Campo_magnético_y_fuerzas_magnéticas.pdf

Profesor Hugo Medina Guzmán 1
Capitulo 27 Campo magnético y fuerzas
magnéticas
Preguntas para análisis
P27.1 ¿Puede una partícula con carga trasladarse a través de un campo magnético sin
experimentar ninguna fuerza? De ser así, ¿cómo? En caso contrario, ¿por qué?
Solución.
No ha fuerza cuando
→
v y
→
B son paralelos, si las cargas remueven a lo largo de las
líneas de campo no habrá fuerza sobre la carga.
P27.4 La fuerza magnética sobre una partícula con carga en movimiento siempre es
perpendicular al campo magnético B. ¿Es la trayectoria de una partícula con carga en
movimiento siempre perpendicular a las líneas de campo magnético? Explique su
razonamiento.
Solución.
No. Por ejemplo, si las líneas del campo magnético son líneas rectas una partícula
cargada moviéndose inicialmente a lo largo de las líneas del campo no experimentará
fuerzas magnéticas y continuará moviéndose paralela a las líneas del campo.
P27.5 Se dispara una partícula con carga hacia una región cúbica del espacio donde hay
un campo magnético uniforme. Afuera de esta región no hay campo magnético alguno.
¿Es posible que la partícula permanezca dentro de la región cúbica? ¿Por qué?
Solución.
No. Si la velocidad inicial es perpendicular a las líneas del campo magnético la partícula
viajará en un semicírculo pero luego dejará el campo.
P27.7 Una partícula con carga se traslada a través de una región del espacio con
velocidad (magnitud y dirección) constante. Si el campo magnético externo es cero en
esta región, ¿se puede concluir que campo eléctrico externo en la región también es
cero? Explique su respuesta. (El adjetivo externo se refiere a campos distintos a los
producidos por la partícula con carga). Si el campo eléctrico externo es cero en la
región, ¿se puede concluir que el campo magnético externo en la región también es
cero?
Solución.
Si la espira de corriente debe ser cero. Un campo eléctrico produciría una fuerza neta no
balanceada.
No. La fuerza neta debe ser cero tal que no debe haber fuerza magnética sobre la
partícula. Pero podría aun haber un campo magnético paralelo a la velocidad de la
partícula.
P27.9 ¿Cómo se podría hallar la dirección de un campo magnético efectuando sólo
observaciones cualitativas de la fuerza magnética sobre un alambre recto que transporta
una corriente?
Solución.
Encontrando la orientación del alambre para la cual no hay fuerza; el campo magnético
es paralelo a esta dirección. Entonces el alambre rota 90º tal que es perpendicular al

campo. Las dos posibles direcciones de
→
B dan fuerzas en direcciones opuestas tal que
la observación de la dirección de estas fuerzas determina la dirección de
→
B .
P2713 Una estudiante intentó hacer una brújula electromagnética suspendiendo una
bobina de alambre de un cordel (con el plano de la bobina en posición vertical)
haciéndole pasar una corriente. La estudiante esperaba que la bobina se alinease
perpendicularmente a las componentes horizontales del campo magnético terrestre: en
cambio, la botina adquirió lo que parecía ser un movimiento armónico simple angular,
oscilando hacia atrás y hacia adelante en tomo a la dirección esperada. ¿Qué estaba
ocurriendo? ¿Era el movimiento verdaderamente armónico simple?
Solución.
Si el torque magnético de la bobina inicialmente hace un ángulo 0
φ con la dirección del
campo magnético habrás un torque restaurador sobre la bobina dirigida a alinear el
torque magnético con el campo. La bobina gira pasa su posición y nuevamente hay un
torque restaurador que lo devuelve. La magnitud del torque restaurador es φ
τ sen
IBA
= .
Para φ pequeño, φ
φ ≈
sen y φ
τ IBA
= . Luego el torque es proporcional al
desplazamiento y el movimiento es movimiento armónico simple angular. Tal que, si la
amplitud angular del moviendo es pequeña, el movimiento es una buena aproximación
al armónico simple.
P27.14 Se acelera un protón en un ciclotrón. Si se duplica la energía del protón, ¿por
qué factor cambia el radio de la trayectoria circular? ¿Qué ocurre con el periodo orbital,
esto es, el tiempo que toma una revolución de la partícula, cuando se duplica la energía?
Solución.
Aplicando
→
→
=
∑ a
m
F al movimiento circular del protón da R
mv
B
q /
= .
B
q
mv
R = .
m
K
v
2
= , si la energía cinética K se duplica la rapidez v incrementa por un
factor de 2 y el radio R de la trayectoria circular se incrementa por un factor de 2 .
El periodo orbital es
B
q
m
v
R
T
π
π 2
2
=
= . El periodo no cambia cuado v y B incrementan.
La rapidez incrementa pero lo mismo ocurre con la circunferencia de la trayectoria
circular de modo que el período que permanece constante. Esto es un comportamiento
importante del movimiento.
.
Ejercicios
Sección 27.2 Campo magnético
27.1 Una partícula con una carga de -1,24 x l0-4
C se desplaza con una velocidad
instantánea
→
v = (4,19 x 10 m/s)i
ˆ + (-3,85 x 104
m/s) ĵ . ¿Qué fuerza ejerce sobre esta
partícula un campo magnético:
a) ( )i
B ˆ
T
4
,
1
=
→
, b) ( )k
B ˆ
T
4
,
1
=
→
?
Solución.
a)
→
→
→
×
= B
v
q
F = ( )
i
j ˆ
ˆ
)(1,40)
10
3,85
)(
10
24
,
1
( 4
8
×
×
−
×
− −

⇒ .
ˆ
N)
10
68
,
6
( 4
k
F −
→
×
−
=
b)
→
→
→
×
= B
v
q
F = = [ ( )
k
j ˆ
ˆ
)
10
3,85
(
)(1,40)
10
24
,
1
( 4
8
×
×
−
×
− −
+ ( )( )]
k
i ˆ
ˆ
10
19
,
4 8
×
× −
⇒ ( ) ( )j
i
F ˆ
N
10
27
,
7
ˆ
N)
10
3,85
)(
10
3,85
(
10
68
,
6 4
4
4
4 −
−
→
×
+
×
−
×
−
×
= .
27.5 Cada uno de los puntos con letras de los vértices del cubo de la figura representa
una carga positiva q que se desplaza con una velocidad de magnitud u en la dirección
que se indica. La región de la figura se halla en un campo magnético B, paralelo al eje
de las x y dirigido hacia la derecha. Copie la figura, encuentre la magnitud y dirección
de la fuerza sobre cada carga y muestre la fuerza en su diagrama.
Solución.
27.5:
En la figura. Sea ,
0 qvB
F = luego:
0
F
Fa = en la dirección k̂
−
0
F
Fb = en la dirección ĵ
+
,
0
=
c
F porque B y la velocidad son paralelas
o
45
sen
0
F
Fd = en la dirección ĵ
−
0
F
Fe = en la dirección )
ˆ
ˆ
( k
j +
−

27.6 Un electrón se traslada a 2,50 x 106
m/s a través de una región en la que hay un
campo magnético de dirección no especificada y cuya magnitud es de 7,40 x l0-2
T.
a) ¿Cuáles son las magnitudes máxima y mínima posibles de la aceleración del electrón
debida al campo magnético?
b) Si la aceleración real del electrón es de de la magnitud máxima del inciso (a), ¿cuál
es el ángulo entre la velocidad del electrón y el campo magnético?
Solución.
a) La aceleración más pequeña posible es cero, cuando el movimiento es paralelo al
campo magnético. La aceleración es mayor cuando la velocidad y el campo magnético
se encuentran en ángulo recto:
m
qvB
a = =
)
10
(9,11
)
10
)(7,4
10
)(2,50
10
6
,
1
(
31
2
6
19
−
−
−
×
×
×
×
=
2
16
s
m
10
25
,
3 × .
b) Si )
10
25
,
3
(
4
1 16
×
=
a =
m
qvB φ
sen
⇒ 25
,
0
sen =
φ ⇒ .
5
,
14 o
=
φ
Sección 27.3 Líneas de campo magnético y flujo magnético
27.12 El campo magnético B en cierta región es de 0,128 T, y su dirección es la del eje
de las + z en la figura .
a) ¿Cuál es el flujo magnético a través de la superficie abcd de la figura?
b) ¿Cuál es el flujo magnético a través de la superficie befc?
c) ¿Cuál es el flujo magnético a través de la superficie aefd?
d) ¿Cuál es el flujo neto a través de las cinco superficies que encierran el volumen
sombreado?
Solución.
a) .
0
)
( =
⋅
=
Φ A
B
abcd
B
b) )
300
,
0
(
)
300
,
0
)(
128
,
0
(
)
( −
=
⋅
=
Φ A
B
befc
B = - 0,0115 Wb.
c) φ
cos
)
( BA
aefd
B =
⋅
=
Φ A
B = ,300)
)(0,500)(0
128
,
0
(
5
3
= + 0,115 Wb.
d) El flujo neto en el resto de la superficie es cero ya que son paralelas a las de eje x de
manera que el total del flujo es la suma de todas las partes anteriores, que es cero

27.13 Una estudiante de física afirma que ha acomodado imanes de modo tal que el
campo magnético dentro del volumen sombreado de la figura 27.4 1 es ( )j
y
B ˆ
2
γ
β −
=
→
,
donde β = 0,300 T y γ = 2,00 T/m2
.
a) Halle el flujo neto de B a través de las cinco superficies que encierran el volumen
sombreado de la figura 27.41.
b) ¿Es plausible la afirmación de la estudiante? ¿Por qué?
Solución.
a) ( )j
y
B ˆ
2
γ
β −
=
→
y podemos calcular el flujo a través de cada superficie. Tenga en
cuenta que no hay flujo a través de cualquier superficie paralela al eje y. Así, el total del
flujo a través de la superficie cerrada es:
A
B⋅
=
Φ )
(abe
B = ( )
[ ] ( ) ( )
[ ]
{ }
2
2
300
,
0
00
,
2
300
,
0
0
300
,
0 −
+
−
− ( )( )
300
,
0
400
,
0
2
1
×
= - 0,0108 Wb.
b) La afirmación del estudiante no es plausible, ya que se requiere la existencia de un
monopolo magnético a consecuencia de un flujo neto distinto de cero a través de la
superficie cerrada.
Sección 27.4 Movimiento de partículas con carga en un campo
magnético
27.19 Se deja caer una esfera de 150 g con 4,00 x 108
electrones en exceso por un pozo
vertical de 125 m. En el fondo del pozo, la esfera entra de improviso en un campo
magnético horizontal uniforme con una magnitud de 0,250 T y una dirección de este a
oeste. Si la resistencia del aire es tan pequeña que resulta insignificante, halle la
magnitud y dirección de la fuerza que este campo magnético ejerce sobre la esfera en el
momento en que entra en el campo.
Solución.
C)
10
602
,
1
)(
10
00
,
4
( 19
8 −
×
−
×
=
q = 6,408 x 10-11
C.
La velocidad en el fondo del pozo: gy
v
mgy
mv 2
;
2
2
1
=
= = 4,95 m/s.

→
v es hacia abajo y
←
B hacia el oeste, Luego
→
→
× B
v es hacia el norte. Como q < 0,
→
F es
hacia el sur.
θ
qvB
F sen
= = °
× −
90
sen
250)
)(49,5)(0.
10
408
,
6
( 11
= 7,93 x 10-10
N
27.20 En un experimento con rayos cósmicos, un haz vertical de partículas con una
carga de magnitud 3e y una masa 12 veces la del protón entra en un campo magnético
horizontal uniforme de 0,250 T y se dobla formando un semicírculo de 95,0 cm de
diámetro, como se muestra en la figura.
a) Encuentre la rapidez de las partículas y el signo de su carga.
b) ¿Es razonable pasar por alto la fuerza de gravedad sobre las partículas?
c) ¿Cómo es la rapidez de las partículas en el momento de entrar en el campo en
comparación con su rapidez al salir del campo?
Solución.
a)
qB
mv
R =
m
qBR
v = =
)
10
67
,
1
(
12
2
0,950
)(0,250)
10
60
,
1
(
3
27
19
−
−
×
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
×
v = 2,84 x 106
m/s
Como
→
→
× B
v es a la izquierda y las cargas van a la derecha, tienen que ser negativas
b) )
)(9,80
10
67
,
1
(
12 27
grav
−
×
=
= mg
F =1,96 x 10-25
N
qvB
F =
B = )(0,250)
10
)(2,84
10
6
,
1
(
3 6
19
×
× −
= 3,41 x 10-13
N
Como grav,
12
B 10 F
F ×
≈ Podemos no tomar en cuenta la gravedad.
c) La velocidad no cambia ya que la fuerza magnética es perpendicular a la velocidad
y, por tanto, no hace trabajo sobre las partículas.
27.27 Un electrón del haz de un cinescopio de televisor es acelerado por una diferencia
de potencial de 2,00 kV, a continuación atraviesa una región donde hay un campo
magnético transversal y describe un arco circular de 0,180 m de radio. ¿Cuál es la
magnitud del campo?
Solución.
m
V
q
v
V
q
mv
Δ
=
⇒
Δ
=
2
2
1 2
=
)
10
(9,11
)
10
(2,0
)
10
6
,
1
(
2
31
3
19
−
−
×
×
×
= 2,65 x 107
m/s.

⇒
R
q
mv
B = =
)(0,180)
10
(1,60
)
10
)(2,65
10
11
,
9
(
19
7
31
−
−
×
×
×
= 8,38 x 10-4
T.
Sección 27.5 Aplicaciones del movimiento de partículas con carga
27.29 Selector de velocidad. Un selector de velocidad se compone de un campo
eléctrico y uno magnético, como se muestra en la figura.
a) ¿Cuál debe ser la intensidad del campo magnético para que sólo los iones con una
rapidez de 2000 km/s emerjan sin desviación, si el campo eléctrico es de 2,0 x l0 N/C?
¿Se separarán los iones positivos de los iones negativos?
b) En cierto selector de velocidad, el campo eléctrico se produce mediante una batería
de voltaje variable conectada a dos placas metálicas paralelas grandes separadas 3,25
cm, y el campo magnético proviene de un electroimán de intensidad de campo variable.
Si el voltaje de la batería puede fluctuar entre 120 V y 560 y el campo magnético, entre
0,054 T y 0,180 T, ¿cuál es el intervalo de velocidades de iones que puede producir este
selector con los ajustes correspondientes?
Solución.
a) E
B F
F = así ;
E
q
vB
q =
v
E
B = = 0,10 T.
Equilibrio de fuerzas, para cualquier signo de .
q
b) d
V
E = así
B
d
V
B
E
v =
=
menor :
v
menor ,
V mayor ,
B
)
180
,
0
(
)
0325
,
0
(
120
min =
v = 2,1 x 104
m/s

mayor :
v
mayor ,
V menor B,
,054)
(0,0325)(0
560
min =
v = 3,2 x 105
m/s
27.31 Cómo determinar la masa de un isótopo. El campo eléctrico entre las placas del
selector de velocidad de un espectrómetro de masas de Bainbridge es de 1,12 x l05
V/m, y el campo magnético en ambas regiones es de 0,540 T. Un torrente de iones
selenio con una sola carga cada uno describe una trayectoria circular de 31,0 cm de
radio en el campo magnético. Determine la masa de un ion selenio y el número de masa
de este isótopo de selenio. (El número de masa es igual a la masa del isótopo en
unidades de masa atómica, redondeado a enteros. Una unidad de masa atómica = 1 u =
1,66 x l027
kg).
Solución.
2
qB
mE
qB
mv
R =
= ⇒
E
RqB
m
2
= =
)
10
12
,
1
(
)
540
,
0
)(
10
60
,
1
)(
310
,
0
(
5
2
19
×
× −
= 1,29 x 10-25
kg
⇒ 27
25
10
66
,
1
10
29
,
1
)
amu
( −
−
×
×
=
m = 78 unidades de masa atómica.
27.32 En un espectrómetro de masas de Bainbridge, la magnitud del campo magnético
del selector de velocidad es de 0,650 T, y los iones cuya rapidez es de 1,82 x 106
m/s lo
atraviesan sin desviarse.
a) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico del selector de velocidad?
b) Si la separación de las placas es de 5,20 mm, ¿cuál es la diferencia de potencial entre
las placas P y P’?

Solución.
a) )
650
.
0
)(
10
82
,
1
( 6
×
=
= vB
E = 1,18 x 106
V/m.
b) d
V
E = ⇒ )
10
20
,
5
)(
10
18
,
1
( 3
6 −
×
×
=
= Ed
V = 6,14 kV.
Sección 27.6 Fuerza magnética sobre un conductor qué transporta corriente
27.37 Un alambre situado a lo largo del ejes conduce una corriente de 3.50 A en la
dirección negativa. Calcule la fuerza (expresada en términos de vectores unitarios) que
los campos magnéticos siguientes ejercen sobre un segmento de 1,00 cm de alambre:
a)
→
B = - (0,65T) ĵ ; b)
→
B + (0,56T)k̂ ;
c)
→
B = - (0,31 T)i
ˆ d)
→
B = + (0,33 T) i
ˆ - (0,28 T) k̂ ;
e)
→
B = + (0,74T) ĵ - (0,36T) k̂
Solución.
El alambre está en el eje x y la fuerza sobre 1 cm es
a)
→
→
→
×
= B
I
F l = ( )
k̂
î
,65)
0
A)(0,010)(
3,50
( ×
−
− = + (0,023 N) k̂ .
b)
→
→
→
×
= B
I
F l = ( )
k̂
î
0,56)
0)(
3,50)(0,01
( ×
+
− = + (0,020 N) ĵ
c)
→
→
→
×
= B
I
F l = ( )
i
i ˆ
ˆ
0,31)
0)(
3,50)(0,01
( ×
−
− =0
d)
→
→
→
×
= B
I
F l = ( )
k
i ˆ
ˆ
0,28)
0)(
3,50)(0,01
( ×
−
− = - (9,8 x 10-3
N) ĵ .
e)
→
→
→
×
= B
I
F l = ( ) ( )
[ ]
k
i
j
i ˆ
ˆ
0,36
ˆ
ˆ
0,74
0)
3,50)(0,01
( ×
−
×
−
= =
j
k
~
N)
(0,013
ˆ
N)
(0,026 −
−
27.40 Balanza magnética. El circuito que se muestra en la figura sirve para construir
una balanza magnética para pesar objetos. La masa m, que se van medir, se cuelga del
centro de la barra, que está en un campo magnético uniforme de 1,50 T dirigido hacia el

plano de la figura. Se puede ajustar el voltaje de la batería para modificar la corriente en
el circuito. La barra horizontal mide 60,0cm de largo y es de un material sumamente
ligero. Está conectada a la batería mediante unos alambres verticales finos incapaces de
soportar una tensión apreciable; todo el peso de la masa suspendida m está sostenido
por la fuerza magnética que se ejerce sobre la barra. Hay un resistencia R = 5,00
Ω en serie con la barra la resistencia del resto del circuito es mucho menor que ésta.
a) ¿Cuál punto a o b, debe ser el borne positivo de la batería?
b) Si el voltaje máximo de bornes de la batería es de 175 V, es la masa más grande que
el instrumento puede medir?
Solución.
a) La fuerza magnética de la barra debe ser hacia arriba de tal manera la corriente a
través de ella debe ser hacia la derecha. Por lo tanto, a debe ser el terminal positivo.
b) Para el equilibrio, mg
F =
B
mg
ILB =
θ
sen ⇒
g
ILB
mg
θ
sen
=
00
,
5
175
=
=
R
I
ε
= 35,0 A
9,80
)(1,50)
00
(35,0)(0,6
=
m = 3,21 kg.
27.43 Una bobina circular de alambre de 8,6 cm de diámetro tiene 15 espiras y conduce
una corriente de 2,7 A. La bobina está en una región donde el campo magnético es de
0,56 T.
a) ¿Qué orientación de la bobina proporciona el momento de torsión máximo en la
bobina, y cuál es este momento de torsión máximo?
b) ¿Con qué orientación de la bobina es la magnitud del momento de torsión el
71% del hallado en el inciso (a)?
Solución.
a) El torque es máximo cuando el plano de la espira es paralelo a B.
φ
τ sen
NIBA
= ⇒ °
= 90
sen
(0,08866)
0,56)
(15)(2,7)( 2
max π
τ = 0,132 Nm.
b) El torque sobre la espira es 71% del máximo cuando 0,71
sen =
φ ⇒ °
= 45
φ
27.44 Una bobina rectangular de alambre, de 22,0 cm por 35,0 cm y que conduce una
corriente de 1,40 A, está orientada con el plano de su espira perpendicular a un campo
magnético uniforme de 1,50 T, como se muestra en la figura.

a) Calcule la fuerza neta y el momento de torsión que el campo magnético ejerce sobre
la bobina.
b) Se hace girar la bobina un ángulo de 30,0° en torno al eje que se muestra, de modo
que el lado izquierdo salga del plano de la figura y el lado derecho entre en el plano.
Calcule la fuerza neta y el momento de torsión que el campo magnético ejerce ahora
sobre la bobina. (Sugerencia: Para facilitar la visualización de este problema
tridimensional, haga un dibujo minucioso de la bobina vista a lo largo del eje de
rotación)
Solución.
a) La fuerza sobre cada segmento de la bobina es hacia el centro de la bobina, así la
fuerza y el torque netos son cero.
b) Como se ve a continuación:
Las fuerzas en (a), se cancelan.
θ
IlBL
θ
L
F sen
sen
2
2 B =
=
∑τ = °
30
sen
0,350)
20)(1,50)(
(1,40)(0,2
= 8,09 x 10-2
Nm sentido antihorario.
Problemas
27.53 Cuando una partícula con una carga q > 0 se traslada con una velocidad
→
1
v
orientada a 45,0º con respecto al eje + x en el plano xy, un campo magnético uniforme
ejerce una fuerza
→
1
F a lo largo del eje - z . Cuando la misma partícula se traslada con
una velocidad
→
2
v de la misma magnitud que pero a lo largo del eje + z, se ejerce sobre
ella una fuerza
→
2
F de magnitud F2 a lo largo del eje + x.
a) ¿Cuáles son la magnitud (en términos de q1, v1 y F2) y la dirección del campo
magnético?

b) ¿Cuál es la magnitud de F1 en términos de F2?
Solución.
a) Por inspección, usando j
B
B
v
q
F ˆ
−
=
×
=
→
→
→
obtendremos la dirección correcta para
cada fuerza. Usando cualquiera de las fuerzas, digamos F2, .
2
2
v
q
F
B =
b)
2
2
45
sen 2
2
1
1
F
B
v
q
B
v
q
F =
=
°
= (porque 2
1 v
v = ).
27.56 En el cañón de electrones de un cinescopio de televisor los electrones (carga: - e;
masa: m) son acelerados por un voltaje V. Después de salir del cañón de electrones, el
haz de electrones recorre una distancia D hasta la pantalla; en esta región hay un campo
magnético transversal de magnitud B y ningún campo eléctrico,
a) Demuestre que la desviación aproximada del haz debida a este campo magnético es
mV
e
BD
d
2
2
2
=
b) Evalúe esta expresión con V = 750 V, D = 50 cm y B = 5,0 x l0-5
T (comparable al
campo de la Tierra). ¿Es significativa esta desviación?
Solución.
a) El movimiento es circular:
2
2
2
R
y
x =
+ ⇒ D
x = ⇒ 2
2
1 D
R
y −
= (trayectoria de la partícula deflectada)
R
y =
2 (ecuación para la tangente al círculo, trayectoria de la partícula no deflectada)
2
2
1
2 D
R
R
y
y
d −
−
=
−
= =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
−
− 2
2
2
2
1
1
1
R
D
R
R
D
R
R
Sí D
R >> ⇒
R
D
R
D
R
d
2
2
1
1
1
2
2
2
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
≈ .
Para una particular moviéndose en un campo magnético, .
qB
mv
R =
Como qV
mv =
2
2
1
, luego
q
mV
B
R
2
1
= .
La deflexión es .
2
2
2
2
2
2
mV
e
B
D
mV
q
B
D
d =
≈

b)
)(750)
10
2(9,11
)
10
(1,6
2
)
10
(5,0
(0,50)
31
19
5
2
−
−
−
×
×
×
=
d = 0,067 m = 6,7 cm.
%
13
≈
d de D, cual es bastante significativa.
27.58 Una partícula con carga q > 0 se desplaza con rapidez v en la dirección + z a
través de una región de campo magnético uniforme B. La fuerza magnética sobre la
partícula es ( )
j
i
F
F ˆ
4
ˆ
3
0 +
=
→
, donde F0 es una constante positiva.
a) Halle las componentes Bx, By y Bz, o al menos tantas de las tres componentes como
sea posible a partir de la información dada.
b) Si además se sabe que la magnitud del campo magnético es 6F0/qv, averigüe todo lo
que pueda acerca de las componentes restantes de
→
B .
a)
→
→
→
×
= B
v
q
F =
z
y
x
z
y
x
z
y
x
B
B
B
v
k
j
i
q
B
B
B
v
v
v
k
j
i
q 0
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
= = j
qvB
i
qvB x
y
ˆ
ˆ +
−
Pero j
F
i
F
F ˆ
4
ˆ
3 0
0 +
=
→
, luego y
qvB
F −
=
0
3 y x
qvB
F =
0
4
⇒
qv
F
By
0
3
−
= ,
qv
F
Bx
0
4
= , Bz es arbitrario.
b)
qv
F
B 0
6
= =
2
2
2
z
y
x B
B
B +
+ =
2
0
16
9 z
B
qv
F
+
+ =
2
0
25 z
B
qv
F
+
⇒ ⋅
±
=
qv
F
Bz
0
11
27.61 Una partícula con carga negativa q y masa m = 2,58 x 10-15
kg viaja a través de
una región que contiene un campo magnético uniforme
→
B = - (0,120 T)k̂ . En un
instante determinado la velocidad de la partícula es i
→
v = (1,05 x l06
m/s)( )
k
j
i &
&
12
ˆ
4
ˆ
3 +
+
− y la magnitud de la fuerza sobre la partícula es de 1,25 N.
a) Halle la carga q.
b) Determine la aceleración
→
a de la partícula.
c) Explique por qué la trayectoria de la partícula es una hélice, y proporcione el radio de
curvatura R de la componente circular de la trayectoria helicoidal.
d) Obtenga la frecuencia de ciclotrón de la partícula.
e) Aunque el movimiento helicoidal no es periódico en el sentido estricto de la palabra,
las coordenadas x e y varían de manera periódica. Si las coordenadas de la partícula en t
= 0 son (x, y, z) = (R, 0, 0), encuentre sus coordenadas en el tiempo t = 2 T, donde T es
el periodo del movimiento en el plano xy.
Solución.
a)
→
→
→
×
= B
v
q
F = [ ]
j
B
v
i
B
v
q z
x
z
y
ˆ
)
(
ˆ
)
( − ⇒ [ ]
2
2
2
2
)
(
)
( z
x
z
y B
v
B
v
q
F −
=

⇒ 2
2
2
2
2
)
(
)
(
1
x
y
z
v
v
B
F
q
+
= ⇒
[ ] [ ]2
6
2
6
)
10
05
,
1
(
3
)
10
05
,
1
(
4
1
T
0,120
N
25
,
1
×
−
+
×
−
=
q = - 1,98
x 10-6
C.
b)
m
B
v
q
m
F
a
→
→
→
→ ×
=
= = [ ]
j
B
v
i
B
v
m
q
z
x
z
y
ˆ
)
(
ˆ
)
( −
⇒ ( )
j
i
a ˆ
3
ˆ
4
m/s
10
9,67 2
13
+
×
=
→
⇒ ( )
j
i
a ˆ
3
ˆ
4
)
120
,
0
(
)
10
05
,
1
(
10
58
,
2
10
98
,
1 6
15
6
+
−
×
×
×
−
= −
−
→
c) El movimiento es helicoidal ya que la fuerza está en el plano xy pero la velocidad
tiene una componente z. El radio de la parte circular del movimiento es:
qB
mv
R = =
)
120
,
0
(
)
10
98
,
1
(
)
10
05
,
1
(
)
5
(
)
10
58
,
2
(
6
6
15
−
−
×
×
×
= 0,057 m.
d)
πm
qB
π
ω
f
2
2
=
= =
)
10
58
,
2
(
2
)
120
,
0
(
)
C
10
98
,
1
(
15
6
−
−
×
×
π
= 14,7 MHz.
e) Después de dos ciclos completos, los valores de x e y vuelven a sus valores
originales, x = R e y = 0, pero z ha cambiado.
f
v
Tv
z z
z
2
2 =
= = 7
6
10
47
,
1
)
10
05
,
1
(
)
12
(
2
×
×
+
= 1,71 m.
27.65 El cubo de la figura, de 75,0 cm por lado, está en un campo magnético uniforme
de 0,860 T paralelo al eje de las x. El alambre abcdef conduce una corriente de 6,58 A
en la dirección que se indica. Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza que actúa
sobre cada uno de los segmentos ab, bc, cd, de y ef.
b) ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fuerza total que actúa sobre el alambre?
Solución.
a) ab
l : ( ) i
j
B
I
B
I
F ab
ab
ˆ
ˆ ×
=
×
=
→
→
→
l
l = k̂
)
860
,
0
(
)
(0,750
)
58
,
6
(
− = k̂
)
N
24
,
4
(−
bc
l : ( ) ( ) i
j
i
B
I
B
I
F bc
bc
ˆ
2
ˆ
ˆ
×
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=
×
=
→
→
→
l
l = ĵ
)
860
,
0
(
)
(0,750
)
658
(
− = ĵ
)
N
24
,
4
(− .
cd
l : ( ) ( ) i
j
k
B
I
B
I
F cd
cd
ˆ
2
ˆ
ˆ
×
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −
=
×
=
→
→
→
l
l = [ ]
k
j ˆ
ˆ
)
N
24
,
4
( + .

de
l : ( )[ ]
i
k
B
I
B
I
F de
de
ˆ
ˆ ×
−
=
×
=
→
→
→
l
l = ĵ
)
860
,
0
(
)
(0,750
)
58
,
6
(
− = ĵ
)
N
424
(− .
ef
l : ( )[ ]
i
i
B
I
B
I
F ef
ef
ˆ
ˆ×
−
=
×
=
→
→
→
l
l = 0.
b) Sumando todas las fuerzas de la parte (a) tenemos:
j
F total ˆ
)
N
24
,
4
(−
=
→
.
27.66 Cañón electromagnético de rieles. Una barra conductora de masa m y longitud L
se desliza sobre rieles horizontales conectados a una fuente de voltaje. La fuente de
voltaje mantiene una corriente constante I en los rieles y en la barra, y un campo
magnético vertical uniforme y constante B llena la región comprendida entre los rieles.
a) Proporcione la magnitud y dirección de la fuerza neta que actúa sobre la barra
conductora. No tenga en cuenta ni la fricción, ni la resistencia del aire ni la resistencia
eléctrica.
b) Si la barra tiene una masa m, baile la distancia d que la barra debe recorrer a lo largo
de los rieles a partir de una posición de reposo para alcanzar una rapidez u.
c) Se ha sugerido que cañones de rieles basados en este principio podrían acelerar
cargas hasta una órbita terrestre o más lejos aún. Halle la distancia que la barra debe
recorrer a lo largo de los rieles para alcanzar la rapidez de escape de la Tierra (11,2
km/s).
Sean B = 0,50T, I = 2.0 x l03
A, m = 25 kg y L = 50cm.
Solución.
a) F = ILB, a la derecha.
b) ad
v 2
2
= ⇒
ILB
m
v
a
v
d
2
2
2
2
=
= .
c)
(0,50)
(0,50)
2(2000)
(25)
)
10
(1,12 2
4
×
=
d =3,14 x 106 m = 3140 km.
27.70 Espectrógrafo de masas. El espectrógrafo de masas se utiliza para medir masas de
iones, o para separar iones de diferente masa. En cierto diseño de un instrumento de este
tipo, se aceleran iones de masa m y carga q a través de una diferencia de potencial V, los
cuales entran después en un campo magnético uniforme perpendicular a su velocidad, y
son desviados en una trayectoria circular de radio R. Un detector mide el punto donde
los iones completan el semicírculo, y a partir de esto es fácil calcular R.
a) Deduzca una ecuación para calcular la masa del ion a partir de mediciones de B, V, R
y q.
b) ¿Qué diferencia de potencial se necesita para que los átomos de ‘2C monoionizados
tengan un R = 50,0 cm en un campo magnético de 0.150 T?
c) Suponga que el haz se compone de una mezcla de iones 12
C y 14
C. Si V y B tienen los
mismos valores que en el inciso (b), calcule la separación de estos dos isótopos en el

detector. ¿Considera usted que esta separación entre los haces basta para distinguir los
dos iones?
Solución.
a) Durante la aceleración de los iones:
m
qV
v
mv
qV
2
2
1 2
=
=
En el campo magnético:
V
R
qB
m
qB
m
qB
mv
R m
qV
2
2
2
2
=
=
=
b)
)
10
66
,
1
(
)
12
(
2
)
500
,
0
(
)
150
,
0
(
)
10
60
,
1
(
2 27
2
2
19
2
2
−
−
×
×
=
m
R
qB
V
V
10
26
,
2 4
×
=
V
c) Los iones son separados por las diferencias en sus diámetros.
2
2
2
2
qB
Vm
R
D =
=
12
2
14
2
12
14
2
2
2
2
qB
Vm
qB
Vm
D
D
D −
=
−
=
Δ = ( )
12
14
)
amu
1
(
2
2 2
−
qB
V
=
( )
12
14
)
150
,
0
(
)
10
6
,
1
(
)
10
66
,
1
)(
10
26
,
2
(
2
2 2
19
27
4
−
×
×
×
−
−
= cm
8
m
10
01
,
8 2
≈
× −
Fácilmente distinguible.

27.72 La espira triangular de alambre que se muestra en la figura conduce una corriente
I = 5,00 A en el sentido que se indica.
La espira se encuentra en un campo magnético uniforme de magnitud B = 3,00 T.
orientado en la misma dirección que la corriente en el lado PQ de la espira.
a) Halle la fuerza que el campo magnético ejerce sobre cada lado diferente de cero,
especifique su dirección.
b) ¿Cuál es la fuerza neta sobre la espira?
c) La espira gira alrededor de un eje situado a lo largo del lado PR. Con base en las
fuerzas calculadas en el inciso (a), calcule el momento de torsión sobre cada lado de la
espira.
d) ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión neto sobre la espira? Calcule el
momento de torsión neto a partir de los momentos de torsión calculados en el inciso (c).
¿Coinciden estos resultados?
e) ¿Está dirigido el momento de torsión de modo que hace girar el punto Q hacia el
plano de la figura o hacia afuera de este plano?
Solución.
a)
→
→
→
×
= B
I
F l ⇒ )
0
(
)
00
,
3
(
)
600
,
0
(
)
00
,
5
( °
= sen
FPQ = 0 N,
)
90
(
sen
)
(3,00
(0,800)
)
00
,
5
( °
=
RP
F = 12,0 N (entrando a la página),
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
00
,
1
800
,
0
)
(300
(1,00)
)
00
,
5
(
QR
F = 12,0 N (saliendo de la página).
b) La fuerza neta sobre la espira triangular de alambre es cero.
c) Para calcular el torque sobre un alambre uniforme cabe suponer que la fuerza sobre
el alambre se aplica en su centro. Además, tenga en cuenta que nos encontramos con el
torque con respecto a al eje PR (no alrededor de un punto), y, en consecuencia, el brazo
de palanca será la distancia desde el centro del alambre al eje x.
)
(
sen θ
rF
F
r =
×
=
→
→
→
τ ⇒ 0
N)
0
( =
= r
τPQ , 0
sen
)
m
0
( =
= θ
F
τRP ,
)
90
(
sen
)
0
,
12
(
)
300
,
0
( °
=
QR
τ = 3,60 Nm ( hacia la derecha y paralela a PR).
d) φ
sen
NIAB
τ = = sen90º
800)(3,00)
(0,600)(0,
2
1
)
00
,
5
)(
1
( ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= 3,60 Nm, que concuerda
con la parte (c).
e) El punto Q será rotado fuera del plano de la figura.
27.75 La espira rectangular de alambre que se muestra en la figura tiene una masa de
0,15 g por centímetro de longitud y gira en torno al lado ab sobre un eje sin fricción. La
corriente en el alambre es de 8,2 A, en el sentido que se indica. Encuentre la magnitud y

dirección del campo magnético paralelo al eje y que provocará que la espira se balancee
hasta que su plano forme un ángulo de 30,0° con el plano yz.
Solución.
Sumando los torques sobre el alambre de la gravedad y el campo magnético nos permite
encontrar el valor de campo magnético.
°
= 60
sen
IAB
τB = °
60
sen
)(0,080)
060
,
0
)(
2
,
8
(
B =(0,0341 Nm/T) B,
Hay tres lados para considerar el torque de la gravedad, dando lugar a:
φ
φ
τ sen
2
sen 8
8
6
6 l
l g
m
g
m
g +
= ,
Donde 6
l es el brazo de momento del eje al lado lejano de 6 cm y la pierna y 8
l es el
brazo de momento del pivote a los centros de masa de las piernas de 8 cm.
⇒ ]
(8)(0,040)
2(0,00015)
(0,080)
(6)
[(0,00015)
30
)sen
8
,
9
( +
°
=
g
τ
⇒ Nm
10
23
,
8 4
−
×
=
g
τ
⇒
T
/
Nm
0,0341
Nm
10
8,23 4
−
×
=
B = 0,024 T, en la dirección y.
27.79 Bobina de voz. Se ha demostrado que la fuerza neta sobre una espira de corriente
en un campo magnético uniforme es cero. La fuerza magnética sobre la bobina de voz
de un altavoz es diferente de cero porque en la bobina el campo magnético no es
uniforme.
Cierta bobina de voz de un altavoz tiene 50 espiras de alambre y un diámetro de
1,56cm, y la corriente en la bobina es de 0,950 A. Suponga que el campo magnético en
cada punto de la bobina tiene una magnitud constante de 0,220 T y está dirigido a un
ángulo de 60.0° hacia afuera respecto a la normal al plano de la bobina (Fig. 27.6 1). El
eje de la bobina está en la dirección y. La corriente en la bobina tiene el sentido que se
indica (en sentido contrario a las manecillas del reloj vista desde un punto encima de la

bobina sobre el eje de las y). Calcule la magnitud y dirección de la fuerza magnética
neta sobre la bobina.
Solución.
Las componentes y del campo magnético proporcionan fuerzas que se cancelan a
medida que avanza en toda la espira. Las componentes x del campo magnético, sin
embargo, ofrecen una fuerza neta en el de dirección y.
∫
∫ °
=
°
=
R
d
NIB
d
NIB
F
π
2
0
60
sin
60
sen l
l = °
60
sen
2 RNIB
π =
°
60
sin
)
220
,
0
(
)
950
,
0
)(
50
)(
2
/
0156
,
0
(
2π = 0,444 N.
27.83 Un alambre aislado de masa m = 5,40 x l0-5
kg está doblado en forma de U
invertida, de tal modo que la parte horizontal tiene una longitud l = 15,0 cm. Los
extremos doblados del alambre están parcialmente inmersos en dos depósitos de
mercurio, con 2,5 cm de cada extremo abajo de la superficie del mercurio. La estructura
entera se halla en una región que contiene un campo magnético uniforme de 0,00650 T
dirigido hacia la parte interna de la página . Se establece una conexión eléctrica entre los
depósitos de mercurio a través de los extremos del alambre. Los depósitos de mercurio
están conectados a una batería de 1,50 V y a un interruptor S. Cuando se cierra el
interruptor S, el alambre salta 35,0 cm en el aire, medidos respecto a su posición
original,
a) Determine la rapidez v del alambre en el momento en que sale del mercurio.
b) Suponiendo que la corriente 1 a través del alambre fue constante desde el momento
en que se cerró el interruptor hasta que el alambre salió del mercurio, halle l .
c) Sin tener en cuenta la resistencia del mercurio y de los alambres del circuito,
determine la resistencia del alambre móvil
.
Solución.

a) m,
0,325
m
0,025
m
350
,
0 =
−
=
Δy tenemos que restar la cantidad sumergida
porque la barra se acelera cuando sale del depósito de mercurio y, por tanto, no ha
alcanzado 0
v aun.
y
g
v
v Δ
−
=
= 2
0
2
0
2
⇒ y
g
v Δ
= 2
0 ⇒ )
325
,
0
)(
8
,
9
(
2
0 =
v = 2,52 m/s.
b) En una distancia de 0,025 m la velocidad del alambre se incrementa de cero a 2,52
m/s.
⇒
2(0,025)
)
(2,52
2
2
2
=
Δ
=
y
v
a = 127 m/s2
. Pero
ma
mg
ILB
F =
−
=
⇒
LB
a
g
m
I
)
( +
= =
(0,00650)
(0,15)
9,8)
)(127
10
(5,40 5
+
× −
=7,58 A.
c) IR
V = ⇒
A
V
I
V
R
58
.
7
50
.
1
=
= = 0,20 Ω.
27.85 Una espira circular de área A yace en el plano xy. Vista a lo largo del eje z
mirando en la dirección z hacia el origen, una corriente I circula en el sentido horario en
torno a la espira. El torque que produce un campo magnético externo
→
B está dado por
( )
j
i
D ˆ
3
ˆ
4 −
=
→
τ , donde D es una constante positiva, y con esta orientación de la espira la
energía potencial
→
→
= B
U .
μ es negativa. La magnitud del campo magnético es B0 =
13D/IA.
a) Determine el momento magnético vectorial de la espira de corriente.
b) Proporcione las componentes Bx, By y Bz de
→
B .
Solución.
a) k
IA
n
IA ˆ
ˆ −
=
=
→
μ usando la regla de la mano derecha.
b)
z
B
0
0
ˆ
ˆ
ˆ
y
x B
B
IA
k
j
i
B −
=
×
=
→
→
→
μ
τ = )
(
ˆ
)
(
ˆ x
y IAB
j
IAB
i − .
Pero j
D
i
D ˆ
3
ˆ
4 −
=
→
τ , luego D
IAB
D,
IAB x
y 3
4 −
=
−
=
⇒
IA
D
Bx
3
= , .
4
IA
D
By =
Pero
IA
D
B
B
B
B z
y
x
13
2
2
2
0 =
+
+
= , luego
IA
D
B
A
I
D
z
13
25 2
2
2
2
=
+
⇒
IA
D
Bz
12
±
= , pero 0
. <
−
=
→
→
B
U μ , luego tomamos
IA
D
B
12
z −
= .

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