Este documento explica las razones trigonométricas y cómo se obtienen a partir de los lados de un triángulo rectángulo. Define los nombres de los lados - la hipotenusa, el cateto opuesto y el cateto adyacente - y explica que hay seis razones trigonométricas posibles dependiendo de qué lado se divide por qué. También muestra cómo calcular las razones trigonométricas y los ángulos dados las razones usando una calculadora científica.

3. CATETO OPUESTO
•Las razones trigonométricas se obtienen
realizando el cociente entre los lados de un HIPOTENUSA
triangulo rectángulo
•Los lados toman un nombre en particular
con respecto a un ángulo. Para poder
determinarlos debemos ubicarnos en el
vértice del ángulo dado, obteniendo así:la
hipotenusa, que esta en frente del ángulo Â
recto; el cateto opuesto, que esta frente de CATETO ADYACENTE
ángulo en que nos ubicamos; y el tercer lado,
por descarte, es el cateto adyacente.

4. ¿Cuántas razones diferentes se pueden
encontrar con los lados del triangulo?
Cat. Adyacente Hipotenusa
= Cotangente  = Cosecante Â
Cat. Opuesto Cat. Opuesto
Cat. Opuesto Cat. Opuesto
= Seno  = Tangente Â
Hipotenusa Cat. Adyacente
Hipotenusa Cat. Adyacente
= Secante  = Coseno Â
Cat. Adyacente Hipotenusa

5. Uso de la calculadora científica
 Para calcular la razón del ángulo: 48º 15‘ 37''
Sen=
SIN 48 º ‘ '' 15 º ‘ '' 37 º ‘ '' = 0,7461
 Para calcular el ángulo dada la siguiente razón:
Cos Â= 0,9315
Â= SHIFT COS 0 . 9315 = SHIFT º ‘ '' 21º 19‘ 48''

6.  Una expresion algebraica en una combinacion de
numeros reales y/o letras (variables) ligadas entre si
con la adicion, sustraccion, multiplicacion, division,
potenciacion y radicacion.
 Clasificacion:
Irracionales: alguna de las variables es base de
una raiz.
Racionales: Ninguna de las variables es base de
una raiz:
 - Fraccionarias: alguna variable actua como
divisor.
 - Enteras: ninguna variable actua como divisor.

7. Las expresiones algebraicas enteras se denominan polinomios.
Cuando en algun polinomio haya terminos semejantes, se deben sumar o restar dichos terminos para
obtener el polinomio reducido.
Para elevar al cuadrado un polinomio, se debe multiplicar por si mismo, en el caso de un binomio:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Para elevar al cubo un binomio, se multiplica su cuadrado por el binomio:
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Factorear un polinomio, al igual que un numero, es expresarlo como un producto de factores primos.
Hay varios procedimientos para factorear un polinomio, uno de ellos es el factor comun, que consiste en considerar el o los
factores que se repiten en todos sus terminos.
Diferencia de cuadrados.
El producto entre la suma y la diferencia de los terminos de un binomio es igual a la diferencia de sus
cuadrados:
a2-b2 = (a+b) (a-b)
Trinomio cuadrado perfecto.
El cuadrado de un binomio es: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2, por lo tanto: a2 + 2ab + b2 = (a+b)2
Inecuaciones. Intervalo solucion.
Las inecuaciones se resuelven como las ecuaciones, salvo que se multiplique o divida por un numero negativo; en dicho
caso, cambia el sentido de la desigualdad. El conjunto solucion de una inecuaciones un intervalo real.

8. Unidades de Volumen
La unidad de volumen es 1m3, que es el volumen de un cubo de 1m de arista
Los submúltiplos (Un numero entero “a” es submúltiplo de otro numero ”b” si
solo “b” es múltiplo de “a”) de la unidad se obtienen dividiéndola
sucesivamente por 1000
Los múltiplos de la unidad se obtienen multiplicándola sucesivamente por
1000

9. Unidades de capacidad
La unidad de capacidad es el litro (l)
Los submúltiplos de la unidad se obtienen dividiéndola sucesivamente por
10
1 dl = 1 l/10 -> 1 dl =0,1l 1 cl =1 l/100 -> 1 cl = 0,01 l 1 ml = 1 l/1000 ->1 ml
= 0,001 l
Los múltiplos de la unidad se obtienen multiplicándola sucesivamente por 10
1 dl =10 l 1 hl =100 l 1 kl
=1000l
Es decir:
kl hl dal l dl cl ml
0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000
Equivalencias entre unidades de capacidad y volumen:
Capacidad 1kl 1l 1ml
Volumen 1m3 1dm3 1cm3

10. Definición: RAZON: Dados dos números en un cierto orden, distintos de cero, se denomina razón al cociente
(resultado de la división) entre ellos. Ej : En una examen un alumno respondió correctamente 10 preguntas de
20.
* 10/20 = ½ } resultado de la división = razón.
PROPORCION: Dados 4 números distintos de cero, en un cierto orden, constituyen una proporción si la razón
de los dos primeros es igual a la razón de los dos segundos. Ej :
* Primera situación: 2/5=10/25 *Segunda situación: en una promoción de gaseosa se ofrece
cambiar
50=50 5 tapitas por un vaso. ¿cuantos vasos tendré con 10 tapitas?
5/10=1/x
10x1/5=X
2=X } tendré 2 vasos con 10 tapitas.
Para calcular el extremo de una proporción ordinaria se aplica la propiedad fundamental de las proporciones(El
producto de los medios es igual al producto (resultado de la multiplicación) de los extremos. Ej:
* a/b=c/d * X/1,2=3/5
a.d=c.b X=3 . 1,2/ 5
X=0,72
Asi como se puede calcular el extremo de una proporcion, se podra calcular los medios de la misma teniendo en
cuenta de que se dara en una proporcion continua (que tenga los dos medios iguales) y se tendra en cuenta
esta propiedad.
* a/b=b/c b= a .c b = a.c

11. •En toda proporción el producto (resultado de la multiplicación) de los extremos es igual al producto de los
medios. Ej:
6/4 = 3/2
6 . 2 =4 . 3
12=12
*en toda proporcion la suma del antecedente y consecuente de la primera razon es a su ntecedente como la
suma del antecedente y consecuente de la segunda razon. Ej:
6/4=3/2
6+4=3+2
6 3
10/6=5/3
10 . 3 = 6 . 5
30=30
*En toda proporcion la suma del antecedente y consecuente de la primera razon es a su consecuente como la
suma del antecedente y consecuente de la segunda razon es a su consecuente. Ej:
6/4=3/2
6+4=3+2
4 2
10/4=5/2
20=20
*En toda proporcion la diferencia del antecedente y consecuente de la primera razon es a su antecedente como
la diferencia del antecedente y consecuente de la segunda razón es a su antecedente.Ej:
6/4=3/2
6 – 4=3 – 2
4 2
2/4=1/2
4=4

12. •La suma del antecedente y consecuente de la primera razon es a su diferencia como la suma del antecedente y
consecuente de la segunda razon es a su diferencia.Ej:
6/4=3/2
6+4=3+2
6-4 3-2
10/2=5/1
10=10
*La diferencia del antecedente y consecuente de la primera razon es a su suma como la diferencia del
antecedente y consecuente de la segunda razon es a su suma. Ej:
6/4=3/2
6-4=3-2
6+4 3+2
2/10=1/5
10=10
*Una proporcion puede transformarse en otras 7 equivalentes.
DADOS: m=p 5=10
n q 6 12
16.Cambiando los extremos: q=p 12=10
n m 6 5
18.Cambiando los medios: m=n 5=6
p q 10 12
3. Cambiando las razones: p=m 10=5
q n 12 6
22.Invirtiendo las razones : n=q 6=12
m p 5 10
24.Invirtiendo las razones y permutando los extremos: p=q 10=12
mp 5 6
26.Invirtiendo las razones y permutando los medios: n=m 6=5
q p 12 10
28.Invirtiendo las razones y permutándolas: q=n 12=6
p m 10 5

13. •Cuando trasamos rectas paralelas (a;b,c) son cortadas por dos transversales (r;r’), quedan determinados en
ambas transversales varios segmentos ( AB ; BC ; A’B’ ,B’C’)
• Los segmentos homologos son los que se encuentran entre dos paralelas y
Uno en cada transversal. Por ejemplo: AB y A´B´ ,estas son homologas,
Como tambien lo son : BC y B´C´
CABE DESTACAR: que la razon entre cualquier par de segmentos determi_
nados en una de las transversales es igual a la razon de sus homologos.

14.  Los n° reales surgen por la necesidad que tuvo el hombre de tomar algunas
partes de la unidad. Se denotan por y son todos aquellos fraccionarios que se
pueden expresar de la forma donde p y q son enteros y , como por ejemplo:
3/5, - 2/3. etc. En general:
 Los números enteros son también racionales porque se les puede colocar
como denominador la unidad (1). También se consideran números racionales
los siguientes decimales:
 a. Los decimales finitos: aquellos que tienen un número finito de cifras
decimales, como por ejemplo: 0.23, 2.3, - 0.324
 b. Los decimales infinitos periódicos puros : Aquellos que tienen un número
infinito de cifras decimales y cuyas cifras decimales se repiten, como por
ejemplo: 0.2222… ,0.3535353… ,2.3333…, - 1,7777…
 c. Los decimales infinitos periódicos mixtos : Aquellos que tienen un número
finito de cifras decimales que no se repiten y a continuación un número infinito
de cifras decimales que se repiten, como por ejemplo: 0.23333…,
0.2355555…., - 0.32424242…, 3.25555…., - 1.2345454…
 Todos estos decimales son racionales porque cada uno de ellos se origina al
dividir dos números enteros. La fracción que los origina se denomina fracción
generatriz.

15. Aproximacion y Truncamiento. Error
Las cifras decimales de una expresión decimal se pueden acortar por razones
practicas aproximando o truncando a la cifra de los decimos, centésimos, milésimos,
etc.
Para aproximar, primero se debe determinar hasta que la cifra decimal se va a
considerar y luego observar la cifra que se encuentra a su derecha.
*Si la cifra de la derecha es 0,1,2,3,o 4, la cifra considerada se deja igual (por defecto).
*Si la cifra de la derecha es 5,6,7,8, o 9,a la cifra considerada se le suma 1 (por
defecto).
Decimos:(<0,1) Centésimos: (<0,01) Milésimos: (<0,001)
a)1,43=1,4 a)4,584=4,58 a)5,8062=5,806
b)2,68=2,7 b)7,135=7,14 b)8,0109=8,011
Al realizar
una aproximación, se obtiene un nuevo numero decimal distinto al original y se genera
un ERROR. El valor absoluto es el modulo de la diferencia entre el numero original y el
nuevo valor.
EJEMPLO:
I)|1,43 -1,4|= 0,03
J)|4,584-4,58|= 0,004
K)|5,8062-5,806|=0,0002
TRUNCAR: es acortar el numero en una determinada cifra decimal y eliminar las
restantes.

16. Potenciación de números Racionales
*Para calcular cualquier potencia de una fracción: (a/b)n=an/bn
*El exponente entero negativo se define: (a)-n=1/a-n y (a/b)-n =(b/a)n
Para calcular cualquier potencia de una expresión decimal, existe una regla
practica: la cantidad de lugares decimales de la potencia es igual al
producto de la cantidad de lugares decimales de la base por el exponente.
Ejemplos:
a)0,05 2 = 0,05 * 0,05 =0,0025
LUGARES DECIMALES 4 LUGARES DECIMALES
2 * 2 =4

17. Radicación de números Racionales
 Para calcular cualquier raíz de una fracción: n√a/b = n√ a / n√b.
 Para calcular cualquier raíz de una expresión decimal existe una regla practica:
 La cantidad de lugares decimales de la raíz es igual a la cantidad de lugares decimales de la base
dividida el índice.
 √0,09 = 0,3 porque (0,3)2 =0,09
 3√0,008 =0,2 porque (0,2)3 =0,008
 Si la cantidad de lugares decimales de la base no se puede dividir exactamente por el indice
entonces la raíz no es exacta: √0,4, √0,009,etc..NO TIENEN RAIZ EXACTA

18.  Relaciones entre conjuntos numéricos.
 Concepto de función.
 Dominio e imagen.
 Conjunto de ceros, positividad y negatividad.
 Crecimiento y Decrecimiento.
 Función lineal .
 Pendiente y ordenada al origen.
 Ecuación de una recta que pasa por dos puntos.
 Función de proporcionalidad directa.
 Función de proporcionalidad inversa.
 Sistema de ecuaciones lineales

19. Concepto de función, dominio e imagen, conjunto de ceros ,
positividad, negatividad, intervalos de crecimiento y
decrecimientos.
 Función: es la relación entre dos conjuntos numéricos A y B; que
forman pares ordenados (x ; y) con la condición de que X pertenece A
e Y pertenece a B. Para que la función sea relación debe cumplir con
dos condiciones: unicidad y existencia.
 Dominio e imagen: en una función su dominio es un conjunto de
números reales que pueden ser valorados de x y su imagen , los
que pueden ser valorados de y.
 Conjunto de ceros o raíces: son los puntos en los que se marcan en
el eje x por donde atraviesa el grafico.
 Conjunto de positividad: son los intervalos reales de los valores de x
que determinan que la función sea positiva.
 Conjunto de negatividad: son los intervalos reales de los valores de
y que determina que la función sea negativa.
 Crecimiento: cuando los valores de y aumentan la función crece .
 Decrecimiento: cuando los valores de y disminuyen, la función
decrece.

20. Función lineal y ecuación de la recta que pasa por
dos puntos.
 Toda función cuya formula es : y = m.x+b se denomina función lineal y su
grafica es una recta.
 La formula y = m (pendiente) .x + b (ordenada al origen) se denomina
ecuación explicita.
 La ordenada al origen (b): es el valor de donde la recta corta al eje y.
 La pendiente (m): es la inclinación de la recta.
 ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente
(de la recta) también se conoce, que se obtiene con la fórmula
 y = m.x + b
 que considera las siguientes variables: un punto (x, y), la pendiente (m) y el
punto de intercepción en la ordenada (b), y es conocida como ecuación
principal de la recta.
 En la ecuación aparecen 2 variables “m” y “b” esto agrega a nuestra
ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al
analizar o representar una recta: la pendiente y el punto de intercepción en
el eje de las ordenadas (y).

21. Función de proporcionalidad directa e inversa. Sistema de
ecuaciones.
 Una función lineal de proporcionalidad directa es aquella cuya
expresión matemática viene dada por: y = m. x donde X e Y son
variables y M una constante que se denomina pendiente o constante
de proporcionalidad. Su gráfica es una recta que pasa por el origen de
coordenadas.
 Decimos que una función es de proporcionalidad inversa cuando la
relación numérica entre sus variables es de proporcionalidad inversa.
 Su expresión algebraica es y = k x .
 La gráfica de una función de proporcionalidad inversa es una curva,
simétrica respecto del origen de coordenadas, que se llama hipérbola.
 La gráfica de las funciones de proporcionalidad inversa no pasa por el
origen de coordenadas (0, 0).
 un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones
con varias incógnitas que conforman un problema matemático
consistente en encontrar las incógnitas que satisfacen dichas
ecuaciones.

22. • “Billiken” – La enciclopedia libre – Buenos Aires 2000
• “CLASA “– Enciclopedia tematica ilustrada – Buenos Aires 2001
•
•“Biblioteca hipermedia” – editorial OCEANO – volumen 9 Matematicas – Barcelona,
España 2004.
• “Matematica 3/9” – editorial KAPELUZ – ciudad autonoma de Buenos Aires 2010
• www.wikipwdia.com/
• www.monografias.com/
• www.elrincondelbago.com/
• www.yahoopreguntas.com/