razones y proporciones

1. Razones y
Proporciones

2. Razón
Es una relación entre dos cantidades
Cuánto excede una
a la otra
Razón aritmética
Cuántas veces con-
tiene una a la otra
Razón geométrica

3. Cuando decimos “la razón entre el número a y el número b es...” estamos
diciendo lo siguiente: “la división entre el número a y el número b es ...” O de
otra forma: “a dividido por b es la razón entre a y b”
La palabra razón entonces es sinónimo de división. Así de simple.
¿Porqué, entonces, usar razón en vez de división?
Realicemos la siguiente división
3
2
Esto es, dos divido por 3, o en nuestro nuevo lenguaje, la razón entre 2 y 3
(observe que es diferente a decir la razón entre 3 y 2) es
66666,0
3
2


4. Pues bien, entonces la razón entre 2 y 3 es 0,66666.
Calculemos ahora la razón entre 4 y 6, esto es
6
4
No resulta complicado verificar que la “división” entre 4 y 6 tiene como resultado
la misma razón entre 2 y 3
Por lo demás,
66666,0
3
2
32
22
6
4




De manera que, podemos decir que existe la “misma razón” entre
2 y 3 que entre 4 y 6.

5. Ahora daremos una explicación de porqué utilizar, en algunos
casos, la palabra razón más que la palabra división
Observe esta antena, compuesta por una barra vertical y una horizontal. La
barra vertical tiene una longitud de tres metros, y la barra horizontal tiene
una longitud de dos metros. De este modo la razón entre la longitud
horizontal y la longitud vertical es de 2/3
3 metros
2 metros

6. Términos
Razón
a  antecedente
b  consecuente
a

antecedente
: b

consec uente

7. Razón
Propiedades de las razones geométricas
Si el antecedente de una razón
geométrica se multiplica o divide entre
un número, la razón queda multiplicada
o dividida entre ese número.
𝑎
𝑏
=
(𝑎 ∗ 𝑐) ∗ 𝑐
1
𝑎
𝑏
=
𝑎 ÷ 𝑐
𝑐

8. Propiedades de las razones geométricas
Si el consecuente de una razón
geométrica se multiplica o divide entre un
número, la razón queda dividida en el
primer caso y multiplicada en el segundo
por ese mismo número.
𝑎
𝑏
=
𝑏∗𝑐
𝑐
𝑎
𝑏
=
𝑏
𝑐
∗ 𝑐
Razón

9. Razón
Propiedades de las razones geométricas
Si el antecedente y el consecuente de
una razón geométrica se multiplican
o dividen entre un mismo número, la
razón no varía.
𝑎
𝑏
=
𝑎 ÷∗ 𝑐
𝑏 ÷∗ 𝑐

10. Ahora construiremos una antena de longitud horizontal de 4 metros y de longitud
vertical de 6 metros
Esta nueva antena, más grande, tiene la misma razón entre la barra horizontal y la
barra vertical que la antena más pequeña.
3 metros
2 metros
6 metros
4 metros
De tal forma que, más que una división entre longitud vertical y longitud horizontal,
la razón nos está indicando una forma de “construcción”, un cierto “patrón”
de cómo construir antenas similares a la antena pequeña.

11. Entendiendo ahora la razón entre la cantidad a y la cantidad b como una medida de
relación entre a y b, se tiene una poderosa herramienta de medición con muchas
aplicaciones al entorno real
Los demógrafos, que son los que estudian la evolución de las poblaciones
establecen que la razón de natalidad anual es de
1000
17
Queriendo decir con esto de que por cada 1000 habitantes nacen al año 17 bebés.
Entonces ¿por cada 2000 habitantes, cuántos nacimientos ocurrirán durante el año?
(recuerde la antena, en este caso la barra horizontal son los recién nacidos y la barra
vertical los habitantes)

12. Razones y proporciones
1000
habitantes
17 recién nacidos
2000 habitantes
x recién nacidos
Ambas antenas, que representan esquemáticamente a la población, deben estar en
la misma razón, esto es
20001000
17 x
 34
1000
17
2000  x
Esto es, por cada 2000 habitantes nacerán 34 bebés anualmente.

13. La razón entre población y superficie se conoce, por los demógrafos, como
densidad poblacional.
Por ejemplo, se sabe que la población de la Segunda Región de
Antofagasta es de 493984 personas, y también se sabe que la superficie de
la Segunda Región es de 126000 kilómetros cuadrados.
Por lo tanto, la razón entre población y superficie, esto es la densidad
poblacional es de
493984
3,92
126000

habitantes por kilómetro cuadrado
¡Cada un kilómetro cuadrado viven aproximadamente 4 personas!

14. Se dice en los organismos de salud que, en invierno, la razón de
enfermedades bronquiales es que se enfermará un estudiante de cada tres
Si la población estudiantil de la ciudad de Antofagasta es de 130000
estudiantes, ¿cuántos se enfermarán este invierno aproximadamente?
1
3 130000
x
razón =
estudiantes enfermos
número de estudiantes
=
130000
3
x 43333x 
¡Aproximadamente 43333 estudiantes se enfermarán este
invierno!

15. Si dos cantidades a y b están en la razón r, es decir r = a/b. Entonces si se tiene
que otras dos cantidades, digamos c y d, están en la misma razón, es decir r =
c/d, se dice que c y d están en la misma proporción que a y b.
Suponga lo siguiente: se tiene la urna con 1 bolita blanca y tres rojas
Se quiere mantener la misma proporción pero esta
vez se desea que hayan 9 bolitas rojas, ¿cuántas
bolitas blancas deben estar?
1
3 9
x

9
3
3
x   bolitas blancas

16. Razón
Ejemplo
La densidad de población; que no es más
que la comparación entre los habitantes
con la superficie, de una determinada
región.
42,9 hab/km2 , densidad de Ocú cabecera

17. Proporción Geométrica
Es la igualdad de dos razones geométricas o
por cociente. Puede escribirse de dos
formas diferentes
ó a :b ::c : d
a

c
b d
Y se lee:
a es a b, como c es a d

18. Términos de una proporción
geométrica
extremos
a :b ::c : d
medios
:
a c
b d
medios
extremos
antecedentes
consecuentes

19. Proporción geométrica
Propiedades
En toda proporción geométrica un
extremo es igual al producto de los
medios dividido entre el otro
extremo.
𝑎 =
𝑏∗𝑐
𝑑
𝑑 =
𝑏∗𝑐
𝑎

20. Proporción geométrica
Propiedades
En toda proporción geométrica un
medio es igual al producto de los
extremos dividido entre el otro
medio.
𝑏 =
𝑎 ∗ 𝑑
𝑐
𝑐 =
𝑎 ∗ 𝑑
𝑏

21. Las proporciones pueden ser:
Directas
Cuando al aumentar una magnitud, la
otra aumenta inmediatamente; o
cuando al disminuir una magnitud la
otra disminuye inmediatamente

22. Las proporciones pueden ser:
Directas
Ejemplo: Compararemos la velocidad de un
automóvil con la distancia recorrida;
asumiendo un tiempo fijo.
“Si el auto aumenta la velocidad, la distancia
recorrida va a ser mayor”.
“Si el auto disminuye la velocidad, la distancia
va a ser menor”.

23. Las proporciones pueden ser:
Inversas
Cuando al aumentar una magnitud, la otra
disminuye inmediatamente; o cuando
disminuye una magnitud la otra aumenta
inmediatamente

24. Las proporciones pueden ser:
Inversas
Ejemplo: Compararemos la cantidad de
trabajadores con los días gastados;
asumiendo la realización de un trabajo fijo.
“Si la cantidad de obreros aumenta los días
de trabajo van a ser menos”.
“Si la cantidad de obreros disminuye gastarán
más días en realizar la misma obra”.

25. Proporción geométrica
Aplicación
Una de las aplicaciones más
comunes y muy utilizadas
de las proporciones, es el
tanto por ciento.

26. Proporción geométrica
Aplicación
El tanto por ciento o porcentaje es una forma
de comparar cantidades, es una unidad de
referencia que relaciona una magnitud (una
cifra o cantidad) con el todo que le
corresponde (el todo es siempre el 100),
considerando como unidad la centésima
parte del todo.

27. Prof.:
Javier Benítez
Rodríguez