1. INFO 1144 -ELEMENTOS DE ALGEBRA LINEAL
APUNTE DE MATRICES
Definición: Dados +34 − O con 3 œ "ß ÞÞÞß 7ß 4 œ "ß ÞÞÞ8 al rectángulo de 7 ‚ 8
"
números" ordenados en una tabla con 7 filas y 8 columnas de la forma
Î +"" +"# ÞÞÞÞÞ +"8 Ñ
Ð + +## ÞÞÞÞÞ +#8 Ó
E œ Ð #" Ó
Ï +7" +7# ÞÞÞÞ +78 Ò
À À À À
se le denomina matriz de orden 7 ‚ 8Þ
Los elementos +34 de una matriz no necesariamente tienen que ser números reales,
pueden ser también parámetros, números complejos, funciones ,etc...Así, por ejemplo, las
siguientes matrices son de orden 2 ‚ 3 :
E" œ Œ à E# œ Œ #B B  " /B ß E$ œ Œ #  3 #3 " 
" " & " B B# "3 ! 3
$ % (
Habitualmente con letras mayúsculas se denotan las matrices y con minúsculas los
elementos que las constituyen. Dados que estos últimos estan ordenados en filas y
columnas, al que en una matriz ocupa el lugar de la fila 3  ésima y la columna
4  ésima en general se le notará por +34 . Es decir, con el primer subíndice 3 se indica la
fila en la que está el elemento y por 4 la columna. Por tanto, todos los elementos de una
matriz E de orden 7 ‚ 8 se podrán representar por E œ Ð+34 Ñß 3 œ "ß ÞÞÞ7ß 4 œ "ß ÞÞÞ8Þ
En ocasiones interesa trabajar bien con las filas o con las columnas de la matriz E , y ,
por ello, se introduce la siguiente notación: la 3  ésima fila se denota por
Î +"4 Ñ
Ð + Ó
+3† œ Ð+3" ß +3# ß +3$ ÞÞÞÞ+38 Ñà la 4  ésima columna se denota por +†4 œ Ð #4 Ó Þ
Ï +74 Ò
À
Cuando una matriz E tienen 7 filas y 8 columnas, se dice que su dimensión u orden es
7 ‚ 8. Al conjunto de todas las matrices de orden 7 ‚ 8, se les denota por Q7ß8 ÐOÑÞ
En particular si 7 œ 8, se escribe Q8 ÐOÑ y estas son llamadas matrices cuadradas.
Ejemplo: Describa las entradas de la matriz E œ Ð+34 Ñ − Q$ß% БÑß donde
+34 œ Ð  "Ñ34 Ð3Î4 ÑÞ
Î " "Ñ
Solución: Ð  # " Ó
" #
"
$ %
#
Ï $ $Ò
" $ #
$
 # " %

2. Operaciones con Matrices
Suma de matrices: Dadas las matrices E œ Ð+34 Ñ y F œ Ð,34 Ñ − Q 7‚8 se define la
suma de matrices como la matriz G œ Ð+34  ,34 Ñ − Q 7‚8 ß ésta es llamada matriz
suma.de E y F
Î
+ +# ! Ñ
Ï  #+ +# Ò
Ejemplo Nº 1: Dadas las matrices E œ +# + #+ y
!
Î + + + Ñ
# #
Ï ,# !  +# Ò
Fœ " , +,
Î Ð+  + Ñ Ñ
#
#+# +
Ï Ð  #+  ,# Ñ Ò
su suma es E  F œ Ð"  +#Ñ Ð,  +Ñ Ð#+  +,Ñ .
! !
Ejemplo Nº 2: (Matriz de Producción) Una empresa que fabrica televisores produce tres
modelos con distintas carácterísticas en tres tamaños diferentes. La capacidad de
producción (en miles) en su planta de Santiago está dada por la matriz EÞ
Q 9./69 " Q 9./69 # Q 9./69 $
Tamaño 1(#! :?61Ñ % & $
Tamaño 2(23 pulg ) ( % &
Tamaño 3(26 pulg) "! ) %
ÐEn otras palabras, la capacidad de la planta es de &!!! televisores Modelo 2 de 20
pulgadas, ) !!! televisores modelo 2 de 26 pulgadas, etc..). La capacidad de producción
en la planta de Chillan está dada por la matriz F .
Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3
Tamaño 1 5 3 2
Tamaño 2 9 6 4
Tamaño 3 8 12 2
¿Cuál es la capacidad de producción total en las dos plantas?
Solución:
Î % & $Ñ Î& $ #Ñ
Ï "! ) % Ò Ï ) "# # Ò
Eœ ( % & ß F œ * ' % , entonces la capacidad de producción total en
Î * ) &Ñ
Ï ") 'Ò
las dos plantas es E  F œ "' "! * Þ
#!

3. Propiedades de la Suma de Matrices
Sean E y F − M7ß8 y !ß " − ‘
I.-La suma de matrices tiene las propiedades:
1.Conmutativa:E  F œ F  E
#ÞAsociativa: E  ÐF  GÑ œ E  ÐF  GÑ
$ÞElemento neutro:Existe una matriz S − Q7ß8 tal que E  ! œ E para cualquier
E − Q7ß8 Þ
%ÞElemento opuesto: Para cualquier E − Q7ß8 existe Ð  EÑ − Q7ß8 tal que
E  Ð  EÑ œ !
Como ÐQ7ß8 ÐOÑß  Ñ, verifica estas cuatro propiedades se dice que, ÐQ7ß8 ÐOÑß  Ñ
tiene estructura de grupo abeliano.
Ponderación de una matriz por un escalar: Dada la matriz E œ Ð+34 Ñ − Q 7‚n y
5 − ‘, se define la matriz 5Eß por Ð5+34 Ñ − Q 7‚n , es decir la matriz E ponderada por
el escalar Oß es el resultado de multiplicar cada entrada de E por 5 .
Î: :$ Ñ
Ï + +: Ò
Ejemplo: Si E œ Ð:  "Ñ # , y ponderamos E por "#, obtenemos la matriz
Î"#: "#:$ Ñ
Ï "#+: Ò
"#E œ Ð"#:  "#Ñ #% .
"#+
Ejemplo: Para el ejemplo Nº 2, anterior, "si la empresa decide incrementar su producción
en Santiago en un 20%, ¿Cuál será la nueva producción en su planta?"
Solución: La matriz que contiene la nueva producción en la planta de Santiago es
Î % & $ Ñ Î %ß ) ' $ß ' Ñ
Ï "! % Ò Ï "# %ß ) Ò
"ß # † E œ "ß # † ( % & œ )ß % %ß ) '
) *ß '
El producto de una matriz por un escalar verifica las propiedades
"ÞDistributiva respecto a la suma de matrices:!ÐE  FÑ œ !E  !FÞ
#ÞDistributiva respecto a la suma de escalares: (!+" )E œ !E  " E
$ÞSeudo asociativa: (!" ÑE œ !Ð" EÑ
%Þ Elemento unidad: Existe " − ‘ tal que " † E œ E para cualquier E − Q7ß8

4. Demostración: La comprobación de estas propiedades es inmediata a partir de las
correspondientes para el cuerpo de los números reales y las definiciones de suma y
producto por un escalar de matricesÞ
Ecuaciones matriciales simples
Ejemplo:Determine la matriz tal que #  %F œ $E, si E œ Œ
 "
" # !
,
! !
FœŒ
" !  "
! " $
Þ
Solución: # œ $E  %F Ê œ " Ð$E  %FÑ œ $ E  #F .
# #
Multiplicación de Matrices
Multiplicación de matrices: Dadas las matrices E œ Ð+34 Ñ − Q 7‚< y F œ Ð,34 Ñ −
Q <‚8 se define la multiplicación de matrices E † F como la matriz G œ Ð-34 Ñ −
Q 7‚8 ß donde -34 œ ! +35 † ,54 , ésta es llamada matriz producto entre E y F .
8
5œ"
Î # %  "Ñ
Ejemplo Nº 1: Dadas las matrices E œ Œ
"
" # $
Ï # Ò
yFœ " # # ß
! #
! "
encuentre EFß ¿ tiene sentido calcular FE?
Solución: EF œ Œ
& 
' ! #
Þ
! %
La matriz FE, no está definida en este caso, ya que la priemra matriz es de orden $ ‚ $ y
la segunda es de orden 2 ‚ 3.
Î + + + Ñ Î # , "Ñ
# # +
Ï ,# #Ò Ï #+  + ! + Ò
Ejemplo Nº 2: Si E œ " , +, y Fœ #
+ + # ! , entonces el
! +
producto es
Î +$ Ð+%  +$  +# Ñ Ð  +# ,  #+# Ñ ! Ñ
Ï Ð#,#  #+$ Ñ Ð, #  +$ Ñ Ò
#
EF œ Ð#  +,  #+ ,Ñ + $, Ð"  +  +# ,Ñ Þ
Ð+,#  +$ Ñ ,$
Ejemplo Nº 3: (Ingresos procedentes de diversas fuentes) Cada una de las tiendas, S" y
S# , reciben diariamente televisores Ð>Ñ y videocaseteras Ð@Ñ de dos fabricantes,0" y 0# .
Las recepciones o ventas se representan como sigue:

5. El precio en dólares, por aparato en cada tienda, es como sigue:
Si E y F son las matrices de las tablas anteriores, calcule e interprete el producto EF .
Solución : EF œ Œ Œ $!! #)!  œ Œ $)!!! $**!! Þ
%! &! #!! #&! #$!!! #%!!!
(! )!
El elemento -"" œ %! † #!!  &! † $!! œ #$!!!ß y representa los ingresos de la primera
tienda por vender todos los electodomésticos que provienen de la primera fábrica. De
igual forma, EF œ Œ
$ en S" de 0# $ en S# de 0# 
$ en S" de 0" $ en S# de 0"
Propiedades del producto de matrices
Sean Eß Fß G y H matrices de números reales cualesquiera tales que E − Q7‚: ß
F − Q:‚; y Gß H − Q;‚8 Þ El producto de matrices tiene las siguientes propiedades:
"ÞNo es conmutativo
#ÞVerifica la propiedad asociativa, pues EÐFGÑ œ ÐEFÑGÞ
3ÞEl producto de cualquier matriz E por una matriz nula ! de la dimensión adecuada es
una matriz nula.
E † ! œ !à ! † E œ !
4.Existe la matriz identidad, denotada M8 œ Ð$34 Ñß donde $34 œ œ
" si 3 œ 4
! si 3 Á 4
que es el neutro multiplicativo, es decir, a E − Q8ß8 БÑß se verifica
E † M8 œ M8 † E œ EÞ
5ÞEl producto es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir
FÐG  HÑ œ FG  FH.
6. !E † " F œ ! † " † EF
Como ÐQ7ß8 ÐOÑß  Ñ es grupo abeliano y el producto de matrices verifica la propiedad
asociativa y además el producto distribuye respecto a la suma de matrices, y existe
neutro para la multiplicación matricial, se dice que ÐQ7ß8 ÐOÑß  ß † Ñ tiene estructura
de anillo no conmutativo con identidad.
Matrices Especiales

6. 1)Sea E œ Ð+34 Ñ una matriz, entonces la matriz E es cuadrada si tiene igual número de
filas que de columnas. En tal caso se dice que las entradas +"" ß +## ß ÞÞÞÞÞ+88 forman la
diagonal y si E es cuadrada de orden 8ß la suma ! +33 es llamada traza de EÞ
8
3œ"
+Î +# ! Ñ
Ï  #+ +# Ò
Ejemplo: E œ +# + #+ es cuadrada, su traza es +# Þ
!
2) La matriz E − Q8ß8 es triangular superior (inferior) si +34 œ ! a 3  4 ,
(+34 œ ! a 3  4 Ñß es decir si E posee ceros sólo bajo la diagonal ( es decir si E posee
ceros sólo sobre la diagonal)
Î+ +# ! Ñ
Ï! +# Ò
Ejemplo:E œ ! + #+ es triangular superior, mientras que
!
Î
+ ! !Ñ
Ï  #+ #Ò
Fœ +# + ! es triangular inferior
! +
3) La matriz E − Q8‚8 es una matriz diagonal si +34 œ ! a3 Á 4
Î+ ! !Ñ
Ï! +# Ò
Ejemplo: !  + !
!
4) La transpuesta de E œ Ð+34 Ñ − Q7‚8 es EX œ Ð+43 Ñ − Q8‚7 .
+Î +# ! Ñ Î+ +#  #+ Ñ
Ï  #+ +# Ò Ï! # Ò
X
Ejemplo: E œ +# + #+ , entonces E œ +# + ! Þ
! #+ +
5) La matriz E − Q8‚8 es simétrica si EX œ EÞ
Î # , +, Ñ
Ï +, +# ! Ò
Ejemplo: E œ ,  $ +# es simétrica pues verifica que +34 œ +43 ß a 3ß a 4Þ
6) La matriz E − Q8,8 es antisimétrica si EX œ  E
Î ! + , Ñ
Ï  ,  ,# ! Ò
Ejemplo: F œ + ! ,# , es antisimétrica, pues verifica ,34 œ  ,43 ß a 3ß
a4Þ
Proposición:
aÑÐEX ÑX œ Eß aE − Q7‚8

7. bÑÐE  FÑX œ EX  F X ß aEß F − Q7‚8
cÑÐEFÑX œ F X EX ß aE − Q7‚8 ß aF − Q8‚<
Inversa de una Matriz
Definición: Sea E − Q8ß8 . Diremos que E es no singular o invertible si existe una
matriz F − Q8ß8 tal que EF œ M8 œ FEß tal matriz F es única, ya que si existiesen
dos, estas serían iguales. Comprobémoslo, para ello supongamos que existen dos
matrices F" y F# que lo verifican, entonces:
F" œ F" † M8 œ F" † ÐE † F# Ñ œ ÐF" † EÑ † F# œ M8 † F# œ F#
por tanto la matriz F es única y es llamada la inversa de EÞ Ésta se denota E" Þ Así
EE" œ E" E œ M8 Þ
Una matriz cuadrada que no tieen inversa se llama no invertible o singular.
Ejemplo: Demuestre que Œ
" %
es la inversa de Œ
# 
# ( % (
Þ
"
Solución:
Ejercicio: Determine la inversa de Œ
"
# $
Þ
"
Teorema: E œ Œ
.
+ ,
es invertible si y sólo si +.  ,- Á !ß en cuyo caso,
-
+.,- Œ + 
" . ,
E" œ Þ
-
Demostración:
Propiedades de las Matrices Inversas
1. El producto de dos matrices inversas es invertible. Su inversa es el producto de las
inversas de los factores en orden inverso. Así, si E y F son matrices de orden 8 ‚ 8
invertibles, también EF lo será, y ÐEFÑ" œ F " E" Þ
#Þ La inversa de una matriz invertible también es invertible. Su inversa es la matriz
original. Por consiguiente, si E es invertible, también lo es E" ß y ÐE" Ñ" œ EÞ
$Þ Cualquier producto de un escalar distinto de cero por una matriz invertible es
invertible. Su inversa es el producto del recíproco del escalar por la inversa de la amtriz.
Por consiguiente, si E es invertible y - es un escalar distinto de cero, entonces -E es
invertible y Ð-EÑ" œ " E" Þ
-
4. ÐE> Ñ" œ ÐE" Ñ>
Demostración:
1.Necesitamos probar que F " E" es la inversa de EF , es decir
ÐEFÑÐF " E" Ñ œ EÐFF " ÑE" œ ÐE † MÑE" œ EE" œ M y
ÐF " E" ÑÐEFÑ œ F " ÐE" EÑF œ ÐF " MÑF œ F " F œ MÞ

8. #Þ Como E es invertible E" E œ EE" Þ Esto demuestra que E" es invertible y que
ÐE" Ñ" œ EÞ
%Þ ÐE † E" Ñ œ ÐE" † EÑ œ M Ê ÐE † E" Ñ> œ ÐE" Ñ> † E> œ M > œ M •
" > > " > > > " " >
ÐE † EÑ œ E ÐE Ñ œ M œ MÞ Por definición de inversa ÐE Ñ œ ÐE Ñ .
Teorema: Leyes de simplificación
Si G es invertible, entonces
1. GE œ GF Ê E œ F
#Þ EG œ FG Ê E œ F
Demostración: 1. G " existe; por consiguiente, GE œ GFÎ † G " por la izquierda
Ê G " ÐGEÑ œ G " ÐGFÑ Ê ÐG " GÑE œ ÐG " GÑF Ê ME œ MF Ê E œ FÞ
Ecuaciones Sencillas con Productos de Matrices
Las propiedades básicas de las operaciones matriciales nos permiten resolver algunas
ecuaciones matriciales.
Precaución: Cuando se multiplican ambos lados de una ecuación matricial por una
matriz, se debe usar la multiplicación por la izquierda o por la derecha, pero no ambas a
la vez. Así E œ F Ê GE œ GFß E œ F Ê EH œ FHÞ
Mientras que E œ F no implica GE œ FGÞ
Ejemplo: Resolviendo la ecuación matricial EGF œ !ß para ß suponiendo que E y
G son invertibles y que todos los tamaños son compatibles.
Solución:
EG  F œ ! Ê EG œ F Ê E" ÐEGÑ œ E" F Ê G œ E" F Ê ÐGÑG "
œ ÐE" FÑG " Ê œ E" FG " Þ
Error frecuente: La expresión E" FE por lo general no se simplifica para obtener FÞ
(Sólo si E y F conmutan.).
Ejercicio: Resuelva para F la siguiente ecuación matricial:
ÐF " EÑ >  ÐF > EÑ" œ M si E y F son invertibles.
Transformaciones Elementales
Cualquier transformación que se efectúe sobre las filas o columnas de una matriz, sin que
varíe el orden será llamada transformación elemental.Las más usadas son las siguientes:
a) Permutar las filas 3 y 4 , que se simboliza J34 ß la transformación inversa es J34 Þ
b) Multiplicar la 3  ésima fila por el escalar ! Á !ß se simboliza J3 Ð!ÑÞ La
"
transformación inversa es J3 Ð ! ÑÞ

9. c) Sumar a la 3  ésima fila , ! veces la 4  ésima fila, que simbolizamos J34 Ð!Ñ. La
transformación inversa es J34 Ð  !ÑÞ
En forma análoga se definen las transformaciones elementales por columna, por ejemplo
G34 es permutar las columnas 3 y 4. Ci Ð!Ñ es multiplicar la columna 3 por !. C34 Ð!Ñ es
sumar a la iésima columna la j-ésima columna previamente multiplicada por el escalar !Þ
Î ,  #+ , Ñ
Ï ! + Ò
Ejemplo: Dada la matriz E œ  #, ! #+ efectuaremos sobre ella las
#,
siguientes transformaciones elementales, con el objeto de obtener una matriz triangular
superior À J#" Ð#Ñß J$# Ð#Ñß J"# Ð  " +ÑÞ
#

10. Equivalencia de Matrices
Sean E y F − Q7‚8 . Se dice que E es equivalente por filas con F si existe una
sucesión de transformaciones elementales fila que efectuadas sobre A, producen F .
Ejemplo:Las siguientes matrices son equivalentes por filas:
Definición: Se llama matriz escalón reducida por filas a la matriz que se obtiene de una
matriz E cualquiera, mediante transformaciones elementales de filas y que tiene las
siguientes características:
"Ñ la primera entrada no nula de cada fila es un 1, llamado pivote.
#Ñ en la columna donde está el pivote todas las otras entradas son cero.
$Ñ las filas nulas estan debajo de las filas no nulas.
%Ñ si O3 representa la columna donde está el pivote de la fila 3 entonces O" se encuentra a
la izquierda de O# , O# se encuentra a la izquierda de O3 y así sucesivamente. Es decir a
medida que los pivotes se van distribuyendo hacia abajo también se van distribuyendo
hacia la derecha.
Este procedimiento para hallar la matriz escalón reducida por filas se llama escalonado.
Proposición: Toda matriz E − Q7ß8 ÐOÑ es equivalente por filas con una matriz
escalonada.
Proposición: Si E y F son matrices equivalentes por fila entonces existe una matriz T
invertible tal que T E œ FÞ
Demostración: Si E y F son matrices equivalentes por fila entonces, existe una sucesión
de transformaciones elementales fila que llevan E hasta F . Si cada una de las
transformaciones elementales fila se efectúan por una única vez sobre la matriz identidad

11. M7 , siempre que E tenga 7 filas, se obtendrá varias matrices llamadas matrices
elementales que denotaremos I" ß I# ß I$ ÞÞÞÞSi éstas las multiplicamos de la siguiente
forma: ...I< ÞÞÞÞÞI# † I" lo que se obtiene es la matriz T .
Ejemplo: Las matrices elementales I" ß I# ß I$ ß que transformaron la matriz
en la matriz
son las que se obtiene a través del siguiente procedimiento:
Primero definiremos la matriz identidad de orden 8, para luego obtener las matrices
elementales:

12. Se dice que E es equivalente por columnas con F si existe una sucesión de
transformaciones elementales columna que efectuadas sobre E producen F , en forma

13. análoga se pueden encontrar las matrices elementales columna G" ß G# ß ÞÞÞtales que
U œ G" † G# † ÞÞÞÞÞÞ de tal manera que E † U œ FÞ
Definición: La matriz E es equivalente con F si F se obtiene aplicando
transformaciones elementales a E. Se simboliza E µ FÞ
Proposición: Si dos matrices E y F son equivalentes entonces existen dos matrices
invertibles T y U tales que T EU œ F .
Demostración: esto es evidente a partir de lo que se expuso sobre matrices elementales.
M< ¸ !
Proposición: Toda matriz E no nula es equivalente a una única matriz R llamada forma
normal de E que tiene la forma 
! ¸ !
, donde < es llamado rango de la matriz E.
Hallando la inversa de E
S3 E − Q8ß8 Ð‘Ñ es invertible, entonces E es equivalente con la identidad y para hallar su
inversa podemos tomar la matriz ÐElM8 Ñ efectuar sobre esta una serie de transformaciones
elementales fila de tal forma que quede ÐM8 lE" ÑÞ Así al hacer transformaciones
elementales sobre E, para que E se transforme en M , simultáneamente M se transforma en
E" Þ
Si se efectuan sobre Ð M8 Ñ una sucesiónde transformaciones elementales columna, para
E
que E se transforma en la identidad, entonces simultáneamente la matriz identidad de la
"
parte superior se transforma en E" Þ Es decir, se obtiene Ð E 8 Ñ.
M
Ejercicios:
Ô " # % ×
Õ $ "% Ø
1) Dada la matriz E œ # & * obtenga E" si existe.
(
2) Resuelva la ecuación matricial en forma algebraica, sabiendo que E y F son matrices
invertibles en Q$‚$ Ð‘Ñ y ambas son simétricas:
ÐEF " X ÑX  ÐE" F " Ñ" œ #M
Ô" # "×
Õ" # #Ø
3) Considere la solución del ejercicio (2). Si E œ # & # y
Ô "  # "×
Õ " !Ø
F œ # $ # , obtenga Þ
#
4)a) Resuelva en forma algebraica la ecuación matricial
" >
# EF  ÐFEÑ œ M
Si E, F y son matrices en Q# Ð‘Ñ y todas son invertibles, y ademásß E y F son
simétricas.
b) Use lo obtenido en (a) para hallar , si E œ Œ  y F œ Œ# !
" # ! #
# !