicar la
corriente que circula por el y el voltaje aplicado en sus extremos, obteniendo la
siguiente fórmula:
                                       P=V*I

La forma en como la resistencia se relaciona con la potencia se expresa en las
siguientes fórmulas:
                                  P= R*I2

                                                 V2
                                          P=
                                                 R

Ejercicio 5.1.1

Se tiene el siguiente circuito mixto, el cual es alimentado con una fuente de DC de
110V. Calcular para cada resistencia su corriente, voltaje y potencia individual.
R2

                                          12.5 Ω
                                                     2
                                                             R1

                                                             1Ω
                                      3
                                          R3                             1

                            R4            50 Ω
                            1Ω                                               V1
                                              R5                             110 V

                                              20 Ω
                                          4          5


                                              R6

                                              20 Ω


Solución:

Paso 1: Empezamos por encontrar la corriente total, por lo que calculamos la
resistencia equivalente de todo el circuito:

Resolvemos los paralelos:                                         RA             7
                                                                                     R7

                                                                  10 Ω               1Ω
                                                         8
                                                                                                 6
     R 2 * R3 12.5 * 50
Ra =         =          = 10Ω                            R10
     R 2 + R3 12.5 + 50                                  1Ω                                           V2
                                                                                                      110 V
       20
Rb =      = 10Ω                                          10
        2                                                            RB                   9

                                                                     10 Ω


Sumamos las resistencias en serie:

RT = Ra + Rb + R1 + R 4 = 10 + 10 + 1 + 1 = 22Ω

Y calculamos la corriente total:                                             6


                                                              RT                              V2
     V   110V                                                 22 Ω
I=     =      = 5A                                                                            110 V
     RT 22Ω

                                                                             7



Paso 2: Calculamos los voltajes y potencias individuales para las resistencias que
originalmente están en serie, (R1 y R4), ya que en éstas la corriente es la misma:

Para R1:
V = R * I = 1Ω * 5 A = 5V
P = V * I = 5V * 5 A = 25Watts
Para R4 como su valor es igual que R1 y al estar en serie tiene el mismo valor de
corriente por lo tanto su voltaje es 5V y su potencia 25 Watts

Paso 3: ahora pasamos con las resistencias en paralelo, comenzamos con R2 y
R3. Como sabemos, en un arreglo en paralelo la corriente se divide, pero el voltaje
se mantiene, por lo que a partir de su equivalente en serie de 10 ohms podemos
obtener el voltaje de la siguiente forma:

V = R * I = 10Ω * 5 A = 50V

Paso 4: a partir del voltaje común para cada resistencia, calculamos su corriente
individual y de ahí su potencia.

Para R2:

    V      50
I=     =       = 4A
    R 2 12.5
P = V * I = 50 * 4 = 200 w

Para R3:

    V     50
I=     =     = 1A
    R3 50
P = V * I = 50 * 1 = 50w

Paso 5: Repetimos el mismo procedimiento para el paralelo de R5 y R6.

Calculamos su voltaje a partir de su equivalente en serie:

V = R * I = 10Ω * 5 A = 50V

Ahora calculamos corriente y potencia para cada resistencia en paralelo:

Para R5:

    V     50
I=     =     = 2.5 A
    R5 20
P = V * I = 50 * 2.5 = 125w

Para R6:

    V     50
I=     =     = 2.5 A
    R6 20
P = V * I = 50 * 2.5 = 125w
Paso 6: hacemos una tabla con todos los valores individuales, y comprobamos
que la suma de todas las potencias individuales es igual a la potencia total.

Ptotal=V*I=110V*5A=550W

R1=1 ohm               V1=5V                    I1=5A              P1=25 w
R2=12.5 ohms           V2=50V                   I2=4A              P2=200 w
R3=50 ohms             V3=50V                   I3=1A              P3=50w
R4=1 ohm               V4=5V                    I4=5A              P4=25 w
R5= 20 ohms            V5=50V                   I5=2.5A            P5=125 w
R6=20 ohms             V6=50V                   I6=2.5A            P6=125 w
                                                                   Ptotal=550W


5.2 MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA

La máxima transferencia de potencia se refiere cuando, por ejemplo, una red
activa, en este caso una batería tiene una resistencia interna de cierto valor y para
que ésta transfiera su máxima potencia o eficiencia a una carga, ésta tiene que ser
del mismo valor que la resistencia interna.

La potencia transmitida a la carga se puede calcular de dos maneras:

                                                   V
   1) Calculando primero la corriente: I =              y después calcular la potencia
                                                 R + RL
      individual en la resistencia: P = I 2 RL
   2) Utilizando directamente la siguiente fórmula:

           V 2 RL
   P=
        ( Ri + RL) 2

Ejercicio 5.2.1

Una batería de 50V tiene una resistencia interna (Ri) de 2 ohms, demostrar el
teorema de máxima transferencia de potencia calculando la potencia transmitida a
la carga (RL) cuando esta es de 0.5 ohm, de 2 ohms y de 6 ohms.
                                            2


                                 2Ω

                                 1
                                                          RL
                                     V1
                                     50 V



                                            3
Solución:

Paso 1: Calculamos la corriente para una RL=0.5 ohm usando el primer método:

        V      50V      50V
I=          =         =     = 20 A
     Ri + RL 2Ω + 0.5Ω 2.5Ω

Paso 2: Ahora calculamos la potencia individual de RL:

P = I 2 RL = (20 A) 2 (0.5Ω) = 200W

Paso 3: Enseguida calculamos la potencia para una carga de 2 ohms, mediante la
fómula directa:

        V 2 RL     (50V ) 2 (2Ω)
P=               =               = 312.5W
     ( Ri + RL) 2 (2Ω + 2Ω) 2

Paso 4: Ahora hacemos el cálculo para una resistencia de carga de 6 ohms con
fórmula directa:

        V 2 RL     (50V ) 2 (6Ω)
P=               =               = 234.375W
     ( Ri + RL) 2 (2Ω + 6Ω) 2


Paso 5: Analizamos los resultados con los tres valores de las cargas y vemos que
la potencia máxima en la carga se obtiene cuando Ri=RL, en este caso cuando es
2 ohms. Cuando la resistencia de carga es mayor o menor, la potencia obtenida
siempre será por debajo de la obtenida con la de 2 ohms que fue de 312.5 Watts.


                              RL=0.5 ohms P=200W
                              RL=2 ohms   P=312.5W
                              RL=6 ohms   P=234.375W

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  • 1. EJERCICIOS RESUELTOS DE: ANÁLISIS DE CIRCUITOS I (Parte 1) ELABORADO POR: RICARDO DOMÍNGUEZ GARCÍA IET 701 ACADEMIA DE MATEMÁTICAS ESCUELA DE INGENIERÍA EN COMPUTACIÓN Y ELECTRÓNICA UNIVERSIDAD DE LA SALLE BAJIO
  • 2. 1.-LEY DE OHM: VOLTAJE, CORRIENTE Y RESISTENCIA La ley de Ohm expresa la relación que existe entre voltaje (V), la corriente (I) y la resistencia (R) en un circuito eléctrico de DC. Estableciendo la fórmula V=R*I. Dichas relaciones establecen que: Si se eleva V, aumentará I. Si se reduce V, disminuirá I. Si se aumenta R, disminuirá I. Si se reduce R, aumentará I. Ejercicio 1.1 De acuerdo al circuito, ¿cuánta corriente produciría un voltaje aplicado de 10 volts a través de una resistencia de 5 ohms? 1 V1 10 V 5Ω 2 Solución: Paso 1: Como la incógnita es la corriente, despejamos I V I= R Paso 2: Sustituimos los valores conocidos en la ecuación y obtenemos I. V 10volts I= = = 2amperes R 5ohms Ejercicio 1.2 De acuerdo al diagrama, ¿cuál es la resistencia que, si se le aplica un voltaje de 60 volts, produciría una corriente de 3 amperes? 1 V1 60 V ? 2 Solución Paso 1: Como la incógnita es la resistencia, despejamos R V R= I
  • 3. Paso 2: Sustituimos los valores conocidos en la ecuación y obtenemos R. V 60volts R= = = 10ohms I 6amperes Ejercicio 1.3 Si el foco del circuito del diagrama tiene una resistencia de 100 ohms y una corriente de 1 ampere, ¿cuál será el voltaje producido por la fuente? 1 ? 100 Ω 2 Solución: Paso 1: Como la incógnita en este caso es el voltaje, despejamos V. V = RI Paso 2: Sustituimos los valores conocidos en la ecuación y obtenemos I. V = RI = 100ohms * 1ampere = 100Volts 2.-CIRCUITOS EN SERIE 2.1 RESISTENCIAS EN SERIE Un circuito en serie está formado por un conjunto de cargas o resistencias por las cuales fluye la corriente total de la fuente en una sola trayectoria y no hay divisiones entre estas cargas, por lo que la corriente es la misma en cualquier punto. Para calcular ya sea la corriente o el voltaje en un circuito con cargas en serie, primero se suman todas las cargas o resistencias para formar una resistencia total o equivalente y a partir de ahí calcular las demás variables mediante la ley de ohm. Por lo tanto la resistencia total de un circuito serie se calcula de la siguiente forma: Rtotal=R1+R2+R3+R4+R5+…Rn Ejercicio 2.1.1 Calcular la corriente total que circula en el siguiente circuito con cargas en serie, considerando que la fuente es de 90 volts.
  • 4. 3 10 Ω 5Ω V1 90 V 2Ω 6 5 4 20 Ω 8Ω Solución: Paso 1: primero sumamos todas las resistencias para obtener la equivalente Rtotal = 10Ω + 5Ω + 2Ω + 8Ω + 20Ω Rtotal = 45Ω Paso 2: ahora como la incógnita es la corriente, despejamos I de la ecuación de la ley de Ohm y sustituimos. V I= R 90V 90V I= = = 2amperes Rtotal 45Ω 2.2 FUENTES DE DC EN SERIE Las fuente de voltaje también pueden colocarse en serie, por lo tanto el voltaje total en un circuito donde existen dos o más fuentes en serie es la suma de los voltajes individuales de cada fuente. Cuando las polaridades de las fuentes se encuentran hacia la misma dirección, su voltaje se suma, cuando sus polaridades se encuentran en direcciones opuestas, se restan. Ejercicio 2.2.1 Para el siguiente circuito, calcular la corriente aportada por las dos fuentes en serie. 2 V1 12 V R1 1 1.0kΩ V2 5V 3
  • 5. Solución: Paso 1: Primero debemos obtener el voltaje total del circuito, por lo cual debemos sumar o restar las fuentes de voltajes. Por la disposición de las fuentes de dc podemos deducir que se están sumando ya que sus polaridades apuntan hacia la misma dirección (la parte positiva apunta hacia arriba, y la negativa hacia abajo). Otra forma de saberlo es observando la parte donde se unen las dos fuentes, si tienen polaridades distintas en la union, se suman, si son polaridades iguales, se restan. Por lo tanto, se suman: Vtotal = 12V + 5V Vtotal = 17V Paso 2: Una vez obtenido el voltaje total, podemos despejar I de la ecuación de la ley de Ohm y obtener la corriente total aportada por las dos fuentes. V Vtotal I= = R 1kΩ 17V I= = 17mA 1kΩ Ejercicio 2.2.2 Obtener el valor de la resistencia del circuito para que circule una corriente de 2.5A si se tienen dos fuentes en serie con su valor respectivo, como se muestra en el diagrama: 2 V1 25 V ? 1 V2 3 5V Solución: Paso 1: Obtener el voltaje total. Podemos observar que en el punto donde se unen las dos fuentes tienen la misma polaridad, es decir, el negativo de la fuente
  • 6. uno esta unido con el negativo de la fuente dos. Por lo tanto se restan. Lo más conveniente es siempre restarle a la fuente de mayor voltaje la de menor voltaje. De esta forma el voltaje total queda de la siguiente forma: Vtotal = 25V − 5V Vtotal = 20V Paso 2: Calcular la resistencia a partir de la ley de Ohm con los datos conocidos. V Vtotal R= = I 2.5 A 20V R= = 8Ω 2.5 A Ejercicio 2.2.3 Calcular la corriente que circula por un circuito serie que tiene una resistencia de carga de 1 omh y dos fuentes de voltaje directo dispuestas como se observa en el circuito mostrado: 2 R1 4 V1 1.0Ω V2 6V 6V 1 Paso 1: Primero calcular el voltaje total del circuito. Para ello observamos la disposición de las fuentes, se puede ver que las dos son del mismo valor, sin embargo los puntos en donde se unen son del mismo polo, por lo tanto se están restando. En consecuencia al restarlas tendremos 0V y por lo tanto no habrá circulación de corriente. Vtotal = 6V − 6V = 0V V 0V I= = = 0A R 1Ω
  • 7. 3.-CIRCUITOS EN PARALELO Un circuito en paralelo es aquel en el que existen uno o más puntos donde la corriente se divide y sigue trayectorias diferentes. 3.1 RESISTENCIAS EN PARALELO Para las resistencias en paralelo se pueden observar tres reglas principales para calcular la resistencia equivalente: • Para un determinado número de resistencias en paralelo y del MISMO VALOR, la resistencia total se calcula dividendo el valor de una sola resistencia entre el número de ellas. • La resistencia total de dos resistencias en paralelo de igual o distinto valor se puede calcular con la fórmula: Rt = (R1*R2) / R1+R2 • Para calcular la resistencia equivalente de cualquier número de resistencias con diferentes o igual valor se usa la siguiente fórmula: 1 Rtotal = 1 1 1 1 1 + + + + ... + R1 R 2 R3 R 4 Rn Ejercicio 3.1.1 Encontrar la corriente que circula por el circuito mostrado, suponiendo que se tiene una fuente de 12V. 1 V1 12 V R1 R2 R3 R4 1.5kΩ 10kΩ 4.7kΩ 100kΩ 2 Solución: Este ejemplo se puede resolver de dos formas, calculando la corriente que circula por cada resistencia y sumándolas, o calculando la resistencia equivalente y obtener la corriente total. Se procederá a resolverlo por los dos métodos para demostrar que se obtienen los mismos resultados.
  • 8. Método 1: calculando corrientes individuales Paso 1: En un circuito en paralelo el voltaje se mantiene constante entre cada división o rama, por lo que a partir del voltaje y resistencia se puede calcular la corriente que circula por cada rama mediante la ley de ohm. V 12V I1 = = = 8mA R1 1.5kΩ V 12V I2 = = = 1.2mA R 2 10kΩ V 12V I3 = = = 2.55mA R3 4.7 kΩ V 12V I4 = = = 0.12mA R 4 100kΩ Paso 2: Puesto que la corriente total es la suma de las corrientes individuales obtenemos la corriente que circula en el circuito: Itotal = I 1 + I 2 + I 3 + I 4 Itotal = 8mA + 1.2mA + 2.55mA + 0.12mA Itotal = 11.87mA Método 2: calculando la resistencia total Paso 1: utilizando la suma de recíprocos calculamos la resistencia total. 1 Rtotal = 1 1 1 1 + + + R1 R 2 R3 R 4 1 Rtotal = = 1.01kΩ 1 1 1 1 + + + 1.5kΩ 10kΩ 4.7 kΩ 100kΩ Paso 2: Ahora utilizando la ley de Ohm calculamos la corriente total. V 12V I= = = 11.88mA Rtotal 1.01kΩ Como podemos observar de los dos métodos llegamos al mismo resultado.
  • 9. Ejercicio 3.1.2 Calcular el voltaje que proporciona la fuente para que exista una corriente de 6 amperes que fluye por todo el circuito de acuerdo al diagrama. 1 R2 R5 R4 R3 R1 1.0kΩ 3.0kΩ 3.0kΩ 3.0kΩ ? 1.0kΩ 2 Solución: Paso 1: Calcular la resistencia equivalente. Observamos que cada par de resistencias tiene un mismo valor. Por lo tanto podemos aplicar la fórmula de producto/suma para calcular la resistencia equivalente de cada par o la fórmula para resistencias del mismo valor. Paso 2: Calcular el par del lado derecho de la fuente: R1R 2 1k *1k Rder = = = 500Ω R1 + R 2 1k + 1k Paso 3: Calcular el par del lado izquierdo de la fuente: 3k Rizq = = 1kΩ 3 Paso 4: Una vez que tenemos el circuito reducido a dos resistencias como se observa en el diagrama, calculamos la resistencia equivalente: 1 Rizq Rder ? 1k Ω 500 Ω 2 RderRiaq 1k * 500 Rtotal = = = 333.3Ω Rder + Rizq 1k + 500
  • 10. Paso 5: Una vez calculada la resistencia total, procedemos a obtener el voltaje de la fuente mediante la ley de Ohm: 1 Rtotal 1.99 KV 333.33 Ω 2 V = R * I = 333.33Ω * 6 A = 1.99 KVolts 4.-CIRCUITOS MIXTOS: SERIE Y PARALELO Un circuito mixto es aquel que contiene elementos tanto en serie como en paralelo, a través de los cuales fluye una corriente. Ejercicio 4.1 Determinar el voltaje que provee la fuente en el siguiente circuito, si existe una corriente circulando de 60mA: 2 R2 R4 3.0kΩ 4 R1 3 16Ω 1.0kΩ R5 1 R3 75Ω ? 8.2Ω 5 7 R6 R7 R8 82Ω 150Ω 160Ω R9 6 51Ω 8 R10 130Ω Solución: Paso 1: empezamos por reducir desde la parte más alejada de la fuente, primeramente por los paralelos, en este caso empezamos por R6 y R7 R6 * R7 82 *150 R 67 = = = 53.01Ω R 6 + R7 82 + 150
  • 11. Paso 2: ahora que ha quedado en serie la resistencia equivalente de R6 y R7 se suma con las resistencias en serie R4 y R5. RA = R 4 + R5 + R67 = 16 + 75 + 53.01 = 144.01Ω Paso 3: enseguida sumamos las resistencias en serie R3 y R8 para posteriormente sumarlas en paralelo con RA. RB = R3 + R8 = 8.2 + 160 = 168.2Ω 2 R2 3 3.0kΩ R1 1.0kΩ 1 RB RA ? 6 R9 51Ω 8 R10 130Ω Paso 4: Ahora hacemos el paralelo entre las resistencias RA y RB: RA * RB 144.01 *168.2 RAB = = = 77.58Ω RA + RB 144.01 + 168.2 Paso 5: Realizamos el paralelo de R9 y R10: R9 * R10 51 *130 RC = = = 36.62Ω R9 + R10 51 + 130 Paso 6: Ahora que todas las resistencias están en serie, nos disponemos a sumarlas para obtener la resistencia total equivalente: RT = R1 + R 2 + RAB + RC RT = 1K + 3K + 77.58 + 36.62 = 4114.2Ω 1 ? RT 2
  • 12. Paso 7: Por último calculamos el voltaje de la fuente mediante la ley de Ohm. V = RI V = 4114.2 * 60mA = 246.85V Ejercicio 4.2 Encontrar la corriente suministrada por la fuente de 45V en el circuito mostrado: R2 3 3.3Ω 2 R1 1.5Ω R6 R3 R4 R5 1 820Ω 430Ω 6.2Ω 120Ω V1 45 V 4 Solución: Paso 1: Resolvemos el paralelo de R6 y R3 R 6 * R3 820 * 430 R 63 = = = 282.08Ω R6 + R3 820 + 430 Paso 2: Sumamos el paralelo anterior en serie con R2 RA = R63 + R 2 = 282.08 + 3.3 = 285.38Ω 10 R7 RA 1.5Ω 285.38 R9 R10 9 6.2Ω 120Ω V2 45 V 11 Paso 3: Resolvemos el paralelo de R9 y R10 R9 * R10 6.2 * 120 RB = = = 5.89Ω R9 + R10 6.2 + 120 Paso 4: Ahora vemos que RA y RB están en paralelo por lo que las sumamos de esa forma. RA * RB 285.38 * 5.89 RAB = = = 5.77Ω RA + RB 285.38 + 5.89
  • 13. 10 R7 1.5Ω 9 RA RB V2 45 V 11 Paso 5: Ahora que tenemos las dos resistencias en serie, nos disponemos a sumarlas y obtener la resistencia total equivalente: RT = R7 + RAB = 1.5 + 5.77 = 7.27Ω Paso 6: procedemos a obtener la corriente mediante la ley de Ohm. 1 V1 45 V 7.27 Ω 2 V 45V I= = = 6.18 A R 7.27Ω 5.- POTENCIA 5.1 POTENCIA EN CIRCUITOS SERIE Y PARALELO La potencia de un elemento se expresa como el resultado de multiplicar la corriente que circula por el y el voltaje aplicado en sus extremos, obteniendo la siguiente fórmula: P=V*I La forma en como la resistencia se relaciona con la potencia se expresa en las siguientes fórmulas: P= R*I2 V2 P= R Ejercicio 5.1.1 Se tiene el siguiente circuito mixto, el cual es alimentado con una fuente de DC de 110V. Calcular para cada resistencia su corriente, voltaje y potencia individual.
  • 14. R2 12.5 Ω 2 R1 1Ω 3 R3 1 R4 50 Ω 1Ω V1 R5 110 V 20 Ω 4 5 R6 20 Ω Solución: Paso 1: Empezamos por encontrar la corriente total, por lo que calculamos la resistencia equivalente de todo el circuito: Resolvemos los paralelos: RA 7 R7 10 Ω 1Ω 8 6 R 2 * R3 12.5 * 50 Ra = = = 10Ω R10 R 2 + R3 12.5 + 50 1Ω V2 110 V 20 Rb = = 10Ω 10 2 RB 9 10 Ω Sumamos las resistencias en serie: RT = Ra + Rb + R1 + R 4 = 10 + 10 + 1 + 1 = 22Ω Y calculamos la corriente total: 6 RT V2 V 110V 22 Ω I= = = 5A 110 V RT 22Ω 7 Paso 2: Calculamos los voltajes y potencias individuales para las resistencias que originalmente están en serie, (R1 y R4), ya que en éstas la corriente es la misma: Para R1: V = R * I = 1Ω * 5 A = 5V P = V * I = 5V * 5 A = 25Watts
  • 15. Para R4 como su valor es igual que R1 y al estar en serie tiene el mismo valor de corriente por lo tanto su voltaje es 5V y su potencia 25 Watts Paso 3: ahora pasamos con las resistencias en paralelo, comenzamos con R2 y R3. Como sabemos, en un arreglo en paralelo la corriente se divide, pero el voltaje se mantiene, por lo que a partir de su equivalente en serie de 10 ohms podemos obtener el voltaje de la siguiente forma: V = R * I = 10Ω * 5 A = 50V Paso 4: a partir del voltaje común para cada resistencia, calculamos su corriente individual y de ahí su potencia. Para R2: V 50 I= = = 4A R 2 12.5 P = V * I = 50 * 4 = 200 w Para R3: V 50 I= = = 1A R3 50 P = V * I = 50 * 1 = 50w Paso 5: Repetimos el mismo procedimiento para el paralelo de R5 y R6. Calculamos su voltaje a partir de su equivalente en serie: V = R * I = 10Ω * 5 A = 50V Ahora calculamos corriente y potencia para cada resistencia en paralelo: Para R5: V 50 I= = = 2.5 A R5 20 P = V * I = 50 * 2.5 = 125w Para R6: V 50 I= = = 2.5 A R6 20 P = V * I = 50 * 2.5 = 125w
  • 16. Paso 6: hacemos una tabla con todos los valores individuales, y comprobamos que la suma de todas las potencias individuales es igual a la potencia total. Ptotal=V*I=110V*5A=550W R1=1 ohm V1=5V I1=5A P1=25 w R2=12.5 ohms V2=50V I2=4A P2=200 w R3=50 ohms V3=50V I3=1A P3=50w R4=1 ohm V4=5V I4=5A P4=25 w R5= 20 ohms V5=50V I5=2.5A P5=125 w R6=20 ohms V6=50V I6=2.5A P6=125 w Ptotal=550W 5.2 MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA La máxima transferencia de potencia se refiere cuando, por ejemplo, una red activa, en este caso una batería tiene una resistencia interna de cierto valor y para que ésta transfiera su máxima potencia o eficiencia a una carga, ésta tiene que ser del mismo valor que la resistencia interna. La potencia transmitida a la carga se puede calcular de dos maneras: V 1) Calculando primero la corriente: I = y después calcular la potencia R + RL individual en la resistencia: P = I 2 RL 2) Utilizando directamente la siguiente fórmula: V 2 RL P= ( Ri + RL) 2 Ejercicio 5.2.1 Una batería de 50V tiene una resistencia interna (Ri) de 2 ohms, demostrar el teorema de máxima transferencia de potencia calculando la potencia transmitida a la carga (RL) cuando esta es de 0.5 ohm, de 2 ohms y de 6 ohms. 2 2Ω 1 RL V1 50 V 3
  • 17. Solución: Paso 1: Calculamos la corriente para una RL=0.5 ohm usando el primer método: V 50V 50V I= = = = 20 A Ri + RL 2Ω + 0.5Ω 2.5Ω Paso 2: Ahora calculamos la potencia individual de RL: P = I 2 RL = (20 A) 2 (0.5Ω) = 200W Paso 3: Enseguida calculamos la potencia para una carga de 2 ohms, mediante la fómula directa: V 2 RL (50V ) 2 (2Ω) P= = = 312.5W ( Ri + RL) 2 (2Ω + 2Ω) 2 Paso 4: Ahora hacemos el cálculo para una resistencia de carga de 6 ohms con fórmula directa: V 2 RL (50V ) 2 (6Ω) P= = = 234.375W ( Ri + RL) 2 (2Ω + 6Ω) 2 Paso 5: Analizamos los resultados con los tres valores de las cargas y vemos que la potencia máxima en la carga se obtiene cuando Ri=RL, en este caso cuando es 2 ohms. Cuando la resistencia de carga es mayor o menor, la potencia obtenida siempre será por debajo de la obtenida con la de 2 ohms que fue de 312.5 Watts. RL=0.5 ohms P=200W RL=2 ohms P=312.5W RL=6 ohms P=234.375W