Parte01

Taller Madagascar
Introducci´on al desarrollo de Atributos S´ısmicos
Herling Gonzalez Alvarez
Instituto Colombiano del Petroleo, Universidad Industrial de Santander
18 de Septiembre de 2015
Herling G. A. (Geof´ısica-ICP-Ecopetrol) Taller RSF 18/09/15 1 / 49

Describiendo el entorno Madagascar
Madagascar es un software opensource para el análisis de
multi-dimensional de datos geof´ısico. Tiene la propiedad de desarrollarse
con experimentos reproducibles de manera computacional. Su objetivo es
proveer
Un entorno de desarrollo poderoso y conveniente para el análisis de
datos.
Una herramienta para la transferencia tecnológica entre comunidades
cient´ıficas.
Madagascar se origino en 2003 basado en la experiencia de paquetes
open-source como Seismic Unix y SEPlib, escrito totalmente desde cero.

Hay un conjunto de aplicaciones que se basan en dos niveles:
Un nivel-bajo para módulos especializados, desarrollados en lenguaje
Ansi-C.
Un nivel-alto para el flujo de procesamiento, basado en los módulos
anteriores con la ayuda del leguaje Python .
Esta combinación permite la ejecución pruebas de manera reproducibles y
documentables. La experiencia muestra que el desarrollo de algoritmos en
un lenguaje de alto-nivel es manejado fácilmente aun si se está iniciando
en Madagascar. El proyecto Madagascar tiene como objetivo proveer un
entorno de investigación compartido para el análisis computacional de
datos geof´ısicos.
visita la pagina: www.ahay.org

El entorno consiste de las siguientes caracter´ısticas:
Un conjunto de programas auxiliares “Standalone” para el análisis de datos.
Un conjunto de programas para el procesado de datos geof´ısicos también “Standalone”.
Un conjunto de desarrollo basado en los lenguajes C, C++, Java, Fortran-77, Fortran-90,
Python, Matlab, and Octave. Esto permite que diferentes usuarios puedan desarrollar sus
propios módulos o programas de acuerdo a la experiencia que tenga en lenguajes de
programación.
Un esquema para el desarrollo y ejecución de experimentos computacionales
(reproducibles) basados con la herramienta SCons.
Un esquema para componer documentos cient´ıficos basados en SCons y LaTeX.
Una colección de art´ıculos cient´ıficos reproducibles, ver:
http://www.ahay.org/wiki/Reproducible Documents.
Una colección de base de datos como flujos de entrada para la ejecución de experimentos
numericos.

Madagascar - Instalación
Esta gu´ıa sirve como una breve introducción a los diferentes componentes
de Madagascar pasando por la instalación, configuración y ejecución de
aplicaciones.
Para Ubuntu, Debian instalar lo siguiente:
sudo apt-get install scons libc6-dev gcc g++ gfortran libxaw7-dev
freeglut3-dev libnetpbm10-dev libtiff4-dev libgd-dev libplplot-dev
libavcodec-dev libcairo2-dev libjpeg-dev libblas-dev swig python-dev
python-numpy libopenmpi-dev libfftw3-dev libsuitesparse-dev python-epydoc
Para Fedora, Centos instalar lo siguiente:
# yum -y install binutils gcc glibc-headers scons texlive-latex subversion
gcc-c++ gcc-gfortran numpy python swig octave octave-devel libgomp openmpi
openmpi-devel blas-devel atlas atlas-devel units gifsicle ffmpeg-devel
libtiff-devel libjpeg-devel plplot-devel mesa-libGL-devel freeglut-devel
libXaw-devel netpbm-devel

También es posible instalar (opcional) el entorno para composición de
documentos LATEX2ε, SEGTeX, estándar para publicaciones en Geophysics.
Consiste de:
LaTeX2e, para art´ıculos en Geophysics, SEG expanded abstracts, etc.
BibTeX, “seg.bst y SEG.bib” indice referencia entre autores.
Configuracion “latex2html” para generar documentos tipo web.
Descargar desde aqu´ı: http://sourceforge.net/projects/segtex/files/
$ tar xvzf segtex-0.9.3.tar.gz
$ cd segtex-0.9.3
$ sudo cp -r -u texmf/ /usr/share
$ sudo cp -r -u texmf/ /usr/local/share
$ sudo cp -r -u texmf/ /var/lib
$ sudo texhash; sudo texconfig rehash

Ahora descargar desde aqu´ı: http://sourceforge.net/projects/rsf/ﬁles/
$ tar xvzf madagascar-1.6.5.tar.gz
$ mv -u madagascar-1.6.5 $HOME/rsfsrc
$ cd $HOME/rsfsrc
$ export RSFROOT=$HOME/rsf
$ export RSFSRC=$HOME/rsfsrc
$ export DATAPATH=$HOME/Data/
$ mkdir $HOME/Data
$ ./configure
$ make; make install
$ cat $RSFSRC/env.sh >> $HOME/.bashrc

Madagascar + Opendtect (http://www.opendtect.org/)
$ cp -r $RSFROOT/share/doc/madagascar/txt/ $RSFROOT/doc/
$ sfdoc -t $RSFROOT/doc/txt

Un primer vistazo al manejo básico
Para cualquier señal es importante conocer que caracter´ısticas tiene, como
por ejemplo su contenido espectral. Hagamos una señal armónica de 40
Hz, muestreada1 a 500 Hz (0.001s), con 100 muestras, representada de
manera general como: s(t) = A(t)eiωt
$ sfmath n1=100 d1=0.001 o1=0.0
output="sin(2*3.1415*40*x1)" > segnal.rsf
$ sfgraph < segnal.rsf | sfpen
de esta señal extraigamos su espectro
$ sfspectra < segnal.rsf | sfgraph | sfpen
Para un mayor descripción ejecute el modulo “sfspectra”, all´ı encuentra
no solo los parámetros sino también en que otros proyectos ha sido usado,
como su código fuente en $HOME/rsfsrc.
1
Tamaño de la muestra dt = 1/(2fm), donde fm = 500Hz

Aislando el ruido (filtrado de señales)
Podemos agregar un nivel de ruido al dato con el objetivo de aislar la
información de interés y reconocer su perfil espectral.
$ sfnoise < segnal.rsf seed="time(NULL)" > ruido.rsf
Comparando los espectros tenemos:

Aislando el ruido
Si aplicamos un filtro pasabanda que deja pasar un determinado rango de
frecuencias de la señal y atenúa el resto (Oppenheim 1987), conseguiremos
aislar el ruido de la señal (siempre cuando la frecuencia sea conocida).
Escogeremos las frecuencias de 10Hz hasta 80Hz para definir el filtro.
$ sfbandpass flo=10 fhi=80 < ruido.rsf | sfgraph | sfpen
La idea es “reducir” los componentes de altas frecuencia introducidos por
el ruido.

Aislando el ruido
De la señal reconstruida podemos hacer comparaciones:
Como puede observarse el “filtrado” no es suficiente para extraer la mejor
información. La utilización del pasabanda no es garant´ıa absoluta, aun
cuando el contenido de frecuencia es constante en el tiempo y en
menor grado cuando los contenidos de frecuencias son variables en
el tiempo, caso de señales reales o datos s´ısmicos.

Colocando todo como un flujo
Tomar el editor favorito, transcribir el siguiente script, y salvarlo con el
nombre “SConstruct” (sin extensión) y ejecutar: scons ó scons view
from rsf.proj import *
from math import *
Pi = 4.0*atan(1.0)
Frq = 40
n1 = 100
d1 = 0.001
o1 = 0.0
Flow ('segnal',None,'''math n1= %d d1= %g o1= %g
output="sin(2* %g* %g*x1)"
''' %(n1,d1,o1,Pi,Frq) )
Flow ('ruido ','segnal', 'noise')
Flow ('espec1','segnal', 'spectra')
Flow ('espec2','ruido ', 'spectra')
Flow ('filtr ','ruido ', 'sfbandpass flo=10 fhi=80')
Flow ('espec3','filtr ', 'spectra')

Colocando todo como un ﬂujo
Plot ('plot1','segnal','''graph title="Segnal Armonica de %s Hz"
label1="Tiempo" unit1="Seg" ''' %(Frq) )
Plot ('plot2','ruido','''graph title="Segnal Armonica de %s Hz con
Ruido" label1="Tiempo" unit1="Seg" ''' %(Frq) )
Plot ('plot3','espec1','''graph title="Espectro Segnal Armonica"
label1="Frecuencia" unit1=Hz ''' )
Plot ('plot4','espec2','''graph title="Espectro Segnal Armonica con
Ruido" label1="Frecuencia" unit1=Hz ''' )
Plot ('plot5','filtr','''graph title="Segnal Armonica de %s Hz
filtrada" label1="Tiempo" unit1="Seg" ''' %(Frq) )
Plot ('plot6','espec3','''graph title="Espectro Segnal Armonica
filtrada" label1="Frecuencia" unit1=Hz ''')
Result('Vplots1','plot1 plot3','OverUnderAniso' )
End()

scons, SConstruct
..ejecutar en la terminal:
scons
scons view
scons -c
scons -Q > salida.sh
M´as informacion en:
www.ahay.org/wiki/Reproducible computational experiments using SC ons
http://www.ahay.org/wiki/Revisiting SEP tour with Madagascar and SCons
www.ahay.org/wiki/Guide to madagascar programs

Conceptos Linux/Unix para entender Madagascar
Redireccion
En la mayor´ıa de procesos Linux/Unix (comandos y programas)
existen entrada y salida de datos. Los operadores de redirección,
“redirigen” la entrada y salida de procesos.
proceso1 < archivo1 archivo1 es la entrada para el proceso1.
proceso2 > archivo2 salida del proceso2 al archivo2.
proceso3 >> archivo2 salida del proceso3 adjunta salida al archivo2.
¿Que es una Redirección?
Existen tres modos para IN-OUT datos: el stdin teclado, el stdout
pantalla y el stderr. La redirección simplemente significa la captura de
una salida estándar de un archivo, comando, programa, etc. y su
envió como entrada estándar a otro archivo, entidad de datos, etc.

Ejemplos:
cat < .bash profile
el archivo oculto “.bash proﬁle” es la entrada para cat que a su vez
despliega en pantalla.
ps -aux > procesos.txt
La salida estandar del programa ps es guardada en el archivo
“procesos.txt”.
cat < .bash profile > profile.txt
Tambi´en se puede dar de manera combinada.

Tuber´ıas
Una Tuber´ıa es un método de
comunicación entre procesos,
env´ıa la salida estándar de un
proceso a la entrada estándar de
otro. Es decir las tuber´ıas
permiten los datos fluir desde un
proceso a otro.
proceso1 | proceso2 La salida del proceso1 es la entrada del proceso2.
Ejemplo:
sfmath n1=100 n2=100 d1=1 d2=1 output="2*x1+1900"|sfnoise
type=y | sfgrey color=j mean=y scalebar=y | sfpen
Genera y visualiza un gradiente de velocidad en 2D

SConstruct
Hacer: gedit SConstruct & ´o gvim SConstruct &
...agregar el siguiente texto:
Flow('vel',None,'''sfmath n1=100 n2=100 d1=1 d2=1
output="2*x1+1900" | sfnoise type=y''')
Plot('vel','''sfgrey color=j mean=y scalebar=y''',view=1)
End()
..y ejecutar en consola: scons
Se recomienda leer el articulo “Reproducible Research as a Community
Eﬀort” de Sergey Fomel (Fomel 2015).

Algo aplicado: Atributos S´ısmicos
Un atributo s´ısmico es cualquier
estimación desde los datos s´ısmicos
que permite visualizar o cuantificar
caracter´ısticas estructurales y
litológicas de interés.
De un atributo se espera que este
relacionado con las caracter´ısticas
geológicas que permitan definir
estructuras o ambiente
depositacionales.

Modelo Convolucional para la Traza S´ısmica
Figura : Tomada de (Partyka, Gridley, and Lopez 1999)
El perfil s´ısmico es una Respuesta
de una ond´ıcula (perturbación) en
convolución con las capas
geológicas.
Los cambios en la respuesta s´ısmica en términos de amplitud, frecuencia y
fase, Dependen del contraste de la impedancia acústica y el espesor de las
capas.

Imagen S´ısmica y Yacimiento
Se llama reflectividad a la razón de amplitud de una onda reflejada en
función de una incidente. También es llamado coeficiente de reflexión
R. Un R < 0 representa un cambio de fase de la onda incidente
mientras que un R > 0 no (esto es válido para ondas incidente de
manera normal en la interfaz).
Shale
Gas Fill
Sandstone ©
©
© A
B
C
Shale: v = 2.3km/s, ρ = 2.2
Gas Fill: v = 1.9km/s, ρ = 2.1
Sandstone: v = 3.2km/s,
ρ = 2.15, φ = 20 %
R =
ρ2v2 − ρ1v1
ρ2v2 + ρ1v1
Donde, ρ es la densidad y vi es la velocidad.
Que valores de RA, RB y RC tenemos?... y que le pasa al frente de
onda en estas interfaces?.

Imagen S´ısmica y Yacimiento
La impedancia acústica Ii = ρ vi es
afectada por el tipo de Litolog´ıa,
porosidad, densidad y tipo de
saturación de fluidos.
Consecuentemente, el avance del
frente de onda s´ısmico observado en
una sección procesada difiere de
manera lateral entre eventos
asociados a litolog´ıas y Espesores.
R =
ρ2v2 − ρ1v1
ρ2v2 + ρ1v1
En otras palabras, un cambio fuerte lateral en el contraste de impedancia
da origen un cambio fuerte lateral en el carácter del perfil de onda s´ısmico.

Tomado de (Bacon, Simm, and Redshaw 2007).

Clasificacion de Atributos
Existen dos clases de atributos s´ısmicos;
Los que permiten extraer información estructural como fallas y
fracturas, canales fluviales, etc. a través de cambios de la continuidad
en amplitud de las trazas vecinas.
Y los que por medio de la información de la fase, amplitud y
contenidos de frecuencia extraen información litológica y saturación
de fluidos.
Los atributos estructurales no son tan sensibles al procesamiento
convencional Mientras este haya sido adecuado para eliminar ruido
coherente y aleatorio. Sin Embargo los atributos que extraen información
litológica son muy sensibles a la Preservación de la amplitud y al filtrado
de contenidos frecuencias Fundamentales (para tener en cuenta).

Atributos Instantáneos: Análisis de Traza Compleja
Tomado de (Taner, Koehler, and Sheriff 1979).
La transformada de Hilbert (HT) ha sido usada en procesamiento e
interpretación de datos s´ısmicos de manera convencional. Una aplicación
muy común de HT es el análisis de traza compleja, usada para estimar la
fase instantánea, frecuencia y el modulo de amplitud. El análisis de traza
compleja puede ser de ayuda para calcular convolución, correlación,
semblanza as´ı como otros tipos de cálculos (Taner, Koehler, and Sheriff
1979).
Esto nos permite estimar las propiedades de la respuesta en amplitud, fase
y ancho espectral asociado como atributos en las trazas s´ısmicas.

Traza S´ısmica Anal´ıtica: Dominio de Hilbert.
s(t) Traza real
u
Traza Analitica
s U
Transformada de Hilbert de s(t)
c(t) = s(t) + i H{s(t)} = s(t) + i
1
2π
vp
+∞
−∞
s(τ)
t − τ
dτ
donde vp es el valor principal de Cauchy, que representa la salvedad en
limite de la singularidad de una funci´on de variable compleja (Arfken and
Weber 2005).

Atributos Instantáneos: Dominio de Hilbert.
La transformada de Hilbert puede ser vista (tratamiento de señales) como
un filtro cual convierte senos en cosenos, o también llamado filtro de
corrimiento de fase π/2. Más espec´ıficamente si la entrada es
cos (ωt + φ1), la salida puede ser cos (ωt + φ1 + π/2). Esto es de ayuda
para para construir la envolvente de una función temporal (Claerbout
1985).

Atributos Instantáneos: Dominio de Hilbert.
Figura : Traza compleja representada helicoidalmente como amplitud variable en
el eje del tiempo. La proyección en el plano real representa la traza s´ısmica y en
plano imaginario la cuadratura de la traza (Transformada de Hilbert). Imagen
modificada de (Taner, Koehler, and Sheriff 1979).

La base te´orica de HT en el dominio de la frecuencia puede ser expresado
como (Claerbout 1985):
h(ω) = i · F(ω) · Sign(ω) (1)
donde F(ω) es la transformada de Fourier de una traza de entrada s(t),
h(ω) es la transformada de Hilbert de s(t) en el dominio de la frecuencia y
Sign(ω)
1 ω < 0
−1 ω > 0.
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#define sign(x) ( (x>0)-(x<0) )
void main(){
float x1=3.023,x2=-0.00002, x3=0.0;
printf("nsign( %f)= %dn", x1,sign(x1));
printf("sign( %f)= %dn", x2,sign(x2));
printf("sign( %f)= %dn", x3,sign(x3));
}

Atributos Instantáneos:
Si s(t) representa una traza s´ısmica como función del tiempo. La
correspondiente traza compleja c(t) está definida como:
c(t) = s(t) + i h(t) (2)
donde h(t) es nuestra HT de una traza real s(t). Podemos representar la
traza compleja en términos de la envolvente A(t) ó amplitud instantánea y
la fase instantánea φ(t), como:
c(t) = A(t)ei φ(t)
. (3)
donde
A(t) = |c(t)| = s(t)2 + { [c(t)]}2 (4)
φ(t) = tan−1 [c(t)]
[c(t)]
(5)

Por definición, la frecuencia instantánea es la derivada de la fase
instantánea (Taner, Koehler, and Sheriff 1979)
ω(t) =
dφ(t)
dt
=
dc(t)
dt
c(t)
=
s(t)dh(t)
dt − ds(t)
dt h(t)
s2(t) + h2(t)
.
(6)
tenga en cuenta que ω(t) = 2πf(t) ≡ [Rad Hz]

Ejemplo de flujo general
SEGY: Archivos para intercambio de datos s´ısmicos.
RSF: Archivos Madagascar (Regularly Sampled Format).
VPLOT: Formato independiente para gráficos de Madagascar.
Permite la convercion a otros formatos (PNG,EPS,PDF,JPG,etc).

SConstruct : SEGY RSF
sgy1 = 'data.sgy'
Flow('sismica Tfile1',sgy1,'''sfsegyread tfile=${TARGETS[1]}''')
Result('sismica','''sfgrey scalebar=y color=g
title="Imagen Sismica"''')
Result('plot0','sismica','''sfenvelope | sfgrey scalebar=y color=j
allpos=y title="Envelope"''')
Result('plot1','sismica','''sfwindow min1=1.6 max1=2.2 | sfgrey
color=g title="Imagen Sismica"''')
Result('plot2','sismica','''sfwindow min1=1.6 max1=2.2 | sfwiggle
plotcol=7 poly=y transp=y yreverse=y
title="Imagen Sismica"''')
End()

scons
scons view
scons -c
scons -Q > salida.sh

Flujo para tratamiento de datos RSF

...codigo...
/* Use the Hilbert transform to generate an analytic trace.
It makes use of the sf_hilbert function to calculate the
quadrature of the trace
*/
#include <math.h>
#include <rsf.h>
#define Real(z,i) (z)[(i)*2]
#define Imag(z,i) (z)[(i)*2+1]
int main(int argc, char* argv[])
{
int i,j;
int ns; //number of samples
int ntr; //number of traces
float Re,Im; //aux values
sf_init(argc,argv); // Initialize RSF
sf_file in = sf_input("in"); // RSF file input
sf_file out = sf_output("out"); // RSF file output

...codigo...
// n1 is number of samples
if (!sf_histint(in,"n1", &ns))
sf_error("No n1= in input");
// leftsize gets n2*n3*n4*...
// (the number of traces)
ntr = sf_leftsize(in,1);
// Hilbert init function
sf_hilbert_init(ns,100,1.0);
// allocate memory for the trace
float *trace = sf_floatalloc (ns);
float *hilb = sf_floatalloc (ns);
float *ctrace = sf_floatalloc (2*ns);//complex varible

// loop over traces
for (i=0; i < ntr; i++) {
// read a trace
sf_floatread(trace,ns,in);
//hilbert transform
sf_hilbert(trace,hilb);
// build the complex trace
for(j=0; j<ns; j++){
Real(ctrace,j) = trace[j];
Imag(ctrace,j) = hilb[j];
}
//envelope
Re = Real(ctrace,j);
Im = Imag(ctrace,j);
trace[j] = sqrt(Re*Re + Im*Im);
}
// write a trace
sf_floatwrite(trace,ns,out);
}

free(ctrace);//free memory allocated
free(trace);
free(hilb);
sf_close(); //close read/write RSF file
return(0);
}
Archivo “SConstruct” para compilar
import os
RSFROOT=os.environ['RSFROOT']
env = Environment(LIBS=['m','rsf'],
CFLAGS=['-Wall','-g','-fopenmp'],
LIBPATH=['/usr/lib',RSFROOT+'/lib'],
CPPPATH=['/usr/include',RSFROOT+'/include'])
env.Append(LINKFLAGS=['-fopenmp'])
env.Program(target='Myprogram', source='analytic.c' )

Directorio y archivos para “Flujo 1”
Ejecute dentro de Flujo 1/
sftour scons; scons
scons view

Flujo para tratamiento de datos RSF
...
### analytic trace ###
Flow ('analytic','sismica','''./analytic_trace/Myprogram''')
Result('plot3','analytic','''sfwindow min1=1.6 max1=2.2 | sfgrey color=j
allpos=y title="Imagen Atributo" ''')
End()

Convirtiendo a otros formatos de imágenes
Al ejecutar dentro de Flujo1/ las instrucciones:
sftour scons; scons
scons view
se crea un directorio Fig/ con las imágenes VPL. Para convertir del
formato VPL, a otros formatos como:
avi eps gif jpeg jpg mpeg mpg pdf png ppm ps svg tif tiff.
Ejecute por ejemplo la siguiente instrucción:
vpconvert Fig/plot3.vpl format=pdf

Aproximaciones de la frecuencia instantánea.
La ecuación (6) requiere dos diferenciaciones para calcular la frecuencia
instantánea. Para estimar dω(t)/dt definiremos tres aproximaciones, la
opción depende del grado de eficiencia computacional.
Teniendo en cuenta la definición de frecuencia instantánea promedio fa(t)
basado en la definición de la frecuencia instantánea en el intervalo t y
t + ∆t:
fa(t) =
1
∆t
t+∆t
t
f(τ) dτ (7)
Para datos muestreados con ∆t podemos reescribir (7) como:
fa(t) =
ω(t + ∆t) − ω(t)
2π∆t
. (8)

Aproximaciones de la frecuencia instantánea.
De lo anterior podemos decir que para datos muestreados con ∆t podemos
expresar en diferencias finitas de primer orden la ecuación (8) como:
fa(t)
ω(i + 1) − ω(i)
2π∆t
. (9)
Esta expresión tiene el inconveniente de introducir una evaluación con un
desplazamiento de medio paso de tiempo, debido al operador. Se puede
plantear un segundo orden para operador de diferencias finitas, y mejorar
la precisión.
fa(t)
ω(i + 1) − ω(i − 1)
4π∆t
. (10)
Donde (i ± 1) = (t ± ∆t) e (i) = (t).

Homework: Evaluar las otras expresiones para el calculo de frecuencia
instantánea basadas en el articulo de (Barnes 1992).
Consejos:
Para leer el tamaño de las muestreas ∆t de las trazas, hay que incluir
la siguiente instrucción dentro del programa:
// sample trace
if (! sf_histfloat(in ,"d1", &dt))
sf_error("No d1= in input");
También se puede visualizar con:
sfimage < analytic.rsf legend =1 perc =99 cmap="hsv1"
Para estimar la fase instantánea φ(t), se puede escribir lo siguiente:
Re = Real(ctrace ,j);
Im = Imag(ctrace ,j);
trace[j] = atan2(Im ,Re);
}
Se recomienda leer: http://www.ahay.org/RSF/book/rsf/manual/

Arfken, G. B. and H. J. Weber (2005).
Mathematical Methods for Physicists.
San Diego, CA: Elsevier Acadeic press.
Bacon, M., R. Simm, and T. Redshaw (2007).
3-D Seismic Interpretation.
Cambridge, United Kingdom: Cambridge University Press.
Barnes, A. E. (1992).
The calculation of instataneous frequency and instataneous bandwidth.
Geophysics 57, 1520–1524.
Claerbout, J. (1985).
Imaging the Earth’s Interior.
Oxford: Blackwell Scientific Publications.
Fomel, S. (2015).
Reproducible research as a community effort.
IEEE Computing in Science and Engineering 17, 20–26.
Oppenheim, A. V. (1987).
Applications of Digital Signal Proccessing.
Massachusetts Institute of Technology Cambridge, New Jersey: Prentice-Hall.
Partyka, G., J. Gridley, and J. Lopez (1999).
Interpretational applications of spectral decomposition in reservoir characterization.
The Leading Edge, 353–360.
Taner, M. T., F. Koehler, and R. E. Sheriff (1979).
Complex seismic trace analysis.
Geophysics 44, 1041–1063.

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