Este documento proporciona una revisión de conceptos básicos sobre matrices, incluyendo definiciones de elementos, tamaños, sumas, multiplicaciones por escalares, transposición, y sistemas de ecuaciones lineales. También cubre matrices especiales como triangulares, diagonales, cero e identidad.

1. 5. Repaso de matrices
1
(© Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)

2. Matrices
 a11 a12  a1n 
Elemento: aij  
Tamaño: m × n  a21 a22  a2 n 
   
Matriz cuadrada: n × n  
a am 2  amn 
(orden n)  m1 
Elementos de la diagonal: ann
 a1 
Vector columna  
(matriz n x 1)  a2 
 
 
a 
 n
Vector fila
(a1 a2  an )
(matriz 1 x n) 2

3.  2 −1 3  4 7 − 8
Suma:    
A= 0 4 6 , B =  9 3 5
 − 6 10 − 5   1 −1 2
   
 2+4 −1+ 7 3 + (−8)   6 6 −5 
   
A+B = 0+9 4+3 6+5  = 9 7 11 
 − 6 +1 10 + (−1) − 5 + 2   − 5 9 −3 
   
Multiplicación por un escalar:
 ka11 ka12  ka1n 
 
 ka21 ka22  ka2 n 
kA =  = (k aij ) m×n
  

 ka 
 m1 kam 2  kamn 
 3

4. Si A, B, C son matrices m×n, k1 y k2 son escalares:
(i) A+B=B+A
(ii) A + (B + C) = (A + B) + C
(iii) (k1k2) A = k1(k2A)
(iv) 1A=A
(v) k1(A + B) = k1A + k1B
(vi) (k1 + k2) A = k1A + k2A
4

5. Multiplicación:
4 7  9 − 2
(a) A =  ,B= 
 3 5 6 8
 4． + 7．6 4．(−2) + 7．   78 48 
9 8
AB =  = 
． ． ． ．
 3 9 + 5 6 3 (−2) + 5 6   57 34 
5 8
(b) A =  1 0  , B =  − 4 − 3 
   
2 7  2 0
 
． ． ． ．
 5 (−4) + 8 2 5 (−3) + 8 0   − 4 − 15 
   
AB =  1 (−4) + 0．2 1 (−3) + 0．0  =  − 4 − 3 
． ．
 2．(−4) + 7．2 2．(−3) + 7．0   6 − 6 
   
5
Nota: En general, AB ≠ BA

6. Transpuesta de una matriz A:
 a11 a21  am1 
 
T  a12 a22  am 2 
A =
  

a 
 1n a2 n  amn 

(i) (AT)T = A
(ii) (A + B)T = AT + BT
(iii) (AB)T = BTAT
(iv) (kA)T = kAT
Nota: (A + B + C)T = AT + BT + CT
(ABC)T = CTBTAT 6

7. Matriz cero 0 0
0 0 0  
0= ,0=  , 0 = 0 0
0 0 0 0 0
A+0=A  
A + (–A) = 0
Matrices triangulares
 − 2 0 0 0 0
1 2 3 4  
   1 6 0 0 0
0 5 6 7  8 9 3 0 0
0 0 8 9  
   1 1 1 2 0
0 0 0 1
   15 2 3 4 1 
 
Triangular superior Triangular inferior 7

8. Matriz diagonal:
Matriz cuadrada n × n, i ≠ j, aij = 0
7 0 0
  5 0 1 0
0 1
2 0  =5 
0 0 5 0 1
 0 1

Matriz identidad:
1 0 0  0
 
A: m × n, entonces 0 1 0  0
Im A = A I n = A  

0 0 0  
 1

8

9. Una matiz A n × n es simétrica si AT = A.
1 2 7
 
A =  2 5 6
7 6 4
 
1 2 7
T  
A = 2 5 6 = A
7 6 4
 
9

10. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales:
a11x1 + a12 x2 +  + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 +  + a2 n xn = b2
 
am1 x1 + am 2 x2 +  + amn xn = bm
Matriz aumentada
asociada, para resolver  a11 a12  a1n b1 
el sistema de ecuaciones  
lineales.  a21 a22  a2 n b2 
    

a 
 m1 am 2  amn bm  
10

11. 2x1 + 6x2 + x3 = 7 2 6 1 7  1 2 − 1 − 1
  R12  
x1 + 2x2 – x3 = –1  1 2 − 1 − 1 ⇒ 2 6 1 7
5 7 − 4 9  5 7 − 4 9
5x1 + 7x2 – 4x3 = 9    
− 2 R1 + R2 1 2 − 1 − 1 1 2 − 1 − 1
   
−5 R1 + R3 1
2 R2
⇒ 0 2 3 9 ⇒ 0 1 3
2
9
2
0 − 3 1 14  0 − 3 1 14 
   
 1 2 − 1 − 1  1 2 − 1 − 1
   
3 R2 + R3 2
11R3
⇒ 0 1
3
2
9
2 ⇒ 0 1
3
2
9
2
 0 0 11 55  0 0 1 5
 2 2  
x1 + 2 x2 − x3 = −1
x3 = 5, x2 = –3, x1 = 10 3 9
x2 + x3 =
2 2
x3 = 5 11

12. Resolver mediante el método de Gauss-Jordan
x1 + 3x2 – 2x3 = – 7
4x1 + x2 + 3x3 = 5
2x1 – 5x2 + 7x3 = 19
1 3 − 2 − 7 −4 R1 + R2 1 3 − 2 − 7
  −2 R1 + R3  
4 1 3 5 ⇒ 0 − 11 11 33 
2 −5 7 19  0 − 11 11 33 
   
− 111R2
− 111R3 
1 3 − 2 − 7 −3 R2 + R1 1 0 1 2
  − R2 + R3  
⇒ 0 1 −1 − 3 ⇒ 0 1 −1 − 3
0 1 −1 − 3 0 0 0 0
   
Entonces: x2 – x3 = –3
x1 + x3 = 2
Haciendo x3 = t, tenemos x2 = –3 + t, x1 = 2 – t. 12

13. Resolver: x1 + x2 = 1
4x1 − x2 = −6
2x1 – 3x2 = 8
1 1 1  1 0 − 1
   
 4 −1 − 6 ⇒  0 1 2
2 − 3 8  0 0 16 
   
0 + 0 = 16 !! ⇒ No tiene soluciones.
13

14. Vectores fila:
 a11 a12  a1n 
 
 a21 a22  a2 n  u1 = (a11 a12 … a1n),
A=
   u2 = (a21 a22, … a2n),…,

a 
 m1 am 2  amn 
 um = (am1 am2 … amn)
Vectores columna: El rango de una
 a11   a12   a1n  matriz A m × n, es el
      máximo número de
 a21   a22   a2 n  vectores fila
v1 =   , v 2 =    , , v n =   
 linealmente

a   
a   
a  
 m1   m2   mn  independientes.
1 1 − 1 3  −3 R1+ R2  1
2 R +R 1 − 1 3  −21R2 + R3  1 1 − 1
1
3
  − 1 3   4 R2  
A = 2 − 2 6 8 ⇒  0 − 4 8 2 ⇒ 0 1 − 2 − 2  1
3 5 − 7 8 0 2 − 4 − 1 0 0 0 0
     
14
⇒rang A = 2.

15. AX = 0
Siempre hay soluciones
(consistente)
Solución única X = 0 Infinitas soluciones
(solución trivial) Rang(A) < n
rang(A) = n n – r parámetros
15

16. AX = B, B≠0
Consistente Inconsistente
rang(A) = rang(A│B) rang(A) < rang(A│B)
Solución única Infinitas soluciones
rang(A) = n rang(A) < n
n – r parámetros
16

17. Determinantes
a11 a12
det A = = a11a22 − a12 a21
a21 a22
a11 a12 a13
det A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a13a22 a31
−a a a −a a a .
11 23 32 12 21 33
a22 a23  a21 a23  a21 a22
det A = a11 + a12  −
 a  + a13

a32 a33  31 a33  a31 a32
Expansión por cofactores a lo largo de la primera fila. 17

18. a11 a12 a13 El cofactor de aij es
det A = a21 a22 a23 Cij = (–1)i+ j Mij
a31 a32 a33 donde Mij se llama menor.
a22 a23 a21 a23 a21 a22
C11 = C12 = − C13 =
a32 a33 a31 a33 a31 a32
det A = a11C11 + a12C12 + a13C13
... O por la tercera fila:
det A = a31C31 + a32C32 + a33C33
Podemos expandir por filas o columnas.
18

19. 2 4 7 2 4 7
 
A =  6 0 3 det A = 6 0 3 = 2C11 + 4C12 + 7C13
1 5 3 1 5 3
 
2 4 7
1+1 1+1 0 3
C11 = (−1) 6 0 3 = (−1)
5 3
1 5 3
2 4 7
1+ 2 6 3
C12 = (−1)1+ 2 6 0 3 = (−1)
1 3
1 5 3
2 4 7
1+3 6 0
C13 = (−1)1+3 6 0 3 = (−1)
1 5
1 5 3 19

20. 2 4 7
det A = 6 0 3 = 2C11 + 4C12 + 7C13
1 5 3
1+1 0 3 1+ 2 6 3 1+3 6 0
det A = 2(−1) + 4(−1) + 7(−1)
5 3 1 3 1 5
= 2[0(3) − 3(5)] − 4[6(3) − 3(1)] + 7[6(5) − 0(1)] = 120
Más corto desarrollando por la segunda fila...
det A = 6C21 + 0C22 + 3C23
1+ 2 4 7 2+3 2 4
= 6(−1) + 3(−1)
5 3 1 5
= −6(−23) − 3(6) = 120 20

21.  6 5 0 
 
A =  −1 8 − 7
− 2 4 0 
 
6 5 0
det A = − 1 8 − 7 = 0C13 + (−7)C23 + 0C33
−2 4 0
6 5 0
2+3 2+3 6 5
= (−7)(−1) 1 8 7 = (−7)(−1)
−2 4
−2 4 0
= 7[6(4) − 5(−2)] = 238
21

22. det AT = det A
5 7 T 5 3
det A = = −41 det A = = −41
3 −4 7 −4
Si dos filas (columnas) de una matriz A de n × n
son idénticas, entonces det A = 0.
 6 2 2 6 2 2
 
A =  4 2 2 det A = 4 2 2 = 0
9 2 2 9 2 2
 
22

23. Si todos los elementos de una fila (columna) de una
matriz A de n × n son cero, entonces det A = 0.
Si B es la matriz obtenida por intercambio de
dos filas (columnas) de una matriz A n × n,
entonces:
det B = −det A
2 1 3 4 −1 9
det B = 6 0 7 = − 6 0 7 = − det A
4 −1 9 2 1 3
23

24. Si B se obtiene de una matriz A n × n multiplicando
una fila (columna) por un número real k, entonces:
det B = k det A
det B = kai1Ci1 + kai 2Ci 2 +  + kain Cin
= k (ai1Ci1 + ai 2Ci 2 +  + ain Cin ) = k det A
   
expansión de det A por cofactores a lo largo de la i -ésima fila
5 8 1 8 1 1
=5 = 5．8
20 16 4 16 4 2
1 1
= 5． ．2
8 = 80(1 − 2) = −80
2 1 24

25. Si A y B son matrices n × n, entonces
det AB = det A ⋅ det B.
 2 6  3 − 4
A= , B= 
 1 − 1 − 3 5
 − 12 22 
AB =  
 6 − 9
det AB = −24, det A = −8, det B = 3,
det AB = det A ⋅ det B.
25

26. Si B se obtiene como combinaciones lineales de
filas o columnas de una matriz A n × n, entonces:
det B = det A
5 1 2  −3 R + R  5 1 2
  1 3 
A =  3 0 7 ⇒  3 0 7 = B
 4 −1 4  − 11 − 4 − 2 
   
det A = 45 = det B = 45.
26

27.  a11 0 0 a22 0
  det A = a11 =
A =  a21 a22 0 a32 a33
a a32 a33 
 31  a11 (a22 a33 − 0 ．a32 ) = a11a22 a33
matriz triangular inferior
3 0 00 3 0 0 0
 
2 6 0 0 2 6 0 0
A= det A = =
5 9 −4 0 5 9 −4 0

7 
 2 4 − 2
 7 2 4 −2
3 ．6 ．(−4) ．(−2) = 144
matriz diagonal
− 3 0 0 −3 0 0
 
A =  0 6 0 det A = 0 6 0 = (−3)．6．4 = −72
 0 0 4
  0 0 4 27

28. Supongamos que A es una matriz n × n.
Si ai1, ai2, …, ain son los elementos de la i-ésima fila
y Ck1, Ck2, …, Ckn son los cofactores de la k-ésima
fila, entonces:
ai1 Ck1 + ai2 Ck2 + …+ ain Ckn = 0, para i ≠ k
Igualmente, si a1j, a2j, …, anj son los elementos de la
j-ésima columna y C1k, C2k, …, Cnk son los
cofactores de la k-ésima columna, entonces:
a1j C1k + a2j C2k + …+ anj Cnk = 0, para j ≠ k 28

29. Demostración
Sea B la matriz que obtenemos de A al
cambiarle los elementos de la i-ésima fila por los
de su k-ésima fila:
bi1 = ak1, bi2 = ak2, …, bin = akn
B tendrá entonces dos filas idénticas de modo
que det B = 0, y:
0 = det B = ak1Ck1 + ak 2Ck 2 +  + aknCkn
= ai1Ck1 + ai 2Ck 2 +  + ainCkn
29

30.  6 2 7
 
A =  − 4 − 3 2
 2 4 8
 
a11C31 + a12C32 + a13C33
2 7  6 7  6 2
=6 + 2 −
 −4 2 +7 −4 −3

−3 2  
= 6(25) + 2(−40) + 7(−10) = 0
30

31. Inversa de un matriz
Sea A una matriz n × n. Si existe una matriz
n × n B tal que
AB = BA = I
donde I es la matriz identidad n × n, entonces
se dice que A es una matriz no singular o
invertible. Y B es la matriz inversa de A.
Si A carece de inversa, se dice que es una
matriz singular.
Sean A, B matrices no singulares.
(i) (A-1)-1 = A
(ii) (AB)-1 = B-1A-1
(iii) (AT)-1 = (A-1)T 31

32. Matriz adjunta
Sea A una matriz n × n. La matriz formada por
la transpuesta de la matriz de cofactores
correspondientes a los elementos de A:
T
 C11 C12  C1n   C11 C21  Cn1 
   
 C21 C22  C2 n   C12 C22  Cn 2 
  =
    

C 
 
C 
 n1 Cn 2  Cnn   1n C2 n  Cnn 

se llama adjunta de A y se denota por adj A.
32

33. Encontrar la matriz inversa:
Sea A una matriz n × n. Si det A ≠ 0, entonces:
 1 
−1
A =  adj A
 det A 
Para n =3:
 a11 a12 a13   C11 C21 C31 
  
A(adj A) =  a21 a22 a23   C12 C22 C32 
a a32 a33   C13 C23 C33 
 31  
 det A 0 0 
 
= 0 det A 0 
 0 0 det A 
  33

34. 1 4 
A= 
 2 10 
−11  10 − 4   5 − 2 
A =  = 
2− 2 1  − 1 1
2
−1 1 4  5 − 2  5 − 4 − 2 + 2  1 0
AA =   = = 
 2 10   − 1 12  10 − 10 − 4 + 5   0 1
−1 5 − 2   1 4   5 − 4 20 − 20   1 0 
A A=  = = 
 −1 1
2   2 10   − 1 + 1 − 4 + 5   0 1
34

35.  2 2 0
 
A =  − 2 1 1
 3 0 1
 
1 1 −2 1 −2 1
C11 = = 1 C12 = − =5 C13 = − = −3
0 1 3 1 3 0
2 0 2 0 2 2
C21 = − = −2 C22 = = 2 C23 = − =6
0 1 3 1 3 0
2 0 2 0 2 2
C31 = =2 C32 = − = −2 C33 = =6
1 1 −2 1 −2 1
 1 −2 2   112 − 16 1
6
−1 1   5 
A =  5 2 − 2  =  12 1
6 − 6
1
12 
 −3 6 6   − 14
  1
2
1 
2 35

36.  a11 a12  a1n 1 0  0
 2 0 1  
   a21 a22  a2 n
( A | I) = 
0 1  0
A =  − 2 3 4    
 − 5 5 6 
a 
   n1 an 2  ann 0 0  1

 2 0 1 1 0 0 1
2 R1  1 0 1
2
1
2 0 0
   
 − 2 3 4 0 1 0 ⇒ − 2 3 4 0 1 0
 − 5 5 6 0 0 1 −5 5 6 0 0 1
   
2 R1 + R2
5 R1 + R3 1 0 1
2
1
2 0 0
 
⇒ 0 3 5 1 1 0
0 5 17 5 0 1
 2 2 
36

37. 1
3 R2
1 R 1 0 1
2
1
2 0 0
5 3
 
⇒ 0 1 5
3
1
3
1
3 0
0 1 17 1 0 15 
 10 2 
− R2 + R3 1 0 1
2
1
2 0 0
 
⇒ 0 1 5
3
1
3
1
3 0
0 0 1 1 − 1 3 15 
 30 6 
30 R3 1 0 1
2
1
2 0 0
 
⇒ 0 1
5
3
1
3
1
3 0
0 0 1 5 − 10 6 
 
− 12 R3 + R1
− 5 3 R3 + R2 1 0 0 −2 5 − 3 − 2 5 − 3
   
⇒ 0 1 0 − 8
−1
17 − 10  A =  − 8 17 − 10 
0 0 1 5 − 10 6  5 − 10 6
   37 

38.  1 −1 − 2  1 −1 − 2 1 0 0
   
A = 2 4 5
 6 0 − 3 2 4 5 0 1 0
   6 0 − 3 0 0 1
 
− 2 R1 + R2  1 −1 − 2 1 0 0
 
⇒ 0 6 9 − 2 1 0
6 0 − 3 0 0 1
 
−6 R1 + R3  1 −1 − 2 1 0 0
 
⇒ 0 6 9 − 2 1 0
0 6 9 −6 0 1
 
− R2 + R3  1 −1 − 2 1 0 0
 
⇒ 0 6 9 − 2 1 0
0 0 0 − 4 −1 1
Singular
 
38

39. a11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 +  + a2 n xn = b2
  AX = B
am1 x1 + am 2 x2 +  + amn xn = bm
 a11 a12  a1n   x1   b1 
     
 a21 a22  a2 n   x2   b2 
A= , X= , B= 
    

a 
  
x   
b 
 m1 am 2  amn   n  m
Si m = n, y A es no singular, entonces:
X = A-1B 39

40. 2 x1 − 9 x2 = 15  2 − 9   x1  15 
  = 
3 x1 + 6 x2 = 16 3 6   x2  16 
−1
2 −9  2 − 9 1  6 9
= 39 ≠ 0   =  
3 6 3 6 39  − 3 2 
 x1  1  6 9  15  1  234   6 
 =   =   = − 1
 x2  39  − 3 2  16  39  − 13   3 
 
x1 = 6 , x2 = −1/ 3
40

41. 2 x1 + x3 = 2  2 0 1
 
5 x1 + 5 x2 + 6 x3 = −1 A =  − 2 3 4
− 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 4  − 5 5 6
 
−1
 x1   2 0 1  2 
     
 x2  =  − 2 3 4  4
x  −5 5 6   − 1
 3    
− 2 5 − 3   2   19 
    
= −8 17 − 10   4  =  62 
 5 − 10 6   − 1  − 36 
    
x1 = 19 , x2 = 62 , x3 = −36
41

42.  C11 C21  Cn1   b1 
  
-1 1  C12 C22  Cn 2   b2 
X=A B=
det A      

C  
 1n C2 n  Cnn   bn 
 
 b1C11 + b2C21 +  + bncn1 
 
1  b1C12 + b2C22 +  + bncn 2 
=
det A   

b C + b C + + b c  
 1 1n 2 2 n n nn 
b1C1k + b2C2 k +  + bnCnk
Regla xk =
de det A
Cramer det A k
=
det A 42

43. a11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn = 0
a21 x1 + a22 x2 +  + a2 n xn = 0
 
am1 x1 + am 2 x2 +  + amn xn = 0
Un sistema homogéneo de n ecuaciones
lineales, AX = 0 tiene solo la solución trivial
(ceros) si y solo si A es no singular.
Un sistema homogéneo de n ecuaciones
lineales, AX = 0 tiene una solución no
trivial si y solo si A es singular.
43

44. Problemas de autovalores
DEFINICIÓN
Autovalores y autovectores
Sea A una matriz n × n. Un número λ se dice
que es un autovalor de A si existe una solución
vector K, distinto de cero para:
AK = λK
El vector solución K es el autovector
correspondiente al autovalor λ.
Los autovalores de una matriz triangular,
inferior o superior, o de una matriz diagonal son
los elementos de la diagonal. 44

45.  1
 
Verifica que K =  − 1 es el autovector de la
matriz:  1
   0 − 1 − 3
 
A= 2 3 3
− 2 1 1
 
Solución
 0 − 1 − 3   1  − 2   1
      
AK =  2 3 3   − 1 =  2  = (−2) − 1 = (−2)K
− 2 1 1  1  − 2   1
      
Autovalor
45

46. • Podemos escribir AK = λK como:
(A – λI)K = 0
Que es lo mismo que un sistema de ecuaciones lineales
homogéneo. Si queremos que K sea una solución
distinta de cero, debería ocurrir que:
det (A – λI) = 0
Observa que det (A – λI) nos proporcionará un
polinomio de grado n, que llamaremos ecuación
característica. 46

47. Encuentra los autovalores y autovectores de:
 1 2 1
 
A =  6 −1 0
 − 1 − 2 − 1
(A – λI)K = 0
 
1− λ 2 1
det( A − λI ) = 6 −1− λ 0 =0
−1 −2 −1− λ
–λ3 – λ2 + 12λ = 0
Ahora encontraremos los
λ (λ + 4) (λ – 3) = 0 autovectores para cada
λ = 0, −4, 3. autovalor.
47

48. (i) λ1 = 0 (A – λ1I)K = 0
 1 2 1 0  −6 1 ++ R2  1
R1
R R3 2 1 0
   
( A + 0I | 0) =  6 − 1 0 0  ⇒  0 − 13 − 6 0 
 −1 − 2 −1 0 0 0 0 0
   
− 113 R2  1 2 1 0  −2 R2 + R1  1 0 113 0 
   
⇒  0 1 13 0  ⇒  0 1 13 0 
6 6
0 0 0 0 0 0 0 0
   
1 6
k1 = − k3 , k2 = − k3
13 13
 1
 
Tomando k3 = −13 K1 =  6 
 − 13 
  48

49. (ii) λ2 = −4  5 2 1 0
 
( A + 4I | 0) =  6 3 0 0
 −1 − 2 3 0
 
(A – λ2I)K = 0 − R3

R13 1 2 − 3 0  −5 R1 + R3  1
−
6 R1 + R2
2 − 3 0
   
⇒  6 3 0 0  ⇒  0 − 9 18 0 
5 2 1 0  0 − 8 16 0 
   
− 19 R2 − 2 R2 + R1
− 18 R3  1 2 − 3 0 − 2 R2 + R3 1 0 1 0
   
⇒ 0 1 − 2 0 ⇒  0 1 − 2 0
0 1 − 2 0 0 0 0 0
   
 − 1
 
k1 = −k3 , k2 = 2k3. Tomando k3 = 1: K2 =  2
 1
 
49

50. (iii) λ3 = 3 (A – λ3I)K = 0
− 2 2 1 0 1 0 1 0
   
( A − 3I | 0) =  6 − 4 0 0 ⇒ 0 1 3
2 0
 −1 − 2 − 4 0  0 0 0 0
   
k1 = – k3, k2 = –(3/2) k3. Y tomando k3 = –2,
 2
 
K 3 =  3
 − 2
 
50

51. Encuentra los autovalores y autovectores de:
 3 4
A= 
 −1 7
3−λ 4
det( A − λI ) = = (λ − 5) 2 = 0
−1 7 − λ
λ1 = λ2 = 5 es un autovalor de multiplicidad 2.
A partir de (A – 5I|0), tenemos: − 2k1 + 4k2 = 0
Tomando k2 = 1, tenemos − k1 + 2k2 = 0
k1 = 2, y entonces  2
K1 =  
1
51

52. Encuentra los autovalores 9 1 1
y autovectores de:  
A = 1 9 1
1 1 9
 
9−λ 1 1
det( A − λI ) = 1 9−λ 1 = −(λ − 11)(λ − 8) = 0
2
1 1 9−λ
λ1 = 11, λ2 = λ3 = 8 (multiplicidad 2).
52

53. (i) λ1 = 11, por el método de Gauss-Jordan:
− 2 1 1 0  1 0 −1 0
   
( A − 11I | 0) =  1 − 2 1 0 ⇒  0 1 −1 0
 1 1 − 2 0  0 0 0 0
   
k1 = k3, k2 = k3. Si k3 = 1, entonces:
 1
 
K 1 =  1
 1
 
53

54. (ii) λ2 = 8,
1 1 1 0   1 1 1 0
   
( A − 8I | 0)3 = 1 1 1 0  ⇒  0 0 0 0
1 1 1 0   0 0 0 0
   
k1 + k2 + k3 = 0. Podemos elegir dos de ellos de manera
arbitraria. Tomemos k2 = 1, k3 = 0:
 − 1
 
Y k2 = 0, k3 = 1: K 2 =  1,
− 1  0
  
 
K3 =  0
 1
  54

55. Autovalores y autovectores complejos
Sea A una matriz cuadrada de elementos reales.
Si λ = α + iβ, β ≠ 0, es un autovalor complejo de A,
entonces su conjugado λ = α − iβ es también un
autovalor de A.
Si K es un autovector correspondiente a λ, entonces
el autovector conjugado K es un autovector
correspondiente a λ .
Demostración:
AK = λK, AK = λ K , AK = λ K
55

56. Encuentra los autovalores
y autovectores de:  6 − 1
A= 
 5 4
6−λ −1
det( A − λI ) = = λ2 − 10λ + 29 = 0
5 4−λ
λ1 = 5 + 2i , λ2 = λ1 = 5 − 2i (A – λ1I)K = 0
(1 − 2i )k1 − k2 = 0
λ1 = 5 + 2i
5k1 − (1 + 2i )k2 = 0
k2 = (1 – 2i) k1, tomando k1 = 1:  1 
K1 =  
1 − 2i 
 1 
λ2 = λ1 = 5 − 2i, K 2 = K1 =  
1 + 2i  56

57. Potencias de una matriz
Sea A, una matriz n × n. Definimos la
potencia m-ésima de A como:
A = AAA  A
m
 
 
m factores
57

58. Teorema de Cayley-Hamilton
Ecuación característica: det (A – λI) = 0
n −1
(−1) λ + cn−1λ
n n
+  + c1λ + c0 = 0
Una matriz A satisface su propia
ecuación característica:
n n n −1
(−1) A + cn−1A +  + c1A + c0I = 0
58

59. Comprobarlo con:
λ2 − λ – 2 = 0.
 − 2 4
A=  Y por el teorema de Cayley-
 −1 3
Hamilton:
A2 − A – 2I = 0
Observa que entonces: A2 = A + 2I y λ2 = λ + 2
Y podemos escribir las sucesivas potencias
de A como:
A3 = AA2 = A(A+ 2I ) = A2 + 2A = 3A + 2I
A4 = AA3 = A (3A+2I) = 3A2+2A = 5A+ 6I
A5 = 11A + 10I
A6 = 21A + 22I
... Am = c1A + c0I ... λm = c1λ + c0 59

60. O sea que podemos escribir:
Am = c1A + c0I y λm = c1 λ + c0
λ2 − λ – 2 = 0; λ1 = −1 , λ2 = 2:
(−1) = c0 + c1 (−1)
m


2 = c0 + c1 (2) 
m

c0 = 1/3[2m + 2(−1) m ], c1 = 1/3[2m − (−1) m ]
 13 [−2m + 4(−1) m ] 4 [2m − (−1) m ] 
Am = 
 − 1 [2m − (−1) m ]
3
m+ 2 m 

 3 1 [2
3 − (−1) ] 
60

61. Y en general, para una matriz de orden n:
Am = c0I + c1A + c2A2 +…+ cn–1An–1
λm = c0 + c1 λ + c2 λ 2 +…+ cn–1 λ n–1
donde los ck (k = 0, 1,…, n–1), dependen de m.
61

62. Calcula A para:
m  1 1 − 2
 
A =  −1 2 1
 0 1 − 1
Solución  
λ3 + 2 λ2 + λ – 2 = 0, λ= –1, 1, 2.
Am = c0I + c1A +c2A2
λm = c0 + c1λ + c2 λ2
Con λ1 = –1, λ2 = 1, λ3 = 2, obtenemos:
m m
c0 = 1
3 [3 + ( −1) − 2 ],
(–1) = c0 – c1 + c2
m
c1 = 2[1 − (−1) m ],
1 = c0 + c1 + c2
c2 = 1
6 [−3 + (−1) m + 2m+1 ]
2m = c0 +2c1 + 4c2
62

63. Puesto que Am = c0I + c1A +c2A2, tenemos:
 16 [9 − 2m+1 − ( −1) m ] 1 [ 2m − ( −1) m ] 1 [−9 + 2m+1 + 7(−1) m ] 
m
 3 6

A = 1 − 2m 2m m
2 −1 
 1 [3 − 2m+1 − (−1) m ] 1 [ 2 m − ( −1) m ] 1 [ −3 + 2 m +1 + 7( −1) m ] 
 6 3 6 
Por ejemplo, para m = 10
 − 340 341 341
10  
A =  − 1023 1024 1023 
 − 341 341 342 
 
63

64.  − 2 4 Por el teorema de Cayley-Hamilton:
A=  A2 – A – 2I = 0,
 −1 3 I = (1/2)A2 – (1/2)A,
Multiplicando a ambos lados por A–1 podemos
encontrar la inversa:
A–1 = (1/2)A – (1/2)I
−1
 − 2 4 1  − 2 4  1  1 0   − 32 2 
  =  −  = 1 
 −1 3 2 −1 3 20 1  − 2 1
64

65. Una matriz A n × n es simétrica si A=AT
Si A es simétrica con elementos
reales, entonces los autovalores de
A son reales.
AK = λK, A K = λ K , A K = λ K
Transponiendo y multiplicando por K por la derecha:
K AK = λ K K
T T
0 = (λ − λ ) K K T
T 2 2 2
K K = ( | k1 | + | k2 | + + | kn | ) ≠ 0
⇒ λ − λ = 0 ⇒ λ es real. 65

66. Autovectores ortogonales
Al igual que definimos el producto escalar
entre vectores:
x ⋅ y = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn
podemos definirlo con matrices (vectores fila
o columna):
X ⋅ Y ≡ XT Y = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn
|| X || ≡ XT X = x12 + x2 +  + xn
2 2
Veamos que si A es una matriz n × n simétrica, los
autovectores correspondientes a distintos
(diferentes) autovalores son ortogonales. 66

67. Demostración
Sean λ1,, λ2 dos autovalores distintos correspondientes a los
autovectores K1 y K2.
AK1 = λ1K1 , AK2 = λ2K2
(AK1)T = K1TAT = K1TA = λ1K1T
K1TAK2 = λ1K1TK2 AK2 = λ2K2,
K1TAK2 = λ2K1TK2
0 = λ1K1TK2 − λ2K1TK2
0 = (λ1 − λ2) K1TK2
Como λ1 ≠ λ2, entonces K1TK2 = 0.
67

68.  0 − 1 0  λ = 0, 1, −2 y
  1  − 1  1
A =  − 1 − 1 1      
 0  K 1 =  0  , K 2 =  1 , K 3 =  2 
1 0
 1  1  − 1
     
 − 1
 
K1 K 2 = (1 0 1) 1 = 1 (−1) + 0． + 1 (−1) = 0
T
． 1 ．
 1
 
 1
 
K1 K 3 = (1 0 1) 2  = 1 1 + 0．2 + 1 (−1) = 0
T
． ．
 − 1
 
 1
 
K 2 K 3 = (−1 1 1) 2  = (−1)． + 1 2 + 1 (−1) = 0
T
1 ． ．
 − 1
  68

69. Matriz ortogonal:
Una matriz A n × n no singular es ortogonal si:
A-1 = AT
A es ortogonal si ATA = I.
1 0 0
   13 − 2 3 3
2
I =  0 1 0 I I = II = I
T
 2 
0 0 1 A= 3 2 1
3
  − 2
3
1 2 
 3 3 3
 13 2
3 − 2 3   13 − 2 3 2
3 1 0 0
T  2  2   
A A = − 3 2
3
1
3  3
2
3
1
3  = 0 1 0 = I
 2 1 2  − 2 1 2  0 0 1
 3 3 3  3 3 3  
69

70. Una matriz A n × n es ortogonal si y solo si sus
vectores columnas X1, X2, …, Xn forman un
conjunto ortonormal.
 X1 X1
T
X1 X 2  X1 X n   1 0  0 
T T
 T T T
  
T  X 2 X1 X2 X2  X2 Xn   0 1  0 
A A=  =
  
  
 XT X T T  0 0  1
Xn X2  Xn Xn  

 n 1 
Es decir si: XiTXj = 0, i ≠ j , i, j =1, 2, …, n
XiTXi = 1, i =1, 2, …, n
Los Xi forman un conjunto ortonormal. 70

71.  3 − 3
1 2 2
3
 13   − 23   23 
 2   2   2  1 
A= 3 2
3
1
3
X1 =  3  , X 2 =  3  , X3 =  3  ,
− 2 2 
− 2   1  2 
 3 1
3 3  3  3  3
 − 23 
T  2  2 4 2
X1 X 2 = ( 13 2
3 − 3  3 = − + − = 0
2 )
 1  9 9 9
 3
 23 
T   2 2 4
X1 X3 = ( 3 3 − 3  3  = + − = 0
1 2 2 ) 1
2  9 9 9
 3
 23 
T   4 2 2
X 2 X3 = ( − 3 3 3  3  = − + + = 0
2 2 1 ) 1
2  9 9 9
 3 71

72. Y los vectores son unitarios, ortonormales:
 13 
T   1 4 4
X1 X1 = ( 3 3 − 3  3  = + + = 1
1 2 2 ) 2
− 2  9 9 9
 3
 − 23 
T   4 4 1
X2 X2 = (− 3 3 3  3  = + + = 1
2 2 1 ) 2
 1  9 9 9
 3 
 23 
  4 1 4
XT X3 = ( 2 3
3
1
3 3  3 =
2 ) 1 + + =1
− 2  9 9 9
 3
72

73.  0 −1 0 1  − 1  1
  Vimos      
A =  − 1 − 1 1 K 1 =  0  , K 2 =  1 , K 3 =  2 
 0 1 0 1  1  − 1
       
T
|| K1 || = K1 K1 = 2,  1  − 1   1 
     
 2  3  6
|| K 2 || = K T K 2 = 3,
2  0 ,  1 ,  2 
   3   6
|| K 3 || = K T K 3 = 6
3  1   1   1 
    − 
 2  3   6
 1 1 1 
 − 
 2 3 6
1 2 
P= 0
 3 6
 1 1 1  Verifica que PT = P-1.
 − 
 2 3 6 73

74. Autovalor dominante
Sean λ1 , λ2 ,  , λk ,  , λn los autovalores
de una matriz A n × n. El autovalor λk se
llama autovalor dominante de A si:
| λk | > | λi | , i =1, 2 , 3 ,, n
Un autovector asociado λk se denomina
autovector dominante de A.  2 0 0
 
4 0 A =  0 5 1
A= 
 0 − 4  0 0 5
 
λ1 = −2, λ2 = 2 λ1 = 2, λ2 = λ3 = 574

75. Método de las potencias
Xi = AXi −1 , i = 1, 2, 3,  X1 = AX0
Vector n ×1
X 2 = AX1 = A 2 X0
Supongamos que 
A tiene un autovalor
dominante. X m = AX m−1 = A m X0
Supongamos que |λ1| > |λ2| ≥ … ≥ |λn| con K1, K2, …, Kn
autovectores asociados linealmente independientes. Entonces:
X0 = c1K1 + c2K 2 +  + cnK n
Como AKi = λiKi , entonces:
AX0 = c1AK1 + c2AK2 + … + cnAKn
AX 0 = c1λ1K 1 + c2 λ2 K 2 +  + cn λn K n 75

76. Multiplicando por A sucesivamente:
A 2 X0 = c1λ1AK1 + c2λ2 AK 2 +  + cn λn AK n
= c1λ1 K1 + c2λ2 K 2 +  + cnλ2 K n
2
2 n (...)
A m X0 = c1λ1 K1 + c2λmK 2 +  + cnλmK n
m
2 n
 m
 λ2  2  λn 
m

= λ1  c1K1 + c2   K +  + cn   K n 
m
  λ1   λ1  
 
Como |λ1| > |λi|, i = 2, 3, …, n; cuando m → ∞,
podemos aproximar:
A X0 ≈ λ
m m
1 c1K1
76

77. A X0 ≈ λ
m m
1 c1K1
Observemos que un autovector multiplicado por una
constante sigue siendo un autovector. De modo que
podemos escribir:
Am X0 = Xm
De modo que Xm será una aproximación al autovector
dominante.
Puesto que AK = λK, AK⋅K= λK⋅K
AK ⋅ K AX m ⋅ X m
λ= λ1 ≈
K ⋅K Xm ⋅ Xm
Cociente de Rayleigh.
que nos da una aproximación al autovalor dominante. 77

78. 4 2  4 2   1  6 
A=  X1 = AX0 =   = 
 3 − 1  3 − 1 1  2 
1  4 2   6   28 
X0 =   X 2 = AX1 =   = 
1  3 − 1  2   16 
i 3 4 5 6 7
144   712   3576  17848   89304 
Xi          
 68   364   1772   8956   44588 
A X0 ≈ λ
m m
1 c1K 1
 1 
X 7 = 89304 
 0.4933 

 
78

79. 4 2   1   4.9986 
AX7 =   = 
 3 − 1  0.4993   2.5007 
T
 4.9986   1 
AX7．X7 =     = 6.2472
 2.5007   0.4993 
T
 1   1 
X7．X7 =     = 1.2493
 0.4993   0.4993 
AX7．X7 6.2472
λ1 ≈ = = 5.0006
X7．X7 1.2493
 1   1 
λ1 = 5, λ2 = −2, K1 =   , K 2 =  
 0 .5   − 3
79

80. Matriz diagonalizable
Si existe una matriz P, tal que P-1AP = D sea
diagonal, entonces decimos que A es
diagonalizable.
TEOREMA
Condición suficiente de diagonalizabilidad
Si A es una matriz n × n que tiene n autovectores
K1, K2, …, Kn linealmente independientes, entonces
A es diagonalizable.
80

81. Demostración
• Puesto que P = (K1, K2, K3) es no singular,
entonces existe P-1 y
AP = ( AK1 AK 2 AK 3 ) = (λ1K1 λ2K 2 λ3K 3 )
 λ1 0 0
 
= (K 1 K 2 K 3 ) 0 λ2 0  = PD
0 0 λ3 
 
Así que P-1AP = D.
81

82. Condición suficiente de diagonalización
Si A es una matriz n × n con n autovalores
distintos, entonces es diagonalizable.
 2
 3 4 K1 =  
A=  Tenemos que λ = 5, 5.  1
 −1 7 Y solo podemos encontrar un autovector.
La matriz no puede diagonalizarse.
82

83.  − 5 9
Diagonaliza: A =  
 − 6 10 
−5−λ −9
det( A − λI ) = = λ − 5λ + 4 = (λ − 1)(λ − 4)
2
−6 10 − λ
λ = 1, 4.
 3  1
K1 =  , K 2 =  
 2  1
 3 1  1 − 1
P = (K 1 K2) =  , −1
P = 
 2 1 − 2 3
−1  1 − 1   − 5 9   3 1  1 0 
P AP =    = =D
− 2 3   − 6 10   2 1  0 4 
83

84. λ1 = 0 , λ2 = −4 , λ3 = 3 ,
 1 2 1
   1  − 1  2
A =  6 −1 0      
 − 1 − 2 − 1 K1 =  6  , K 2 =  2  , K 3 =  3 
   − 13   1  − 2
     
 1 −1 2  − 112 0 − 112 
   9 
P = (K 1 K 2 K3) =  6 2 3 −1
P =  − 28 2
7
3
28 
 − 13 1 − 2  8 2 
   21 1
7 21 
 − 112 0 − 112   1 2 1  1 − 1 2
−1  9   
P AP =  − 28 72 3
28   6 −1 0  6 2 3
 8 1 2   − 1 − 2 − 1  − 13 1 − 2
 21 7 21    
0 0 0
 
= 0 − 4 0 = D
0 0 3
  84

85. 0 1 0  1
   
A =  1 0 0 λ = −1, 1, 1. λ = −1 K 1 =  − 1
 0 0 1  0
   
 −1 1 0  1 −1 0
   
λ = 1 ( A − I | 0) =  1 − 1 0  ⇒  0 0 0 
 0 0 0 0 0 0
   
1 0
   
K 2 =  1 , K 3 =  0  junto con K , forman tres vectores
1
0 1 linealmente independientes. Luego la
    matriz es diagonalizable.
 1 1 0  −1 0 0
   
P =  −1 1 0 P-1AP = D D =  0 1 0
 0 0 1  0 0 1
   
85

86. • Si existe una matriz P ortogonal que puede
diagonalizar a A, decimos que A es
ortogonalmente diagonalizable.
• Una matriz A n x n es ortogonalmente
diagonalizable si y solo si es simétrica.
P diagonaliza a A: P-1AP = D, A = PDP-1.
P es ortogonal: P-1 = PT, entonces:
A = PDPT.
AT = (PDPT)T = PDTPT = PDPT = A
Luego A es simétrica.
86