Algebra lineal de la Universidad Tecnologica metropolitana

1. Pág :1
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATERIAL 4
ALGEBRA LINEAL
ESPACIOS VECTORIALES.
: DEFINICIÓN DE ESPACIO VECTORIALM
1) : Sean un cuerpo o campo y un conjuntoDEFINICIÓN Š 9Z Á
dotado de dos operaciones:
a) ADICIÓN O SUMA VECTORIAL:
Para todo se tiene que ,@ à @ − Z Ð @  @ Ñ − Z" # " #
b) MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR:
Para todo ; se tiene que .! Š !− @ − Z @ − Z
Diremos que tiene estructura de ESPACIO VECTORIALZ
SOBRE EL CUERPO si y solo si se satisfacen los siguientesŠ
axiomas:
PROPIEDAD DE CLAUSURA PARA LA SUMAAxioma 1.-
VECTORIAL:
Si . Entonces .@ ß @ − Z Ð @  @ Ñ − Z" # " #
PROPIEDAD ASOCIATIVA PARA LA SUMA VECTORIAL:Axioma 2.-
:a @ ß @ ß @ − Z Ð@  @ Ñ  @ œ @  Ð@  @ Ñ" # $ " # $ " # $
EXISTENCIA Y UNICIDAD DE NEUTRO ADITIVO:Axioma 3.-
; ! tal quea @ − Z b / − Z @  / œ /  @ œ @
EXISTENCIA Y UNICIDAD DE INVERSO ADITIVO:Axioma 4.-
; ! tal quea @ − Z b  @ − Z @  Ð  @Ñ œ Ð  @Ñ  @ œ /

2. Pág :2
PROPIEDAD CONMUTATIVA PARA LA SUMAAxioma 5.-
VECTORIAL:
:a @ ß @ − Z @  @ œ @  @" # " # # "
(Con estas cinco propiedades se dice que es grupoÐZ ß  Ñ
abeliano o conmutativo)
Axioma 6.- PROPIEDAD DE CLAUSURA PARA LA MULTIPLICACIÓN
POR UN ESCALAR:
Si ; . Entonces .! Š !− @ − Z @ − Z
Axioma 7.- PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DEL ESCALAR:
; :a − a @ ß @ − Z Ð@  @ Ñ œ @  @! Š ! ! !" # " # " #
Axioma 8.- PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DEL VECTOR:
, ; :a − a @ − Z Ð  Ñ @ œ @  @! " Š ! " ! "
Axioma 9.- PROPIEDAD ASOCIATIVA PARA LA MULTIPLICACIÓN
POR ESCALARES: , ; : ( )a − a @ − Z Ð Ñ @ œ @! " Š ! " ! "
Axioma 10.- ;a @ − Z " − À " @ œ @Š
: Si es un espacio vectorial sobre el cuerpoTEOREMA Z O Ð à Ñ‘ ‚
Entonces:
a) y! !! œ ! à − O ! − Z
b) ; y ,! @ œ ! ! − O ! @ − Z
c) ! !@ œ ! Ê Ð œ ! ” @ œ !Ñ
d) ;Ð  "Ñ @ œ  @ @ − Z
DEMOSTRACIÓN: SE DEJA DE EJERCICIO!!
MM: SUBESPACIOS VECTORIALES:
DEFINICIÓN: Sea un espacio vectorial sobre yZ O Ð à Ñ‘ ‚
sea un subconjunto de[ Á Z Þ9
Diremos que es[ SUBESPACIO ESPACIO VECTORIAL de Z Þ
si es a su vez un espacio vectorial con las misma operaciones de[
suma vectorial y multiplicación por escalar definidas para Z Þ

3. Pág :3
:OBSERVACIÓNES
a) Todo espacio vectorial tiene como subespacios vectorialesZ
triviales sobre el cuerpo a los conjuntos yOß ! Z Þ˜ ™@
b) En tenemos por subespacios vectoriales sobre el cuerpo‘ ‘#
ß
a: que es el conjunto de˜ ™ ˜ ™Ð ! ß !Ñ à à ÐB ß C Ñ − ÎC œ 7 B‘ ‘# #
rectas que pasan por el origen; con las operaciones usuales de
suma vectorial y multiplicación por escalar.
: Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo yTEOREMA Z O Ð à Ñ‘ ‚
sea un subconjunto de[ Á Z Þ9
es SUBESPACIO ESPACIO VECTORIAL de si y solo[ Z
si se verifican las siguientes propiedades de clausura o cerradura
para la suma vectorial y multiplicación por escalar.
Si , entonces3 Ñ A ß A − [ A  A − [ Þ" # " #
Si y , entonces .3 3Ñ − O A − [ A − [! !
DEMOSTRACIÓN: SE DEJA DE EJERCICIO!!
:OBSERVACIÓNES
a) Para demostrar si un determinado conjunto tiene estructura
de subespacio vectorial aplicaremos la siguiente propiedad
que resume las condiciones y del TEOREMA3 Ñ 33 Ñ
anterior
Si y , entonces .! !− O A ß A − [ A  A − [" # " #
b) Todo subespacio vectorial contiene al @/->9< -/<9 ./ Z Þ
Esta propiedad es útil en el sentido que si el @/->9< -/<9
que es único no pertenece al conjunto ; este no es[
subespacio vectorial de Z Þ

4. Pág :4
MMMÑ COMBINACIÓN LINEAL Y ESPACIO GENERADO
DEFINICIÓN: Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo y seanZ O
(escalares); (vectores). Se llama! ! !" # 8 " # 8
ß ß Þ Þ Þ ß − O @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z
COMBINACIÓN LINEAL de a cualquier arreglo de la@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z" # 8
forma siguiente: ! ! ! ! !" " # # 3 3 8 8 3 3
@  @  Þ Þ Þ  @  Þ Þ Þ  @ œ @!
3œ"
8
EJEMPLOS:
a) En ; cualquier vector de la forma es combinación‘$
Ð+ ß , ß -Ñ
lineal de los vectores , ya3 œ Ð"ß !ß !Ñ à 4 œ Ð!ß "ß !Ñ à 5 œ Ð!ß !ß "Ñ
que existen escalares tal que+ ß , ß - − ‘
Ð+ ß , ß -Ñ œ + 3  , 4  - 5 œ +Ð"ß !ß !Ñ  ,Ð!ß "ß !Ñ  -Ð!ß !ß "Ñ
b) Forme una combinación lineal en , con los vectoresY ‘ ‘Ð Ñ =/8
y ; y los escalares y respectivamente.-9=  # $
SOLUCIÓN:
La combinación lineal es: ,Ð  # =/8  $ -9=Ñ − Ð ÑY ‘ ‘
Note que la función , es la definidaÐ  # =/8  $ -9=Ñ − Ð ÑY ‘ ‘
por la fórmula: Ð  # =/8  $ -9=ÑÐBÑ œ  # =/8 ÐBÑ  $ -9=ÐBÑ
c) En ; forme una combinación lineal de los vectores‘$
,: œ Ð#ß  $ß &Ñ à ; œ Ð  #ß %ß 'Ñ à < œ Ð!ß !ß "Ñ
Sean los números y formemos la combinación linealBß CÞ D
B † Ð#ß  $ß &Ñ  C † Ð  #ß %ß 'Ñ  D † Ð!ß !ß "Ñ
DEFINICIÓN: Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo y seanZ O
(vectores).@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z" # 8
Diremos que los vectores GENERAN a ; o bién que el@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ Z" # 8
conjunto de vectores GENERA a si y solo si TODO˜ ™@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ Z" # 8
vector se puede expresar como una combinación lineal de los@ − Z
vectores ; es decir existen escalares tal@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ ß ß ÞÞÞß − O" # 8 " # 8
! ! !
que @ œ @!
3œ"
8
!3 3
DEFINICIÓN: Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo y seanZ O
(vectores).@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z" # 8

5. Pág :5
Llamaremos ESPACIO GENERADO POR LOS VECTORES8
; lo que denotaremos por@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ 1/8 @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @" # 8 " # 8
˜ ™
al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores8
; es decir:@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ 1/8 @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ œ @ − Z Î@ œ @" # 8 " # 8 3 3
˜ ™ ˜ ™!
3œ"
8
!
donde son escalares arbitrarios.!3
− O
OBSERVACIONES:
El espacio generado por los vectores , también se3Ñ @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @" # 8
denota por ¡@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @" # 8
Si son vectores que generan a33Ñ @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z 8" # 8
entonces , también generan a .Z ß @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ @ − Z Z" # 8 8"
: INDEPENDENCIA LINEAL:MMÑ
DEFINICIÓN: Sea un espacio vectorial sobre el cuerpo yZ O Ð à Ñ‘ ‚
. Diremos que los vectores son@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z" # 8 " # 8
LINEALMENTE INDEPENDIENTES si y solo si se verifica la siguienteß
propiedad : ;!
3œ"
8
! !3 3 3
@ œ ! Ê œ ! a 3 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß 8
OBSERVACIONES:
a) La propiedad anterior significa que si se forma la combinación
lineal de los vectores y se iguala a cero, es8 @ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z" # 8
decir .! ! ! !" " # # 3 3 8 8
@  @  Þ Þ Þ  @  Þ Þ Þ  @ œ !
LA ÚNICA SOLUCIÓN PARA LOS ESCALARES ! ! !" # 8
ß ß Þ Þ Þ ß
está dada por .! ! !" # 8
œ œ Þ Þ Þ œ œ !
b) De no verificarse la propiedad anterior; diremos que los vectores
son LINEALMENTE DEPENDIENTES; lo cual@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ − Z" # 8
significa que a lo menos uno de los escalares ; para algún!3
Á !
. Por lo cual; a lo menos uno de los vectores3 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß 8
se puede expresar como combinación lineal del@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @" # 8
resto.
c) También se dice que el conjunto de vectores es˜ ™@ ß @ ß ÞÞÞß @" # 8
LINEALMENTE INDEPENDIENTE o LINEALMENTE
DEPENDIENTE

6. Pág :6
OBSERVACIONES:
a) Geométricamente dos vectores en , son linealmente‘#
dependientes si uno es múltiplo del otro, es decir están en la
misma dirección o en dirección opuesta.
b) Geométricamente tres vectores en , son linealmente‘$
dependientes si y solo si estos son coplanares.
c) tiene a lo más vectores linealmente independientes.‘8
8
d) Si . Entonces el conjunto de las columnas de laE − Ð Ñ` ‘7 B 8
matriz dado por , . . . , es linealmenteE E ß E E˜ ™" # 8
independiente si y solo si el sistema tiene solamente laE B œ !
solución trivial B œ ! Þ
e) Si Entonces si y solo si las columnas (oE − Ð Ñ Þ ./> E Á !` ‘8 B 8
filas) de la matriz son linealmente independientes.E
f) Cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en8
; genera a o es generador de .‘ ‘ ‘8 8 8
EJERCICIOS
ESPACIOS VECTORIALES
1. Sea yŠ ‘ ‘ ‘œ Z œ œ ÐB ß B ß Þ Þ Þ ß B Ñ Î B − ß a 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 88 ˜ ™" # 8 3
con las operaciones usuales:
a) Suma vectorial:
ÐB ß B ß ÞÞÞß B Ñ  ÐC ß C ß ÞÞÞß C Ñ œ ÐB  C ß B  C ß ÞÞÞ ß B  C Ñ" # 8 " # 8 " " # # 8 8
b) Multiplicación por escalar:
! ! ! !ÐB ß B ß ÞÞÞß B Ñ œ Ð B ß B ß ÞÞÞß B Ñ" # 8 " # 8
DEMUESTRE QUE:
) es espacio vectorial sobre el cuerpo3 Þ‘ ‘8
) a) es espacio vectorial sobre el cuerpo33 Þ‘ ‘
b) es espacio vectorial sobre el cuerpo‘ ‘#
Þ
c) es espacio vectorial sobre el cuerpo‘ ‘$
Þ

7. Pág :7
2. Sea o yŠ ‘ ‚œ Z œ !˜ ™
DEMUESTRE QUE: es espacio vectorial sobre el cuerpo˜ ™! ÞŠ
( está formado por el único elemento vector cero)Z
3. Sea y que es el conjunto de rectasŠ ‘ ‘œ Z œ ÐB ß C Ñ − ÎC œ 7 B˜ ™#
que pasan por el origen; con las operaciones usuales de suma vectorial y
multiplicación por escalar.
DEMUESTRE QUE: es espacio vectorial sobre el cuerpoZ ÞŠ
4. Sea y . Se definen las operaciones:Š ‘ ‘œ Z œ #
SUMA VECTORIAL que denotamos por :
ÐB ß C Ñ  ÐB ß C Ñ œ Ð B  B ß C  C Ñ" " # # " # " #
MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR :
! !ÐB ß CÑ œ Ð B ß ! Ñ
Verifique si es espacio vectorial sobre .Z ‘
&. Demuestre que las rectas que NO pasan por el origen; no son espacios
vectoriales.
6. ¿ Es espacio vectorial sobre ?3Ñ ‘ ‚
¿ Es espacio vectorial sobre ?33Ñ ‘ ‚8
¿ Es espacio vectorial sobre ?333Ñ ‚ ‘
JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE !!
7. Sea el conjunto de las matrices de orden con` ‘7 B 8
Ð Ñ 7 B 8
coeficientes en el cuerpo ; dotado de las operaciones:‘
SUMA VECTORIAL:
Si ,Ð+ Ñ à Ð, Ñ − Ð Ñ3 4 3 4 7 B 8
` ‘
entonces Ð+ Ñ  Ð, Ñ œ Ð+  , Ñ3 4 3 4 3 4 3 4
MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR:
Si ; , entonces! ‘ ` ‘ ! !− Ð+ Ñ − Ð Ñ Ð+ Ñ œ Ð + Ñ3 4 7 B 8 3 4 3 4
Demuestre que el conjunto
es subespacio vectorial de .Q œ ÎB ß C − Ð Ñ
B B  C
B  C C
˜ ™Œ  ‘ ` ‘# B #
8. Sea , el conjunto de las funciones reales de variable real y elY ‘ ‘Ð Ñ
cuerpo ; dotado de las operaciones: Si ; , ,‘ ! ‘ Y ‘ ‘− 0 − Ð Ñ
entonces Ð0  1ÑÐBÑ œ 0ÐBÑ  1ÐBÑ Ð 0Ñ ÐBÑ œ Ð0 ÐBÑÑ! !

8. Pág :8
Demuestre que el conjunto J œ 0 À Ä Î 0ÐBÑ œ 0Ð  BÑ à a B −˜ ™‘ ‘ ‘
es subespacio vectorial de , .Y ‘ ‘Ð Ñ
9. Determine si el conjunto:
es subespacio vectorial de3Ñ M œ E − Ð ÑÎ E 38@/<>3,6/˜ ™` ‘# B #
con las operaciones usuales.` ‘# B #
Ð Ñ
33Ñ J œ 0 À Ä Î 0ÐBÑ œ  0Ð  BÑ à a B −˜ ™‘ ‘ ‘
es subespacio vectorial de , con las operaciones usuales.Y ‘ ‘Ð Ñ
"! 3. ) Demuestre que:
Si son subespacios vectoriales de un espacio vectorial sobre[ à [ Z" #
el cuerpo Entonces es también subespacio vectorial deO Þ [  [ Z Þ" #
) Verifique si es verdadera la siguiente proposición:33
Si son subespacios vectoriales de un espacio vectorial sobre[ à [ Z" #
el cuerpo Entonces es también subespacio vectorial deO Þ [  [ Z Þ" #
JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE!!
10. Demostrar que el conjunto (reales positivos) es un espacio vectorial‘
sobre con la suma vectorial y producto escalar definido por‘
B Š C œ BC à  B œ B! !
! ‘ ‘− ß Bà C − 
11. Sea Z œ Ð`# B # ‘Ñ con la adición habitual de matrices y se define el
producto escalar por !
! !
! !Œ  Œ 
+ , +  .
- .  ,  .
œ
Determine si es espacio vectorial sobre .Z ‘
SUBESPACIO VECTORIAL
1. Verifique si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales con las
operaciones definidas usualmente.
3Ñ W œ ÐB ß B ß B ß ÞÞÞ ß B Ñ − ÎB œ ! §˜ ™" # $ 8 "
8 8
‘ ‘
)33 W œ ÐB ß B ß B Ñ − ÎB  B  B œ " §˜ ™" # $
$ # # # $
" # $‘ ‘
)333 W œ ÐB ß B Ñ − Î$B  %B œ " §˜ ™" #
# #
" #‘ ‘
)3@ W œ ÐB ß B ß B Ñ − Î(B  B œ ! §˜ ™" # $
$ $
" #‘ ‘

9. Pág :9
# Z œ 0 Î 0 À Ä O œ Þ. Sea función real de variable real ;˜ ™‘ ‘ ‘
Consideremos los siguientes subconjuntos de Z À
3Ñ [ œ 0 Î 0 ÐB Ñ œ Ð 0ÐBÑ Ñ 33Ñ [ œ 0 Î # 0 Ð!Ñ œ 0Ð"Ñ" #
# #˜ ™ ˜ ™
333Ñ [ œ 0 Î 0 Ð  "Ñ œ ! 3@Ñ [ œ 0 Î 0 /= -98>38?+ /8$ %˜ ™ ˜ ™‘
@Ñ [ œ 0 Î 0 Ð$Ñ œ "  0 Ð  &Ñ @3Ñ [ œ 0Î0 /= ./<3@+,6/ /8& '˜ ™ ˜ ™‘
Verifique si los conjuntos dados tienen elementos.+Ñ
) Determine cual de estos conjuntos es subespacio vectorial de, Z
sobre el cuerpo ‘Þ
$ Z œ. Sea ‘ ‘#
y Definamos:O œ Þ
)3 ÐBß CÑ  Ð?ß @Ñ œ ÐB  C ß ?  @Ñ à ÐBß CÑ œ Ð B ß CÑ! !
)33 ÐBß CÑ  Ð?ß @Ñ œ ÐB  C ß !Ñ à ÐBß CÑ œ Ð B ß !Ñ! !
333Ñ ÐBß CÑ  Ð?ß @Ñ œ ÐB ? ß C @Ñ à ÐB ß CÑ œ ÐB ß C Ñ! ! !
Determine, en cada caso, si con estas operaciones es ESPACIOZ
VECTORIAL SOBRE O
% Ñ. con la adición habitual de matrices y se define elSea Z œ Ð`# B # ‘
producto escalar por !
!Œ  Œ 
+ , + ,
- . - .
œ
Determine si es espacio vectorial sobre .Z ‘
& Z. Sea el conjunto de todas las funciones que tienen valor complejo
sobre el eje real, tales que: a > − À 0Ð  >Ñ œ 0Ð>Ñ Þ‘
Demostrar que con las operaciones usuales de suma de funciones yZ
multiplicación por escalar; es un espacio vectorial sobre .‘
6. Verifique si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales con las
operaciones definidas usualmente.
)3 W œ ÐB ß B ß B ß ÞÞÞ ß B Ñ − ÎB œ B §˜ ™" # $ 8 " #
8 8
‘ ! ‘
)33 W œ ÐB ß B ß B ß ÞÞÞ ß B Ñ − ÎB − §˜ ™" # $ 8 "
8 8
‘ ™ ‘
) ,333 W œ ÐB ß B ß B B Ñ − ÎB B œ ! §˜ ™" # $ %
% %
# $‘ ‘
7. Demostrar que es un[ œ ÐB ß B ß B Ñ − ÎB  B œ B  B œ !˜ ™" # $ " #
$
# $‘
subespacio vectorial de ; con las operaciones usuales.‘3

10. Pág :10
COMBINACIÓN LINEAL Y ESPACIO GENERADO
Ejercicios resueltos:
1) Determinar si los siguientes vectores son LI o LD
˜ ™Ð "ß #ß $ Ñß Ð #ß  "ß ! Ñß Ð $ß "ß # Ñ
Solución:
Formamos la combinación lineal nula:
! " #Ð "ß #ß $ Ñ  Ð #ß  "ß ! Ñ  Ð $ß "ß # Ñ œ Ð !ß !ß ! Ñ
! " #
! " #
! #
 #  $ œ !
#   œ !
$  # œ !
sistema de ecuaciones homogeneo de solución única ! " #œ œ œ !
luego los vectores son LI. ( Linealmente independientes ).
2) Determinar si los siguientes vectores son LI o LD
˜ ™Ð "ß  "ß # Ñß Ð "ß "ß # Ñß Ð $ß  (ß 'Ñ
Solución:
Formamos la combinación lineal nula:
! " #Ð "ß  "ß # Ñ  Ð "ß "ß # Ñ  Ð $ß  (ß ' Ñ œ Ð !ß !ß ! Ñ
! " #
! " #
! " #
  $ œ !
   # œ !
#  #  ' œ !
sistema de ecuaciones homogeneo de soluciones infinitas generadas por
el vector luego los vectores son LD. ( Linealmente!
Î Ñ
Ð Ó
Ï Ò


"
"
#
&
#
dependientes ).
Como los vectores son LD , es posible expresar uno de ellos como una
combinación lineal de los otros.
En efecto, tomemos el vector y expresémoslo como unaÐ "ß "ß # Ñ

11. Pág :11
combinación lineal de ˜ ™Ð "ß  "ß # Ñß Ð $ß  (ß 'Ñ
B Ð "ß  "ß # Ñ  C Ð $ß  (ß 'Ñ œ Ð "ß "ß # Ñ
B  $C œ "
 B  (C œ "
#B  'C œ #
Î Ñ Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò Ï Ò
" $ " " $ " " $ "
 "  ( " !  % # ! #  "
# ' # ! ! ! ! ! !
µ µ
Rango igual al número de incognitas, luego tiene solución única
C œ  à B œ
" &
# #
entonces:
& "
# #
Ð "ß  "ß # Ñ  Ð $ß  (ß 'Ñ œ Ð "ß "ß # Ñ
Ejercicios propuestos:
"Ñ Determinar si los siguientes vectores son LI o LD. Si resultan L D
determinar el conjunto generador de soluciones y exprese uno de los
vectores como una combinación lineal de los otros:
a) ˜ ™Ð $ß &ß "Ñß Ð "ß #ß " Ñß Ð #ß !ß $ß Ñ
,Ñ Ð  "ß "!ß &Ñß Ð !ß !ß ! Ñß Ð $ß #ß "ј ™
-Ñ Ð"ß  #ß $ß %Ñß Ð#ß !ß &ß $Ñß Ð $ß $ß "ß "Ñß Ð "ß "ß #ß & ј ™
.Ñ Ð"ß  #ß $ß %Ñß Ð#ß !ß &ß $Ñß Ð $ß $ß "ß "Ñß Ð "ß "ß #ß & ј ™
0Ñ Ð#ß !ß $ß "Ñß Ð  "ß  #ß #ß %Ñß Ð&ß !ß !ß $Ñß Ð ")ß  #ß )ß "& ј ™
Sea el espacio vectorial vectorial de loos polinomios de grado#Ñ Z
2 sobre . Determinar siŸ >  >  "ß $>  #>  &ß $>  (‘ ˜ ™# #
es un conjunto LI, LD.

12. Pág :12
3) Determinar si los siguientes conjuntos son linealmente
independientes o linealmente dependientes.
)3 E œ ˜ ™"ß B  "ß B  #B  "ß B §# #
c# ‘B Þ
) funciones contínuas en33 G œ =/8 ÐBÑß -9= ÐBÑß " § +ß , ߘ ™  ‘# #
V
Si resultan L D, exprese uno de ellos como una combinación lineal
de los otros.
. ‘+ß ,
.%Ñ Î Bß C − §
B  (C &C
 "!C B  (C
Sea Y œ Œ  Ÿ‘ `#B#
Demostrar que es subespacio vectorial de con lasY `#B#
operaciones usuales.
. Encuentre& 3Ñ W œ W) Sea " "˜ ™ ¡Ð"ß "ß "Ñ Þ
) . Encuentre33 Ð!ß "ß  "Ñ ß Ð#ß !ß "Ñ ß Ð!ß  "ß !Ñ ÞSea W œ W# #˜ ™ ¡
) Demuestre: es subespacio vectorial de' W œ 1/8 Ð"ß "Ñ ß Ð#ß &Ñ Þ˜ ™ ‘#
(Ñ Determinar si los siguientes conjuntos de funciones reales en
definidas por las fórmulas que se indican; ‘! ß " son linealmente
independientes o linealmente dependientes.
)3 0 ÐBÑ œ ÐB  "Ñ à 0 ÐBÑ œ B  " à 0 ÐBÑ œ #B  #B  $" # $
# # #
)33 0 ÐBÑ œ à 0 ÐBÑ œ B
"
B  #
" #
)Ñ Sea el conjunto E œ Ð"ß !ß "Ñß Ð3ß "ß !Ñß Ð3ß #ß "  3Ñ § Þ˜ ™ ‚$
) Expresar de ser posible; los vectores3 ? œ Ð"ß #ß $Ñ C
como una combinación lineal de los vectores deA œ Ð3ß 3ß 3Ñ EÞ
) Determine si el conjunto es linealmente independiente en33 E
‚ ‚$
Ð Ñ Þ
) Determine si el conjunto es linealmente independiente en333 E
‚ ‘$
Ð Ñ Þ
*Ñ Determinar el valor de para que los tres vectores- Ð$ß "ß %ß 'Ñß
sean linealmente dependientes.Ð"ß "ß %ß %Ñß Ð"ß !ß  %ß Ñ-

13. Pág :13
"!Ñ Sea el conjunto de las matrices de orden con` ‘# B #
Ð Ñ # B #
coeficientes en el cuerpo Determine si el conjunto de matrices‘ Þ
es L . I .˜ ™” • ” • ” • ” •
"  " " " "  " " "
 " " " " " "  " "
à à à
11 Dados los siguientes conjuntos, determine todos los posiblesÑ
subconjuntos linealmente independientes.
)3 ˜ ™Ð"ß !ß  "Ñß Ð!ß "ß "Ñß Ð"ß "ß "Ñß Ð#ß #ß " § Þ‘$
)33 =/8 ÐBÑß -9= ÐBÑß -9=Ð#BÑ § +ß ,˜ ™  ‘# #
V
)333 E œ ˜ ™Ð"ß !ß "Ñß Ð"ß  "ß #Ñß Ð$ß #ß "Ñ § Þ‘$
)3@ F œ  ŸŒ  Œ  Œ  Œ 
$ % &  " ' % # "
" $ $ " " ! $  #
ß ß ß § `#B#
)@ G œ ˜ ™  ‘B / ß =/8ÐBÑß / -9=ÐBÑß " § M ßB B
V funciones contínuas
en un intervalo M Þ