El documento describe las matrices, que son tablas de elementos ordenados en filas y columnas. Se utilizan para estudiar problemas donde las relaciones entre elementos son importantes, como la solución de ecuaciones lineales simultáneas. Las matrices pueden ser cuadradas o rectangulares, y sus elementos se identifican con subíndices. Existen operaciones como la transpuesta, adjunta y multiplicación de matrices.

1. MATRICES
Matriz es un ordenamiento rectangular de términos llamados elementos, limitados
entre paréntesis rectangulares [ ], circulares ( ) o dos líneas verticales .
Su uso principal es para facilitar el estudio de problemas en los cuales la relación
entre los elementos es fundamental.
Un ejemplo de este tipo de relación es la solución de ecuaciones lineales simultáneas.
Las matrices no tienen valor numérico como los determinantes; y estos a diferencia de
los determinantes, pueden ser cuadrados o rectangulares.
Una matriz cuadrada es la que tiene un mismo número de filas y de columnas y su
grado u orden será N x N; pero si tiene M filas y N columnas entonces se dice que es de
orden M x N, siempre pondremos primero en número de filas y luego el número de
columnas.
Ejemplo:
Es una matriz cuadrada de orden 3x3
 a1 b1 c1 
 ÷
 a2 b2 c2 ÷
a b c ÷
 3 3 3
3x3
Es una matriz rectangular de orden 3x4
 a1 b1 c1 d1 
a b c d 
 2 2 2 2
 a3 b3 c3 d3 
 
 
3x4
La posición de los elementos de una matriz se determina con dos subíndices, los cuales
indicarán la fila y la columna en donde esté el elemento de referencia.
Ejemplo:
 a11 a12 a13   a11 K a1n 
 ÷  ÷
 a21 a22 a23 ÷  M O M ÷
a a33 ÷ a ÷
 31 a32   m1 L amn 

2. En toda matriz existen relaciones entre sus elementos:
Fila
 a1 b1 c1 
 ÷
 a2 O c2 ÷
a b c ÷
Diagonal  3 3 3
Diagonal
Secundaria Principal
Columna
Los elementos de una matriz cuadrada pueden por su ordenamiento, considerarse como
el determinante de una matriz.
Únicamente las matrices cuadradas pueden tener determinante.
Matriz Transpuesta:
Si los elementos de una matriz intercambian su posición de manera que las filas sean
columnas y las columnas filas, esta matriz se llama matriz transpuesta. Si la matriz se
representa por A, su transpuesta será A’.
Ejemplo:
 a1 a2 
 a1 b1 c1  b b 
A= a b2 c2 
y A’=  1 2
 2 
 c1 c2 
 
2x3 3x2
Matriz Adjunta o Comatriz
Es una matriz cuadrada formada por los cofactores de la matriz transpuesta de la
matriz cuadrada original, se representa por [ A] r.
Para comprender este tipo de matriz es necesario recordarlo qué es un cofactor.
Cofactor de un elemento de una matriz, es lo mismo que el menor de un determinante
con respecto a un elemento determinado, anteponiéndole el signo que le corresponde,
de acuerdo a la regla de los signos.
Ejemplo:
Sea la matriz [ A]
 3 1 2
5 1 0
A=  
 0 − 2 4
 
3x3

3. Sea la matriz transpuesta [ A ']
3 5 0 
 1 1 − 2
A’=  
2 0 4 
 
3x3
Sea la matriz adjunta o comatriz  Ar 
 1 −2  1 −2  1 1 
+  − + 
 0 4  2 4  2
    0 

 5  4 −8 −2
+0  3 +0   35   
= −  + −   =  −20 12 10 
+4  2 4   2
Ar
 0     0 
   −10 6 −2
 
 + 5 0  3 0  3 5  
− +
 1
  −2  1 −2  1 1  
    
La matriz Adjunta buscada:
 4 − 8 −2
 −20 12 10 
A r
=  
 −10 6 −2
 
3x3
Multiplicación de una matriz por otra:
Para efectuar esta operación es necesario que el número de columnas de la primera
matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz:
Ejemplo:
A (M x N) y B (N x J) la matriz resultante será C (M x J).
En la multiplicación de matrices no se puede aplicar la “propiedad conmutativa”
AxB≠BxA
 1 − 2  3 5
A= 2 4  B=  1 1
   
2x2 2x2
Encontrar A x B= C (multiplicamos fila por columna)
1 −2  3 5 (1)(3) +( −2)(1) (1)(5) +( −2)(1)   1 3
C= 2 = =
 4  1
 1  (2)(3) +(4)(1)
  (2)(5) + (4)(1)  10
  14 

1 3
C= 10 14 
 
2x2

4. Multiplicar D3x3 x E3x1 =F3x1
 − 5 1 − 3  + 4
 1 − 3 − 5  − 2
D=   x E=  
 2 −2 1 
   + 0
3 x3 3x1
−5 1 −3 +4 (−5)(4) + (1)(−2) + (−3)(0)  −22 
 −3 −5 x −2 = (1)(4) + ( −3)(−2) + (−5)(0)  = +10 
F=  1       
2
 −2 1  +0 (2)(4) + (−2)(−2) + (1)(0)  +12 
      
 − 22
 + 10
F=  
 + 12
3x1