Introducción a la electrónica digital

MATERIAL TEÓRICO - 3° CORTE

Introducción a la electrónica digital

INTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA DIGITAL
1. INTRODUCCIÓN. SEÑALES ANALÓGICAS Y DIGITALES.
Podemos dividir la electrónica en dos grandes
campos: la electrónica analógica y la electrónica
digital, según el tipo de señales que utilice.
Llamamos señal, a la variación de una magnitud
que permite transmitir información. Las señales
pueden ser de dos tipos:
Señales analógicas: son las señales que varían
de forma continua en el tiempo entre dos valores
extremos, pudiendo adoptar cualesquiera de los
infinitos valores intermedios entre los anteriores.

Se observa que la tensión varía de forma continua y toma todos los valores intermedios entre los valores máximo y mínimo. Se trata de
una señal analógica.
b) Colocamos la LDR en un habitáculo cerrado
(sin luz natural) junto a un foco luminoso. A
continuación encendemos y apagamos el foco
varias veces según nos parezca. La variación
de la tensión en el punto S adoptará ahora
una forma bien distinta:
VS
6V

Señales digitales: son las señales que pueden
adoptar sólo algunos valores concretos.

Ejemplo: Supongamos un circuito formado por
una LDR, como el de la figura. Consideramos
como señal de salida del circuito la tensión en el
punto S.
LDR
6V

S

Vamos a exponer la LDR a dos situaciones diferentes:
a) Colocamos la LDR al aire libre, expuesta a luz
natural. Esta luz irá variando a lo largo del
día, y tendrá variaciones debido, por ejemplo,
a la ocultación temporal del sol por el paso de
alguna nube. Si representamos en un gráfico
la variación de la tensión en el punto S (con
respecto a masa) a lo largo del tiempo, obtendremos una curva similar a la de la figura:
VS
6V

0V

t

0V

t

Se observa que la tensión varía de forma discontinua, adoptando únicamente dos valores
concretos, un valor bajo cuando el foco está
apagado y un valor alto cuando el foco está
encendido. Se trata de una señal digital.
Hoy en día, con la creciente complejidad de los
procesos industriales y de los elementos necesarios para su control, los grandes volúmenes de
información que es necesario tratar, la revolución
de las comunicaciones, etc, se hacen imprescindibles métodos de control electrónico cada vez
más sofisticados. En este contexto, las señales
digitales presentan importantes ventajas frente a las analógicas, como son su mayor inmunidad a las interferencias, mayor simplicidad de
tratamiento, economía de circuitos, etc.
En electrónica digital se utilizan señales que
pueden adoptar únicamente dos valores bien
diferenciados. Por ello, estas señales se denominan señales binarias.
Los circuitos digitales estarán compuestos por
dispositivos capaces de distinguir y de generar
señales binarias; como veremos, los dispositivos
electrónicos digitales más básicos, y a partir de
los cuales están constituidos todos los demás,
se denominan puertas lógicas.

CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL - C.U.N - DOCENTE: EULALIO AGUILAR PADILLA

1


2. SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO.
El sistema de numeración de la vida cotidiana es
el sistema decimal, que utiliza diez signos (de 0
a 9). Codificando adecuadamente estos diez
signos podemos representar cualquier número,
realizar operaciones con ellos y, en definitiva,
representar y transmitir cualquier tipo de información.
Los circuitos digitales utilizan para su trabajo el
sistema de numeración binario, que utiliza únicamente dos signos, el 0 y el 1. A cada uno de
estos símbolos se le denomina bit.
El sistema decimal es de base 10, es decir, un
número equivale a un polinomio o suma de términos formados por potencias de 10, multiplicadas cada una de ellas por un factor, que es uno
de los signos del sistema de numeración. Por
ejemplo:
4508 = 4 · 103 + 5 · 102 + 0 · 101 + 8 · 100
El sistema binario es de base 2, es decir, un número equivale a un polinomio o suma de términos formados por potencias de 2, multiplicadas
cada una de ellas por un factor, que es uno de
los signos del sistema (0 ó 1). Por ejemplo:
110101 = 1·25 + 1·24 + 0·23 + 1·22 + 0 ·21 + 1·20

2.1. Paso de sistema binario a decimal
y viceversa.
Para pasar un número en sistema binario a su
equivalente en sistema decimal se expresa el
número binario por su polinomio equivalente de
potencias de dos y se suman sus términos.
Ejemplo: Pasar 110101 a decimal
110101 = 1·25 + 1·24 + 0·23 + 1·22 + 0 ·21 + 0·20
= 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 53
Para pasar un número en sistema decimal a su
equivalente binario se realizan sucesivas divisiones por dos hasta que el último cociente sea 1.
El número binario estará formado por un 1 seguido de los restos ordenados de las sucesivas
divisiones. El orden de colocación viene determinado por la siguiente regla: “el resto de la primera división corresponde al bit menos significativo
(el situado más a la derecha)”.

Ejemplo: Pasar 26 a binario
División

Cociente Resto

26 : 2

13

0

13 : 2

6

1

6:2

3

0

3:2

1

1
1 1 0 1 0

2.2. Otros códigos binarios.
El código que hemos visto se denomina código
binario natural, pero existen otros códigos binarios.
Uno de los más utilizados es el código BCD
(Decimal Codificado en Binario). Para representar un número decimal en BCD, se representa
por separado cada una de sus cifras en código
binario natural. El número de bits necesarios
para representar cada cifra es de cuatro.
Decimal

BCD

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001

Ejemplo: Representar 348 en BCD
348 = 0011 0100 1000
El código BCD que hemos descrito se denomina
BCD natural, existen otros códigos BCD pero
que no veremos.

3. EL ÁLGEBRA DE BOOLE.
Como hemos dicho, los circuitos digitales operan
con señales binarias, de forma que sólo distinguen entre dos valores de tensión: nivel alto y
nivel bajo. Los niveles de tensión dependerán de
la tecnología utilizada. Por ejemplo, con los dispositivos de tecnología TTL, el nivel alto es 5 V y


2


el nivel bajo 0 V. Para la codificación binaria de
las señales, al nivel alto se le asigna el 1 y al
nivel alto el 0 (aunque puede ser al contrario).
Ahora bien, los circuitos digitales deben realizar
a menudo operaciones de gran complejidad, de
forma que el diseño del circuito no es simple. Es
necesaria una herramienta matemática útil para
abordar el diseño de estos circuitos. Dicha
herramienta es el álgebra de Boole.
El álgebra de Boole es aplicable a variables que
sólo admiten dos valores posibles, que se designan por 0 y 1. Estos símbolos no representan
números, sino dos estados diferentes de un dispositivo. Por ejemplo, una lámpara puede estar
encendida (1) o apagada (0), un interruptor o un
pulsador pueden estar cerrados (1) o abiertos
(0).

3.1. Función lógica y tabla de verdad.
Llamamos función lógica a toda variable binaria
cuyo valor depende de una expresión matemática formada por otras variables binarias relacionadas entre sí por las operaciones + (más) y ·
(por). A la función lógica se le denomina variable
dependiente y a las variables que forman la expresión matemática se les denomina variables
independientes.
Ejemplo: la función S = a + b·c
Esta expresión se interpreta como “la variable S
vale 1 cuando la variable a vale 1 o las variables
b y c valen 1”. S es la variable dependiente y a,
b y c son las variables independientes.
Podemos verlo más fácilmente con una analogía
eléctrica. Supongamos el siguiente circuito:
a
S
b

c

cerrado (1). Las variables “b” y “c” se definen
igual que la “a”.
En efecto, podemos observar que la lámpara
estará encendida (S = 1) cuando “a” esté cerrado
(a = 1) o bien “b” y “c” estén cerrados simultáneamente (b = 1 y c = 1).
Las funciones lógicas se representan mediante
las llamadas tablas de verdad, en las cuales se
indican los valores que adopta la función lógica
ante todas y cada una de las combinaciones de
valores de las variables independientes. Si tenemos n variables independientes, tendremos 2n
combinaciones posibles.
La tabla de verdad de la función S = a + b·c es:
a
0
0
0
0
1
1
1
1

b
0
0
1
1
0
0
1
1

c
0
1
0
1
0
1
0
1

S
0
0
0
1
1
1
1
1

La tabla tiene dos partes, las columnas de la
izquierda corresponden a las variables independientes o variables de entrada. La columna de la
derecha corresponde a la variable dependiente o
variable de salida.
Cada fila de la tabla representa una combinación
posible de las variables de entrada, y el correspondiente valor que adopta la variable de salida.
Con “n” variables de entrada pueden darse 2n
combinaciones diferentes.

3.2. Las operaciones básicas del álgebra de Boole.
Se definen tres operaciones básicas: la suma
lógica, el producto lógico y la complementación
(o negación).
• SUMA LÓGICA

Definimos la función S como el estado de la lámpara: encendido (1) o apagado (0). La variable
“a” es el estado del interruptor “a”: abierto (0) o

Se representa por el signo +. Si tenemos dos
variables de entrada a y b, su suma lógica se
representa por:
S= a+b


3


“la suma lógica vale 1 cuando alguna de las variables de entrada vale 1”.

El circuito eléctrico equivalente es:
a

S

b

Para dos variables, su tabla de verdad es:
a
0
0
1
1

b
0
1
0
1

S
0
1
1
1

a
S
b

Los circuitos electrónicos que realizan esta operación lógica se denominan puertas lógicas
AND. El símbolo que se emplea depende de la
norma empleada:
a
S=a·b
Norma ASA
b
a
b

Norma IEC
Los circuitos electrónicos que realizan esta operación lógica se denominan puertas lógicas OR.
El símbolo que se emplea puede ser de dos tipos
dependiendo de las normas que se empleen.
a

Norma ASA

S=a+b

b

≥1

S=a+b

Se aplica a una sola variable de entrada. Se representa colocando un guión encima del nombre
de la variable. Si ésta es “a” por ejemplo, su
complementación se representa por “ a ” (se lee
a negada).

S= a·b

a

Si a = 0 entonces S = 1, si a = 1 entonces S = 0.
Su tabla de verdad es:
a
0
1

• PRODUCTO LÓGICO
Se representa por el signo ·. Si tenemos dos
variables de entrada a y b, su producto lógico se
representa por:

S=a·b

COMPLEMENTACIÓN O NEGACIÓN

S=

a
b

Norma IEC

•

&

S
1
0

S

a

“el producto lógico vale 1 cuando todas las variables de entrada valen 1”.
Para dos variables, su tabla de verdad es:
a
0
0
1
1

b
0
1
0
1

S
0
0
0
1

a

El contacto “ a ” es complementario del “a” de
forma que cuando éste último está abierto el
primero está cerrado y viceversa.


4


El circuito electrónico que realiza la operación
lógica de complementación se denomina inversor o puerta NOT. Los símbolos empleados son:

Norma IEC

S=a

a

Norma ASA

a

1

3.4. Otras puertas lógicas.
Aparte de las puertas anteriores, que realizan las
operaciones básicas del álgebra de Boole, existen otras puertas que realizan funciones lógicas especiales porque resultan de la combinación de dos o más funciones simples. Estas
puertas son las siguientes:

S=a
• Puerta NOR
Realiza la suma lógica negada (Función NO OR,
o abreviadamente función NOR).

3.3. Propiedades del álgebra de Boole.

La expresión matemática para dos variables es:

Estas propiedades y teoremas son muy importantes para simplificar las funciones lógicas.

S= a + b
La tabla de verdad de la función NOR es:

a +1 =1

a ·1 = a

a +0=a

a·0 =0

a +a =a

a · a =a

a + a =1

a ·a =0

a =a
Propiedad conmutativa:
a+b=b+a

a·b=b·a

a
0
0
1
1

b
0
1
0
1

Su símbolo, como antes, depende de la norma:
a

Norma ASA

(a·b)·c = a·(b·c)

Propiedad distributiva:

S=a+b

b

Propiedad asociativa:
(a+b)+c = a+(b+c)

S
1
0
0
0

a

Norma IEC

≥1

b

S=a+b

a · (b + c) = a · b + a · c
a + (b · c) = (a + b) · (a + c)

• Puerta NAND

Teoremas de absorción

Realiza el producto lógico negado (Función NO
AND, o abreviadamente función NAND).

a + (a · b) = a

La expresión matemática para dos variables es:

a · (a + b) = a

a +a· b =a + b
a · (a + b) = a · b
Teoremas de Morgan

a + b + ...+ z = a · b · .....· z
a · b · ....· z = a + b + .....+ z

S= a · b
La tabla de verdad de la función NAND es:
a
0
0
1
1

b
0
1
0
1

S
1
1
1
0


5


Su símbolo, como antes, depende de la norma:
a

Norma ASA

S=a·b

b
a
b

Norma IEC

&

S=a·b

Norma ASA

También llamada puerta EXOR. Sólo existe para
dos entradas. Presenta a su salida el valor lógico
1 cuando las variables de entrada presentan
valores diferentes, y presenta el valor lógico 0
cuando losl valores de las variables de entrada
coinciden. Se representa por:
S=a⊕b
S = a·b+a·b

La tabla de verdad de la función EXOR es:
a
0
0
1
1

b
0
1
0
1

S
0
1
1
0

Norma IEC

a

S=a⊕b

b
a
b

=1

S=a⊕b

• Puerta NOR EXCLUSIVA
También llamada puerta EXNOR. Sólo existe
para dos variables. Presenta a su salida el valor
lógico 1 cuando los valores de las dos variables
de entrada coinciden, y presenta el valor lógico 0
cuando los valores de las variables de entrada
son diferentes. Se representa por:
S=a⊕b
y equivale a:

b
0
1
0
1

S
1
0
0
1

Norma IEC

a

S=a⊕b

b
a
b

=1

S=a⊕b

3.5. Circuitos integrados comerciales
con puertas lógicas de tecnología TTL.
Los circuitos integrados de puertas lógicas más
populares son los de la serie 74LSXX, fabricados
con tecnología TTL. Son circuitos de 14 patillas
que se alimentan a + 5 V. La patilla 7 es la que
se conecta a masa (0 V) y la patilla 14 la que se
conecta a 5 V. Las restantes patillas son las entradas y salidas de las puertas.
Para algunas funciones lógicas existen puertas
de más de dos entradas (3, 4 e incluso 8 entradas).

Sus símbolos son:
Norma ASA

a
0
0
1
1

Sus símbolos son:

• Puerta OR EXCLUSIVA

y equivale a:

La tabla de verdad de la función EXNOR es:

S = a·b+a·b

Función C. integrados
OR
74LS32
74LS08
AND
74LS11
74LS21
NOT
74LS04
74LS02
NOR
74LS27
74LS260
74LS00
74LS10
NAND
74LS20
74LS30
EXOR
74LS86
EXNOR
74LS266

Nº puertas

Nº entradas

4
4
3
2
6
4
3
2
4
3
2
1
4
4

2
2
3
4
1
2
3
4
2
3
4
8
2
2

Existen también circuitos de puertas lógicas de
tecnología CMOS, que son de menor consumo
que los de tecnología TTL y se pueden alimentar
a una tensión de entre 3 y 18 V.


6


4. DISEÑO DE CIRCUITOS DE PUERTAS
LÓGICAS.
El método más simple, cuando el número de
variables de entrada no es grande, consiste en
obtener la tabla de verdad de la función lógica a
partir de las condiciones físicas de funcionamiento del circuito que quiero diseñar.
Después obtendremos la función lógica a partir
de dicha tabla de verdad y por último se simplifica esta función lógica.
Ejemplo 1: Disponemos de tres finales de carrera, “a” “b” y “c” para el gobierno de tres motores,
M1, M2 y M3, según las siguientes condiciones:
– No estando accionado ningún final de carrera,
permanecerán parados los tres motores.
– Estando pulsado sólo “a” debe girar M1.
– Estando pulsado sólo “b” debe girar M2.
– Estando pulsado sólo “c” debe girar M3.
– Accionando dos finales de carrera cualesquiera, girarán los tres motores.
– Mientras se encuentren accionados los tres
finales de carrera, no deberá girar ningún motor.
La tabla de verdad del circuito de control del sistema es:
a
0
0
0
0
1
1
1
1

b
0
0
1
1
0
0
1
1

c
0
1
0
1
0
1
0
1

M1
0
0
0
1
1
1
1
0

M2
0
0
1
1
0
1
1
0

M3
0
1
0
1
0
1
1
0

Términos de indiferencia
Hasta ahora hemos supuesto que cada combinación de entradas a un circuito lógico ha de dar
una salida o bien 0 o bien 1. Sin embargo, a veces sucede que algunas de dichas combinaciones de entrada no podrán darse físicamente debido a las características del sistema que se pretende controlar con el circuito lógico.
Pensemos, por ejemplo, en el circuito para controlar el movimiento de un ascensor, y que algunas de las variables de entrada son finales de

carrera que detectan la planta el edificio en la
que se encuentra el ascensor. Resulta evidente
que no podrán estar activados al mismo tiempo
el final de carrera de la 1ª planta y el de la 3ª.
A estos términos se les llama términos de indiferencia, y da lo mismo que la salida del circuito
lógico sea 0 ó 1, ya que de hecho no se va a dar
este caso (evidentemente salvo averías). Estos
términos se representan mediante una “x” o un
guión “-“ en la tabla de verdad, y, como veremos
luego, pueden ser bastante interesantes de cara
a simplificar el circuito lógico.
Ejemplo 2: Sea un sencillo montacargas que se
mueve entre dos plantas, que llamaremos “baja”
y “alta”. Dispone de dos interruptores, “s” y “b”
para ordenarle que suba o baje respectivamente,
que ofrecen un nivel lógico 1 cuando se accionan. Además dispone de dos finales de carrera,
uno en la planta baja, “FCb” y otro en la planta
alta “Fca” que se activan, dando lugar a un nivel
lógico 1, cuando el montacargas se posiciona
justamente en su planta respectiva. El circuito
ofrecerá dos salidas, una, llamada “Ms”que al
activarse con un valor lógico 1 hará que se ponga en marcha un motor que hará que el montacargas suba, y otra, llamada “Mb” que al activarse con un valor lógico 1 hará que el motor gire
en sentido contrario y el montacargas baje.
Las condiciones de funcionamiento son:
– Si se activa el interruptor “s” y el montacargas
no está en la planta alta, el montacargas
sube.
– Si se activa el interruptor “b” y el montacargas
no está en la planta baja, el montacargas baja.
– El montacargas estará parado tanto si no están activos ni “s” ni “b” como si lo están ambos simultáneamente.
Tenemos un sistema con cuatro variables de
entrada (“s”, “b”, “FCb”, “Fca”) y dos variables de
salida (“Ms” y “Mb”), cada una de las cuales tendrá su función lógica.
Con cuatro variables de entrada pueden darse 24
= 16 combinaciones diferentes, pero tendremos
en cuenta que, salvo averías, las señales “FCb”
y “Fca” no pueden estar activas simultáneamen-


7


te, por lo que la salida en estos casos es indiferente. La tabla de verdad será:
FCb
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1

FCa
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1

s
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1

b
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1

Ms
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
x
x
x
x

Mb
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
x
x
x
x

4.1. Obtención de la función lógica a
partir de la tabla de verdad.
Para obtener la función lógica se suman todos
los productos lógicos correspondientes a las
combinaciones que dan salida 1, asignando al
valor 1 la variable en estado normal y al valor 0
la variable en estado complementada.
Ejemplo 1: veamos la función lógica correspondiente a cada uno de los motores del ejemplo 1
anterior:
M1 = a · b · c + a · b · c + a · b · c + a · b · c
M2 = a · b · c + a · b · c + a · b · c + a · b · c
M3 = a · b · c + a · b · c + a · b · c + a · b · c
Ejemplo 2: veamos ahora las funciones lógicas
correspondientes a las salidas Ms y Mb del
ejemplo 2 anterior:

menos espacio y aumentar la fiabilidad del circuito.
Normalmente, lo que se hace es intentar obtener
una función lógica equivalente a la anterior, con
el menor número de términos posible y cada
término con el menor número de variables posible.
Existen diversos métodos. Veamos dos de ellos:

Simplificación por el método algebraico
Consiste en utilizar las propiedades y teoremas
del álgebra de Boole que hemos visto para agrupar y simplificar los términos de la función lógica.
No es un método sistemático y no resulta muy
útil cuando la función es compleja. Además,
tampoco tenemos garantía de que el resultado
obtenido sea la expresión mínima.
Ejemplo 1: Vamos a simplificar la función lógica
correspondiente al motor M1 del ejemplo anterior:
M1 = a · b · c + a · b · c + a · b · c + a · b · c
Utilizo la propiedad a = a + a para repetir el término:

a ·b·c
O sea, no altero nada porque yo añada un término que ya exista de cara a usarlo en dos simplificaciones. Queda:
M1 = a · b · c + a · b · c + a · b · c + a · b · c + a · b · c
Utilizo que:

a · b · c + a · b · c = a · b · ( c + c) = a · b · 1 = a · b
Igualmente:

a · b · c + a · b · c = a · c · ( b + b) = a · c ·1 = a · c
Me queda por tanto:
M1 = a · b · c + a · b + a · c
Nota: haciendo lo mismo para M2 y M3 sale:

Ms = FCb · FCa · s · b + FCb · FCa · s · b

M2 = a · b · c + a · b + b · c

Mb = FCb · FCa · s · b + FCb · FCa · s · b

M3 = a · b · c + a · c + b · c

4.2. Simplificación de funciones lógicas.
El diseñador debe intentar simplificar lo más posible la función lógica obtenida a partir de la tabla
de verdad, con objeto de reducir el coste, ocupar

Ejemplo 2: Vamos a simplificar la función lógica
correspondiente a Ms del ejemplo 2 anterior:
Ms = FCb · FCa · s · b + FCb · FCa · s · b
Observamos que las variables:

FCa · s · b


8


son comunes a los dos términos, por lo que podemos sacar factor común; nos queda:
Ms = FCa · s · b · (FCb + FCb)

cd

ab

00

01

11

10

00

Ahora aplico la propiedad de que una variable
sumada con su complementaria es igual a 1.

(FCb + FCb) = 1

01
11

Luego me queda, definitivamente:
10

Ms = FCa · s · b · 1 = FCa · s · b

Método gráfico de Karnaugh
A diferencia del método anterior, el método de
Karnaugh asegura obtener la expresión irreducible mínima de una función lógica.
Antes de exponer el método, recordemos la propiedad distributiva aplicada a términos que sean
adyacentes, entendiendo por términos adyacentes aquellos que sólo difieren en el estado de
una de sus variables, como, por ejemplo:

a ·b·c·d y a ·b·c·d

o bien

a ·b·c y a ·b·c
Por aplicación de dicha propiedad, observamos
que la suma de dos términos adyacentes queda
reducida a un único término al que le falta la
variable cuyo estado difería en ambos términos
originales. Así, en los ejemplos anteriores:

a · b · c · d + a · b · c · d = a · b · (c + c) · d = a · b · d
a · b · c + a · b · c = a · b · (c + c) = a · b
El fundamento del método de Karnaugh consiste
en reducir a un solo término grupos de 2, 4, 8,
....términos adyacentes.
Para aplicar el método, a partir de la tabla de
verdad se construye otra tabla llamada tabla de
karnaugh, cuyo número de casillas es el mismo
que tiene la tabla de verdad, que como sabemos
depende del número de variables de entrada que
tenga la función que se quiere simplificar. Así,
para n variables tendrá 2n casillas.
La forma de las tablas para 2, 3 y 4 variables es:
b
0
1

a 0

1

ab
c
0
1

00

01

11

10

Es importante establecer correctamente el orden
de numeración de las casillas. Obsérvese que
están numeradas de forma que dos casillas contiguas corresponden a términos adyacentes, es
decir, entre dos casillas contiguas, sólo una de
las variables cambia de valor.
Las relaciones de adyacencia en las tablas de
Karnaugh son las siguientes:
– En la tabla de dos variables son adyacentes
las casillas contiguas (un lado común).
– En la tabla de tres variables son adyacentes
tanto las casillas contiguas como las casillas
de la primera y última columna (es como si la
tabla fuera el desarrollo de un cilindro).
– En la tabla de cuatro variables son adyacentes, además de las anteriores, las de la fila
superior con las de la fila inferior (siendo de la
misma columna).
Veamos el procedimiento del método de Karnaugh:
1.- Desde la tabla de verdad, se trasladan a la
tabla de Karnaugh los valores que adopta la variable de salida cuya función lógica se quiere
simplificar.
2.- Agrupamientos de “1”. Para que la función
lógica quede lo más reducida posible nos conviene realizar el mínimo de agrupamientos de “1”
y con el mayor número de casillas posible. Procedemos de la siguiente forma:
– Se toman todos los “1” que no se pueden
agrupar con ningún otro.
– Se forman los grupos de dos “1” que no pueden formar un grupo de cuatro.
– Se forman los grupos de cuatro “1” que no
pueden formar un grupo de ocho.


9


Al hacer los agrupamientos no hay ningún problema en que una casilla pertenezca a más de
un agrupamiento simultáneamente.
Los agrupamientos conseguidos y los “1” aislados serán los términos que expresarán la función
lógica en forma irreducible.
Podemos observar que agrupando 2n “1” adyacentes, eliminamos n variables en el término que
representa al agrupamiento. En los “1” aislados
no se elimina ninguna variable.
La mejor forma de entender el método es aplicarlo sobre algunos ejemplos.
Ejemplo 1: Sea el caso ya visto en un ejemplo
anterior de los tres motores gobernados por tres
finales de carrera, cuya tabla de verdad era:
a
0
0
0
0
1
1
1
1

b
0
0
1
1
0
0
1
1

c
0
1
0
1
0
1
0
1

M1
0
0
0
1
1
1
1
0

M2
0
0
1
1
0
1
1
0

M3
0
1
0
1
0
1
1
0

Como tenemos tres variables de entrada, usamos la tabla de Karnaugh de tres variables.

1

0

a·b·c

Las casillas del agrupamiento de dos “1” de la
última columna tienen en común que a = 1 y b =
0; ahora es c la que no coincide, lo que indica
que se elimina. Queda: a · b
M1 = a · b · c + a · b + a · c

En definitiva:

La simplificación de la función del motor M2 es:
ab
00
c
0
0

01

10

1

0

1

0

1

11

1

0

1

a·b

a·b·c

b·c

Queda: M2 = a · b · c + a · b + b · c
Para el motor M3 tenemos:
ab
00
c
0
0
1

1

01

11

10

0

1

0

1

0

1

a·c

Empezamos con el motor M1:
ab
00
c
0
0

sin embargo, b no coincide. Esto indica que b es
la variable que se puede eliminar. Queda: a · c

b·c

a·b·c

01

11

10

Queda: M3 = a · b · c + a · c + b · c

0

1

1

Ejemplo 2: Sea un sistema cuya tabla de verdad
es la siguiente:

1

0

1

a·c

a·b

El “1” aislado no permite reducir variables. Se
observa que corresponde a los valores a = 0, b =
1 y c = 1. Para expresar este término de forma
algebraica se asigna estado normal a las variables que valen 1 y estado complementario a las
variables que valen 0. Por ello es: a · b · c
Las casillas del agrupamiento de dos “1” de la
fila superior tienen en común que a = 1 y c = 0;

a
0
0
0
0
1
1
1
1

b
0
0
1
1
0
0
1
1

c
0
1
0
1
0
1
0
1

S
1
0
1
1
0
0
x
x

Obsérvese que hay dos combinaciones de entradas cuya salida es indiferente. Esto es debido
a que, por las características físicas del sistema
que se quiere controlar, las variables a y b no


10


pueden estar activas simultáneamente (recordar
el ejemplo del montacargas que no puede estar
en dos plantas al mismo tiempo).

1

0

10

1

1

x

0

a·c·d

01

0

1

x

0

11

10

11

0

0

x

1

x

0

10

0

1

x

0

1

x

0

b·c

0

b·d

4.3. Realización del esquema del circuito a partir de su función lógica.

b

Hemos tomado las dos casillas de términos indiferentes como “1” ya que de esta forma puedo
formar un agrupamiento de cuatro casillas, que
es más conveniente que uno de dos casillas.
Me queda, por tanto: S = a · c + b

c
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1

d
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1

Una vez que tenemos la función lógica ya simplificada, procedemos a implementarla con puertas
lógicas. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo: S = a · c + b (del ejemplo 2 anterior)
a

Ejemplo 3: Sea el sistema cuya tabla de verdad
se da a continuación:
b
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1

11

01

a·c

a
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1

01

00

Vamos a simplificar la función lógica por el método de Karnaugh.
ab
00
c
0
1

ab

00

cd

S
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
x
x
x
x

1
b
c
1

≥1

S

&
Sin embargo, podemos tener en cuenta que según uno de los teoremas de Morgan

a·c = a +c
con lo que queda mucho más simple usando una
puerta NOR.
S = (a + c) + b
a
b
c

Vamos a simplificar por el método de Karnaugh:
Tras realizar los agrupamientos que se indican
en la tabla de karnaugh siguiente, nos queda:
S = a·c·d + b·c + b·d

≥1

S

≥1


11


5. LA CONEXIÓN DE LA SALIDA DEL
CIRCUITO LÓGICO A OTROS CIRCUITOS.

Ejemplo: (función del ejemplo 3 anterior)
S = a·c·d + b·c + b·d
a

b

c

d

1

1

1

&
≥1

&

S

&

4.4. Implementación de puertas lógicas con puertas NAND y NOR.
De cara a la realización física del circuito electrónico con puertas lógicas, puede resultar interesante tener en cuenta que cualquier puerta
lógica se puede construir con puertas NAND o
con puertas NOR. Por ello a estas puertas, se
les llama puertas universales.
Esto es interesante, primero porque el coste de
los circuitos con puertas NAND es más bajo que
con otras puertas, y segundo, porque si necesitamos para completar el diseño una sola puerta
de cualquier tipo, no merece la pena colocar un
nuevo circuito integrado, desperdiciando el resto
de puertas que contenga, cuando puede que nos
sobren puertas NAND o NOR en otro integrado.
En la tabla se muestra la forma de realizar las
funciones básicas con puertas NAND y NOR.
Función

Con puertas NAND

≥1

&

1

&

Con puertas NOR

&

&

≥1

Por los circuitos constituidos por componentes
electrónicos digitales circulan intensidades de
corriente muy pequeñas. De hecho, aunque depende del tipo de tecnología, la salida de una
puerta lógica no puede dar más de allá de unos
pocos mA de corriente. Concretamente, con la
tecnología LS TTL, que es una de las más habituales, la corriente de salida es de 8 mA, y en
tecnología CMOS, también bastante utilizada, es
aún menor, de unos 2 mA.
Todo lo anterior nos indica que nosotros, en ningún caso podemos conectar a la salida de un
circuito lógico sin más, el receptor que queramos
controlar, como puede ser un motor, una lámpara o un relé, ya que todos estos elementos consumen una corriente muy superior a la que el
circuito lógico puede dar.
La forma más sencilla de resolver este problema
es que la salida del circuito lógico se conecte a
la base de un transistor o de un par Darlington,
interponiendo una resistencia adecuada para
limitar la salida de corriente. Para la conexión del
receptor que queramos controlar tenemos dos
posibilidades:
Vcc

a) Si el receptor requiere una pequeña
tensión continua y su
consumo de corriente
es bajo, se puede Circuito
conectar directamenlógico
te al colector del transistor (por ejemplo,
un led o un zumbador).

5K6

b) Si el receptor requiere una tensión elevada o
tiene mayor consumo, como pueden ser lámparas de incandescencia, motores, etc, es conveniente conectar la bobina de excitación de un
relé al colector del transistor y que sean los contactos del relé los que activen el receptor.
Vcc

≥1

V

≥1

≥1

&
&
&

≥1

≥1

Circuito
lógico

5K6

M


12


ACTIVIDADES
A.1. Transformar los siguientes números dados
en código binario natural a sistema decimal.

B.4.

a

b
L

a) 1100110 b) 010001 c) 1101 d) 1001101

c

d

A.2. Transformar los siguientes números decimales a código binario natural.
a) 125 b) 121 c) 88 d) 33 e) 63 f) 65 g) 110
A.3. Expresar los siguientes números decimales
en código BCD.
a) 312

b) 401 c) 290

d) 1029

e) 17

B.5.

a

L1

f) 82
a

A.4. Expresar los siguientes números en código
BCD en sistema decimal.
a) 1000 0110 0001 b) 0011 1001 c) 0110 0101

a
L2

B. Elaborar la tabla de verdad y la función lógica
de los siguientes circuitos.
a

B.1.

b

b

b
L
c

C. Elaborar la tabla de verdad correspondiente a
las siguientes funciones lógicas.
C.1
a

C.2
C.3

L
a

b

S3 = a + b·c · c

C.4

b

S2 = a · b + c
S4 = (a ·b + c) · ( d + c)

C.5

B.2.

S1 = a + b

S5 = [(a + 1) · b ] + c

D. Elaborar un esquema eléctrico a base de pulsadores y lámparas que se corresponda con
cada una de las funciones lógicas siguientes

B.3.
a

D.1

b
c
d

L

L1 = (a + b) · c

D.2

L2 = a · b + c

D.3

L3 = [(a + 1) · b ] + c

D.4

L4 = (a ·b + c) · (d + c)

E.1. Elaborar la tabla de verdad del sistema de
control de un motor controlado por tres pulsado-


13


res a, b y c que cumpla las siguientes condiciones de funcionamiento:
– Si se pulsan los tres pulsadores el motor se
activa.
– Si se pulsan dos pulsadores cualesquiera, el
motor se activa pero además se enciende una
lámpara indicadora de peligro.
– Si sólo se pulsa un pulsador cualquiera, el
motor no se activa, pero sí se enciende la
lámpara indicadora de peligro.
– Si no se pulsa ningún pulsador, ni el motor ni
la lámpara se activan.

F.1

F.2

E.2. Elaborar la tabla de verdad de un circuito
constituido por tres pulsadores, a, b y c, y una
lámpara L que se encienda bien cuando se pulsan los tres pulsadores a la vez, o bien cuando
se pulse uno solo de ellos.
E.3. Elaborar la tabla de verdad de un circuito
constituido por cuatro pulsadores, a, b, c y d, y
dos lámparas L1 y L2, que cumpla las siguientes
condiciones de funcionamiento:
– L1 se encenderá si se pulsan tres pulsadores
cualesquiera.
– L2 se encenderá si se pulsan los cuatro pulsadores.
– Si se pulsa un solo pulsador, sea el que sea,
se encenderán tanto L1 como L2
E.4. Elaborar la tabla de verdad de un sistema
de alarma está constituido por cuatro detectores
denominados a, b, c y d. el sistema debe activarse cuando se activen tres o cuatro detectores. Si
sólo se activan dos detectores, es indiferente
que la alarma se active o no: Por último, la alarma nunca debe activarse si se dispara uno o
ningún detector. Por razones de seguridad, el
sistema debe activarse si a = 0, b = 0, c = 0 y d
= 1.
F. Para cada una de las siguientes tablas de
verdad, se pide:
a) Hallar una función lógica que se corresponda con ella.
b) Simplificar la función utilizando el método
algebraico.
c) Simplificar la función utilizando el método
de Karnaugh.

a
0
0
0
0
1
1
1
1

b
0
0
1
1
0
0
1
1

c
0
1
0
1
0
1
0
1

S1
0
0
0
1
0
1
1
1

a
0
0
0
0
1
1
1
1

b
0
0
1
1
0
0
1
1

c
0
1
0
1
0
1
0
1

S2
1
1
0
0
1
1
0
0

a
0
0
0
0
1
1
1
1

b
0
0
1
1
0
0
1
1

c
0
1
0
1
0
1
0
1

S3
0
0
1
1
1
1
1
1

F.3

F.4

a
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1

b
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1

c
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1

d
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1

S4
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1


14


F.5

a
0
0
0
0
1
1
1
1

b
0
0
1
1
0
0
1
1

c
0
1
0
1
0
1
0
1

a

H.2

S3
1
1
0
x
0
1
x
1

b
c

H.3

≥1

≥1

1

a
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1

b
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1

c
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1

d
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1

b

S4
0
1
0
x
0
x
x
1
0
x
x
1
x
1
1
1

S2 = a · b + c

G.3

S3 = a + b·c · c

G.4

S4 = (a ·b + c) · ( d + c)

G.5

S5 = [(a + 1) · b ] + c

H. Determinar la función lógica de los siguientes
circuitos y simplifícala cuanto puedas.
H.1
a
b
c
d

&

≥1

S1
≥1

&

≥1

S3

&

I.1. Una habitación con dos puertas está protegida por un sistema de alarma que recibe tres señales, una de cada puerta que se activan cuando
éstas se abren, que llamaremos “b” y “c” y una
señal, que llamaremos “a”, que se activa cuando
ponemos la alarma en estado de alerta. Elaborar
la tabla de verdad, diseñar la función lógica e
implementar el circuito con puertas lógicas.

S1 = a + b

G.2

&

1

G. Representar circuitos con puertas lógicas para cada una de las funciones lógicas siguientes:
G.1

S2

a

c
F.6

&

I.2. El motor M del limpiaparabrisas de un coche
se pone en marcha cuando está cerrada la llave
de contacto C y se cierra el interruptor del limpiaparabrisas L. Sin embargo, al abrir el interruptor L, el motor del limpiaparabrisas sigue funcionando hasta que la escobilla llega a su punto de
reposo (para que no se quede en mitad del parabrisas), lo que es detectado por el accionamiento de un final de carrera, F. Determinar la
tabla de verdad y la función lógica del sistema.
Dibujar un circuito con elementos de maniobra
convencionales y otro con puertas lógicas.
I.3. Se quiere un circuito que controle el montacargas de la figura y que accione el dispositivo
de descarga. El orden de funcionamiento es:
Cuando se introduce la carga por la entrada (lo
cual es detectado por el sensor A, que está colocado sobre la plataforma), el montacargas comienza a subir (se activa un relé Ms que conecta
un motor que hace que el montacargas suba)
hasta que se acciona el final de carrera C; a continuación se acciona el descargador (se activa
un relé Di que hace desplazarse el descargador
hacia la izquierda) y la carga sale por la salida.
Seguidamente, el émbolo se retira hacia la dere-


15


cha y el montacargas empieza a bajar (se activa
un relé Mb que conecta un motor que hace que
el montacargas baje) hasta accionar el final de
carrera B.
Vamos a resolver el problema en dos versiones
diferentes:
a) Consideramos que el descargador es una
especie de émbolo que se desplaza hacia la
izquierda al ser activado el relé Di y que retrocede solo al ser desactivado Di, por efecto de
un resorte. En esta versión sólo se usan los
sensores A, B y C
b) Consideramos que el descargador es movido
por un motor en ambos sentidos. El motor
desplaza el émbolo hacia la izquierda cuando
se activa el relé Di y desplaza el émbolo hacia
la derecha cuando se activa el relé Dd.
Nota: Considerar que los sensores A, B, C y D
dan un valor lógico 1 cuando detectan presencia
bien de carga (en el caso del A), bien de la plataforma del montacargas (caso de B y C) o bien de
la pala del descargador (caso de D).
Sensor D

Descargador

SALIDA
Sensor C

ENTRADA
Sensor A
Sensor B
Montacargas


16

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