2. Matriz
Definición. Una matrizA es un ordenamiento o arreglo
rectangular de mn números reales denotado por:
Elemento de la matriz A
a11 a1n
a21
A =
a
m1 mn
⁝
a12 ...
a22 ... a2n
⁝ ⋱ ⁝
am2 ... a
Elemento que ocupa la
fila i y la columna j
3. a12 ...
a11 a1n
a21
A =
⁝
fila 1: f1
a
a22 ... a2n
⁝ ⋱ ⁝
am2 ... a
m1 mn
fila m: fm
Columna 1
C1
Columna n
Cn
Observa que hay m filas y n columnas
4. ➢ Llamamos orden de la matrizA a la expresión mxn.
➢ Cuando m ≠ n diremos que la matriz es rectangular.
➢Cuando m = n diremos que A es matriz cuadrada, en este
caso también se dice que la matriz es de orden m.
4
-2 0
3 6
2×3
-2
3 1
2×2
Dadas las matrices: A =
1
y B =
4
a11 = ? , a22 = ?, a23 = ?; b12 = ?; b21 = ?
Determinar:
5. Igualdad de Matrices. Dos matrices A y B, ambas del
mismo orden, son iguales si tienen los mismos
elementos.
1 -2
4 3
1
x + y, halle x e y.
Ejemplo. Si =
Rpta: x = 2 , y = - 4
2x 3
6. 1. Matriz Fila (o Vector Fila): Cuando tiene solo una fila.
-5 3 2
Ejemplo: M1×4 = 1
3×1
E = 2
2. Matriz Columna (o Vector Columna):Cuando tiene
una sola columna.
6
-7
Ejemplo:
0
0
0
B =
0 0 0
0
0 0
3. Matriz Nula: Cuando todos sus elementos son cero.
0 0 0
Ejemplo:A = 0 0
0
7. 4. Matriz Cuadrada: Cuando m = n (N ̊ filas = N ̊ columnas)
8 -2 1
9
A = 3 -5
-6 0
2
Ejemplo:
diagonal principal
n
nn nn
a
A =
n1 n2
a2n
a1n
a11
a21
⁝
a12 ...
a22 ...
⁝ ⋱
a ... a
⁝
Diagonal principal:
8. 5. Matriz Diagonal: Ocurre cuando los elementos que no
pertenecen a la diagonal principal son todos iguales a cero.
8
0
0
2 0 0
Ejemplo: D = 0 4
0
6. Matriz Identidad. Es una matriz diagonal, cuyos elemen-
tos de la diagonal principal son todos iguales a la unidad.
1 0 0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0
0
0 1
1 0
2x2 = 2 =
0 1
1 0 0
, 3x3 = 3 = 0 1
0
0 , 4 =
0 1
9. 7. Matriz triangular superior: Es una matriz cuadrada
cuyos elementos que se encuentran debajo de la
diagonal principal son iguales a cero.
2 -3 1
B = 0 -5
0
7
0
4
0
2
9 0 0
C = -1 4
3 -8
8. Matriz triangular inferior: Matriz cuadrada cuyos elementos
que están por encima de la diagonal principal son iguales
a cero.
Ejemplos
M. triangular
inferior
M. triangular
superior
10. 9. Matriz simétrica. Es una matriz cuadrada donde los ele-
mentos simétricos, respecto de la diagonal, son iguales.
Ejemplo: E = 3 7
1 3 8
2
7
8
8 diagonal principal
11. 10. Transpuesta de una matriz A: Es otra matriz denotada
por At en donde los elementos de la fila y la columna
están intercambiados.
A =
3
0
-1
7 -8
3 0
7
2
At = -1
2
-8
Ejemplo:
12. Operaciones con Matrices
1. Suma ( o resta) de matrices: Las matrices deben tener el
mismo orden. La suma o resta se realiza termino a termino.
-7 + 2 4
Ejemplo: 0
2
5 6
1 -2 6 5 2 9 -4 -6
-1 2 0 3
8 -3 -3 4 -
1
3 7 2 -1
= 2 -1 5 -3
5 1
8
4
Ejemplo: 6
24 -12
4 − 2
1 = 0
2. Multiplicación de un escalar por una matriz
Cada elemento de la matriz se multiplica por el escalar
−3 2 -18 12
6 0
13. La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma
dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión
que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por
tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener
la misma dimensión.
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Ejemplo
Sin embargo, no se pueden sumar.
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define
como: A–B = A + (–B)
Suma y diferencia de Matrices
14. Producto de una Matriz por un número
El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B =
(bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se
obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij.
Ejemplo:
El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al
número real k se le llama también escalar, y a este producto,
producto de escalares por matrices
25. 3. Multiplicación de una matriz fila por una matriz columna.
Sea la matriz fila A =
ai j
1×p y la matriz columna B =
bi j
p×1
Definimos el producto de A con B como:
A X
1xp
B px1= C 1x1
“Nº de columnas de A = Nº de filas de B”
11 a12
a
□
21
b11
b
bp1
1p p1
a b
+ L +
11 12 21
a1p = 11
a b + a b
26. Ejemplo: 2 -1 3 4
4. Multiplicación de Matrices. Sean las matrices
y
= 2(3)+ (− 1)(4)+ 3(− 2)+ 4(2)= 4
A =
ai j
m×p
B = bij p×n
, definimos el producto de A con B,
B pxn = C mxn
como sigue: A X
mxp
tal que C = [ ci j ]
=
“Nº de columnas de A = Nº de filas de B”
donde cij = (fila i de A)(columna j de B)
27. 1 2 -1
3 1 4
-2 5
, B = 4 -3
2 1
Ejemplo. Determine C=AB si: A =
Solución
Se cumple: Nº de columnas de A = 3 = Nº de filas de B
2
-2
-1 4 = 4
Calculo de cij
c11 = (fila 1 de A)(columna 1 de B) = 1
c12 = (fila 1 de A)(columna 2 de B) = 1 2
2
5
-1−3 = - 2
1
De igual manera: c21 = 6, c22 = 16
Nos queda:
1 2
3 1
-1-2 5
4
4
2 1
16
6
4 − 2
-3
= C =
28. Observaciones importantes
1. El producto de matrices no siempre es conmutativo.
Ejemplo
1 2
B =
-9 8 7
5
Sean A = -3 4
6 4
5
-6
T
enemos: AB = 51
11
3 18 15
-4 -5 , mientras que: BA=
-81 10
2 -28
11 8
Se tiene que AB ≠ BA
Nota: Pero para cualquier matriz cuadrada A se tiene
AI=IA, donde I es la matriz identidad