Matr

1. 3. calcular: (𝟏𝟑𝟓)𝟐+(𝟖𝟓)𝟐+(𝟔𝟓)𝟐+ (𝟏𝟒𝟓)𝟐+(𝟏𝟓)𝟐
Solución
Se sabe la regla: (𝒂𝟓)𝟐
= (𝒂 + 𝟏). 𝒂𝟐𝟓
 (𝟏𝟑𝟓)𝟐
= (14x13)25 = 18225
 (𝟖𝟓)𝟐 = (9x8)25 = 7225
 (𝟔𝟓)𝟐 = (7x6)25 = 4225
 (𝟏𝟒𝟓)𝟐
=(15x14)25 = 21025
 (𝟏𝟓)𝟐= (𝟐𝒙𝟏)𝟐𝟓 = 225
Suma total = 50 925 Rpta.
4. Calcular la suma de los términos de fila 23
Fila 1 1
Fila 2 3 5
Fila 3 7 9 11
Fila4 13 15 17 19
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Solución.
Si sumamos cada fila tenemos:
Fila 1: 1 = (𝟏)𝟑
Fila 2: 8 = (𝟐)𝟑
Fila 3: 27 = (𝟑)𝟑
Fila 4: 64 = (𝟒)𝟑
.
.
Fila 23: = (𝟐𝟑)𝟑= 𝟏𝟐 𝟏𝟔𝟕 𝑹𝒑𝒕𝒂.
5. Calcular la suma de los términos de fila 18
Fila 1 1
Fila 2 1 1
Fila 3 1 2 1
Fila4 1 3 3 1
Fila 5 1 4 6 4 1
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Solución.

2. Por método de inductivo.
Si sumamos cada fila tenemos:
∑ Fila 1: 1 = 𝟐𝟏−𝟏
Fila 2: 2 = 𝟐𝟐−𝟏
Fila 3: 4 = 𝟐𝟑−𝟏
Fila 4: 8 = 𝟐𝟒−𝟏 observo que el exponente esta formado por el número de fila menos 1
.
.
Fila 18: ∑ = 𝟐𝟏𝟖−𝟏 = 𝟐𝟏𝟕 = 𝟏𝟑𝟏 𝟎𝟕𝟐 𝑹𝒑𝒕𝒂.

3. E𝒙𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏 de tarea
7. Hallar la ultima cifra luego de efectuarse el producto
P = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎 + 𝟏 𝟐𝟏𝟗𝟗𝟗 + 𝟏 𝟐𝟏𝟗𝟗𝟖 + 𝟏 … . . (𝟐𝟐 + 𝟏)
8. Hallar: a + b; si : (𝟏. 𝟑. 𝟓. 𝟕. 𝟗)𝟐= … … . 𝒂𝒃
9. Calcular la suma de las cifras del resultado.
E = (𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖)𝟐 - (1𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟔)𝟐
11. Si: a + b + c + d + e + f = 27
Hallar la suma de las cifras del resultado
de sumar los números:
abcdef; bcdefa; fabcde; cdefab; efabcd;
defabc.
10. Si: x +
1
𝑥
= 2 , halar: (𝑥8
+
1
𝑥8) + (𝑥5
+
1
𝑥5)
Tarea 1
1. Hallar el resultado de
𝒂) 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐 =
b) 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐
=
2. Hallar el resultado de
a) 𝟓𝟖𝟐 − 𝟓𝟔𝟐 =
b) 𝟏𝟐𝟖𝟏𝟗𝟖𝟐 − 𝟓𝟑𝟒𝟓𝟔𝟐 =
3.Hallar la cifra terminal de:
K = 𝟑𝟔𝟕𝟒𝟓𝟒𝟎 − 𝟒𝟗𝟖𝟏𝟗𝟏𝟕 + 𝟑𝟗𝟕𝟓𝟒𝟔𝟓𝟒
F = 𝟏𝟔𝟔𝟒𝟎𝟕𝟑 − 𝟓𝟑𝟗𝟖𝟔𝟗𝟕𝟖 + 𝟕𝟓𝟒𝟔𝟕𝟕
4. Hallar la cifra terminal de:
S = 𝟓𝟗𝟐 − 𝟓𝟔𝟗𝟗𝟐 − 𝟑𝟒𝟗𝟓
K = 𝟑𝟔𝟕𝟗𝟗𝟒𝟎 − 𝟒𝟗𝟖𝟏𝟗𝟗𝟏𝟕 + 𝟗𝟕𝟓𝟒𝟗𝟓𝟎
5. Hallar la cifra terminal de:
R = 𝟒𝟓𝟒𝟒𝟐𝟑
+ 𝟖𝟓𝟒𝟔
+ 𝟑𝟒𝟏𝟓𝟒
K = 𝟕𝟒𝟒𝟒𝟒𝟎 − 𝟒𝟗𝟖𝟒𝟗 + 𝟏𝟗𝟕𝟓𝟒𝟒
6. Calcular
A= 𝟖𝒙𝟗𝒙𝟏𝟎𝒙𝟏𝟏 + 𝟏
M= 𝟕𝟕𝒙𝟕𝟖𝒙𝟕𝟗𝒙𝟖𝟎 + 𝟏

4. Razonamiento lógico numérico
Los juegos o rompecabezas de un tipo matemático, que casi siempre provocan un proceso
de pensamiento creativo, motivan al estudiante o al publico en general.
En ese sentido en esta parte se han elegido ejercicios y problemas para motivar, animar y
estimular a desarrollar su comprensión de los números y su pensamiento matemático en
general.
Recuerda las siguientes pautas.
I. Lee cuidadosamente el enunciado.
II. Reconoce los datos y lo que puedas deducir de ellos. Busca siempre sacar
conclusiones, pero sin apresurarte.
III. Elabora un conjunto de pasos a seguir, teniendo en cuenta los datos y las conclusiones
obtenidas

5. Problema 1. En los recuadros del siguiente esquema se escriben cuatro números enteros y
positivos, diferentes, todos de una cifra, ¿Cuál será el mínimo valor de S?
Resolución
Solo se debe usar números enteros y positivos de una cifra.
Analicemos la expresión de siguiente manera

6. Entonces, de las cifras 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Emplearemos las dos menores y las dos mayores: 1; 2; 8 y 9; lo cual
distribuimos según lo analizado del siguiente modo:
Respuesta la E
Problema 2: si en la operación ( 2 + 3 -1x5) : 4 se cambia de lugar adecuadamente solo a los números, ¿Cuál será el
mayor entero que se pueda obtener como resultado?
Solución
Expresión original: (2+3 – 1x5) : 4 = 0
Expresión con mayor resultado entero:
Mayor suma: (5+4) = 9
Mínimo producto: 2x3 = 6
Mínimo divisor: 1

7. Respuesta B
Problema 3: Escribe en cada recuadro uno de los números enteros de 3 al 7
de manera que ninguno se repita y se verifica la igualdad ¿Cuál es el número
que debe escribirse en el recuadro sombreado?

8. Solución
Los números a utilizar son: 3; 4; 5; 6 y 7.
La cifra e, por corresponder a la división, es la menor; es decir e = 3
La cifra d, para que el resultado sea entero es múltiplo de e; es decir, d = 6.
Las cifras a, b y c son tales que a + b – c = 8, pero usando los 4; 5 y 7 es decir, 7 + 5 –
4 = 8 o 5 + 7 – 4 =8, se observa que en ambos casos la cifra c es 4.

9. PRACTICA
1. En los recuadros del siguiente esquema se escriben cuatro números enteros y
positivos, diferentes, todos de una cifra, que corresponde a 3≤ 𝑥 ≤ 9¿Cuál será el
mínimo valor de S? S= [(□-□)x □]+□
2: si en la operación ( 2 + 3 -1x5) : 4 se cambia de lugar adecuadamente
solo a los números, ¿Cuál será el menor entero que se pueda obtener
como resultado?
3: Escribe en cada recuadro uno de los números enteros de 3 al 7 de
manera que ninguno se repita y se verifica la igualdad ¿Cuál es el
número que debe escribirse en el circulo que sustraendo o restando?
{[(⃝+⃝)- ⃝ ] x⃝} : ⃝ = 6

10. 1. Rpta -44
2. Rpta. 1
3. Rpta 5
1. S= [(□-□)x □]+□
Solución
S= (3-9)x8 +4 = -44
2. ( 2 + 3 -1x5) : 4
Solución
(3+4 -1x2) : 5= 1
3. {[(⃝+⃝)- ⃝ ] x⃝} : ⃝ = 6
Solución
{[(7+6)-5]x 3} : 4 = 6

11. Problema 4: Usando los números enteros de 1 al 6 de manera que ninguno se repita, y efectuando las operaciones
usuales de adición, sustracción, multiplicación y división, en este orden, una sola vez cada una. ¿Cuál es el máximo
resultado que se puede obtener?
Solución
Según las condiciones debemos llenar las casillas en blanco con cinco números diferentes del conjunto: {1; 2; 3; 4; 5;
6} de modo que el resultado de la operación (de izquierda a derecha) sea el máximo valor posible
Se deduce que los casilleros D y E debe estar el 6 y 1 respectivamente.
Luego, en el casillero C debe ir el 2.
De los restantes, los dos mayores (4 y 5) deben ocupar los casilleros A y B.
Finalmente:

12. Problema 5: En la figura mostrada, el numero de cada circulo representa la diferencia
positiva entre los números de los dos círculos sobre los que se apoyan. Si en la fila de la
base todos los números tienen dos cifras y se emplean todos los números enteros del 1 al 8
hallar los números de los dos círculos sobre los que se apoya. Si en la fila de la base todos
los números tienen dos cifras y se emplean todos los números enteros del 1 al 8, hallar la
suma de los tres números que faltan en la base
Solución
Los números de la base son de 2 cifras y deben usarse todos lo dígitos del 1 al 8.
El número de cada círculo es la diferencia positiva entre los dos números sobre los que se apoya.
El desarrollo se realiza completando el siguiente orden a, b, c

13. Luego quedaría de la siguiente forma

14. Pues solo quedan las cifras 1 y 7 por utilizar (ya se utilizaron 12, 46, 23, 48)
Se descarta el 17 porque 23 -17 no es 48 entonces 71- 23 = 48
Los números que faltan en la base son: 71, 23 46, la suma seria 71+ 23 + 46 = 140
Respuesta B

15. Problema 6: Complete las casillas en blanco con números de un digito, de manera
que, al sumar los valores de cada fila o columna, resulte 34. Luego responda: ¿Cuántas
veces aparece el digito 9 en ambas diagonales?
Solución
Empecemos por la tercera fila o primera columna

16. Para que la suma de los términos de dicha fila sea 34, los dos casilleros en
blanco deben sumar:
34 – (8 + 8) = 18. Y esto solo es posible cuando sumamos 9 y 9.
Lo mismo se aplica para la primera columna, luego el cuadro se completa
fácilmente.
Observamos que ambas diagonales
tienen en total 6 nueves.
Respuesta la C

17. Problema sobre cuadros mágicos
Cuadrado mágico de 3x3 y sus 8 posibles soluciones.
Completa los cuados con los números del 1al 9 de tal forma que la suma
horizontal , vertical y diagonal de 15 para que sea Cuadrado mágico.

18. Algunas recomendaciones para desarrollar cuadros mágicos que cumplen la
característica siguiente suma: vertical (columna), horizontal (fila) y diagonal
sea la mismo resultado.
1° Se ordena los números, Se ubica la mediana ose el número del centro:
Ese numero ubica en el cetro del cuadrado mágico.
2° En las esquinas si los números son consecutivos van números pares y en
los centros del cuadrado los impares.
3° Si nos dan el resultado de la suma de la columna o vertical, la fila o
horizontal y diagonal, esto se obtiene así: Se suman los números y el
resultado se divide entre 3; o al número del centro se multiplica por 3.
4° Hay 8 formas de armar un cuadrado mágico

19. Solución
1° En este caso están ordenados los números se ubica la mediana ose el número del
centro: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Ese ubica en el cetro
2° Los números suman (1+2+3+4+5+6+7+8+9) entre 3 = 15 o al número del centro se
multiplica por 3.
3° en las esquinas van números pares y en los centros números impares.
4° Hay 8 formas de armar un cuadrado mágico

20. 2. Completa un cuadrado mágico con los números 24; 6; 18, 27, 3, 12, 21, 9, 15.

21. Practica
I. cuadro mágico 3x3 completa para la suma en diaconal, horizontal y vertical,
la suma sea la misma:
a) 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11
b) 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13.
c) 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20.
II. En el esquema se muestra cuatro cuadrículas de 2x2. Escriba en los
cuadrados sombreados y en blanco, números enteros del 1 al 4 de manera
que ninguno se repita en la misma fila, columna o cuadricula. ¿Cuánto
suman los números de los cuadrados sombreados?

22. Luego la suma de los números ubicados en las casillas sombreadas es: 2 + 1+ 1+ 1 = 5
Cuadrado mágico 4x4
1° se ubica los números en esa secuencia del 1 al 16. Así
2° se sombrean las diagonales con colores diferentes
3° Esos números que no forman la diagonal se saca fuera y se pinta de otro color:
1; 2; 3; 4; 5; 6 ;7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16

23. 4° Se ubica los números de abaja hacia arriba de abajo hacia arriba quedando así

25. Situaciones deportivas
Tabla de posiciones (una sola rueda dos ruedas)
Equipos PJ PG PE PP GF GC DG PT
FRANCIA 3 2 1 0 3 1 2 7
DINAMARCA 3 1 2 0 2 1 1 5
PERU 3 1 0 2 2 2 0 3
AUSTRIA 3 0 1 2 2 5 -3 1
DONDE:
PJ: PARTIDOS JUGADOS
PG: PARTIDOS GANADOS
PE: PARTIDOS EMPATADOS
PP: PARTIDOS PERDIDOS
GF: GOLES A FAVOR
GC: GOLES EN CONTRA
PT: PUNTOS TOTALES

26. Equipos PJ PG PE PP GF GC DG PT
FRANCIA 3 2 1 0 3 1 2 7
DINAMARCA 3 1 2 0 2 1 1 5
PERU 3 1 0 2 2 2 0 3
AUSTRIA 3 0 1 2 2 5 -3 1
Total 9 9
CONCLUSIONES
 suma de goles a favor es igual a goles en contra en la tabla (3+2+2+2) = (1+1+2+5) en ambos casos da 9.
 la suma de partidos perdidos más partidos empatados más partidos ganados es igual a partidos
jugados. PJ = PG +PE +PP
3 = 2 + 1 + 0
 La diferencia de goles es igual a goles a favor menos goles en contra.
DG = GF – GC
2 = 3 – 1

27. NÚMERO DE PARTIDOS COMO MÁXIMO
UNA RUEDA DOS RUEDAS:
2 equipos: A y B
A vs B
1 partido
2 EQUIPOS: A Y B
A vs B B vs A
A: LOCAL B: LOCAL
2 partidos
3 equipos: A; B y C
A B; AC; BC
3 partidos
3 EQUIPOS: A; B y C
A vs B B vs A
A: LOCAL B: LOCAL
6 partidos
4 equipos: A, B; C; D
AB; AC; AD; BC; BD; CD
6 partidos
4 EQUIPOS: A; B; C; D
A vs B B vs A
A: LOCAL B: LOCAL
12 partidos
𝑛(𝑛−1)
2
donde n = numero de equipos n(n-1) donde n = numero de equipos

28. Problemas