1. Cap´
ıtulo 1
Introducci´n al an´lisis b´sico
o a a
de circuitos el´ctricos:
e
Conceptos
1.1. Introducci´n
o
Un circuito el´ctrico o red el´ctrica es una colecci´n de elementos el´ctri-
e e o e
1
cos interconectados en alguna forma espec´ ıfica.
Generalmente, un circuito el´ctrico b´sico estar´ sujeto a una entrada o
e a a
excitaci´n y se producir´ una respuesta o salida a dicha entrada.
o a
1
istema formado por un elemento general (resistencia, capacitor, inductor, fuentes de
energ´ con dos terminales.
ıa)
1

2. El an´lisis de circuitos es el proceso de determinaci´n de la salida de
a o
un circuito conocida la entrada y el circuito en s´ En cambio, el dise˜ o de
ı. n
circuitos, es obtener un circuito conocida la entrada y la respuesta que debe
tener el circuito.
1.2. Carga el´ctrica
e
a ´ ´
La materia est´ formada por atomos. Estos a su vez, est´n formados
a
por part´ıculas elementales: neutrones y protones (en el n´ cleo) y electrones
u
que se mueven en orbitas alrededor del n´ cleo. Normalmente, el atomo es
´ u ´
el´ctricamente neutro y s´lo la presencia mayoritaria de protones (part´
e o ıcula
cargada positivamente) o electrones (part´ıcula cargada negativamente) da un
car´cter el´ctrico al mismo.
a e
La interacci´n entre atomos no neutros se manifiesta como una fuerza
o ´
denominada fuerza el´ctrica, con una caracter´
e ıstica de atracci´n o repulsi´n
o o
dependiendo del car´cter el´ctrico entre cargas: cargas de igual signo se re-
a e
pelen y de signo contrario de atraen.
2

3. Un electr´n tiene una carga negativa de 1,6021 × 10−9 C. Es decir, un
o
culombio (C) es el conjunto de cargas de aproximadamente 6,24 × 1018 elec-
trones. El prot´n tiene el mismo valor de carga que el electr´n pero su signo
o o
es positivo.
El s´
ımbolo de la carga ser´ tomado como Q o q , la letra may´ scula deno-
a u
tar´ cargas constantes tales como Q = 4C , y la letra min´ scula indicar´ car-
a u a
gas variables en el tiempo. En este caso, podemos enfatizar la dependencia
temporal escribiendo q(t). De forma general, este criterio de may´ sculas y
u
min´ sculas se extender´ al resto de variables empleadas.
u a
1.3. Corriente el´ctrica
e
El prop´sito primario de un circuito el´ctrico consiste en mover o trans-
o e
ferir cargas a lo largo de determinadas trayectorias.
Este movimiento de cargas constituye una corriente el´ctrica. Formal-
e
mente la corriente viene dada por:
3

4. dq
i=
dt
La unidad b´sica de la corriente es el amperio (A). Un amperio es la
a
corriente que fluye cuando 1C de carga pasa por un segundo en una secci´n o
dada (1A = 1C/s).
En teor´ de circuitos, la corriente es generalmente especificada por el
ıa
movimiento de cargas positivas2 . Hoy en d´ se sabe que en el caso de con-
ıa
ductores met´licos, esto no es cierto, son los electrones los portadores de
a
carga que se mueven. No obstante, tomaremos la convenci´n tradicional del
o
movimiento de cargas positivas para definir la corriente convencional sin tener
en cuenta la identidad verdadera de los portadores de la carga.
El flujo de corriente a lo largo de un cable o a trav´s de un elemento
e
ser´ especificado por dos indicadores: una flecha, que establece la direcci´n
a o
de referencia de la corriente y un valor (variable o fijo), que cuantifica el flujo
de corriente en la direcci´n especificada.
o
Podemos determinar la carga total que entra al elemento entre el tiempo
t0 y t mediante la expresi´n:
o
τ =t
qr = q(t) − q(t0 ) = i dτ
τ =0
Estamos considerando que los elementos de la red son el´ctricamente neu-
e
tros, es decir, no puede acumularse carga en el elemento. Una carga que entra
debe corresponder a otra carga igual que sale (en magnitud y en signo). Ya
veremos que esta propiedad es una consecuencia de la ley de corriente de
Kirchhoff.
Existen diferentes tipos de corriente:
1. corriente continua o directa (DC) usada principalmente en circuitos
electr´nicos.
o
2
Convenci´n propuesta por Franklin, B. quien supuso que la electricidad viajaba de lo
o
positivo a lo negativo
4

5. 2. corriente alterna (AC) usada como corriente dom´stica es de tipo sinu-
e
soidal.
3. corriente exponencial aparece en fen´menos transitorios por ejemplo en
o
el uso de un interruptor.
4. corriente en dientes de sierra utiles en aparatos de rayos cat´dicos para
´ o
visualizar formas de onda el´ctricas.
e
1.4. Fuerza electromotriz
Las cargas de un conductor met´lico, electrones libres, pueden moverse
a
de manera aleatoria. Sin embargo, si queremos un movimiento ordenado de
las cargas, debemos aplicar una fuerza externa de manera que se ejercer´ un
a
trabajo sobre las cargas. A esta fuerza se le denomina fuerza electromotriz
(ξ).
5

6. 1.5. Voltaje
El voltaje es el trabajo realizado para mover una carga unitaria (1C) a
trav´s del elemento de una terminal a la otra. Este voltaje estar´ designado
e a
por dos indicadores: un signo + o -, en el que se establece la direcci´n de
o
referencia del voltaje y un valor (fijo o variable) el cual va a cuantificar el
voltaje que pasa por un elemento en la direcci´n de referencia especificada.
o
La unidad fundamental del potencial el´ctrico es el voltio (V ). Si una
e
carga de 1C pudiera ser movida entre dos puntos en el espacio con el gasto
de 1J de trabajo, entonces la diferencia de potencial entre esos dos puntos
ser´ de 1V .
ıa
A menudo usaremos una notaci´n de doble ´
o ındice donde vab denota el
potencial del punto a con respecto al punto b.
1.6. Energ´
ıa
Al transferir carga a trav´s de un elemento, se efect´ a trabajo, o dicho
e u
de otra manera, estamos suministrando energ´ Si deseamos saber si esta
ıa.
energ´ est´ siendo suministrada al elemento o por el elemento al resto del
ıa a
circuito, debemos conocer no s´lo la polaridad del voltaje a trav´s del elemen-
o e
to, sino tambi´n la direcci´n de la corriente el´ctrica a trav´s del elemento.
e o e e
Si una corriente positiva entra por la terminal positiva, entonces una
fuerza externa est´ impulsando la corriente, y por tanto, est´ suministrando
a a
o entregando energ´ al elemento. El elemento est´ absorbiendo energ´
ıa a ıa.
En cambio, si la corriente positiva sale por la terminal positiva (entra
por la terminal negativa), entonces el elemento est´ entregando energ´ al
a ıa
circuito externo.
6

7. 1.7. Potencia
Consideremos ahora la raz´n en la cual la energ´ est´ siendo entregada
o ıa a
por un elemento de un circuito.
El voltaje a trav´s de un elemento es v y se mueve una peque˜ a carga
e n
∆q a trav´s del elemento de la terminal positiva a la negativa, entonces la
e
energ´ absorbida por el elemento, ∆w , est´ dada por
ıa a
∆w ∆q
=v
∆t ∆t
cuando ∆t → 0, tenemos
dw
p= = vi
dt
La unidad fundamental de la potencia es el vatio (W ) y se define como la
energ´ consumida o trabajo producido por unidad de tiempo (1W = 1J/s).
ıa
En general, tanto el voltaje como la intensidad son funciones del tiempo,
por tanto, la potencia ser´ una cantidad variable en el tiempo. La expresi´n
a o
anterior se le denomina potencia instant´nea porque expresa la potencia en
a
el instante en que se miden v e i.
Cuando p = vi > 0 significa que el elemento est´ absorbiendo potencia
a
(la flecha que indica la direcci´n de referencia de la corriente est´ en el lado
o a
positivo de la direcci´n de referencia del voltaje). Si p = vi < 0 , significa
o
que el elemento est´ entregando potencia.
a
La energ´ w entregada a un elemento entre el tiempo t0 y t se calcula
ıa
mediante la expresi´n:
o
t
w(t) − w(t0 ) = vi dt
t0
1.8. Elementos el´ctricos activos y pasivos
e
Podemos clasificar los elementos de un circuito en dos categor´ elemen-
ıas:
tos pasivos y elementos activos, teniendo en cuenta la energ´ entregada a
ıa
los elementos o por los elementos.
Un elemento el´ctrico es pasivo en un circuito si ´ste no puede suministrar
e e
m´s energ´ que la que ten´ previamente, siendo suministrada a ´ste por el
a ıa ıa e
resto del circuito. Esto es, la energ´ neta absorbida por un elemento pasivo
ıa
hasta t debe ser no negativa (w(t) ≥ 0).
t t
w(t) = p(τ ) dτ = v(τ )i(τ ) dτ
−∞ −∞
7

8. Son elementos pasivos los resistores (R), capacitores (C) e inductores (L).
Un elemento es activo cuando no es pasivo. Los elementos activos son
generadores, bater´ y dispositivos electr´nicos que requieren fuentes de al-
ıas o
imentaci´n.
o
1.9. Fuente de voltaje independiente
Es un elemento de dos terminales, como una bater´ o un generador, que
ıa
mantienen un voltaje espec´ ıfico entre sus terminales a pesar del resto del
circuito que est´ conectado a ´l. El voltaje es por completo independiente de
a e
la corriente a trav´s del circuito. Se conoce tambi´n como fuente de voltaje
e e
ideal.
1.10. Fuente de corriente independiente
Es un elemento de dos terminales a trav´s de la cual fluye una corriente
e
especificada. El valor de esta corriente est´ dado por la funci´n fuente y la
a o
direcci´n de referencia de la funci´n fuente por la flecha dentro de la fuente.
o o
Se conoce tambi´n como fuente de corriente ideal.
e
8

9. 1.11. Elementos b´sicos en circuitos
a
9

10. Cap´
ıtulo 2
Circuitos resistivos
2.1. Introducci´n
o
Consideraremos que una resistencia es cualquier dispositivo que posee una
resistencia el´ctrica, es decir, impide o dificulta en mayor o menor medida
e
el movimiento de electrones a trav´s del material. La unidad b´sica de la
e a
resistencia es el ohmio (Ω).
Para prop´sitos del an´lisis de circuitos, un circuito el´ctrico se describe
o a e
con base en dos caracter´ ısticas espec´
ıficas: los elementos que contiene y como
se interconectan. Para determinar el voltaje y la corriente resultantes no se
requiere nada m´s.a
Un circuito consiste en dos o m´s elementos que se conectan mediante
a
conductores perfectos. Los conductores perfectos son cables o alambres que
permiten el flujo de corriente con resistencia cero. En cuanto a la energ´ ıa,
s´lo puede considerarse como acumulada o concentrada en cada elemento del
o
circuito.
2.2. Ley de Ohm
La ley de Ohm postula que el voltaje a trav´s de una resistencia es direc-
e
tamente proporcional a la corriente que pasa por la resistencia. La constante
de proporcionalidad es el valor de la resistencia en ohmios (1Ω = 1V / A).
v = Ri
donde R ≥ 0.
Puesto que R es una constante, al representar gr´ficamente voltaje frente
a
a corriente, obtendremos una curva lineal y diremos que la resistencia es lin-
eal. Existen otros tipos de resistencias cuya representaci´n voltaje-intensidad
o
10

11. no es lineal y por tanto la resistencia obtenida no es lineal y dificulta en gran
medida el an´lisis del circuito1 .
a
Aunque en realidad, todas las resistencias pr´cticas son no lineales de-
a
bido a diversos factores como temperatura, intensidad. Muchos materiales se
aproximan a resistencias lineales en un rango limitado de corrientes y condi-
ciones ambientales y por tanto nos centraremos exclusivamente en este tipo
de materiales.
La resistencia de un alambre conductor es proporcional a su longitud e
inversamente proporcional al area transversal.
´
L
R=ρ
A
siendo ρ una constante de proporcionalidad llamada resistividad del ma-
terial conductor. La unidad de resistividad es el Ω · m.
A su vez, la resistividad (y por tanto la conductividad) de cualquier metal
depende de la temperatura. Suele darse la resistividad en tablas en funci´n de
o
o
su valor ρ20 a 20 C y a su vez el coeficiente de temperatura de la resistividad
α que es la pendiente de la curva ρ en funci´n de T. Una expresi´n de la
o o
resistividad a otra temperatura Celsius tC viene dada por
ρ = ρ20 [1 + α(tC − 20o C)]
1
Tambi´n se les conoce por materiales ohmicos si verifican la ley de Ohm o bien mate-
e ´
riales no-´hmicos para aquellos que no la verifican.
o
11

12. 2.3. Tipos de resistencias
Existen diversos tipos de resistencia, seg´ n c´mo est´n fabricadas, su
u o e
potencia, precisi´n, etc.
o
Bobinadas Son aquellas en las que su valor resistivo se obtiene bas´ndose en
a
una cierta longitud y secci´n de hilo de determinado material. Para que
o
sus dimensiones sean m´ ınimas, dicho hilo se monta en forma arrollada,
de ah´ el t´rmino de resistencias bobinadas.
ı e
Carb´n Son aquellas que normalmente se usan en electr´nica. Su valor re-
o o
sistivo se obtiene por medio de polvo de carb´n mezclado con aglomer-
o
ante. Son resistencias de peque˜ as dimensiones y de baja potencia (bajo
n
precio tambi´n). Su precisi´n no es muy alta, generalmente tienen una
e o
2
tolerancia del 5 % o del 10 %.
´
Pel´
ıcula Son resistencias de mayor precisi´n y se suelen utilizar en circuitos
o
electr´nicos del alta precisi´n. Su valor ohmico se obtiene actuando
o o ´
sobre las dimensiones y tipo de materia de una pel´ ıcula de materi-
al resistivo aplicada sobre la superficie de una varilla cil´ ındrica. Las
tolerancias t´
ıpicas son del orden de 1 %. Los materiales usados m´s co-
a
munes son las de pel´ ıcula de carb´n, pel´
o ıcula de oxidos met´licos y las
´ a
de pel´ıcula met´lica.
a
2.4. Codificaci´n del valor. C´digo de colores
o o
El valor ohmico de las resistencias normalmente utilizadas en electr´nica
´ o
se presenta por medio de un c´digo de colores. Excepto las resistencias de
o
2
Tolerancia es el margen de variaci´n de su valor nominal
o
12

13. potencia, que son las bobinadas. Consiste en pintar unas bandas de colores
alrededor del cuerpo de la resistencia. Cada color representa un n´ mero; de
u
esta manera se representa el valor nominal de la resistencia y su tolerancia
(margen de variaci´n).
o
2.5. Otros dispositivos de inter´s
e
2.5.1. Fusibles
Son elementos conductores que constituyen la parte m´s d´bil del circuito
a e
con el fin de que si se produce alg´ n tipo de sobrecarga (exceso de corriente),
u
se destruya el fusible y de esta manera se interrumpa el paso de corriente a
trav´s del circuito. Los fusibles son pues, dispositivos de protecci´n frente a
e o
sobrecargas (o cortocircuitos).
La destrucci´n del fusible se produce por fusi´n del material debido a la
o o
elevada temperatura que adquiere al circular la elevada intensidad de corri-
ente provocada por la sobrecarga.
2.5.2. Potenci´metros
o
Los potenci´metros son resistencias cuyo valor se pueden variar por medio
o
de un eje. Son los elementos utilizados para el ajuste de volumen en aparatos
de sonido, el brillo del televisor, etc. En general, son utilizados cuando in-
teresa poder hacer la graduaci´n de ciertas magnitudes en los aparatos elec-
o
tr´nicos.
o
Se trata de una resistencia de tres terminales; dos de ellos corresponden a
los terminales de la resistencia, y el otro es m´vil. El terminal m´vil, cuando es
o o
actuado, puede hacer contacto con cualquier punto de la resistencia nominal.
13

14. As´ entre el terminal m´vil y cualquiera de los otros dos terminales puede
ı, o
realizar el ajuste de un valor de resistencia entre 0Ω y el valor m´ximo.
a
Los potenci´metros pueden ser de variaci´n lineal o logar´
o o ıtmica. En los
de tipo lineal, la magnitud de variaci´n de resistencia es proporcional a la
o
variaci´n de giro del cursor. En los de tipo logar´
o ıtmico, la resistencia var´
ıa
seg´ n una escala logar´
u ıtmica en funci´n de la posici´n del cursor.
o o
2.6. Descripci´n de partes del circuito el´ctri-
o e
co
Nodo Un punto de conexi´n de dos o m´s elementos de circuito se denomina
o a
nodo junto con todo el cable o alambre de los elementos.
Rama Secci´n que une a un elemento a 2 nodos.
o
Malla Conjunto de ramas que describen una trayectoria cerrada.
2.7. Leyes de Kirchhoff
2.7.1. Ley de corriente de Kirchhoff (LCK)
La suma algebraica de las corrientes que entran por cualquier nodo son
cero.
N
in = 0
n=1
I1 − I 2 − I 3 = 0
14

15. 2.7.2. Ley de voltajes de Kirchhoff (LVK)
La suma algebraica de los voltajes a lo largo de cualquier trayectoria
cerrada es cero.
N
vn = 0
n=1
2.8. Definiciones
v2
Potencia instant´nea p = vi = Ri2 =
a R
1
Conductancia G = R
(Siemens o Ω−1 )
Corto circuito Es una resistencia de cero ohmios, en otras palabras, es un
conductor perfecto capaz de llevar cualquier cantidad de corriente sin
sufrir una ca´ de voltaje por donde pasa. Dos puntos pueden ser
ıda
cortocircuitados junt´ndolos con un cable.
a
Circuito abierto Es una resistencia de conductancia cero siemens, en otras
palabras es un perfecto aislante capaza de soportar cualquier voltaje
sin permitir que fluya corriente a trav´s de ´l. Es decir, una resistencia
e e
infinita o un cable roto.
2.9. Subcircuitos equivalentes
Una estrategia general que vamos a utilizar en el an´lisis de circuitos
a
el´ctricos es la simplificaci´n siempre que sea posible.
e o
Un subcircuito es una parte de un circuito. Un subcircuito contiene un
n´ mero de elementos interconectados, pero s´lo dos terminales accesibles, por
u o
lo que es llamado subcircuito de dos terminales. El voltaje que pasa a trav´s
e
15

16. y la corriente que entra en esas terminales son llamados voltaje terminal y
corriente terminal del subcircuito.
2.10. Series equivalentes
Dos elementos contiguos se dicen que est´n conectados en serie si en su
a
parte de nodo com´ n no tiene otras corrientes que entren en ´l.
u e
2.10.1. Resistencias
De forma generalizada, si tenemos N resistencias conectadas en serie ten-
emos
N
Req = Ri
i=1
2.10.2. Fuentes de voltaje
Una cadena de fuentes de voltaje son equivalentes a una simple fuente de
voltaje donde la funci´n fuente es la suma algebraica de las funciones fuentes
o
en serie.
N
ξeq = ξi
i=1
2.10.3. Fuentes de intensidad
En este caso todas las fuentes de corriente deben ser de igual corriente de
modo que
is = i 1 = i 2 = . . . = i N
16

17. 2.11. Equivalentes en paralelo
Dos elementos est´n conectados en paralelo si forman una malla sin con-
a
tener otros elementos. Es decir, elementos en paralelo tienen el mismo voltaje
que pasa por ellos.
2.11.1. Resistencias
Para un conjunto de N resistencias conectadas en paralelo, es equiva-
lente a una resistencia simple en donde su conductancia es la suma de las
conductancias paralelas.
N N
1
Geq = Gi Req
−1
=
i=1 i=1
Ri
2.11.2. Fuentes de voltaje
En este caso todas las fuentes de voltaje en paralelo deben ser todas ellas
iguales y adem´s deben conectarse con igual polaridad: todos los terminales
a
positivos y todos los terminales negativos.
ξs = ξ 1 = ξ 2 = . . . = ξ N
2.11.3. Fuentes de intensidad
Una serie de fuentes de corriente en paralelo son equivalentes a una fuente
de corriente simple donde su funci´n fuente es la suma de las funciones en
o
paralelo.
N
ieq = ii
i=1
17

18. 2.12. Equivalentes de Thevenin y Norton
Los equivalentes serie y paralelos descritos hasta el momento son limita-
ciones de elementos del mismo tipo. En esta secci´n vamos a desarrollar un
o
par de equivalentes denominados de Thevenin y Norton de gran utilidad en
la simplificaci´n de cualquier an´lisis de problemas de circuitos.
o a
2.12.1. Teorema de Thevenin
Una red lineal activa con resistencias que contenga una o m´s fuentes de
a
voltaje o corriente puede reemplazarse por una unica fuente de voltaje y una
´
resistencia en serie.
2.12.2. Teorema Norton
Una red lineal activa con resistencias que contenga una o m´s fuentes de
a
voltaje o corriente puede reemplazarse por una unica fuente de corriente con
´
una resistencia en paralelo.
La forma de Thevenin con una fuente de voltaje vT y una resistencia en
serie RT es equivalente a la forma de Norton con una fuente de corriente iN
y una resistencia en paralelo RN , si
a) RT = RN
˙
b) vT = RN iN
Para encontrar la resistencia RT = RN com´ n de los sistemas Thevenin
u
y Norton s´lo basta “suprimir” las fuentes internas independientes (cortocir-
o
cuitar las fuentes) y calcular la resistencia equivalente del sistema.
Para determinar el valor vT s´lo necesitamos determinar el voltaje exis-
o
tente entre los terminales del sistema en circuito abierto. Y para iN podemos
obtener su valor a partir del equivalente Thevenin.
2.13. Teorema de la m´xima transferencia de
a
potencia
En muchas ocasiones nos interesa saber cu´les son las mejores condiciones
a
que deben reunir el dispositivo que suministra potencia y el que la recibe para
que se transfiera la m´xima potencia del generador al receptor.
a
18

19. Supongamos que tenemos un equivalente Thevenin representante de un
circuito el´ctrico (VT , RT ) y unimos a los bordes de este dispositivo una
e
resistencia de carga R a los terminales correspondientes. Tenemos que
VT R
P = Vab I = I 2 R = R = V2
R + RT (R + RT )2
Para obtener la expresi´n para que se transfiera la m´xima potencia debe-
o a
mos derivar la expresi´n anterior con respecto a R (nuestra variable) e igualar
o
a cero.
dP RT − R
= VT2 = 0 ⇒ R = RT
dR (R + RT )2
19

20. Cap´
ıtulo 3
Introducci´n
o
En este tema nos centraremos en el an´lisis de circuitos mediante m´to-
a e
dos sistem´ticos que nos permitan resolver completamente cualquier circuito
a
lineal1 .
Consideraremos dos m´todos generales; el primero se basa en la ley de
e
voltajes de Kirchhoff (LVK) denominado resoluci´n por mallas, y el segundo
o
se basa en la ley de corriente de Kirchhoff (LCK) conocido por el nombre de
resoluci´n por nodos.
o
Pero primeramente veremos como pueden usarse los principios de pro-
porcionalidad y superposici´n para dividir un problema de circuitos lineales
o
que involucran varias fuentes, en problemas de componentes, donde cada uno
involucra una sola variable, o una sola fuente.
Para una completa formaci´n es necesario ejercitar con numerosos ejem-
o
plos los conocimientos expuestos en el presente cap´
ıtulo.
3.1. Principio de Proporcionalidad
Cualquier circuito lineal verifica el principio de proporcionalidad. Esto es,
si x e y son variables de circuito asociadas con un elemento de dos terminales,
entonces diremos que el elemento es lineal si multiplicar x por una variable
K es igual a la multiplicaci´n de y por la misma constante K. Este principio
o
s´lo es aplicable en circuitos lineales.
o
1
Un circuito es lineal cuando s´lo contiene elementos lineales y fuentes independientes.
o
20

21. 3.2. Principio de Superposici´n
o
La respuesta general de un circuito lineal que contiene varias fuentes inde-
pendientes es la suma de las respuestas a cada fuente individual, eliminando
las otras fuentes. En general, este principio s´lo es v´lido para circuitos lin-
o a
eales.
Las fuentes de corriente se eliminan o son fijadas en cero, es decir, se
reemplazan por circuitos abiertos, mientras que las fuentes de voltaje se reem-
plazaran por corto-circuitos.
3.3. M´todo de Mallas
e
El an´lisis de malla consiste en escribir las ecuaciones LVK alrededor de
a
cada malla en el circuito, utilizando como inc´gnita las corrientes de malla.
o
Las n ecuaciones simult´neas de un circuito con n mallas pueden ser es-
a
critas en forma de matriz. La ecuaci´n de matriz resultante puede resolverse
o
por varias t´cnicas. Una de ellas es el m´todo de determinantes o regla de
e e
2
Cramer .
    
R11 R12 R13 · · · R1N I1 V1
 R21 R22 R23 · · · R2N   I2   V2 
    
 R31 R32 R33 · · · R3N   I3   V3 
=
 . . . . . .
  
. . . .. .  .   . 
 . . . . .  .   . 
RN N RN 2 RN 3 · · · RN N IN VN
Rii representa la suma de todas las resistencias a trav´s de las cuales
e
pasa la corriente Ii de malla, o dicho de otra manera, la suma de todas las
resistencias que pertenecen a la malla i.
Rij representa la suma de todas las resistencias a trav´s de las cuales
e
pasan las corrientes de malla Ii e Ij . El signo de Rij es + si las corrientes
est´n en la misma direcci´n a trav´s de cada resistencia, y el signo Rij de −
a o e
es si est´n en direcciones opuestas. Debemos hacer hincapi´ en que la matriz
a e
de resistencias es sim´trica, es decir Rij = Rji .
e
La matriz o vector de corriente no requiere explicaci´n. Estas son las
o
inc´gnitas en el m´todo que se est´ describiendo.
o e a
La matriz o vector de voltajes tenemos que Vi es la suma algebraica de
todas las fuentes que pertenecen a la malla i usando el criterio de la se˜ al
n
pasiva.
2
Consultar bibliograf´
ıa
21

22. 3.3.1. Resoluci´n del m´todo de mallas con fuentes de-
o e
pendientes
1) Escribiremos las ecuaciones de an´lisis como si la fuente fuese indepen-
a
diente.
2) Luego sustituimos la variable de control por las variables deseadas del
m´todo de an´lisis (en este caso la corriente de malla)
e a
3.3.2. Resoluci´n del m´todo de mallas con fuentes de
o e
corriente dependiente
La presencia de fuentes de corriente reduce ´l n´ mero de inc´gnitas en el
e u o
an´lisis de malla a raz´n de una por fuente de corriente.
a o
1) Se identifica las corrientes de mallas con aquellas de las funciones de
corriente
2) Planteamos las ecuaciones LVK para coincidir con ´l n´ mero reducido
e u
de ecuaciones
3) El circuito resultante ser´ eliminando las fuentes de corriente por cir-
a
cuitos abiertos
3.4. M´todo de Nodos
e
Es un m´todo general de an´lisis de circuitos en donde los voltajes son las
e a
inc´gnitas que deben obtenerse. En general, una elecci´n conveniente para el
o o
voltaje es el conjunto de voltajes de nodo. Puesto que un voltaje se define
como el existente entre dos nodos, es conveniente seleccionar el nodo en la
red que sea nodo de referencia, y luego asociar un voltaje a cada uno de los
dem´s nodos.
a
Com´ nmente se elige como nodo de referencia al nodo al que se conecta
u
la mayor cantidad de ramas.
Las ecuaciones del an´lisis nodal se obtienen aplicando LCK en los nodos
a
salvo el de referencia. De forma matricial podemos plantear el sistema de
ecuaciones de la siguiente manera:
22

23.     
G11 G12 G13 · · · G1N V1 χ1

 G21 G22 G23 · · · G2N 
 V2  
  χ2 

 G31 G32 G33 · · · G3N  V3 =
  χ3 
. . . . . .
  
. . . .. . . .
.
    
 . . . .  .   . 
GN N GN 2 GN 3 · · · GN N VN χN
Gii contiene la rec´
ıproca de todas las resistencias conectadas al nodo i.
Gij representa la rec´ıproca (o inversa) de todas las resistencias de las
ramas que unen al nodo i y al nodo j.
La matriz o vector de voltajes de nodo no requiere explicaci´n. Estas son
o
las inc´gnitas en el m´todo que se est´ describiendo.
o e a
Los elementos χi del vector de la derecha representan las corrientes de
impulsi´n. Es decir, χi ser´ la suma algebraica de las corrientes impulsoras
o a
que est´n relacionadas con el nodo i.
e
Las corrientes impulsoras son aquellas ramas que presenten fuentes de
intensidad o bien ramas con fuentes de voltaje y resistencia asociada a dicha
rama (Ii = Vi /Ri ) de forma que tomaremos valor positivo si la corriente llega
al nodo correspondiente y daremos un valor negativo en caso contrario.
23

24. Cap´
ıtulo 4
Circuitos el´ctricos de corriente
e
alterna
4.1. Introducci´n
o
Llamamos corriente alterna a aquella corriente cuya intensidad es una
funci´n sinusoidal del tiempo, es decir, una corriente que peri´dicamente
o o
cambia de direcci´n y sentido; por tanto, no es posible asociar una direcci´n
o o
fija a la corriente en los circuitos de corriente alterna. La energ´ el´ctrica
ıa e
que se obtiene de la red es alterna y de forma sinusoidal. Es el tipo de energ´ ıa
que proporcionan las m´quinas generadoras de las centrales el´ctricas.
a e
La raz´n fundamental de que en la red se suministre corriente alterna en
o
vez de continua se basa en que ´sta puede transformarse f´cilmente (medi-
e a
ante transformadores) y reduce los costes de transporte y permite dispon-
er f´cilmente de diferentes valores de tensi´n seg´ n las aplicaciones. Puede
a o u
transportarse a largas distancias a tensiones elevadas y corrientes bajas para
reducir las p´rdidas de energ´ en forma de calor por efecto Joule.
e ıa
En este cap´ ıtulo repasaremos todas las herramientas necesarias para el
an´lisis de circuito en corriente alterna en su estado estable, pues es una ex-
a
tensi´n natural de los m´todos vistos en cap´
o e ıtulos anteriores, bastar´ sustituir
a
la resistencia por su equivalente en el caso de corriente alterna: la impedancia.
Pero previamente introduciremos algunos conceptos necesarios que, a mo-
do de recordatorio, ser´n necesarios para un correcto entendimiento del tema.
a
24

25. 4.2. Caracter´ısticas b´sicas de las ondas sinu-
a
soidales
Ciclo Recorrido completo que hace la onda y que se repite peri´dicamente.
o
Un ciclo se compone de dos semiciclos.
Amplitud Valor m´ximo que alcanza la onda, en el semiciclo positivo.
a
Periodo Tiempo necesario en generarse un ciclo completo. Su unidad es el
segundo.
Frecuencia N´ mero de ciclos que se efect´ an en un segundo. Su unidad es el
u u
Hz. Frecuencia y Periodo est´n relacionados por la siguiente expresi´n
a o
1
f=
T
´
Velocidad angular Angulo recorrido por unidad de tiempo (debido al movimien-
to giratorio del generador). Su unidad es el rd/seg.
2π
w = 2πf =
T
Desfase de onda Las ondas, adem´s de diferir entre s´ en frecuencia y am-
a ı
plitud, tambi´n pueden hacerlo en lo que se denomina relaci´n de fase.
e o
Dos ondas de igual frecuencia se dicen que est´n en fase si sus valores
a
instant´neos var´ a la vez, o sea, de forma sincronizada.
a ıan
Cuando existe un desplazamiento de tiempo entre la variaci´n de dos
o
ondas de igual frecuencia, se dice que est´n desfasadas.
a
El desfase entre dos ondas de igual frecuencia es la diferencia de tiempo
que hay entre dos puntos tomados de referencia, que pueden ser el inicio
de ciclo de una de ellas con respecto a la otra.
25

26. Ya en el caso que nos ocupa, la corriente alterna, pasemos a definir algunos
t´rminos de uso habitual.
e
Tensi´n instant´nea El voltaje puede ser expresado como v = V sin(wt +
o a
φ) o bien v = V cos(wt+φ−90o), donde V es la amplitud de tensi´n, wt
o
est´ expresado en radianes y φ en grados, por tanto, podemos conocer
a
en cada instante el valor del voltaje.
Tensi´n de pico Es la tensi´n m´xima instant´nea que se alcanza en el ci-
o o a a
clo Vp . Dentro de este ciclo aparecen dos valores de pico: El del semiciclo
positivo (+Vp ) y el del semiciclo negativo (−Vp ).
Tensi´n de pico a pico Tensi´n entre los dos valores. Se representa usual-
o o
mente por Vpp . Este es igual a Vpp = 2Vp .
Tensi´n media Es el valor medio de tensi´n. Si la onda es sim´trica respec-
o o e
to al eje de tiempos, o sea, la magnitud del semiciclo positivo es igual
a la del negativo, entonces el valor medio resultante del ciclo completo
es cero.
Tensi´n eficaz Este concepto est´ relacionado con la capacidad energ´tica
o a e
que puede desarrollar una corriente alterna en comparaci´n con una
o
corriente continua. Por cuestiones de tipo de eficiencia energ´tica, se
e
hace necesario conocer el valor de tensi´n (o corriente) alterna que
o
pueda desarrollar la misma potencia el´ctrica que una tensi´n continua
e o
del mismo valor; a este valor se denomina valor eficaz.
El c´lculo del valor eficaz de una se˜ al se determina mediante la relaci´n
a n o
26

27. T
1
Yef = [f (t)]2 dt
T 0
Si aplicamos esta definici´n a nuestra onda sinusoidal tenemos la car-
o
acter´
ıstica que:
Imax Imax
Ief = √ Ief = √
2 2
4.3. Elementos el´ctricos: Condensador y Bobi-
e
na
A´ n nos faltan por definir dos elementos el´ctricos esenciales: los conden-
u e
sadores y las bobinas. Ambos son elementos el´ctricos capaces de almacenar
e
energ´
ıa.
4.3.1. Condensador
Dispositivo que sirve para almacenar carga y energ´ Est´ constituido por
ıa. a
dos conductores aislados uno de otro, que poseen cargas iguales y opuestas.
La caracter´ıstica principal de estos dispositivos es su capacidad de almacenar
carga bajo determinadas condiciones de diferencia de potencial. La relaci´n o
Q/V recibe el nombre de capacidad. La unidad S.I. para medir la capacidad
es el Faradio (F ), denominado as´ en honor al gran f´
ı ısico experimental ingl´s,
e
Michael Faraday.
Existen diversos tipos de condensadores atendiendo a su morfolog´ ıa.
Condensador de placas plano paralelas
A
C=ε
S
27

28. donde A es el area de las placas plano paralelas y S es la separaci´n
´ o
entre placas y ε es la permitividad del material existente entre placas.
Condensador cil´
ındrico
L
C = 2πε
ln(R/r)
donde L es la longitud del condensador cil´ ındrico, r radio interior del
conductor y R radio externo del conductor y ε es la permitividad del
material existente entre los conductores. Naturalmente, el potencial es
mayor en el conductor interno, el cual transporta la carga positiva, pues
las l´
ıneas del campo el´ctrico est´n dirigidas desde este conductor hacia
e a
el exterior.
Condensador esf´rico
e
C = 4πεR
28

29. donde R es el radio de la esfera y ε es la permitividad del material
existente dentro de la esfera.
Otros par´metros a tener en cuenta a parte de la capacidad es la ten-
a
si´n m´xima que puede soportar, su tolerancia expresado en %, corriente
o a
de fuga (se refiere a una corriente muy peque˜ a que podr´ pasar a trav´s
n ıa e
del diel´ctrico al estar sometido a tensi´n el´ctrica. Idealmente, como es ob-
e o e
vio, dicha corriente deber´ ser cero) y la temperatura de trabajo, pues,
ıa
puede afectar negativamente a las caracter´ ısticas del condensador. En gen-
eral, debe procurarse que los condensadores queden alejados de fuentes de
calor. Eo = 8,85pF/m
Existen principalmente dos posibilidades en cuanto a las combinaciones
de condensadores:
Conectados en paralelo La caracter´ ıstica fundamental es que los conden-
sadores est´n sometidos al mismo potencial, y la carga total almacenada
a
es la suma de la carga almacenada en cada uno de los condensadores,
por tanto
Q = Q1 + Q2 = C1 V + C2 V = (C1 + C2 )V
Cequiv = Ci
i
29

30. Conectados en serie Cuando los puntos a y b se conectan a los termi-
nales de una bater´ se establece una diferencia de potencial entre los
ıa,
dos condensadores, pero la diferencia de potencial a trav´s de uno de
e
ellos no es necesariamente la misma que a trav´s del otro. Si una car-
e
ga +Q se deposita sobre la carga superior, del primer condensador, el
campo el´ctrico producido por dicha carga inducir´ una carga negativa
e a
igual −Q sobre su placa inferior. Esta carga procede de los electrones
extra´ıdos de la placa superior del segundo condensador. Por tanto, exi-
stir´ una carga igual +Q en la placa superior del segundo condensador
a
y una carga correspondiente −Q en su placa inferior.
30

31. Operando nos queda que,
1 1
=
Cequiv i
Ci
4.3.2. Bobina
Se denomina bobina a un sistema formado por N espiras o vueltas, donde
las dimensiones de la espira son generalmente despreciables frente a su lon-
gitud. Existe una relaci´n entre el flujo que atraviesa dicho sistema debido
o
al paso de corriente por el mismo y la propia corriente. Esta constante de
denomina autoinducci´n de la espira y se denota por L. Como en el caso del
o
condensador la autoinducci´n depende de la forma geom´trica de la espira.
o e
La unidad S.I. de inductancia es el henrio (H).
31

32. φm
L= = µn2 Al
I
donde es n la densidad de espiras de la bobina, A es la secci´n de las
o
espiras y l la longitud de la bobina, y µ permeabilidad del material dentro
de la bobina.
De forma an´loga al caso de los condensadores, podemos determinar las
a
resultantes de combinar las bobinas en serie y en paralelo, de modo que
podemos concluir lo siguiente:
Serie Leq = i Li
1 1
Paralelo Leq
= i Li
4.4. Respuestas de los elementos el´ctricos
e
En la siguiente tabla presentamos a modo de resumen las relaciones entre
voltaje y corriente de los elementos: resistencias, bobinas y condensadores
Elemento S.I. Voltaje Corriente Potencia
v
Resistencia Ω v = Ri i= R p = vi = i2 R
di 1 di
Bobina H v = L dt i = L v dt + cte p = vi = Li dt
1
Condensador F v = C i dt + cte i = C dv
dt
p = vi = Cv dv
dt
Tabla sobre la respuesta de los elementos en corriente (o tensi´n alterna).
o
Elemento i = I sin(wt) i = I cos(wt)
Resistencia R vR = RI sin(wt) vR = RI cos(wt)
Bobina L vL = wLI sin(wt + 90o ) vL = wLI cos(wt + 90o )
I I
Condensador C vC = wC sin(wt − 90o ) vC = wC cos(wt − 90o )
v = V sin(wt) v = V cos(wt)
Resistencia R iR = V sin(wt)
R
iR = V cos(wt)
R
V V
Bobina wL iL = wL sin(wt − 90o ) iL = wL cos(wt − 90o )
Condensador wL iL = wV C sin(wt + 90o ) iL = wV C cos(wt + 90o )
4.5. Notaci´n fasorial
o
Un fasor es un vector que gira en direcci´n contraria a las manecillas
o
del reloj, cuyo m´dulo es la amplitud de la curva cosenoidal1 ; el angulo del
o ´
1
A partir de ahora se considera como base de representaci´n de los fasores la funci´n
o o
coseno. Si una expresi´n de voltaje y/o corriente est´ en forma de seno, podr´ cambiarse
o a a
a un coseno mediante la substracci´n de 90o a la fase
o
32

33. fasor es la diferencia de fase y ´ste se mueve con velocidad angular constante
e
(rd/seg).
Los favores pueden ser representados por los n´ meros complejos, y por
u
tanto, haremos uso de ´stos para su tratamiento matem´tico.
e a
NOTA:
sin(a ± b) = sin(a) cos(b) ± cos(a) sin(b)
cos(a ± b) = cos(a) cos(b) ± sin(a) sin(b)
Las notaciones m´s habituales de uso para un fasor en estos casos son:
a
Forma polar V = V θ (Multiplicaci´n y divisi´n)
o o
Forma rectangular V = V cos θ + jV sin θ (Suma y resta)
Forma exponencial V = V ejθ
4.6. Impedancia
La raz´n entre V e I se define como impedancia Z. Las unidades de
o
la impedancia en el S.I. son el ohmio (Ω). Teniendo en cuenta la notaci´n
o
rectangular, las impedancias de los diferentes elementos son:
de una Resistencia: ZR = R + j0Ω
de una Bobina: ZL = 0 + jwLΩ
33

34. 1 1
de un Condensador: ZC = 0 + jwC
Ω = −j wC Ω
En este tipo de notaci´n, donde la impedancia viene representada por
o
una notaci´n compleja, la parte real del complejo es el t´rmino resistivo o de
o e
resistencia (R), mientras que la parte imaginar´ corresponde a la reactancia
ıa
(XL , XC ) inductiva o capacitiva seg´ n provenga de una bobina o condensador
u
respectivamente.
Una alternativa a la notaci´n rectangular es la notaci´n polar,
o o
de una Resistencia: ZR = R 0o Ω
de una Bobina: ZL = wL 90o Ω
1
de un Condensador: ZC = wC
−90o Ω
Puesto que los elementos el´ctricos pueden asociarse tanto en serie como
e
en paralelo, podemos definir una equivalencia con respecto a las combina-
ciones de impedancias, an´logo al caso de las resitencias en el caso contrario,
a
por tanto:
Serie Zeq = Z1 + Z2 + · · ·
1 1 1
Paralelo Zeq
= Z1
+ Z2
+···
4.6.1. Diagrama de impedancia
En un diagrama de impedancia, una impedancia se representa como un
complejo, donde el eje horizontal corresponde a los t´rminos resistivos mien-
e
tras que en el eje vertical se representan los t´rminos de reactancia inductiva
e
(semieje positivo) como reactancia capacitiva (semieje negativo).
34

35. 4.7. Admitancia
La admitancia se define como la rec´ıproca de la impedancia, o sea Y =
Z , con unidades de siemens (S). En forma similar es un n´ mero complejo,
−1
u
Y = G + jB, cuya parte real se le denomina la conductancia G y la parte
imaginaria la susceptancia B.
En este caso las combinaciones de admitancias en serie y en paralelo
pueden expresarse como:
1 1 1
Serie Yeq
= Y1
+ Y2
+···
Paralelo Yeq = Y1 + Y2 + · · ·
4.7.1. Diagrama de admitancia
En un diagrama de admitancia, una admitancia se representa como un
complejo, donde el eje horizontal corresponde a los t´rminos conductivos
e
mientras que en el eje vertical se representan los t´rminos de susceptancia
e
capacitiva (semieje positivo) como susceptancia inductiva (semieje negativo).
4.8. M´todos de resoluci´n por mallas y no-
e o
dos
El procedimiento es totalmente an´logo al caso de la resoluci´n de cir-
a o
cuitos en corriente continua salvo que ahora la matriz de resistencia del sis-
tema corresponde a la matriz de impedancias del sistema en el caso de res-
35

36. oluci´n de mallas o el de la matriz de admitancias en el caso de resoluci´n
o o
por nodos.
4.8.1. M´todo de mallas
e
Simplificamos el circuito en lo posible.
El n´ mero de ecuaciones a plantear ser´ igual al n´ mero de mallas
u a u
existentes en el circuito de forma no redundante.
 
Z11 Z12 Z13
 Z12 Z22 Z23 
Z13 Z22 Z33
En esta matriz debemos tener las siguientes consideraciones:
1. Las posiciones ii son la suma algebraica de las impedancias pertenecientes
a la malla i.
2. Las posiciones ij son la suma algebraica de las impedancias co-
munes a la malla i y a la malla j.
3. A estos ultimos t´rminos se les asignar´ un signo negativo si las
´ e a
intensidades que recorren las correspondientes mallas al pasar por
el elemento com´ n, van en sentido contrario, y signo positivo en
u
caso contrario.
Construimos el vector de voltajes.
 
V1
 V2 
V3
Vi ser´ la suma de las f em de los generadores que pertenezcan a la
a
malla i. Si el voltaje impulsa en la direcci´n de la corriente asignada
o
a la malla i entonces tendr´ valor positivo, en caso contrario se le
a
asignar´ un valor negativo.
a
Deberemos resolver el siguiente sistema:
    
Z11 Z12 Z13 I1 V1
 Z12 Z22 Z23   I2  =  V2 
Z13 Z22 Z33 I3 V3
36

37. 4.8.2. M´todo de nodos
e
Simplificamos el circuito en lo posible.
El n´ mero de ecuaciones ser´ igual al n´ mero de mallas independientes
u a u
menos 1.
Tomaremos adem´s un nodo como referencia.
a
Las inc´gnitas que vamos a hallar son los voltajes en los nodos.
o
Construir la matriz de admitancias del sistema (para un sistema de 2
nodos tendremos un sistema 2x2).
Y11 −Y12
−Y12 Y22
En esta matriz debemos tener las siguientes consideraciones:
1. Ii es el resultado algebraico de las corrientes impulsoras asociadas
a cada rama que est´ conectada al nodo i, bien por fuentes de
e
corrientes, bien procedentes de la f em de un generador o pila con
la impedancia en serie asociada perteneciente a la misma rama.
2. Tomaremos siempre un sentido de Ii que salga siempre desde el
polo positivo en el caso de una pila o generador o bien el indicado
en el caso de una fuente de corriente. Si el sentido va hacia el
nodo i, entonces Ii ser´ considerado positivo, y negativo en caso
a
contrario.
Plantear la ecuaci´n matricial y resolver el sistema de ecuaciones.
o
Y11 −Y12 V1 I1
=
−Y12 Y22 V2 I2
4.9. Impedancias de entrada y transferencia
Se define la impedancia de entrada como
Vr ∆Z
Zent,r = =
Ir ∆rr
donde ∆rr es el cofactor de Zrr en ∆Z .
37

38. Se define la impedancia de transferencia entre la malla r y la malla s
como
Vr ∆Z
Ztransf,rs = =
Is ∆rs
donde ∆rs es el cofactor de Zrs en ∆Z .
4.10. Admitancias de entrada y transferencia
Se define la admitancia de entrada como
Ir ∆Y
Yent,r = =
Vr ∆rr
Se define la admitancia de transferencia entre la malla r y la malla s como
Ir ∆Y
Ytransf,rs = =
Vs ∆rs
donde ∆rs es el cofactor de Zrs en ∆Z .
4.11. Teoremas de Thevenin y de Norton
Presentan el mismo formato que hemos definido estos teoremas para el
caso continuo. El conjunto de componentes entre dos puntos de un circuito,
en el cual pueden encontrarse diversos generadores y resistencias, tiene por
equivalente a un circuito formado simplemente por un solo generador y una
impedancia en serie (VT h , ZT h ).
Votaje Thevenin La tensi´n Thevenin, VT h , es la que aparece entre los
o
terminales de carga (salida), con la carga ZL desconectada, o sea, en
el vac´ Este valor se puede obtener te´ricamente por c´lculo, o bien,
ıo. o a
midiendo con un volt´ımetro, si se trata de un circuito pr´ctico.
a
Impedancia Thevenin Es el valor de impedancia que aparece en los termi-
nales de salida (sin la carga) considerando al generador (o generadores)
con tensi´n igual a cero. El valor de ZT h se puede calcular te´ricamente
o o
o en la pr´ctica mediante el uso de un ohmetro.
a ´
En el caso del teorema de Norton el conjunto de componentes entre dos
puntos de un circuito, en el cual pueden encontrarse diversos generadores e
impedancias, tiene por equivalente a un circuito formado simplemente por
una unica fuente de intensidad y una impedancia en paralelo a ´sta (IN o ,
´ e
ZN o ).
38

39. Impedancia Norton Es la misma que para el caso del circuito equivalente
Thevenin.
Intensidad Norton Partiendo del equivalente Thevenin, corresponde a:
VT h
IN o =
ZT h
4.12. Principio de superposici´n
o
El principio de superposici´n establece que la respuesta de cualquier el-
o
emento de una red lineal que contenga m´s de una fuente es la suma de las
a
respuestas producidas por las fuentes, actuando cada una sola.
4.13. Potencia y factor de potencia
La potencia instant´nea en la red o circuito es el producto entre voltaje
a
˙
e intensidad de la corriente puede expresarse como p(t) = v(t)i(t) tal como
ya hemos visto. Una potencia positiva corresponde a una transferencia de
energ´ de la fuente a la red, mientras que, una potencia negativa representa
ıa
un retorno de energ´ de la red a la fuente. La potencia promedio para una red
ıa
pasiva ser´ siempre cero o positiva, ser´ cero tan s´lo cuando la red contenga
a a o
elementos reactivos.
Veamos el siguiente caso general:
Sea v = Vm cos(wt) y resulta que la corriente tiene una expresi´n general
o
i = Im cos(wt − θ) donde θ puede ser negativa o positiva. Supongamos que θ
sea negativa (corriente adelantada respecto al voltaje), entonces la potencia
la podemos expresar como:
1
p(t) = Vm Im cos(wt) cos(wt − θ) = Vm Im [cos θ + cos(2wt − θ)]
2
Si lo que queremos es determinar el valor promedio, tenemos que
1
Pm = Vm Im cos θ
2
como Vef = Vm e Ief
√
2
Im
= √2 , tenemos que la potencia promedio puede ser
expresada como
Pm = Ief Vef cos θ
Definimos:
39

40. Potencia aparente: Ief Vef
Factor de potencia: cos θ
Si la corriente atrasa respecto al voltaje, θ > 0, el factor de po-
tencia se dice que atrasa.
La corriente se adelanta respecto al voltaje, θ < 0, el fator de
potencia se dice que adelanta.
2
Triangulo de potencia Potencia aparente: S = Vef Ief = Ief Z
2
Potencia promedio: Pm = Vef Ief cos θ = Ief R
Factor de potencia: f p = cos θ = R/Z
Tenemos que tanto S como P pueden representarse geom´tricamente co-
e
mo la hipotenusa y el cateto horizontal de un tri´ngulo rect´ngulo. Al cateto
a a
vertical se le denomina potencia en cuadratura2 y corresponde en este caso a
2
Q = Vef Ief sin θ = Ief X
Por razones de comodidad, todas las cantidades relacionadas con la po-
tencia pueden derivarse de la potencia compleja S = S θ = P + iQ o bien
2
S = Ief Z.
2
Se acostumbra a que Q siempre se de en valor absoluto, y se le denomina inductivo o
capacitivo en funci´n del signo (si el valor es negativo tiene car´cter capacitivo, y car´cter
o a a
inductivo en caso contrario).
40

41. Cap´
ıtulo 5
Respuesta a la frecuencia y
resonancia en circuitos
el´ctricos
e
5.1. Respuesta a la frecuencia
Por respuesta a la frecuencia de una red o circuito se entiende su com-
portamiento sobre un intervalo de frecuencias.
5.2. Redes de 2 puertas
Una red de dos puertas es aquella que presenta dos pares de terminales,
una considerada de entrada y la otra como terminal de salida. En la primera
est´n definidos un voltaje V1 y una corriente I1 mientras que en la segunda
a
terminal est´n definidos un voltaje V2 y una corriente I2 .
a
En la red de dos puertas la conexi´n de salida debe definirse como:
o
41

42. (i) circuito abierto, I2 = 0
(ii) circuito en corto, V2 = 0
(iii) impedancia de carga aplicada V2 = −I2 ZL
Las funciones de frecuencia m´s usuales para el estudio de las redes de
a
dos puertas son:
V1
Impedancia de entrada I1
= Zent (w) = HZ (w)
V2
Raz´n de voltajes
o V1
= HV (w)
I2
Raz´n de intensidades
o I1
= HI (w)
V2 V1
Impedancias de transferencia y
I1 I2
= H(w)
5.3. Filtros: Redes de pasa altas, de pasa ba-
jas y pasa banda:
Estudiaremos la raz´n de voltajes de algunos circuitos de 2 puertas en
o
funci´n de la frecuencia.
o
Si |HV | disminuye conforme aumenta la frecuencia, el comportamiento se
llama ca´ de impedancia a alta frecuencia y el circuito es una red de tipo
ıda
paso bajo.
Por el contrario, si |HV | disminuye cuando disminuye la frecuencia esta-
mos en el caso de una red pasa baja, es decir, tenemos una ca´ de impedan-
ıda
cia a baja frecuencia.
Existe adem´s sistemas que presentan un comportamiento mixto de las
a
dos anteriores, es decir, s´lo en un rango de frecuencias |HV | toma valores
o
considerables. A este tipo de sistemas se les conoce con el nombre de redes
pasa banda.
42

43. 5.4. Frecuencia de potencia media
Se denomina frecuencia de potencia media a la frecuencia la cual
|HV | = 0,707 |HV |max
De manera muy general, cualquier funci´n de red no constante H(w)
o
alcanzar´ su valor absoluto m´s grande en alguna frecuencia unica wx . En
a a ´
muchos casos, existir´n dos frecuencias de potencia media que verifiquen la
a
expresi´n anterior: una posterior y otra anterior a la frecuencia de pico. A la
o
separaci´n de ambas frecuencias se le denomina ancho de banda (β) y sirve
o
como medida de lo agudo del pico.
5.5. Circuitos resonantes
El fen´meno de resonancia en una red el´ctrica, est´ originado por la
o e a
presencia de elementos reactivos en la misma, es decir, de bobinas y de con-
densadores.
La reactancia inductiva (XL = wL) aumenta si la frecuencia aumenta,
1
mientras que la reactancia capacitiva (XC = wC ) disminuye si la frecuencia
aumenta. Este comportamiento de los elementos inductivos y capacitivos
permite neutralizar a una frecuencia determinada las reactancias inductivas
y capacitivas conectadas en serie as´ como las susceptancias de condensadores
ı
y bobinas conectadas en paralelo.
Por esta causa, al excitar un circuito que contenga este tipo de elemen-
tos, la respuesta que se obtiene depender´ de la frecuencia de la se˜ al de
a n
excitaci´n.
o
Las frecuencias a las cuales se producen m´ximos de respuesta se de-
a
nominan frecuencias de resonancia. Los sistemas pueden presentar una unica
´
frecuencia de resonancia (resonancia simple) o m´ ltiples frecuencias de reso-
u
nancia (resonancia m´ ltiple).
u
El comportamiento del sistema viene caracterizado por dos par´metros
a
fundamentales:
5.5.1. Frecuencia de resonancia f0
Es la frecuencia a la que se obtiene un m´ximo en la respuesta (V o I).
a ´
Otra definici´n an´loga podr´ ser:
o a ıa
(i) Los valores m´ximos de las energ´ almacenadas en las bobinas y en
a ıas
los condensadores son m´ximos.
a
43

44. (ii) La impedancia o admitancia de entrada de la red es real (I y V est´n
a
en fase).
5.5.2. Factor de calidad del circuito Q
Es un indicativo de la eficacia con que se almacena energ´ en un circuito.
ıa
Se define como:
Energ´ m´xima almacenada
ıa a Wmax Wmax
Q = 2π = 2π =w
Energ´ disipada en un periodo
ıa PT P
donde Wmax es el valor m´ximo de energ´ almacenada en el circuito (suma
a ıa
de las energ´ almacenadas por las bobinas y los condensadores) y P es la
ıas
potencia disipada por las resistencias que forman el circuito.
En circuitos resonantes, el factor de calidad se define a la frecuencia de
resonancia.
El ancho de banda (β) en funci´n del factor de calidad se puede expresar
o
como
f0
β=
Q
44