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Capacitancia
    Presentación PowerPoint de
 Paul E. Tippens, Profesor de Física
Southern Polytechnic State University
Objetivos: Después de completar
          este módulo deberá:
• Definir la capacitancia en términos de carga
  y voltaje, y calcular la capacitancia para un
  capacitor de placas paralelas dados la
  separación y el área de las placas.
• Definir la constante dieléctrica y aplicarla a
  cálculos de voltaje, intensidad de campo
  eléctrico y capacitancia.

• Encontrar la energía potencial almacenada en
  capacitores.
Máxima carga sobre un conductor
Una batería establece una diferencia de potencial que
puede bombear electrones e- de una tierra (Tierra) a un
conductor
                   Batería       Conductor
      Tierra                    - -- - - - -
               e-           e- - -
                                   --- - -

   Existe un límite a la cantidad de carga que un
  conductor puede retener sin fuga al aire. Existe
        cierta capacidad para retener carga.
Capacitancia
La capacitancia C de un conductor se define
como la razón de la carga Q en el conductor al
potencial V producido.

                     Batería      Conductor
      Tierra                       -- - - - -
                                  - Q, V
                e-             e- - -
                                      --- - -
                      Q
Capacitancia:   C
                      V
                        Unidades: Coulombs por volt
Capacitancia en farads
Un farad (F) es la capacitancia C de un conductor que
retiene un coulomb de carga por cada volt de potencial.
                Q                 coulomb (C)
           C      ;   farad (F)
                V                   volt (V)

Ejemplo: Cuando 40 C de carga se colocan en un
conductor, el potencial es 8 V. ¿Cuál es la capacitancia?

            Q     40 C
       C                           C=5 F
            V      8V
Capacitancia de conductor esférico
En la superficie de la esfera:
                                              Capacitancia, C
       kQ           kQ                                r
  E      2
           ;   V
       r             r                               +Q
                        1                   E y V en la superficie.
   Recuerde: k
                    4       0

               kQ               Q                                     Q
  Y:       V                                Capacitancia:     C
                r       4           0   r                             V
           Q         Q
       C                                       C      4      0   r
           V       Q 4 0r
Ejemplo 1: ¿Cuál es la capacitancia de
  una esfera metálica de 8 cm de radio?
  Capacitancia, C         Capacitancia: C = 4     r
         r
        +Q            C     4 (8.85 x 10-12 C N m2 )(0.08 m)

    r = 0.08 m               C = 8.90 x 10-12 F


Nota: La capacitancia sólo depende de parámetros
físicos (el radio r) y no está determinada o por la carga
o por el potencial. Esto es cierto para todos los
capacitores.
Ejemplo 1 (Cont.): ¿Qué carga Q se
 necesita para dar un potencial de 400 V?
  Capacitancia, C       C = 8.90 x 10-12 F
         r                Q
        +Q              C    ; Q CV
                          V
    r = 0.08 m         Q (8.90 pF)(400 V)

Carga total sobre el conductor:    Q = 3.56 nC

 Nota: El farad (F) y el coulomb (C) son unidades
 extremadamente grandes para electricidad estática. Con
 frecuencia se usan los prefijos micro , nano n y pico p.
Rigidez dieléctrica
La rigidez dieléctrica de un material es aquella
intensidad eléctrica Em para la que el material
se convierte en conductor. (Fuga de carga.)
Em varía considerablemente
                                    r
con condiciones físicas y
                                    Q
ambientales como presión,
humedad y superficies.           Dieléctrico

Para el aire: Em = 3 x 106 N/C para superficies
esféricas y tan bajo como 0.8 x 106 N/C para
puntos agudos.
Ejemplo 2: ¿Cuál es la carga máxima que se
 puede colocar en una superficie esférica de
 un metro de diámetro? (R = 0.50 m)
                                               2
Máxima Q                   kQ           Em r
                   Em        2
                               ;   Q
      r                    r             k
           Aire
      Q                 (3 x 106 N C)(0.50 m)2
Em = 3 x 106 N/C   Q                9 Nm2
                             9 x 10       C2


   Carga máxima en aire:      Qm = 83.3 C

Esto ilustra el gran tamaño del coulomb como
unidad en aplicaciones electrostáticas.
Capacitancia y formas
La densidad de carga sobre una superficie se afecta
significativamente por la curvatura. La densidad de
carga es mayor donde la curvatura es mayor.

 + + + + ++             kQm     + + + + ++
+                                           +
                                      + + + ++
+ + + + + ++      Em       2    + + +
                         r

  La fuga (llamada descarga corona) ocurre con
  frecuencia en puntos agudos donde la curvatura
  r es más grande.
Capacitancia de placas paralelas
 +Q                    Área A       Para estas dos
                                    placas paralelas:

 -Q                        d           Q             V
                                C           y E
                                       V             d

Recordará que, de la ley de Gauss, E también es:

      E
              Q    Q es la carga en cualquier
          0   0A
                   placa. A es el área de la placa.

          V   Q                       Q          A
   E               y            C            0
          d   0A                      V          d
Ejemplo 3. Las placas de un capacitor
    de placas paralelas tienen una área de
    0.4 m2 y están separadas 3 mm en
    aire. ¿Cuál es la capacitancia?
            Q          A
       C           0
                                           A
            V          d
                                         0.4 m2
             -12 C2
    (8.85 x 10   Nm2
                       )(0.4 m2 )
C
           (0.003 m)
                                    d   3 mm
         C = 1.18 nF
Aplicaciones de los capacitores
 Un micrófono convierte las ondas sonoras en una
 señal eléctrica (voltaje variable) al cambiar d.

           d cambiante                          Área
                                     A    ++     cambiante
                            C    0          ++
                                     d      - ++
                                             -- + A
                                               --
                                 Q               --
               d             V           Capacitor
  micrófono                      C
                                            variable

El sintonizador en un radio es un capacitor variable. El
área cambiante A altera la capacitancia hasta que se
obtiene la señal deseada.
Materiales dieléctricos
La mayoría de los capacitores tienen un material dieléctrico
entre sus placas para proporcionar mayor rigidez dieléctrica
y menos probabilidad de descarga eléctrica.

           Eo          E reducido          E < Eo
       +      -        +-+-+ -           +       -
       +      -        +         -       +-    + -
       + aire -        +-+-+ -           +- + -
       +      -        +-+-+-            +        -
       +      -        +         -       +- + -
       +      -        +         -       +       -
          Co           dieléctrico         C > Co

La separación de la carga dieléctrica permite que más carga
se coloque en las placas; mayor capacitancia C > Co.
Ventajas de los dieléctricos
• Menor separación de placas sin contacto.
• Aumenta la capacitancia de un capacitor.
• Se pueden usar voltajes más altos sin descarga
  disruptiva.
• Con frecuencia permite mayor resistencia
  mecánica.
Inserción de dieléctrico
                            Disminuye el campo
         aire +Q
dieléctrico                    E < Eo
          Co Vo Eo    +
                     + +
                     + +     Disminuye el voltaje
            -Q          +       V < Vo
Inserción de
dieléctrico +Q              Aumenta capacitancia
                                C > Co
           C V E
                     + +
Igual Q                     Aumenta permitividad
             -Q
 Q = Qo                          > o
Constante dieléctrica, K
La constante dieléctrica K para un material es la
razón de la capacitancia C con este material a la
capacitancia Co en el vacío.
            C         Constante dieléctrica:
        K
            C0         K = 1 para el aire
K también se puede dar en términos de voltaje V,
intensidad de campo eléctrico E o permitividad :

                 V0      E0
             K
                 V       E     0
La permitividad de un medio
La capacitancia de un capacitor de placas paralelas
con un dieléctrico se puede encontrar de:
                                A         A
  C   KC0 or C          K   0     or C
                                d         d

La constante es la permitividad del medio que
relaciona la densidad de las líneas de campo.
                                     -12 C2
         K 0;       0       8.85 x 10    Nm2
Ejemplo 4: Encuentre la capacitancia C y la
    carga Q si se conecta a una batería de 200-V.
    Suponga que la constante dieléctrica es K = 5.0.

            5(8.85 x 10-12C/Nm2)
          44.25 x 10-12 C/Nm2                             A

      A    (44.25 x 10-12    C2
                                   )(0.5 m 2 )          0.5 m2
                            Nm 2
C
      d             0.002 m

             C = 11.1 nF
                                                 d     2 mm
¿Q si se conecta a V = 200 V?
 Q = CV = (11.1 nF)(200 V)                       Q = 2.22 C
Ejemplo 4 (Cont.): Encuentre el campo E entre
  las placas. Recuerde Q = 2.22 C; V = 200 V.
                                Q
 Ley de Gauss      E
                                A
       44.25 x 10-12 C/Nm2                     A
                       -6
              2.22 x 10 C                    0.5 m2
   E              -12 C 2
       (44.25 x 10 Nm2 )(0.5 m2 )            200 V

         E = 100 N/C                d      2 mm


Dado que V = 200 V, el mismo resultado se encuentra
si E = V/d se usa para encontrar el campo.
Ejemplo 5: Un capacitor tiene una capacitancia de
 6 F con aire como dieléctrico. Una batería carga el
 capacitor a 400 V y luego se desconecta. ¿Cuál es
 el nuevo voltaje si se inserta una hoja de of mica
 (K = 5)? ¿Cuál es la nueva capacitancia C ?
   C V0         V0              Dieléctrico aire
K         ; V
   C0 V         K
  400 V
                                 Vo = 400 V
V       ;   V = 80.0 V
    5
                                Dieléctrico mica
 C = Kco = 5(6 F)
                                  Mica, K = 5
      C = 30 F
Ejemplo 5 (Cont.): Si la batería de 400 V se
  reconecta después de insertar la mica, ¿qué
  carga adicional se agregará a las placas debido
  a la C aumentada?
                                  Aire Co = 6 F
Q0 = C0V0 = (6 F)(400 V)
     Q = 2400 C                   Vo = 400 V
      0

Q = CV = (30 F)(400 V)
                                Mica C = 30 F
   Q = 12,000 C
                                  Mica, K = 5
Q = 12,000 C – 2400 C

     Q = 9600 C                  Q = 9.60 mC
Energía de capacitor cargado
 La energía potencial U de un capacitor
 cargado es igual al trabajo (qV) que se
 requiere para cargar el capacitor.
 Si se considera que la diferencia de
 potencial promedio de 0 a Vf es V/2:

       Trabajo = Q(V/2) = ½QV


                                    2      Q2
  U    1
           2   QV ;   U   1
                              2   CV ; U
                                           2C
Ejemplo 6: En el Ej. 4 se encontró que la
capacitancia era be 11.1 nF, el voltaje 200 V y la
carga 2.22 C. Encuentre la energía potencial U.
          U             1
                            2   CV   2
                                                  Capacitor del
                                                  ejemplo 5.
                                              2
 U    1
          2   (11.1 nF)(200 V)
                                                  C = 11.1 nF

          U = 222 J                                       200 V

Verifique su respuesta con
                                                          U = ¿?
las otras fórmulas para E.P.
                                         Q2
     U         1
                   2   QV ;      U                 Q = 2.22 C
                                         2C
Densidad de energía para capacitor
  La densidad de energía u es la energía por unidad de
  volumen (J/m3). Para un capacitor de área A y
  separación d, la densidad de energía u se encuentra del
  modo siguiente:

      Densidad de                         U      U
    energía u para un      A d       u
        campo E:                         Vol.    Ad

                    0A
Recuerde    C             y V Ed : Densidad de 1 AdE 2
                                       U       energía u:
                    d               u          2 0
                        A              Ad 1 E 2
                                      u 2 0 Ad
U    1
     2   CV 2   1
                2
                      0
                           ( Ed ) 2

                      d
Resumen de fórmulas
             Q                       coulomb (C)
     C         ;       farad (F)
             V                         volt (V)

  Q                    A
C            K     0                 C   4    0   r
  V                    d
  C          V0        E0                     1               2
K
  C0         V          E
                                         u    2       0   E
                                 0


                                                  Q2
 U     1
           2 QV ;       U    1
                                 2 CV 2 ; U
                                                  2C
CONCLUSIÓN:
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Capacitancia

  • 1. Capacitancia Presentación PowerPoint de Paul E. Tippens, Profesor de Física Southern Polytechnic State University
  • 2. Objetivos: Después de completar este módulo deberá: • Definir la capacitancia en términos de carga y voltaje, y calcular la capacitancia para un capacitor de placas paralelas dados la separación y el área de las placas. • Definir la constante dieléctrica y aplicarla a cálculos de voltaje, intensidad de campo eléctrico y capacitancia. • Encontrar la energía potencial almacenada en capacitores.
  • 3. Máxima carga sobre un conductor Una batería establece una diferencia de potencial que puede bombear electrones e- de una tierra (Tierra) a un conductor Batería Conductor Tierra - -- - - - - e- e- - - --- - - Existe un límite a la cantidad de carga que un conductor puede retener sin fuga al aire. Existe cierta capacidad para retener carga.
  • 4. Capacitancia La capacitancia C de un conductor se define como la razón de la carga Q en el conductor al potencial V producido. Batería Conductor Tierra -- - - - - - Q, V e- e- - - --- - - Q Capacitancia: C V Unidades: Coulombs por volt
  • 5. Capacitancia en farads Un farad (F) es la capacitancia C de un conductor que retiene un coulomb de carga por cada volt de potencial. Q coulomb (C) C ; farad (F) V volt (V) Ejemplo: Cuando 40 C de carga se colocan en un conductor, el potencial es 8 V. ¿Cuál es la capacitancia? Q 40 C C C=5 F V 8V
  • 6. Capacitancia de conductor esférico En la superficie de la esfera: Capacitancia, C kQ kQ r E 2 ; V r r +Q 1 E y V en la superficie. Recuerde: k 4 0 kQ Q Q Y: V Capacitancia: C r 4 0 r V Q Q C C 4 0 r V Q 4 0r
  • 7. Ejemplo 1: ¿Cuál es la capacitancia de una esfera metálica de 8 cm de radio? Capacitancia, C Capacitancia: C = 4 r r +Q C 4 (8.85 x 10-12 C N m2 )(0.08 m) r = 0.08 m C = 8.90 x 10-12 F Nota: La capacitancia sólo depende de parámetros físicos (el radio r) y no está determinada o por la carga o por el potencial. Esto es cierto para todos los capacitores.
  • 8. Ejemplo 1 (Cont.): ¿Qué carga Q se necesita para dar un potencial de 400 V? Capacitancia, C C = 8.90 x 10-12 F r Q +Q C ; Q CV V r = 0.08 m Q (8.90 pF)(400 V) Carga total sobre el conductor: Q = 3.56 nC Nota: El farad (F) y el coulomb (C) son unidades extremadamente grandes para electricidad estática. Con frecuencia se usan los prefijos micro , nano n y pico p.
  • 9. Rigidez dieléctrica La rigidez dieléctrica de un material es aquella intensidad eléctrica Em para la que el material se convierte en conductor. (Fuga de carga.) Em varía considerablemente r con condiciones físicas y Q ambientales como presión, humedad y superficies. Dieléctrico Para el aire: Em = 3 x 106 N/C para superficies esféricas y tan bajo como 0.8 x 106 N/C para puntos agudos.
  • 10. Ejemplo 2: ¿Cuál es la carga máxima que se puede colocar en una superficie esférica de un metro de diámetro? (R = 0.50 m) 2 Máxima Q kQ Em r Em 2 ; Q r r k Aire Q (3 x 106 N C)(0.50 m)2 Em = 3 x 106 N/C Q 9 Nm2 9 x 10 C2 Carga máxima en aire: Qm = 83.3 C Esto ilustra el gran tamaño del coulomb como unidad en aplicaciones electrostáticas.
  • 11. Capacitancia y formas La densidad de carga sobre una superficie se afecta significativamente por la curvatura. La densidad de carga es mayor donde la curvatura es mayor. + + + + ++ kQm + + + + ++ + + + + + ++ + + + + + ++ Em 2 + + + r La fuga (llamada descarga corona) ocurre con frecuencia en puntos agudos donde la curvatura r es más grande.
  • 12. Capacitancia de placas paralelas +Q Área A Para estas dos placas paralelas: -Q d Q V C y E V d Recordará que, de la ley de Gauss, E también es: E Q Q es la carga en cualquier 0 0A placa. A es el área de la placa. V Q Q A E y C 0 d 0A V d
  • 13. Ejemplo 3. Las placas de un capacitor de placas paralelas tienen una área de 0.4 m2 y están separadas 3 mm en aire. ¿Cuál es la capacitancia? Q A C 0 A V d 0.4 m2 -12 C2 (8.85 x 10 Nm2 )(0.4 m2 ) C (0.003 m) d 3 mm C = 1.18 nF
  • 14. Aplicaciones de los capacitores Un micrófono convierte las ondas sonoras en una señal eléctrica (voltaje variable) al cambiar d. d cambiante Área A ++ cambiante C 0 ++ d - ++ -- + A -- Q -- d V Capacitor micrófono C variable El sintonizador en un radio es un capacitor variable. El área cambiante A altera la capacitancia hasta que se obtiene la señal deseada.
  • 15. Materiales dieléctricos La mayoría de los capacitores tienen un material dieléctrico entre sus placas para proporcionar mayor rigidez dieléctrica y menos probabilidad de descarga eléctrica. Eo E reducido E < Eo + - +-+-+ - + - + - + - +- + - + aire - +-+-+ - +- + - + - +-+-+- + - + - + - +- + - + - + - + - Co dieléctrico C > Co La separación de la carga dieléctrica permite que más carga se coloque en las placas; mayor capacitancia C > Co.
  • 16. Ventajas de los dieléctricos • Menor separación de placas sin contacto. • Aumenta la capacitancia de un capacitor. • Se pueden usar voltajes más altos sin descarga disruptiva. • Con frecuencia permite mayor resistencia mecánica.
  • 17. Inserción de dieléctrico Disminuye el campo aire +Q dieléctrico E < Eo Co Vo Eo + + + + + Disminuye el voltaje -Q + V < Vo Inserción de dieléctrico +Q Aumenta capacitancia C > Co C V E + + Igual Q Aumenta permitividad -Q Q = Qo > o
  • 18. Constante dieléctrica, K La constante dieléctrica K para un material es la razón de la capacitancia C con este material a la capacitancia Co en el vacío. C Constante dieléctrica: K C0 K = 1 para el aire K también se puede dar en términos de voltaje V, intensidad de campo eléctrico E o permitividad : V0 E0 K V E 0
  • 19. La permitividad de un medio La capacitancia de un capacitor de placas paralelas con un dieléctrico se puede encontrar de: A A C KC0 or C K 0 or C d d La constante es la permitividad del medio que relaciona la densidad de las líneas de campo. -12 C2 K 0; 0 8.85 x 10 Nm2
  • 20. Ejemplo 4: Encuentre la capacitancia C y la carga Q si se conecta a una batería de 200-V. Suponga que la constante dieléctrica es K = 5.0. 5(8.85 x 10-12C/Nm2) 44.25 x 10-12 C/Nm2 A A (44.25 x 10-12 C2 )(0.5 m 2 ) 0.5 m2 Nm 2 C d 0.002 m C = 11.1 nF d 2 mm ¿Q si se conecta a V = 200 V? Q = CV = (11.1 nF)(200 V) Q = 2.22 C
  • 21. Ejemplo 4 (Cont.): Encuentre el campo E entre las placas. Recuerde Q = 2.22 C; V = 200 V. Q Ley de Gauss E A 44.25 x 10-12 C/Nm2 A -6 2.22 x 10 C 0.5 m2 E -12 C 2 (44.25 x 10 Nm2 )(0.5 m2 ) 200 V E = 100 N/C d 2 mm Dado que V = 200 V, el mismo resultado se encuentra si E = V/d se usa para encontrar el campo.
  • 22. Ejemplo 5: Un capacitor tiene una capacitancia de 6 F con aire como dieléctrico. Una batería carga el capacitor a 400 V y luego se desconecta. ¿Cuál es el nuevo voltaje si se inserta una hoja de of mica (K = 5)? ¿Cuál es la nueva capacitancia C ? C V0 V0 Dieléctrico aire K ; V C0 V K 400 V Vo = 400 V V ; V = 80.0 V 5 Dieléctrico mica C = Kco = 5(6 F) Mica, K = 5 C = 30 F
  • 23. Ejemplo 5 (Cont.): Si la batería de 400 V se reconecta después de insertar la mica, ¿qué carga adicional se agregará a las placas debido a la C aumentada? Aire Co = 6 F Q0 = C0V0 = (6 F)(400 V) Q = 2400 C Vo = 400 V 0 Q = CV = (30 F)(400 V) Mica C = 30 F Q = 12,000 C Mica, K = 5 Q = 12,000 C – 2400 C Q = 9600 C Q = 9.60 mC
  • 24. Energía de capacitor cargado La energía potencial U de un capacitor cargado es igual al trabajo (qV) que se requiere para cargar el capacitor. Si se considera que la diferencia de potencial promedio de 0 a Vf es V/2: Trabajo = Q(V/2) = ½QV 2 Q2 U 1 2 QV ; U 1 2 CV ; U 2C
  • 25. Ejemplo 6: En el Ej. 4 se encontró que la capacitancia era be 11.1 nF, el voltaje 200 V y la carga 2.22 C. Encuentre la energía potencial U. U 1 2 CV 2 Capacitor del ejemplo 5. 2 U 1 2 (11.1 nF)(200 V) C = 11.1 nF U = 222 J 200 V Verifique su respuesta con U = ¿? las otras fórmulas para E.P. Q2 U 1 2 QV ; U Q = 2.22 C 2C
  • 26. Densidad de energía para capacitor La densidad de energía u es la energía por unidad de volumen (J/m3). Para un capacitor de área A y separación d, la densidad de energía u se encuentra del modo siguiente: Densidad de U U energía u para un A d u campo E: Vol. Ad 0A Recuerde C y V Ed : Densidad de 1 AdE 2 U energía u: d u 2 0 A Ad 1 E 2 u 2 0 Ad U 1 2 CV 2 1 2 0 ( Ed ) 2 d
  • 27. Resumen de fórmulas Q coulomb (C) C ; farad (F) V volt (V) Q A C K 0 C 4 0 r V d C V0 E0 1 2 K C0 V E u 2 0 E 0 Q2 U 1 2 QV ; U 1 2 CV 2 ; U 2C